随机向量函数的分布与数学期望.ppt

为了解决类似的问题,下面我们讨论两个随机变量函数的分布.,一、问题的引入,3.3随机向量函数的分布与数学期望,一、离散型随机向量的函数的分布,设为二维离散型随机向量，概率分布为,为二元函数，则随机向量函数,的概率分布为：,表上作业法,例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求Z=X+Y的概率函数.,解,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,r=0,1,2,的分布,水瓶座是一个富有开拓精神的人。水瓶座的人思维能力高于本能，是个先锋派人物。感兴趣的不是昨天而是明天。（摘自百度）,我们班中有多少水瓶座的男生？,假如我们班中有m名男生，其中X人是水瓶座的，p为任一名男生是水瓶座的概率.按理来说，都是确定的.我能数出m，星座作为私隐，我无从知晓.换而言之，X对我来说是个随机变量.其次，我可以很主观地认为于是，Xb(m,p).,女生勒？,同样地，我们可以假设水瓶座的女生数目Yb(n,p)，其中n为班中女生数目，,X+Y服从什么分布？,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性（卷积封闭性）.,二项分布的可加性,若Xb(m,p)，Yb(n,p)，,Remark若Xib(ni,p)，且独立，则Z=X1+X2+Xkb(n,p),n=n1+n2+nk.,且独立，,则Z=X+Yb(m+n,p).,春田花花幼稚园的校长经营了一家粉面档，麦兜好想知道究竟有几多人会帮衬它。,设X为每天光顾的男性顾客。这是个典型的排队问题，所以可以设XP(1)同样地，每天光顾的女性顾客数目YP(2),X+Y服从什么分布？,泊松分布的可加性,若XP(1)，YP(2)，,RemarkXY不服从泊松分布.,且独立，,则Z=X+YP(1+2).,解依题意,例3.13若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为,于是,i=0,1,2,j=0,1,2,的泊松分布.,r=0,1,即Z服从参数为的泊松分布.,二、连续型随机向量的函数的分布,设为二维连续型随机向量，密度函数为为二元函数，则随机向量函数的分布函数为：,更进一步，若设的密度函数为则下式对几乎处处成立：,例3.14设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.,这里积分区域D=(x,y):x+yz,解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线x+y=z及其左下方的半平面.,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,连续型随机变量的和的卷积公式,Thm设的密度函数为则的密度函数为,特别地，当相互独立时，,习惯上，函数的卷积定义为,所以，当相互独立时，有,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,例4若X和Y独立,具有共同的概率密度,求Z=X+Y的概率密度.,解由卷积公式,也即,暂时固定,故,当或时,当时,当时,于是,例3.15若X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.,解由卷积公式,令,得,可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y独立,结论又如何呢?,若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,正态分布具有可加性,更一般地，有,独立正态变量的线性组合仍为正态变量,XiN(i,i2),i=1,2,.n.且Xi间相互独立,实数a1,a2,.,an不全为零,则,Cor1设相互独立，则,Cor2设且相互独立，则即,同理可得,故有,当X,Y独立时,由此可得分布密度为,更进一步地，我们有：,变量变换法,已知(X,Y)的分布，(X,Y)的函数,求(U,V)的分布.,变量变换法的具体步骤,有连续偏导、存在反函数,则(U,V)的联合密度为,若,其中J为变换的雅可比行列式：,增补变量法,可增补一个变量V=g2(X,Y)，,若要求U=g1(X,Y)的密度fU(u)，,先用变量变换法求出(U,V)的联合密度fUV(u,v)，,用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式,然后再由联合密度fUV(u,v)，去求出边际密度fU(u),例3.17M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,1.M=max(X,Y)的分布函数,即有FM(z)=FX(z)FY(z),即有FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2.N=min(X,Y)的分布函数,由于X和Y相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:,最大值，最小值,Thm设相互独立，密度函数分别为分布函数分别为则,设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i=1,n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,例6设系统L由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统损坏时,系统开始工作),如下图所示.设的寿命分别为已知它们的概率密度分别为,其中且试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度.,解,(i)串联的情况,由于当系统中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以此时L的寿命为,因为X的概率密度为,所以X的分布函数为,当x0时,当x0时,故,类似地,可求得Y的分布函数为,于是的分布函数为,=1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度为,(ii)并联的情况,由于当且仅当系统都损坏时,系统L才停止工作,所以此时L的寿命为,故的分布函数为,于是的概率密度为,(iii)备用的情况,因此整个系统L的寿命为,由于当系统损坏时,系统才开始工作,当z0时,当z0时,当且仅当,即时,上述积分的被积函数不等于零.,故,于是的概率密度为,顺序统计量,Thm设相互独立同分布，且分布函数均为将按由小到大的次序排列为,对任意设则,Sketch留意到表示中至少有个小于等于即等于中恰好有个，个个小于等于这个事件的并.,数学期望的进一步性质,Example,四、数学期望的性质,1.设C是常数，则E(C)=C;,4.设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);,2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);,请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立,性质4得证.,数学期望的进一步性质,（2）若相互独立，则,例9把数字1,2,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.,由于E(Xk)=P(Xk=1),解:设巧合个数为X,k=1,2,n,则,故,引入,例10一民航送客车载有2