导数及其应用

1 / 7 导数及其应用 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 第三章导数及其应用 知识体系总览 导数的概念 知识梳理 1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度；若物体的运动方程为则物体从到这段时间内的平均速度；一般的，函数在区间上的平均变化率为。 2.瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗略的估算。当平均速度中的无限 趋近于 0 时，平均速度的极限称为在时刻的瞬时速度，记作 v=。求瞬时速度的步骤为： (1)设物体的运动方程为； (2)先求时间改变量和位置改变量 (3)再求平均速度 (4)后求瞬时速度：瞬时速度 v=. 3.求函数的导数的一般方法： （ 1）求函数的改变量 2 / 7 （ 2）求平均变化率 （ 3）取极限，得导数 4.上点（）处的切线方程为 ; 问题探索求自由落体的瞬时速度 典例剖析 题型一平均速度 例 1已知自由落体运动的位移 s(m)与时间 t(s)的关系为s=，计算 t 从 3 秒到秒、秒、秒 . 各段 内平均速度（）。 分析：先求出，再求出，即为各段时间内的平均速度。 解：设指时间改变量； =指路程改变量。 则 =； 所以 t 从 3 秒到秒平均速度； t 从 3 秒到秒平均速度； t 从 3 秒到秒平均速度； 评析：通过对各段时间内的平均速度计算，可以思考在各段时间内的平均速度的变化情况；可见某段时间内的平均速度随变化而变化。 题型二瞬时速度 例 2.以初速度为做竖直上抛运动的物体，秒时的高度为求物体在时刻 t=m处的瞬时速度。 分析：先求出平均速度 ,求瞬时速度。 3 / 7 解： 所以物体在时刻 m 处的 瞬时速度。 评析：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了 . 备选题 例 3：设函数，求： （ 1）当自变量 x 由 1 变到时，自变量的增量； （ 2）当自变量 x 由 1 变到时，函数的增量； （ 3）当自变量 x 由 1 变到时，函数的平均变化率； 解：（ 1） （ 2） （ 3） 评析：本题也可以由直接求解。 点击双基 1.在求平均变化率中，自变量的增量（） 解： 故选 D 2.一质点的运动方程是，则在一段时间内相应得平均速度4 / 7 为：（） 解：平均速度 =，故选 D 3、在曲线 y=x2+1 的图象上取一点（ 1,2）及邻近一点（ 1+x,2+y ） ,则为（） A.x+2B.x 2c.x+x 解 :=x+2 ，故选 c 4.一物体位移 s和时间 t的关系是 s=2t-3,则物体的初速度是 解：平均速度 =2-3t,当 t 趋向 0 时，平均速度趋向 2. 5.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是 解： 课外作业： 一选择题 1、若质点 m 按规律运动，则秒时的瞬时速度为（） A B c D 解：，故选 c 2、任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是（） A0B3c 2D 5 / 7 解：，故选 B 3、设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ） A B c D 解： =，故选 D 4、物体的运动方程是，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为 () A 1B 2c 3D 4 解：，故选 B 5、一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在 1 秒末的瞬时速度是（） A 3 米 /秒 B 2 米 /秒 c 1 米 /秒 D 4 米 /秒 解：，故选 c 6、在曲线的图象上取一点（ 1,）及附近一点，则为（ ） A B c D 解： =，故选 c 7.物体的运动规律是，物体在时间内的平均速度是（） 当时， 解：由平均变化率知故选 B 8.将边长为 8 的正方形的边长增加 a,则面积的增量 S 为（） A +a 解 ： S=S（ 8+a） -S（ 8） =（ 8+a-=16a+a 故选 D 6 / 7 二填空题： 9、已知一物体的运动方程是，则其在 _时刻的速度为 7。 解： 10.物体运动方程 y=+3x，则物体在时间段上的平均速度为 解：平均速度 =9 11、当球半径 r 变化时，体积 V 关于 r 的瞬时变化率是 解： =4;所以瞬时变化率是。 三解答题： 12、环城自行车比赛运动员的位移与比赛时间满足（ 求。 解 13.设一物体在秒内所经过的路程为米，并且，试求物体在运动第 5 秒末的 速度。 解： 14、求函数 y=-+4x+6在 x=2时的瞬时变化率 解：平均变化率 =-2x+4- 当 x 趋于 0 时 ,瞬时变化率为 -2x+4,x=2,