平方根（3）

1 / 17 平方根（ 3） m 课题：平方根（ 3） 教学目标 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别； 2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系； 3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力 教学难点平方根和算术平方根的联系与区别 知识重点平方根的概念和求数的平方根。 教学过程（师生活动）设计理念 思考归纳 导入概念如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？ 学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是 3 和 3.受前面知 识的影响学生可能不易想到 3 这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数注意中括号的作用 又如：，则 x 等于多少呢？ 使学生完成课本 165页的填表练习 给出平方根的概念：如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根即：如果 =a，那么 x 叫做 a 的平方根 2 / 17 求一个数的平方根的运算，叫做开平方 例如： 3 的平方等于 9， 9 的平方根是 3，所以平方与开平方互为逆运算 观察：课本 165页中的图 图中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质 让学生体验平方和开平 方的互逆关系，并根据这个关系说出1,4,9的平方根 注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数 例 1：（课本 165页的例 4）。求下列各数的平方根。 （ 1） 100（ 2）（ 3） 建议教师要规范书写格式。这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验 在等式中求出 x 的值，为填表做准备 通过填表中的 x 的值，进一步加深时 “ 两个互为相反数的平方等于同一个数 ” 的印象，为平方根的引入做准备 教学中可以引导学 生通过查阅资料等方式，了解平方根产 生发展的过程（通常称为平方根在研究有关 n 次方根的问题 时，为使各次方根的说法协调起见，常采用二次方根的说法 3 / 17 3 表示 3 和一 3 两个数这种写法学生不太习惯，在以后的教学中宜不断提到。 通过此例使学生明白平方根可以从平方运算中求得，并能规范地表述一个数的平方根这个例题也为后面探讨平方根的特征做好准备 讨论归纳 深化概念按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题： 正数的平方根有什么特点？ 0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 建议：可引导学生通过观察 =a 中的 a 和 x 的取值范围和取值个数得出 根据上面讨论得出的结果填课本 166页的表 注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另 一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到 (0 作除数的情况除外）教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点 引入符号：正数 a 的算术平方根可用表示； 正数 a 的负的平4 / 17 方根可用 -表示例如 思考：表示什么意思，这里的 x 可取什么样的数呢？ 而对于又该怎样理解呢？这里的 x 又可取什么样的数呢？通过讨论，使学生对有理数的平方根有一个全面的认识也是平方根概念的进一步深化 体验分类思想，巩固平方根概念 加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用 测试学生对平方根概念的掌握情况 应用例 2 下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。 64、 0， 如果 有要用平方根的符号来表示。 例 3：课本第 166页的例 5，求下列各式的值。 （ 1），（ 2），（ 3） （ 4）， 建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平5 / 17 方根概念的格式书写解题格式。平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根 思考：的值是多少？熟练应用平方根的概念，计算有关算式的值，是 本课的主要内容。 被开方数不是完全平方数时，可用计算器求出它的近似值 练习巩固课本第 167页的练习 小结： 1、什么叫做一个数的平方根？ 2、正数、 0、负数的平方根有什么规律？ 3、怎样求出一个数的平方根？数 a 的平方怎样表示？ 小结与作业 布置作业教科书第 167页习题第 3、 4、 7、 8、 11、 12题。 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 2、本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式 =a和已有算术 平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之 间的联系与区别，明确开平方与平方之间的互逆关系，把握了6 / 17 这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了 2、有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法 课题：立方根（ 1） 教学目标 1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根； 2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根； 3、让学生体会一个数的立方根的惟一性； 4、分清一个数的立方根与平方根的区别； 5、使学生理解 “ 两个互为相反 数的立方根的关系，即 . 6、渗透特殊一般 -特殊的思想方法。 教学难点立方根与平方根的区别。 知识重点立方根的概念和求法。 教学过程（师生活动）设计理念 情境导入（出示电热水器图片） 问题 (1)：同学们在家里或者商场里都见过电热水器，像一般家庭常用的是容积 50L的如果要生产这种容积为 50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的 2 倍，这种容器的底面直径应取多少？ 7 / 17 （学生小组讨论，并推选代表发言，教师板演） 解：设容积的底面直径为 xdm,则 2x=50 可得， 问题是什么数的立方会等于呢 ？学生百思不得其解，教师可在此处设置一个台阶，再设问：要制作一种容积为 27m3 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过程： 设这种包装箱的边长为 xm,则 =27 这就是求一个数，使它的立方等于 27. 因为 =27， 所以 x=3. 即这种包装箱的边长应为 3m.从学生生活实际中常常见到的热水器引入课题，让学生从 实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用 空间图形都是三维的，有关空间图形的计算常常涉及开立方 这个实际问题中的数量关 系的分析对于学生来说是不成 问题的，但在解决问题的过程中引入了新问题，这对学生来说是一个挑战，从而激发学生学习的兴趣 “ 什么数的立方会等于 ?” 这个问题对于学生来说 8 / 17 是难解决的，但该问题设置的目的是激发学生学习的兴趣 体会开立方与立方互为逆运算 试一试（ 1）学生回忆平方根的概念，并联系上面的问题，请学生归纳得出立方根的概念。 （ 2）学生联系开平方的概念，给出开立方的概念。联系平方根的概念，让学生根据上述问题类比地给出立方根的概念，初步体会立方根与平方根的联系与区别。 练一练 (1)请学生完成 课本第 172 页习题的第 2 题 (2)请学生口头回答以下问题： 根据立方根的意义，求下列各数的立方根： ， 64， 1， 1 体会开立方与立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求。 深入探究完成课本第 169页的探究题： (1)对于，可以进一步追问学生，除了 2 以外是否有其他的数，它的立方也等于 8呢？对于下面几个问题可以类似设问 (2)思考正数、 0、负数的立方根各有什么特点？并追问一个正数有几个立方根？一个负数有几个立方根？零的立方根是什么？（学生独立探究，再小组合作交流，给出立方根的性质） (3)尝试用符号给出数 a 的立方根的表示方法（并问 a 可以取什么数？）通过学生自己动手计算，让学生感受任何一个数都有立方根，以及一个数的立方根的惟一性。 9 / 17 巩固新知例 1（ 1）求下列各数的平方根：； 1； 0 （ 2）求下列各数的立方根。 ， 1， 0， 1， 343， 解：略 例 2 求下列各式的值 （ 1）；（ 2）；（ 3） （ 4）；（ 5）；（ 6） （ 7） 请学生思考数的平方根与数的立方根有什么区别与联系呢？（学生小组讨论后，请学生相互补充） 例 3 判断题： （ 1） 64的立方根是 =（） （ 2）是的立方根（） （ 3）（） （ 4）立方根等于它本身的数是 0 和 1（） 拓展新知： (1)学生独立研究课本第 170 页的探究题，并不妨请同学再举几个例子，探索从上面的计算结果中可以得到什么结论？ 学生自己总结出两个互为相反数的立方根的关系： ,请同学再试试看可以怎样解？ （ 2）小组学习：课本第 173 页的第 9 题，探索从上面计算结果中可以得到什么结论？让学生进一步体会立方根与平10 / 17 方根的联系与区别 例题着眼于弄清立方根的概念，因此不仅用立方的方法求 立方根，且在书写上采用了语言 叙述和符号表示相互补充的方 式，让学生学会从立方根与立方是互逆运算中寻找解题途径 学生讨论，自己体会平方根与立方根的区别。 教学中应该给予学生充分思考、讨论的时间，让他们自己探索并总结出两个互为相反数的立方根之间的关系。 小结与作业 课堂小结 1.立方根和开立方的定义 2.正数、 0、负数的立方根的特征 3.立方根与平方根的异同 布置作业课本第 172页习题第 1、 3、 5、 6 题； 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本节课的教学设 计是以人教版教材和课程标准为依据，在教学方法上突出体现了创设 情境 -提出问题 -建立模型 -解决问题的思路，在实际教学中采用了学生自主学习的教学 方式 11 / 17 1、在导入新课时，创设了一个学生生活实际中常常见到的热水器制造问题，让学生从实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用，体会学习立方根的必要性，激发学生的学习兴趣 2、在例题中做了适当的处理，把课本上的一个习题作为导入新课的引例这个实际问题中的数量关系的分析对于学生来说是不成问题的，但在解决问题的过程中引入了新问题， “ 什么数的立方会等 于？ ” ，这对学生来说是一个挑战，是一个学生只有 “ 跳一跳 ” 才能解决的问题，所以在此处铺设了一个台阶，再设置了一个学生容易解决的问题，将学生的注意力朝着开立方运算转化为立方运算的思路引导，让学生对立方运算与开立方运算之间的互逆关系有初步认识，为进一步探究新知做好准备 3、本章前两节的内容 “ 平方根 ”“ 立方根 ” 在内容安排上也有很多类似的地方，因此在教学中利用类比方法，让学生通过类比旧知识学习新知识教学中突出立方根与平方根的对比，分析它们之间的联系与区别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立 方根的理解和掌握通过独立思考，小组讨论，合作交流，学生在 “ 自主探索，合作交流 ” 中充分发挥了他们的主观能动性，感受了立方运算与开立方运算之间的互逆关系，并学会了从立方根与立方是互逆运算中寻找解题途径 12 / 17 4、在 “ 深入探究 ” 环节中讨论数的立方根的特征，以填空的方式让学生计算正数 ,0,负数的立方根，寻找它们各自的特点，通过学生讨论交流等活动，归纳得出 “ 正数的立方根是正数， 0 的立方根是 0，负数的立方根是负数 ” 的结论，这样就让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程教学中注意为学生提供一定的探索和合作交流 的空间，在探究活动的过程中发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式 5、在 “ 拓展新知 ” 环节中，让学生探讨了一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，由此可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题，让学生体会转化的思想 课题：立方根（ 2） 教学目标 1、使学生进一步理解立方根的概念， 2、并能熟练地进行求一个数的立方根的运算； 3、能用有理数估计一个无理数的大致范围， 4、使学生形成估算的意识， 5、培养学生的估算能力； 6、经历运用计算器探求数学规律的过程， 7、发展合情推理能力 。 教学难点用有理数估计一个无理的大致范围。 知识重点用有理数估计一个无理的大致范围。 13 / 17 教学过程（师生活动）设计理念 复习引新 1、判断题： 4 的平方根是 2（） 1 的立方根是 1（） 的立方根是（） 的立方根是（） 6 是 216的立方根（） 2、求下列各式的值 ；进一步理解立方根的概念，及立方根与平方根的区别。 讨论问题：有多大呢？ （这里可以让学生回忆前面学习过程中讨论有多大时的方法）。 学生小组讨论，并交流学方法。 因为， 所以 因为， 所以 因为， 所以 如此循环下去，可以得到更精确的的近似值，它是一个无限不循环小数， =一 3 68403149 事实上，很多有理数的立14 / 17 方根都是无限不循环小数我们用有理数近似地表示它们这里在提出问题后，让学生回忆：在前一节课讨论 “ 有多大 ” 的方法，目的是让学生从中类比解决新问题。 立方与开立方是互逆运算，以此可以些数的立方根。 让学生经历这个估计的过程，不仅估算出有多大，培养学生的估算能力，同时也理解是无限不循环小数这个事实。 自主学习 1、利用计算器来求一个数的立方根，并完成课本第 171页的练习 2. （学生利用计算器的说明书独立学习对于一些暂时还没有学会的学生，可以采用同学之间互帮互学的方式解决） 2、学生解决上节课未解决的一个问题，简单回忆：如果要生产这种容积为 50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的 2 倍，这种容器的底面直径应取多少？（结果保留两个有效数字） 解：略在教学中，鼓励学生自己探索计算器的用法。 通过计算器的使用，解决了上节课未能解决的一个问题。 探一探，说一说 1、利用计算器计算， 2、并将计算结果填在表中， 3、你发现了什么吗？你能说说其中的 道理吗？ 15 / 17 2、用计算器计算（结果个有效数字）。并利用你发现的规律说出， 的近似值。计算器的使用可以使学生从繁杂的运算中解放出来，将更的精力放在更有意义的活动，如探索规律的问题，引导学生注意观察被开方数与立方根的小数点的位置移动有无规律。 小结与作业 布置作业必做：课本第 172页第 4、 8 题； 选做：课本第 173 页第 10、 11题。 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本节课是立方根教学的第二节，主要采用学生自主 学习的方式进行 在教学设计中，设计了一个 “ 有多大？ 的问题，因为学生在学习平方根时已经接触了的大小的问题，这里在提出问16 / 17 题后让学生回忆讨论 “ 有多大 ” 时的方法，目的是让学生从中类比解决新问题，在教学中让学生经历这个估计的