抽象函数总结

1 / 67 抽象函数总结 含有函数记号 “ 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 f(x)” 有关问题解法 f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变 形能力。 表示原自变量 x的代数式，从而求出 f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 2 / 67 x )?2x?1,求 f(x). x?1xuu2?u?u,则 x?1?解：设f(u)?2x?11?u1?u1?u 例 1：已知 f( f(x)? 2?x 1?x 2.凑合法：在 已知 f(g(x)?h(x)的条件下，把 h(x)并凑成以 g(u)表示的代数式，再利用代换即可求 f(x).此解法简洁， 3 / 67 还能进一步复习代换法。 例 2：已知 11f(x?)?x3?3 xx ，求 f(x) 解： 1111111 f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)(x?)2?3)又 |x?|?|x|?1 xxxxxx|x| 4 / 67 f(x)?x(x2?3)?x3?3x， (|x|1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例 3 已知解 :设 f(x)二次实函数，且 f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求 f(x). f(x)=ax2?bx?c ，则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c ?2(a?c)?4 1313?22 ?a?,b?1,c?f(x)?x2?x? =2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得 ?2a?1 2222?2b?2 ? 5 / 67 4.利用函数性质法 :主要利用函数的奇偶性 ,求分段函数的解析式 . 例 4.已知解 : y=f(x)为奇函数 ,当 x0 时 ,f(x)?lg(x?1),求 f(x) f(x)为奇函数， f(x) 的定义域关于原点对称，故先求x0,f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x), ?lg(1?x),x?0f(x) 为 奇 函 数 ，lg(1?x)?f(?x)?f(x) 当 x ?lg(1?x),x?0 f(x)为偶函数， g(x)为奇函数，且有 f(x)+g(x)? 1 ， 求 f(x),g(x). x?1 例 5一已知解： f(x)为偶函数， g(x)为奇函数， f(?x)?f(x),g(?x)?g(x), 6 / 67 f(x)+g(x)= 1 ? 中的 x, x?1 不妨用 -x代换 11 即 f(x) g(x)? ?x?1x?1 1x 显见 + 即可消去 g(x),求出函数 f(x)?2 再代入 求出g(x)?2 x?1x?1 7 / 67 f(?x)?g(?x)? 5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出例 6：设解： f(x)的表达式 f(x) 的定义域为自然数集，且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及 f(1)=1,求 f(x) f(x)的定义域为 N，取 y=1,则有 f(x?1)?f(x)?x?1 f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3?f(n)?f(n?1)?n n(n?1)1 以上各式相加，有 f(n)=1+2+3+?+n=f(x)?x(x?1),x?N 22 8 / 67 二、利用函数性质，解 f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性： 例 7 已知 f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数 x、 y 都成立，且f(0)?0,求证 f(x)为偶函数。 f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)? 证明：令 x=0, 则已知等式变为在 中令 y=0 则 2f(0)=2f(0) f(0)0f(0)=1f(y)?f(?y)?2f(y)f(?y)?f(y)f(x)为偶函数。 2.确定参数的取值范围 例 8：奇函数解：由 f(x)在定义域内递减，求满足 f(1?m)?f(1?m2)?0 的实数 m的取值范围。 9 / 67 f(1?m)?f(1?m2)?0 得 f(1?m)?f(1?m2)， f(x) 为函数，f(1?m)?f(m2?1) ?1?1?m?1? 又 f(x) 在内递减， ?1?m2?1?1?0?m?1 ?1?m?m2?1? 3.解不定式的有关题目 例 9：如果 f(x)=ax2?bx?c 对任意的 t 有 f(2?t)?f2?t),比较 f(1)、f(2)、 f(4)的大小 f(2?t)?f2?t)x=2 为抛物线 y=ax2?bx?c 的对称轴 f (2)最小， 解：对任意 t有 又 其开口向上 10 / 67 f (1)= f (3) 在 2， ) 上， f(x)为增函数 f (3) f (4), f (2) f (1) f 11 / 67 (4) 五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例 1、已知函数 f 对任意实数 x， y，均有 f f f，且当 x 0 时， f 0， f 2，求 f在区间 2， 1上的值域。 分析：由题设可知，函数 f 是 的抽象函数，因此求函数 f的值域，关键在于研究它的单调性。 解：设， 当， ， 在条件中，令 y x，则为奇函数， f f 2，又 f 2 f 4， f 的值域为 4， 2。 12 / 67 例 2、已知函数 f 对任意 ，满足条件 f f 2 + f，且当 x 0 时， f 2， f 5，求不，即 ， ， f 为增函数。 ，再令 x y 0，则 f 2 f， f 0，故 f f， f 等式的解。 分析：由题设条件可猜测： f 是 y x 2 的抽象函数，且 f为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函 数符号，从而可求得不等式的解。 解：设 ， 当 ， 即 13 / 67 ， f 为单调增函数。 ， 又 f 5， f 3 。 ， ，则 ， 2、指数函数型抽象函数 ， 即，解得不等式的解为 1 例 3、设函数 f14 / 67 的定义域是，满足条件： 存在成立。求： f； 对任意值 x，判断 f值的正负。 分析：由题设可猜测 f是指数函数解：令 y 0代入 。若 f 0，则对任意 ，使得，对任何 x 和 y， 的抽象函数，从而猜想 f 1 且 f 0。 ，则 ， ，这与题设矛盾， f0 ， f 1。 ，有 15 / 67 令 y x0 ，则，又由知 f0 ， f 0，即 f 0，故对任意x， f 0恒成立。 例 4、是否存在函数 f，使下列三个条件： f 0， x N ； 时成立？若存在，求出 f的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在 x 1时， ，又由 f 4 可得 a 2故猜测存在函数 ，用数学归纳法证明如下： ，结论正确。 ； f 4。同 ，又 x N 时， f 0， 假设结论正确。 综上所述， x为一切自然数时 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例16 / 67 5、设 f是定义在上的单调增函数， 满足 f； 若 f f2 ，求 x的取值范围。 分析：由题设可猜测 f 是对数函数解： 即 的抽象函数， f 0， f 2。 ， f 0。 ，从而有 f ff ， ， f 是上的增函数，故 ，求： 。 时有 ，则 x k 1时， 17 / 67 ， x k 1 时， ，解之得： 8 x9 。 例 6、设函数 y f 的反函数是 y g。如果 f f f，那么 g gg 是否正确，试说明理由。 分析 : 由题设条件可猜测 y f 是对数函数的抽象函数，又y f 的反函数是 y g， y g必为指数函数的抽象函数，于是猜想 g gg 正确。 解：设 f m， f n，由于 g 是 f的反函数， g a， g b ，从而 ， gg g，以 a、 b分别代替上式中的 m、 n即得g gg 。 4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。 18 / 67 例 7、己知函数 f 的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： 当是定义域中的数时，有； f 1； 当 0 x 2a时， f 0。 试问： f的奇偶性如何？说明理由。 在上 ,f的单调性如何？说明理由。 分析 : 由题设知 f是 的抽象函数，从而由 及题设条件猜想： f 是奇函数且在上是增函数 。 解： f 的定义域关于原点对称，且 是定义域中的数时有 19 / 67 ， 在定义域中。 ， f 是奇函数。 设 0 x1 x2 2a，则 0 x2 x1 2a， 在上 f 0， f ， f， f 均小于零，进而知上 f 是增函数。 中的，于是 f f， 在 又 x 2a 2a， 20 / 67 ， f 1， ， f 0，设 2a x 4a，则 0 ，于是 f 0，即在上 f 0。设 2a x1 x2 4a，则0 x2 x1 2a，从而知 f， f均大于零。 f 0， ， ，即 f f，即 f在上也是增函数。综上所述， f 在上是增函数。 5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 例 8、已知函数 f 对任意实数 x、 y 都有 f ff ，且 f 1，f 9，当判断 f的奇偶性； 判断 f在 0， ）上的单调性，并给出证明； 若 ，求 a的取值范围。 时， 21 / 67 。 分析：由题设可知 f 是幂函数的抽象函数，从而可猜想 f 是偶函数，且在 0， ）上是增函数。 解：令 y 1，则 f ff ， f 1， f f， f为偶函数。 设， ， 时， ， f f，故 f 在 0， ）上是增函数。 ， f 9，又 ， ， 22 / 67 ， ， 高考抽象函数技巧全总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理 解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量 x的代数式，从而求出 f(x)，这也是证某些公式或等式常 用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例 1：已知 f(解：设 xx?1 23 / 67 )?2x?1,求 f(x). u1?u f(u)?2 xx?1 ?u,则 x? u1?u ?1? 2?u1?u f(x)? 2?x1?x 2.凑合法：在已知 f(g(x)? 24 / 67 h(x)即可求 f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知 f(x? 1x )?x? 1x 3 1x 23 ，求 f(x) 解： f(x? 1x )?(x?)(x?1? 25 / 67 1x )?(x2 1x |?|x|? 1|x| ?1 f(x)?x(x?3)?x?3x ， 1) 3. 例 3 已知 f(x)f(x?1)?f(x?1)?x+2x+4,求 f(x). 解 :设 f(x)=ax，则 2 2 26 / 67 23 f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c?a(x?1)?b(x?1)?c ?2(a?c)?4 13?22 ?a?,b?1,c?=2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4 比较系数得 ?2a?1 22?2b?2 ? 22 f(x)? 12 x?x? 27 / 67 2 32 4.利用函数性质法 :主要利用函数的奇偶性 ,求分段函数的解析式 . 例 4. 已知 y=f(x) 为奇函数 , 当 x0时 ,f(x)?lg(x?1),求 f(x) 解 :f(x) 为奇函数， f(x) 的定义域关于原点对称，故先求 x0, f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x), f(x) 为 奇 函 数 ， lg(1?x)?f(?x)?f(x) 当x ?lg(1?x),x?0 f(x)? ?lg(1?x),x?0 例 5一已知 f(x)为偶函数， g(x)为奇函数，且有 f(x)+g(x)? 28 / 67 1x?1 ， 求 f(x),g(x). 解： f(x) 为 偶 函 数 ， g(x) 为 奇 函 数 ，f(?x)?f(x),g(?x)?g(x), 不妨用 -x 代换f(x)+g(x)=f(?x)?g(?x)? 1x?1 ? 中的 x, 1?x?1 即 f(x) g(x)? 1x?1 ? 显见 + 即可消去 g(x),求出函数 f(x)? 29 / 67 1x?1 2 再代入 求出 g(x)? xx?1 2 5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 f(x)的表达式 例 6：设 f(x)的定义域为自然数集，且满足条件 f(x?ff(y)?xy,及 f(1)=1,求 f(x) 解： f(x) 的定义域为 N，取 y=1,则有 f(x?1)(x)?x?1 f(1)=1, 30 / 67 ff(n)?f(n?1)?n 1.例 7 已知 f(x?x、 y都成立，且 f(0)?0,求证 f(x)? 12 x(x?1),x?N f(x)为偶函数。 证明：令 x=0, 则已知等式变为 f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)? 在 中 令 y=0 则 2f(0)=2f(0) f(0)0f(0)=1f(y)?f(?y)?2f(y) f(?y)?f(y)f(x) 为偶函数。 2.确定参数的取值范围 例 8：奇函数 f(x)在定义域内递减，求满足 f(1?m)?f(1?m)?031 / 67 的实数 m 的取值范围。 2 解：由 f(1?m)?f(1?m)?0 得 f(1?m)?f(1?m)， f(x) 为函数， 22 f(1?m)?f(m?1) ?1?1?m?1?2 又 f(x) 在内递减， ?1?m?1?1?0?m?1 ?2 ?1?m?m?1 3.解不定式的有关题目 例 9：如果 f(x)=ax?bx?c 对任意的 t 有 f(2?t)?f2?t),比较32 / 67 f(1)、 f(2)、 f(4)的大小 解：对任意 t 有 f(2?t)?f2?t)x=2 为抛物线 y=ax?bx?c 的对称轴 又 其开口向上 f(2) 最小， f(1)=f(3) 在 2， ) 上， f(x f(3) 1 、线性函数型抽象函数 例 1、已知函数 f 对任意实数 x， y，均有 f f，且当 x 0时， f 0， 2 2 2 f 2，求 f在区间 2， 1 分析：由题设可知，函数 f是研究它的单调性。 解：设 在条件中，令 y x，则 33 / 67 0，故 f f， f为奇函数， f f 2，又 f 2 f 4， f 的值域为 4， 2。 例 2、已知函数 f 对任意 ，满足条件 f f 2 + f，且当 x 0 时， f，即， ， f 为增函数。 ，再令 x y 0，则 f 2 f， f ， ， 的抽象函数， 因此求函数 f的值域，关键在于 2， f 5，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜测： f 是 y x 2 的抽象函数，且 f为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中34 / 67 的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设 ， 当， ，则 ， 即， f 为单调增函数。 ， 又 f 5， f 3。 不等式的解为 1 ， ， 即，解得 例 3、设函数 f的定义域是，满足条件：存在对任何 x 和 y， 35 / 67 成立。求： ，使得， f； 对任意值 x，判断 f值的正负。 分析：由题设可猜测 f是指数函数解：令 y 0代入 。若 f 0，则对任意 f0 ， f 1。 令 y x0 ，则 即 f 0，故对任意 x， f 例 4、是否存在函数 f 0， x N ； ； f 4。同时成立？若存在，求出 f 的解析式，36 / 67 如 不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在学归纳法证明如下： x 1时， ，结论正确。 假设 时有 ，则 x k 1 时， ， x k 1 时，结论正确。 综上所述， x为一切自然数时 。 ，又 x N 时， f 0 37 / 67 ， ，又由 f 4 可得 a 2故猜测存在函数 ，用数 ，又由知 f0 ， f 0， 0） 1 且 f 0。 ， ，有，这与题设矛盾， 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设 f是定义在上的单调增函数，满足 38 / 67 f； 若 f f2 ，求 x的取值范围 。 分析：由题设可猜测 f 是对数函数解： 即 的抽象函数， f 0， f 2。 ， f 0。 ，从而有 f ff ， ， f 是上的增函数，故 ，求： ，解之 得： 8 x9 。 例 6、设函数 y f 的反函数是 y g。如果 f，那么 g gg是否正确，试说明理由。 39 / 67 分析 : 由题设条件可猜测 y f 的反函数是 y g， y ggg 正确。 解：设 f m， f n，由于 g 的反函数， g a， g b ，从而 ， gg g，以 a、 b分别 代替上式中的 m、 n 即得 g。 4、三角函数型抽象函数 例 7、己知函数 f 1； 当 0 x 2a时， f 0。 试问： f的奇偶性如何？说明理由。 在上 ,f的单调性如何？说明理由。 分析 : 由题设知 f是 的抽象函数，从而由 及题设条件猜想： f 是奇函 40 / 67 数且在上是增函数 f 的定义域关于原点对称，且 进行猜想）。 是定义域中的数时有 课次教学计划 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函 数内容的难点之一。 特殊模型和抽象函数 一 .定义域问题 -多为简 单函数与复合函数的定义域互求。 例 1.若函数 y = f 的定义域是 2， 2，则函数 y = f+f的定义域为 ?1?x?1。 二、求值问题 -抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 41 / 67 例 3. 对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且f(1)0, 则 f(2001)=_. 解析 :这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： 令 x?n,y?1,得 f(n?1)?f(n)?2f(1)2, 令 x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令 x=y=0, 得： f(0)=0,f(1)=, 即 f(n?1)-f(n)?1, 故f(n)?n,?f(2001)?2001. 2 2 2 12 练习：已知定义 域为 R? 的函数 f，同时满足下列条件： f(2)?1 ， f(6)? 42 / 67 1 ； 5 f(x?y)?f(x)?f(y) ，求 f， f的值。 1. f(x)的定义域为 (0,?)，对任意正实数 x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ， 则 f? 2.如果 f(x?y)?f(x)f(y),且 f(1)?2,则 f(2)f(4)f(6)f(2000) ?的值是 f(1)f(3)f(5)f(2001) 3 、 对 任 意 整 数 x,y 函数 y?f(x) 满 足 ：f(x?y)?f(x)?f(y)?xy?1，若 f(1)?1，则 f(?8)? A.-1 C. 19 D. 43 4、函数 f(x)为 R上的偶函数，对 x?R都有 f(x?6)?f(x)?f(3)成立，若 f(1)?2，则 f(XX)= A . XX B. 2 43 / 67 6、已知 a为实数，且 0?a?1,f(x)是定义在 0， 1上的函数，满足 f(0)?0,f(1)?1,对所有 x?y,x?y 均有 f()?(1?a)f(x)?af(y) 2 1 (1)求 a的值 (2)求 f(的值 7 三、求解析式问题 例 6、设对满足 x0,x1 的所有实数析式。 x?1?x，函数 f(x)满足 ,f?x?f?1?x ,求 f(x)的解 ?x? 解 :?f(x)?f(x?1)?1?x (x?0 且 x?1),(1)- 44 / 67 x 用 x-1x?112x?1 代换 x得 :f(?f()?,xx1?xx (1)?(3)?(2)x3?x2?1112?x- 由得 :f(x)?(x?0 且 x?1) 再以代换 (1)中的 x 得 :f(?f(x)?. 2 21-x2x?2x1-x1?x 例 7.已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x). 解 :易知 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a0) ，代入比较系数得 :a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 例 8.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件 : 45 / 67 f(n)0,nN;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4 同时成立 ? 若存在 ,求出函数 f(x)的解析式；若不存在，说明理由 . 解 :假设存在这样的函数 f(x),满足条件 ,得 f(2)=f(1+1)=4,解得 f(1)=2.又 f(2)=4=22,f(3)=23,x (xN*) 小结：对于定义在正整数集 N*上的抽象函数 ,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解 . 练习： 1、设 y?f(x)是实数函数 (即 x,f(x)为实数 ),且f(x)?2f()?x,求证 :|f(x)|? 四、单调性问题 例 10.设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0时 f(x) 解析 :由单调性的定义步骤设 x1 1x2 2. 3 46 / 67 所以 f(x)是 R 上的减函数 , 故 f(x)在 -3,3上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为 f(-3), 令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(-x)+f(x)=f(0)=0,即 f(x)为奇函数 .f( -3)=-f(3)=6. 练习：设 f(x)定义于实数集上，当 x0 时， f(x)1,且对于任意实数 x、 y，有 f(x+y)=f(x)f(y)，求证： f(x)在 R 上为增函数。 证明：设 R上 x11， f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1)，因为 f(x1)的正负还没确定 ) 。 取 x=y=0得 f(0)=0或 f(0)=1;若 f=0,令 x0,y=0，则 f(x)=0与 x0时， f(x)1 矛盾，所以 f(0)=1， x0时， f(x)10,x0，f(-x)1, 由 f(0)?f(x)f(?x)?1 得 f(x)? 1 47 / 67 ?0，故 f(?x) f(x)0，从而 f(x2)f(x1).即 f(x)在 R上是增函 数。 例 11、已知偶函数 f(x)的定义域是 x0 的一切实数，对定义域内的任意 x1,x2 都有 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，且当x?1时 f(x)?0,f(2)?1， f(x)在 (0,+) 上是增函数；解： 设xx2?x1?0 ， 上是增函数 2 ?x1?0 ，则f(x)?f(x)?f(x?x2?f(x)?f(x)?f(x2?f(x)?f(x2 211111 x1 x1 x1 48 / 67 x2x?1， f(2)?0 ，即 f(x2)?f(x1)?0， f(x2)?f(x1) f(x)在 (0,?) x1x1 练习：已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、 nR, 恒有f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且 f( 1 )=0,当 2 x 1时， f(x)0.求证： f(x)是单调递增函数； 2 证明：设 x1 x2,则 x2 x1 1 1,由题意 f(x2 x11)0,f(x2) f(x1)=f (x2 2 49 / 67 2 2 x1)+x1 f(x1)=f(x2 x1)+f(x1) 1 f(x1)=f(x2 x1) 1=f(x2 x1)+f( 1) 1= f(x2 x1) 2 1 0,f(x) 是单调递增函数 . 2 练习 2 定义在 R 上的函数 y=f， f0 ，当 x 0 时， f 1，且对任意的 a、 bR ，有 f=ff. 求证： f=1； 求证：对任意的 xR ，恒有 f 0；求证： f 是R 上的增函数；若 ff 1，求 x 的取值范围 . 解：证明：令 a=b=0，则 f=f 2.又 f0 ， f=1. 证明：当 x 0 时， x 0， f=ff=1.f= 50 / 67 1 f(x) 0.又 x0 时 f 1 0， xR 时，恒有 f 0。证明：设 x1 x2，则 x2x1 0.f=f=ff.x2 x1 0， f 1.又 f 0， ff f.f f.f 是 R 上的增函数。解：由 ff 1， f=1 得f f.又 f 是 R上的 增函数， 3x x2 0.0 x 3. 五、奇偶性问题 抽象函数 知识精要：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的 式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一 .抽象性较强，灵活性大 ,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法，这 样就能突51 / 67 破 “ 抽象 ” 带来的困难，做到胸有成竹 .另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型 : 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结 如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量 x的代数式，从而求出 f(x)，这也是证某些 2.凑合法：在已知 f(g(x)?h(x)的条件下，把 h(x)并凑成以 g(u)表示的代数式，再利用代换即可求 f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。 f(x)?x(x2?3)?x3?3x ， (|x|1) 52 / 67 3.待定系数法：先确 定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例 3 已知 f(x)二次实函数，且 f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求 f(x). 解 :设 f(x)=ax?bx?c，则 2 f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x? 1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c 例 4.已知 y=f(x)为奇函数 ,当 x0时 ,f(x)?lg(x?1),求 f(x) 解 :f(x) 为奇函数， f(x) 的定义域关于原点对称，故先求 x0,f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x), f(x) 为 奇 函 数 ， lg(1?x)?f(?x)?f(x) 当x ?lg(1?x),x?0 f(x 53 / 67 )? ?lg(1?x),x?0 f(x),g(x). 解： f(x) 为 偶 函 数 ， g(x) 为 奇 函 数 ，f(?x)?f(x),g(?x)?g(x), 5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 f(x)的表达式 例 6：设 f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及 f(1)=1,求 f(x) 二、利用函数性质，解 f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶54 / 67 性： 例 7 已知 f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数 x、 y 都成立，且 f(0)?0,求证 f(x)为偶函数。 证明：令 x=0, 则已知等式变为 f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)? 在 中令 y=0 则 2f(0)=2f(0) f(0)0f(0)=1f(y)?f(?y)?2f(y) f(?y)?f(y)f(x) 为偶函数。 2.确定参数的取值范围 2 例 8：奇函数 f(x)在定义域内递减，求满足 f(1?m)?f(1?m)?0的实数 m 的取值范围。 22 55 / 67 解：由 f(1?m)?f(1?m)?0 得 f(1?m)?f(1?m)， f(x) 为函数， f(1?m)?f(m2?1) ?1?1?m?1?2 又 f(x) 在内递减， ?1?m?1?1?0?m?1 ?1?m?m2?1? 3.解不定式的有关题目 例 9：如果 f(x)=ax?bx?c 对任意的 t 有 f(2?t)?f2?t),比较f(1)、 f(2)、 f(4)的大小 解：对任意 t 有 f(2?t)?f2?t)x=2 为抛物线 y=ax?bx?c 的对称轴 又 其开口向上 f(2) 最小， f(1)=f(3) 在 2， ) 上， f(x)为增函数 f(3) 三、五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 56 / 67 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例 10、已知函数 f 对任意实数 x， y，均有 f f f，且当 x 0 时， f 0， f 2，求 f在区间 2， 1上的值域。 分析：由题设可知，函数 f 是域，关键在于研究它的单调性。 解：设 在条件中，令 y x，则 ，即， 当 ， ， f 为增函数。 ，再令 x y 0，则 f 2 f， ， ， 的抽象函数，因此求函数 f的值 57 / 67 2 2 f 0，故 f f， f为奇函数， f f 2，又 f 2 f 4， f 的值域为 4， 2。 例 11、已知函数 f 对任意 ，满足条件 f f 2 + f，且 的解。 当 x 0时， f 2， f 5，求不等式 分析：由题设条件可猜测： f是 y x 2的抽象函数，且 f为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的58 / 67 解。 解：设 ， 当 ， ，则 ， 即 ， f 为单调增函数。 ， 又 f 5， f 3。 解得不等式的解为 1 ， ， 即， 例 12、设函数 f的定义域是，满足条件：存在对任何 x 和 y， 59 / 67 成立。求： ，使得， f； 对任意值 x，判断 f值的正负。 分析：由题设可猜测 f是指数函数 0。 解：令 y 0 代入 。若 f 0，则对任意 矛盾， f0 ， f 1。 令 y x0 ，则 ，又由知 f0 ， f ，则 ，有 ， ，这与题设 60 / 67 的抽象函数，从而猜想 f 1 且 f 0，即 f 0，故对任意 x， f 0 恒成立。 例 13、是否存在函数 f，使下列三个条件： f 0， x N ； ； f 4。同时成立？若存在，求出 f的解 析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在用数学归纳法证明如下： x 1时， 假设 ，结论正确。 时有 ，则 x k 1时， ，又 x N 时， f 0， ，又由 f 4 可得 a 2故猜测存在函数 61 / 67 ， ， x k 1 时，结论正确。 综上所述， x为一切自然数时 。 3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例14、设 f 是定义在上的单调增函数，满足求： f； 若 f f2 ，求 x 的取值范围。 ， 抽象函数： 62 / 6