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文档简介
第2章拉格朗日方程,一、约束及其分类1).理想约束和非理想约束:系统中所有约束力的虚功的代数和为零的约束是理想约束,否则称为非理想约束。2).完整约束与非完整约束:约束方程仅是坐标和时间的函数的约束是完整约束;约束方程不仅和坐标与时间,还和速度有关,则是非完整约束3).定常约束和非定常约束:约束方程中不显含时间的是定常约束,反之为非定常约束,二、达朗贝尔方程和拉格朗日方程1).达朗贝尔(dAlembert)方程:如果系统所受到的约束是理想的,则有:这是理想约束体系动力学的普遍方程。2).拉格朗日(Lagrange)方程:相比牛顿力学,拉格朗日动力学方程取较简洁的形式,并且拉格朗日方程是从能量角度来写的动力学方程,有其普遍意义。,2.3用达朗贝尔方程写出习题1.24的运动微分方程解:取m位矢OM与OO连线夹角为,取极坐标系则,代入达朗贝尔方程:,并化简得,系数为零,2.6用拉格朗日程写出习题1.20的运动微分方程解:如图,取底面圆心处为坐标原点,建立柱坐标系,质点到轴距为R有几何关系,代入完整保守体系的拉格朗日程,并化简得:,代入完整保守体系的拉格朗日方程,并化简得,2.7用拉格朗日方程写出习题1.21的运动微分方程解:建立柱坐标系,取R,为广义坐标,由几何关系:,2.8用拉格朗日方程写出习题1.24的运动微分方程解:以为广义坐标,取极坐标系,代入完整保守体系的拉格朗日方程,并化简得,则,2.9用拉格朗日方程写出习题1.27的运动微分方程解:体系为自由度为2的完整约束体系,取x,y为广义坐标,代入完整保守体系的拉格朗日方程,并化简得,2.11光滑刚性抛物线R2=2pz以恒定角速度绕铅直轴z旋转,其上套有质量为m的小环.(1)试求小环的拉格朗日函数及运动方程;(2)小环可稳定某处时,?解:建立柱坐标系,R为广义坐标,,代入完整保守体系的拉格朗日方程,,则,化简得到,,当小环稳定时,R为定值,即有,代入上式,可得,即,2.12质量为m的质点约束在光滑的旋转抛物面x2+y2=az的内壁运动,z轴为铅直轴。写出(1)质点的运动方程,(2)质点做圆周运动所满足的条件。解:体系自由度为2的完整约束体系,选用柱坐标系,R,为广义坐标,代入完整保守体系的拉格朗日方程,并化简得,将约束条件x2+y2=R2az,代入得,若质点做圆周运动,有,可得即,当t=0时,有v=v0,z=h,得,由杆AC,DG力矩平衡:,2.13图中所示是一台磅秤的简化机构.试证明:若,则在平衡条件下,秤锤的重量P与重物P在秤台的位置无关,且,若有,则有:,证明:由受力平衡,B处受力为(P-F1),又有F1F1,F2F2,即秤锤的重量P与重物P在秤台的位置无关,且,体系为完整保守平衡系统:,2.15一水平的固定光滑钉子M与光滑铅直墙面的距离为d,一长为l的均匀棒AB搁在钉子上,下端靠在墙上,求平衡时棒与墙的夹角解:以M点为原点建立直角坐标系,有,即,1),2),由图,由虚功为零,即,任意,,则,2.18质量为m1和m2的两个质点用一固有长度为l,重量可忽略的弹簧连接,放置在半径R的光滑球壳内,求平衡时两质点的位置。解:m1o和m2o分别和铅垂线的夹角为,原点为o,化简得,体系为完整保守平衡系统:,令,2.23质量为m,电荷为q的
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