可微函数的导函数与原函数的奇偶性讨论.pdf

第 24卷第 2期 2004年 5月 承德民族师专学报 Journal of Chengde Teachers College for Nationalities Vol. 24 No. 2 May. 2004 收稿日期: 2003 12 15 作者简介: 包建廷 ( 1966 ),男 ,蒙古族 ,承德民族师专 数学系副教授。 可微函数的导函数与原函数的奇偶性讨论 包建廷 , 王庆丽 (河北大学 硕研班 , 河北 保定 071002) 摘要: 函数的奇偶性是研究函数性态的重要知识 ,应用十分广泛。 在高等数学中 ,可微函数的导函数的奇偶性与原函数的 奇偶性也存在密切的联系。 本文利用高等数学的知识进行讨论。 关键词: 可微函数;导函数 ;原函数;奇偶数 ;原函数奇偶性 中图分类号:O172 文献标识码:A 文章编号: 1005- 1554( 2004) 02- 0013- 01 一、预备知识 定义: 如果对于函数 y= f ( x)的定义域内任意 一个 x有 f( - x)= - f( x)称 y= f( x)是奇函数 , f( - x)= f( x)称为偶函数。 结论: ( 1)函数 y= f( x)是奇 (偶 )函数 ,则定义 域关于原点对称。说明: 定义域关于原点不对称的函 数 ,一定不存在奇偶性。 ( 2)奇函数的图像关于原点成中心对称图像 ,偶 函数的图像关于 y轴成对称图形 ,反之成立 ,利用其 作出函数图像。 ( 3)若 y= f( x)在定义域上既为奇函数又为偶 函数则它的解析式 f( x)= 0 证明: 用 f(x)既为奇函数又为偶函数 x m, - x m. f( - x)= - f( x) f(- x)= f( x) 既 - f( x)= f( x) 既 f( x)= 0 ( 4)两个 (奇 )偶函数的和 (差 ) ,在公共定义域内 都是奇 (偶 )函数 ,一个奇函数与一个偶函数的和 (差 )在公共定义域内是非奇非偶函数。 ( 5)复合函数的奇偶性 若 u= ( x)为奇函数 ,若 y= f( u)为奇函数 ,这 复合函数 y= f(x) )在定义域内为奇函数 若 y= f( u)为偶函数 ,则 y= f( ( x) )在定义域 内为偶函数。 证明: ( 1)若 u= ( x)为奇函数 , y= f( u)为奇函 数 , f ( - x) = f - ( x) = f - u = - f u = - f ( x) 同理证明 ( 2)成立。 二、可微函数的导函数的奇偶性 命题 1 : 可微奇函数的导函数是偶函数 ,可微偶 函数的导函数是奇函数 证明: 设 y= f( x)是可微的奇函数。 则 f( - x)= - f( x)同时求导。 - f ( - x)= - f ( x) 即 f ( - x)= f ( x) 所以 f ( x)是偶函数。 设: y= f( x)是可微的偶函数 f ( - x )= f( x )同 时求导 - f ( - x)= f( x) f ( - x)= - f ( x) 所以 y= f (x)是奇函数 例如: y= sinx是奇函数 , (sinx) = cosx y= cosx是偶函数 命题 2 复合函数 y= f( u) , u= (x)可微 ,导函 数 ( x) , fu ( x) 对于 x来说 ,奇偶性相同。 则复 合函数的导函数 y 是偶函数 , ( x) , f u( x) 奇偶 性相异 ,则复合函数的导函数 y 是奇函数。 证明: 若 y= f ( u) , u= ( x)可导 , ( x) , fu ( x) 对 x是偶函数则: y = f u( u) ( x)= fu (x) 是两个偶函数之积 ,故 y 是偶函数。 若 ( x)与 fu( x) 奇偶性相异 ,偶函数与奇 函数之积是奇函数。 y= sinu u= x 2 复合函数 y= sinx2 y= cosx2 ux= 2x 有 cosx2是偶函数 ux= 2x是奇函数 则 y = 2x cosx2是奇函数。 三、可微函数的原函数的奇偶性 命题 3. 若函数 f(x)在区间上连续且 ( 6) 若 f( x)为奇函数 ,则 f ( x)的一切原函数 都是偶函数。(下转第 32页 ) 13 DOI: 10.16729 /ki . jhnun.2004.02.008 张雪莲 /著学习利用 Authorware制作帮助文件 制作成精美图片再输入。 6. 输入各个帮助主题的内容。 在 Help topic menu的右侧放置一显示图标 ,命名为 Over view, 双击打开 ,输入相关内容。 与此相同 ,依次创建其它 显示图标 ,并输入相应主题的内容。 7. 创建主题按钮与其内容之间的链接。双击打 开 Help topic menu群组图标 ,在 Select topic右侧 放置一导航图标 ,设置为热区响应 ,双击打开 ,进入 Navigate Icon对话框 ,从 Destination区的下拉列表 中选定 Anywhere选项 ,从弹出的图标选择窗口中 选定 Over wiew图标作为链接对象 ,单击 OK,双击 其上面的热区标志 ,在弹出的对话框中进行设置 ,响 应类型为 Hotspot,匹配方式为 Single- click,并从 显示窗口中设置热区的位置和大小。 同样设置其它 主题按钮与相应内容之间的链接。 8 、进行多级弹出窗口设置。 一个完整的帮助文 件是通常需要多级弹出窗口的 ,可分别在各个显示 图标中设置超文本链接。 至此 ,关于目录这个菜单项就制作完了。有关其 他菜单项的制作 ,读者可依次进行制作 ,由于篇幅限 制 ,这里就不多说了。 整个程序的流程图如图 3所 示。 (上接第 13页 ) ( 7) 若 f(x)为偶函数 ,则 f( x)的原函数中 ,仅 有一个为奇函数 , 证明: f( x)在区间上连续 ,它的原函数的全体表 示 F( x)= x 0f( t) dt+ c是任意常数 而 f( x)是奇函数任意 x, f( - x )= - f( x) , F( x) = x 0f( t)dt F( - x)= x 0f( t)dt+ c 令 u= - t= - x 0f( - u) du + c= x 0f( u) du+ c= F( x) 所以 f( x)的原函数的全体 F( x)为偶函数。 ( 8) f( x)是偶函数 f( - x)= f( x) F( - x)= x 0f( t)dt+ c= - x 0f( - u)du + c= - x 0f(u) du + c= - F( x)+ c 只有当 c= 0时有 F( - x)= - F( x)即 f( x)的原 函数中只有唯一的 F( x)是奇函数。 例如: f( x)= sinx为奇函数它的原函数的全体。 F(X)= x 0sintdt+ c= cosx+ c为偶函数。 f( x)= cosx为偶函数 ,它的原函数中只有 F( x ) =