同济大学2013弹性力学课堂练习题.pdf

1 弹性力学课堂练习题弹性力学课堂练习题 1. 已知弹性体中某点的应力分量为MPa x 10=，MPa y 10=，MPa xy 5=，其余应力分量为零。 试求三个主应力的大小。 解： 0 32 2 1 3 =+III MPaI zyx 20 1 =+= MPaI xyxzyzyxzxy 75 222 z2 =+= 0 3 = zyzxz yzyxy xzxyx I MPa15 1 =，MPa5 2 =，0 3 = 2. 设在xyz坐标系中，一点的应力状态为 = 000 00 00 y x ij 试计算该点在xy平面内与x轴成角的斜面的正应力和剪应力。 解： 斜截面的外法向矢量 = 0 cos sin 0 cos sin 或n 正应力 22 cossinyxnn jiijn += 全应力 = 0 cos sin y x nT jiji 剪应力 2 2 n T= 3. 已知物体内一点的六个应力分量为： 50 x a=，0 y =，30 z a=，75 yz a=，80 zx a=，50 xy a= 试求法线方向余弦为 1 1 2 n =， 1 2 2 n =， 1 3 2 n =的微分面上的总应力T、正应力 n 和剪应力 n 。 解：应力矢量T的三个分量为 11 106.57 ii Tna=， 2 28.033Ta=， 3 18.71Ta= 2 o zz y y x x 总应力 222 123 111.8TTTTa=+=。 正应力26.04 nii Tna=。 剪应力 22 108.7 nn Ta= 4. 某点的应力分量为 112233 0=， 122331 =，求： (1)过此点法向为 123 1 () 3 =+neee的面上的正应力和剪应力； (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 解：(1) 123 2 () 3 ijji n =+Teeee， 22 4T=T T。 正应力为2 n = =T n。 剪应力为 22 0 nn T=。 由此可知，2是主应力， 123 1 () 3 =+neee是和其对应的主方向。 (2)用表示主应力，则 2 () (2 ) 0 =+= 所以，三个主应力是 1 2=， 23 =。由上面的结论可知，和 1 对应的主方向是n，又因为 23 =是重根，所以和n垂直的任何方向都是主方向。 5. 设有矢量 iiu=ue。原坐标系绕z轴转动角度，得到新坐标系，如图 2.4 所示。试求矢量u在新坐标系 中的分量。 解： 1 1cos =， 1 2sin =， 1 30=， 2 1sin =， 2 2cos =， 2 30=， 3 10=，3 20=，3 31=。 1112cossiniiuuuu =+， 2212sincosiiuuuu =+， 333iiuuu =。 6. 设在一个确定的坐标系中的应变分量为 ij，让坐标系绕z轴转动角，得一个新的坐标系，求在新坐标 系中的应变分量。 解： 1 1cos =， 1 2sin =， 1 30=， 2 1sin =， 2 2cos =， 2 30=， 3 10=，3 20=，3 31=。 i jijiij j = cos2sin2 22 xyxy xxy + =+， cos2sin2 22 xyxy yxy + =， 3 sin2cos2 2 xy x yxy =+， cossin x zxzyz =+，sincos y zxzyz =+， zz = 7. 在Oxy平面上，Oa、Ob、Oc和x轴正方向之间的夹角分别为0?、60?、120?，如图 3.9 所示，这三个 方向的正应变分别为 a、b和c。求平面上任意方向的相对伸长度n。 解：在Oxy平面中，和x方向成角的方向，其方向余弦为 1 cosn=， 2 sinn=， 3 0n= 这一方向的相对伸长度为 nijij n n= 22 cos2sin cossin xxyy =+ cos2sin2 22 xyxy xy + =+ cos2sin2A BC=+ (a) 利用上式，可得 a A B=+， 31 22 b ABC=+， 31 22 b ABC= 解之，得 3 abc A + =， 2 3 abc B =， 3 () 3 bc C= 将求出的A、B和C代回式(a)，得 3()2 cos2sin2 333 bc abcabc n + =+ 8. 已知矢量场函数() 31 2 ,eefyzyxyx+=，计算fff, 。 解： yxyf ii +=2 , f 333212 2 11, 2eeeeeeeeeef+=yzxxyf jiij 3 2 1 2 321 0 ee eee uxz yzyx zyx = = 9. 已知标量场函数() 22 ,yxyx=和矢量场函数() 321 32,eeeuxyyzxyx+=，计算uu, 解： 21 22eeyx= 2332223111, 332eeeeeeeeeeeeu+=yxzyu jiij a b c O x y 60? 120? 10. 边界条件 主边界条件 2 2 () () yh y yxh y = = = = 次边界条件 () 2 0 2 2 0 -2 2 0 -2 () () h hx x h hxyx h hxx d d y = = = 11. 边界条件 主边界条件为 xy xyx -h - =0 x=h =0 h y xh dx = = 时， ， 时， ， 次边界条件 12. 边界条件 边界条件： yyx 2 x12 1 0 =0 0.5 n yx y yx nn = = + = 时， ， 其中 1 32 e u x x = 件练习 ： 0 q ： cos 0.5 dyp dyp ydyM = = = 件练习 为： x x = - y =0 y= sin, P 件： 0 时 件练习 2 2 0, , 1 xy p x x = = + 时， 32 3 ee xyyz zy = 3 30 2 = ? h yx h dx = 时， 12 2 1 n 1 yy nn+= = + () 1 3eyx p cos, P= 2 q x = P M 300 4 2 ey h y h x = q O y M sinP= q q l x y 2 h h/2h/2 q p y=0.5x2 t=1 x 5 13. 边界条件练习 设水的密度为 按极坐标写 以 Qy 轴为极轴，逆时针方向为正向 r r = =0 =0 = - gy =0 = 当时， ， 当时， 14. 边界条件练习 yyx x1212 12 0 = y= xtan 0, 0 nsin, ncos yxxyy y nnnn = +=+= = = 时，0， 0 时 其中 在横坐标为 x 处垂直截出一个截面，对界面以左的隔离体取平衡方程： xtan x 0 xtan xy 0 xtantan Oxy 00 0, dy+ cos0 0, dy+Psin =0 M =0 xdy+M- 0 x y x x FP F ydy = = = 得 得 ， 得 15. 边界条件练习 以 Ox 轴为极轴，顺时针方向为正向。 rr r=ar=b =0 =0 主边界条件为： 当和时， ， =0 0 + b a b r a b a drP dr rdrM P e = = = i 次边界条件为： 当时， 16. 边界条件练习 以 Ox 为极轴，顺时针为正向。 y x O B A x y P M x y b a e P M 6 主边界条件： rr rr =0 0; =0 ; sin, cos, sin b a b r a b a ra rbq drP drP rdrMPe = = = = = + 时， 时， 次边界条件是： 17. 已知在Oxy平面上，Oa、Ob、Oc和x轴正方向之间的夹角分别为0?、45?、90?，且该三个方向的正 应变分别为 a、b和c。试求该点平面上沿15?方向的正应变n。 解： 在Oxy平面中，和x方向成角的方向，其方向余弦为 1 cosn= ， 2 sinn= ， 3 0n= 这一方向的相对伸长度为 nijij n n= 22 cos2sin cossin xxyy =+ cos2sin2 22 xyxy xy + =+ cos2sin2A BC=+ 利用上式，可得 a A B=+ ， b A C=+ ， c A B= 解之，得 2 ac A + = ， 2 ac B = ， 2 2 bac C = 则： 2 cos2sin2 222 acacbac n + =+ 15 2 cos30sin30 222 11 424 33 acacbac b ac + =+ + + = 18. 已 知 弹 性 体 中 某 点 应 力 张 量 的 分 量 为20MPa x =，20MPa y =，10MPa xy =， 0 zxzyz =。试确定该点三个主应力 i 及最大剪应力 max 的大小。 解： 0 32 2 1 3 =+III 1 40MPa xyz I=+= 222 2z 300MPa yxzxyyzxzxy I =+= 0 3 = zyzxz yzyxy xzxyx I x y q b a e P M 7 1 30MPa=， 2 10MPa=，0 3 = max13 ()/ 215MPa= 19. 试写出下列弹性力学问题的边界条件。 （a） （b） （a）主边界条件： 2 2 2 2 ()0 () () ()0 yh y yh y yxh y yxh y px q = = = = = = = = 次边界条件： () 2 0