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精品文库研究生“矩阵论”课程课外作业 姓名： 学号： 学院： 专业： 类别： 组数： 成绩： 人口迁移问题和航班问题(重庆大学 机械工程学院，机械传动国家重点实验室)摘要：随着人类文明的进程，一些关于数学类的问题越来越贴近我们的生活，越发觉得数学与我们息息相关。本文将利用矩阵理论的知识对人口迁移问题和航班问题进行分析。人口迁移问题 假设有两个地区如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：NS0.50.250.50.75 问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？解 设年后北方和南方的人口分别为和， 我们假设最初北方有人，南方有人。则我们可得，时，一年后北方和南方的人口为 (1-1)将上述方程组(1-1)写成矩阵的形式 其中 时，两年后北方和南方的人口为 依次类推下去，年后北方和南方的人口为 (1-2)现在只需求出就可得出若干年后北方和南方的人口数。下面将使用待定系数法1求 所以 矩阵的最小多项式为 设由此可得方程组 解方程组得 所以 所以由式(1-2),我们得到年后北方和南方的人口 北方: 南方:当时，得 由上面计算可以得到，如果移民过程持续下去，北方的人不会全部都到南方。最终北方的人口是移民前南北人口之和的1/3。南方人口是北方人口的两倍。结论 本文论述的南北方人口迁移问题是一个比较理想化的问题，但还是有一些实际的参考价值，通过本问题的演算过程，我们可以推论，若一个地区有人口迁出(迁出率1)，那么只要有人口迁入，则该地区始终有人口住居。航班问题 一家航空公司经营A、B、C、D和H五个城市的航线业务，其中H为中心城市。各个城市间的路线见图1。图 1假设你想从A城市飞往B城市，因此要完成这次路线，至少需要两个相连的航班，即AH和HB。如果没有中转站的话，就不得不要至少三个相连的航班。那么问题如下：(1)从A到B，有多少条路线刚好是三个相连的航班；(2)从A到B，有多少条路线要求不多于四个相连的航班。解 为了方便计算，设1、2、3、4、5分别代表A、B、C、D、H五个城市。令，其中表示城市到城市单连航班的路线条数，若表示城市到城市的单连航班有1条，若表示城市到城市的单连航班有0条2。则表示城市到城市单连航班的路线条数用矩阵表示为 令，则表示城市到城市两个相连航班的路线条数 令，则表示城市到城市三个相连航班的路线条数 令，则表示城市到城市四个相连航班的路线条数 (1)由上面的计算可得，代表从A到B刚好是三个相连的航班路线条数。 所以，从A到B，有3条路线刚好是三个相连的航班。(2)要求从A到B，不多于四个相连的航班路线条数，即是要把单个相连、两个相连、三 个相连和四个相连的全部航班路线条数加起来。 即 所以，从A到B，有11条路线不多于四个相连的航班。 参考文献1李新,何传江.矩阵理论及其应用M.重庆：重庆大学出
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