高一平面向量知识总结

1 / 64 高一平面向量知识总结 高中数学必修 4之平面向量 一 .向量的基本概念与基本运算 ? 向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a,b,c?来表示，或用有向线段的起点与终 ? 点的大写字母表示，如： AB AB， a；坐标表示法 a?xi?yj?(x,y) 向 ? 量的大小即向量的模，记作 |AB|即向量的大小，记作 a 2 / 64 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ? 0 与任意向量平行零向量 a 0? 零向量：长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， ? a由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量，故在有关向量平行的 问题中务必看清楚是否有 “ 非零向量 ” 这个条件 单位向量：模为 1个单位长度的向量 向量 a0为单位向量 ? a0 ? 平行向量：方向相同或相反的非零向量 ? 线上 ab( 即自 3 / 64 由向量 ) 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的 “ 共线 ” 与几何中的 “ 共线 ” 、的含义，要理解好平行向量中的“ 平行 ” 与几何中的 “ 平行 ” 是不一样的 ? 相等向量： a?b 大 小相等，方向相同 (x1,y1)?(x2,y2)? ?x1?x2 ?y1?y2 求 两 个 向 量 和 的 运 算 叫 做 向 量 的 加法 ? 设 AB?a,BC?b，则 a+b=AB?BC=AC 4 / 64 ?0?a?a?0?a；向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那 条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ? AB?BC?CD?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连” 5 / 64 ? 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 ? 记作 ?a,零向量的相反向量仍是零向量 ? 关于相反向量有： ?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0； ? (iii)若 a、 b是互为相反向量，则 a=?b,b=?a,a+b=0? 向量减法：向量 a 加上 b的相反向量叫做 a 与 b 的差， ? 记作： a?b?a?(?b)? 6 / 64 作图法： a?b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量 ?a?a； 当 ?0时， a的方向与 a 的方向相同；当 ?0时， a的方向与 a的方向相 ? 反；当 ?0 时， ?a?0，方向是任意的 ? ? 数乘向量满足交换律、结合律与分配律 ?向量 b与非零向量 a共线 ?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a ? 如果 e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 7 / 64 ? 有一对实数 ?1,?2使： a?1e1?2e2，其中不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底特别注意 : 向量的加法与减法是互逆运算向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线，而向量平行则包括共线的情况向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的 夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它 例 1 给出下列命题： ? 若 |a| |b|，则 a=b； 8 / 64 ? 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 AB?DC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要 条件； ? 若 a=b， b=c，则 a=c， ? a=b的充要条件是 |a|=|b|且 a/b； ? 若 a/b， b/c，则 a/c， 例 2 设 A、 B、 C、 D、 O 是平面上的任意五点，试化简： ? 9 / 64 AB?BC?CD， DB?AC?BD ?OA?OC?OB?CO ? 例 3 设非零向量 a、 b不共线， c=ka+b， d=a+kb (k?R)，若 c d，试求 k 二 .平面 向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i,j ? ? 作为基底该平面内的任一向量 a 可表示成 a?xi?yj，由于 a与 ? 10 / 64 数对 (x,y)是一一对应的，因此把 (x,y)叫做向量 a的坐标，记作 a=(x,y)，其中 x 叫作 a在 x轴上的坐标， y叫做在 y(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 ? (1) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2,y1?y2? ? (2) 若 A?x1,y1?,B?x2,y2?，则 AB?x2?x1,y2?y1? ? (3) 若 a=(x,y)，则 ?a=(?x, ?y) ? (4) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a/b?x1y2?x2y1?0 ? (5) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2?y1?y2 11 / 64 ? 若 a?b，则 x1?x2?y1?y2?0 和性质 例 1 已知向量 a?(1,2),b?(x,1),u?a?2b， v?2a?b，且 u/v，求实数 x 的值 例 2已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线 AC和 OB交点 P 的坐标 三平面向量的数量积 ? 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ?，则 a b= ab cos? ? 叫做 a 与 b的数量积 规定 0?a?0?a?b 12 / 64 b cos?= R，称为向量 b在 a方向上的投影 |a| 影 ? a b等于 a的长度与 b 在 aa?a?a?|a| ? ?2 ? 2 ?2 13 / 64 ?2?2?2 a?b?a?b?a?b?a?b； ? 2 ? ? ?a?b ? ?2?2?a?2a?b?b?a 2 ?2 14 / 64 ? ?2a?b?b ? 交换律成立： a?b?b?a ? 对实数的结合律成立： ?a?b?a?b?a?b ?R? ? ? 分配律成立： a?b?c?a?c?b?c?c?a?b ? ? 15 / 64 特别注意：结合律不成立： a?b?c?a?b?c； ? ?消去律不成立 a?b?a?c? a?b=0不能 不 ?b?c? ? a=0或 b=0 ? 已 知 两 个 向 量 a?(x1,y1),b?(x2,y2) ，则a b=x1x2?y1y2?00 16 / 64 已知两个非零向量 a 与 b，作 OA=a, OB=b,则 AOB=? ? 叫做向量 a与 b的夹角 ?a?b cos?=cos?a,b?= a?b x1x2?y1y2 x1?y1? 2 2 x2?y2 22 17 / 64 ?00 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时， =0，当且仅当 a与 b 反方向时 =180，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ?0 如果 a 与 b的夹角为 90则称 a与 b 垂直，记作 a b 10两个非零向量垂直的充要条件： ? a b?a b O?x1x2?y1y2? 例 1 判断下列各命题正确与否： ? 0?a?0； 0?a?0； ? 若 a?0,a?b?a?c，则 b?c； 18 / 64 ? 若 a?b?a?c，则 b?c当且仅当 a?0时成立； ?(a?b)?c?a?(b?c)a 对任意 ,b,c 向量都成立； 高中数学必修 4之平面向量 知识点归纳 一 .向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ?零向量：长度为 0的向量，记为 0，其方向是任意的， 0与任意向量平行 单位向量：模为 1平行向量：方向相同或相反的非零向量 相 等 向 量 ： 长 度 相 等 且 方 向 相 同 的 向量 ?2、向量加法：设 AB?a,BC?b，则 a+b=AB?BC=AC0?a?a?0?a；向量加法满足交换律与结合19 / 64 律； ? ? AB?BC?CD?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连” ?3、向量的减法： 相反向量：与 a长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 ?向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，作图法： a?b可以表示为从 b的终点指向 a的终点 ?的向量 4、实数与向量的积：实数与向量 a的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下： ?a?a； 当 ?0时， a的方向与 a 的方向相同；当 ?0时， a的方向与 a的方向 ? ?相反；当 ?0时， ?a?0，方向是任意的 ?5、两个向量共线定理：向量 b与非零向量 a 共线 ?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a6、平面向量的基本定理：如果 e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 ?1,?2 使：a?1e1?2e2，其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面20 / 64 内所有向量的一组基底 ? 二 .平面向量的坐标表示 ?1a 可表示成 a?xi?yj，记作a=(x,y)。 2 ?(1) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2? ，则a?b?x1?x2,y1?y2? ?(2) 若 A?x1,y1?,B?x2,y2? ，则AB?x2?x1,y2?y1? (3) 若 a=(x,y)，则 ?a=(?x, ?y) ? ?(4) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2? ，则a/b?x1y2?x2y1?0 ?(5) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2? ，则a?b?x1?x2?y1?y2 ?若 a?b，则 x1?x2?y1?y2?0 三平面向量的数量积 1 21 / 64 ?已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ?，则 a b= a b cos? ?叫做 a与 b的数量积规定 0?a?0?a?b2 向量的投影 ： b cos?= R，称为向量 b 在 a 方向上的投影|a|?3 a b等于 a的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4a?a?a2?|a|2? 5 ? ?a?b?a?2a?b?b22?2?2?2?2a?b?a?b?a?b?a?b； 2?2?2?a?2a?b?b 6 ?交换律成立： a?b?b?a ? 对 实 数 的 结 合 律 成立： ?a?b?a?b?a?b?R? ? ? 分 配 律 成22 / 64 立： ?a?b?c?a?c?b?c?c?a?b? ?特别注意：结合律不成立： a?b?c?a?b?c； ?消去律不成立 a?b?a?c 不能 ?a?b=0 不能 ?b?c? ?a=0 或 b=07 ? 已 知 两 个 向 量 a?(x1,y1),b?(x2,y2) ，则a b=x1x2?y1y?008 已知两个非零向量 a与 b，作 OA=a, OB=b,则 AOB=? 叫做向量 a 与 b的 夹角 ?x1x2?y1y2?a?bcos?=cos?a,b?=2222a?bx1?y1?x2?y2 ?00 当且仅当两个非零向量 a 与 b同方向时，=0，当且仅当 a与 b 反方向时 =180，同时 0 与其它任何非零向量 之间不谈夹角这一问题 ?09a 与 b 的夹角为 90 则称 a与 b 垂直，记作 a b： 23 / 64 ?a b?a b O?x1x2?y1y2? 高中数学必修 4之平面向量 知识点归纳 一 .向量的基本概念与基本运算 1 向量的概念： ? 向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a,b,c?来表示，或用有向线段的起点与终 ? 点的大写字母表示，如： AB， a；坐标表示法 a?xi?yj?(x,y 向 ? 24 / 64 量的大小即向量的模，记作 |ABa 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ? 零向量：长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0与任意向量平行 a 0? ? a由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量，故在有关向量平行 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 单位向量：模为 1向量 a0为单位向量 ? a0 ? 平行向量：方向相同或相反的非零向量 ? 线上 a b(即 25 / 64 自由向量 ) 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ? 相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后 总 可 以 重 合 ， 记 为 a?b(x1,y1)?(x2,y2)?2 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量 的加法 ?x1?x2 y?y2?1 ? 设 AB?a,BC?b，则 a+b=AB?BC=AC 26 / 64 ?0?a?a?0?a；向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ? AB?BC?CD?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连” 3 向量的减法 27 / 64 ? 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a? 记作 ?a,零向量的相反向量仍是零向量 ? 关于相反向量有： ?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0； ? (iii)若 a、 b是互为相反向量，则 a=?b,b=?a,a+b=0 ? 向量减法：向 量 a 加上 b的相反向量叫做 a 与 b 的差， ? 记作： a?b?a?(?b? 28 / 64 作图法： a?b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量4 实数与向量的积： ? 实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下： ?a?a； 当 ?0时， a的方向与 a 的方向相同；当 ?0时， a的方向与 a的方向相 ? ? ? 反；当 ?0 时， ?a?0，方向是任意的 数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定29 / 64 理： ? 向量 b与非零向量 a 共线 ?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a 6 平面向量的基本定理： 如果 e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 ?1,?2 使：a?1e1?2e2，其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注 意 : 向量的加法与减法是互逆运算相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线，而向量平行则包括共线的情况向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算往往会 与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 30 / 64 ? ? 例 1 给出下列命题： ? 若 |a| |b|，则 a=b； ? 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 AB?DC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要 条件； ? 若 a=b， b=c，则 a=c， ? 31 / 64 a=b的充要条件是 |a|=|b|且 a/b； ? 若 a/b， b/c，则 a/c， 解：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 ? 正确 AB?DC， |AB|?|DC|且 AB/DC， 又 A， B， C， D是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD ?为平行四边形，则， AB/DC 且|AB|?|DC|， ?因此， AB?DC ? 正确 a=b， a， b 的长度相等且方向相同； 32 / 64 ? 又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， ? a， c 的长度相等且方向相同，故 a c ? 不正确当 a/b 且方向 相反时，即使 |a|=|b|，也不能得到 a=b，故 |a|=|b| ? 且 a/b不是 a=b的充要条件，而是必要不充分条件 ? 不正确考虑 b=0这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是 33 / 64 点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活 中的模型进行类比和联想 例 2 设 A、 B、 C、 D、 O 是平面上的任意五点，试化简： ? AB?BC?CD， DB?AC?BD ?OA?OC?OB?CO ? 解：原式 = (AB?BC)?CD?AC?CD?AD ? 原式 = (DB?BD)?AC?0?AC?AC ? 原式 = (OB?OA)?(?OC?CO)?AB?(OC?CO)?AB?0?AB ? 34 / 64 例 3 设非零向量 a、 b不共线， c=ka+b， d=a+kb (k?R)，若 c d，试求 k? 解： c d ? 由向量共线的充要条件得： c = d ( ?R) ? aaa即 k+b= (+kb) (k? ) + (1? k) b = 0 ? 又 a、 b不共线 由平面向量的基本定理 ? ?k?0 ?k?1 35 / 64 1?k?0? 二 .平面向量的坐 标表示 ? 1 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底该平面内的任一向量 a 可表示成 a?xi?yj，由于 a与 ? ? ? 数对 (x,y)是一一对应的，因此把 (x,y)叫做 向量 a的坐标，记作 a=(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相36 / 64 等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算： ? ? (1) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2,y1?y2? ? (2) 若 A?x1,y1?,B?x2,y2?，则 AB?x2?x1,y2?y1? (3) 若 a=(x,y)，则 ?a=(?x, ?y) ? ? (4) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a/b?x1y2?x2y1?0 ? (5) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2?y1?y2 37 / 64 ? 若 a?b，则 x1?x2?y1?y2?0 和性质 例 1 已知向量 a?(1,2),b?(x,1),u?a?2b， v?2a?b，且 u/v，求实数 x 的值 ? 解：因为 a?(1,2),b?(x,1),u?a?2b， v?2a?b ? 所以 u?(1,2)?2(x,1)?(2x?1,4)， v?2(1,2)?(x,1)?(2?x,3) ?又因为 u/v 所以 3(2x?1)?4(2?x)?0，即 10x?5 1 38 / 64 解得 x? 2 例 2已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线 AC和 OB交点 P 的坐标 ? 解：设 P(x,y)，则 OP?(x,y),AP?(x?4,y) 因为 P是 AC与 OB的交点 所以 P在直线 AC上，也在直线 OB上 ?即得 OP/OB,AP/AC ? 由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6)得， AC?(?2,6),OB?(4,4) 平面向量 一 .向量的基本概念与基本运算 39 / 64 ? 向量： a,b,c?来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如： AB AB， a；坐标表示法 a?xi?yj?(x,y向 ? 量的大小即向量的模，记作 |ABa? 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ? a零向量：长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0 0? a由于 0的方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量，故在有关向量平行 40 / 64 ? 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 单位向量：模为 1向量 a0为单位向量 ? a0 ? 平行向量： ? a b(即 自由向量 )? 相等向量： a?b 小相等，方向相同 (x1,y1)?(x2,y2)? ?x1?x2 ?y1?y2 设 AB?a,BC?b，则 a+b=AB?BC=AC? ?0?a?a?0?a；向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平 行四边形法则”： 41 / 64 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB?BC?CD? ?PQ?QR?AR，但这时必 (来自 : 海达范文网 :高一平面向量知识总结 )须“首尾相连” 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 ? 记作 ?a,? ? 关于相反向量有： ?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0； 42 / 64 ? (iii)若 a、 b是互为相反向量，则 a=?b,b=?a,a+b=0? 向量减法：向量 a 加上 b的相反向量叫做 a 与 b 的差， ? 记作： a?b?a?(?b? 作图法： a?b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量 ?a?a； 当 ?0时， a的方向与 a 的方向相同；当 ?0时， a的方向与 a的方向 ? ? ? 43 / 64 相反；当 ?0时， ?a?0 ? 向量 b与非零向量 a 共线 ?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a 如果 e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 ?1,?2 使：a?1e1?2e2，其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有 ? ? ? 特别注意 : 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线，而向量平行则包括共线向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 二 .平面向量的坐标表示 44 / 64 在直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可表示成a?xi?yj，由于 a 与数对 (x,y)是一一对应的，因此把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a=(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y(1)(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位 置无关，只与其相对位 (1) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2,y1?y2? (2) 若 A?x1,y1?,B?x2,y2? ，则 AB?x2?x1,y2?y1? (3) 若a=(x,y)，则 ?a=(?x, ?y) (4) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a/b?x1y2?x2y1?0 (5) 若a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2?y1?y2 若 a?b，则 x1?x2?y1?y2?0 及其各运算的坐标表示和性质 三平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ?，则 a b= a45 / 64 b cos?叫做 a与 b 的规定 0?a? b cos?= a?b R，称为向量 b在 a|a| a b等于 a的长度与 b 在 aa?a?a2?|a|2 ?a?b?a?b?a?b?a?b； ?a?b?a?2a?b?b?a?2a?b?b 2 2 2 2 2 2 46 / 64 2 2 2 交换律成立： a?b?b?a ?R? 分配律成立： ?a?b?c?a?c?b?c?c?a?b? 特别注意：结合律不成立： a?b?c?a?b?c； 对实数的结合律成立： ?a?b?a?b?a?b 消去律不成立a?b?a?c 不能得到 b?c? ? a?b=0不能得到 a=0 或 b= 47 / 64 已知两个向量 a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则 a b=x1x2?y1y 已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA=a, OB=b,则 AOB=? 叫做向量 a与 bcos?=cos?a,b? a?ba?b = x1x2?y1y2x1?y1?x2?y2 2222 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时， =0，当且仅当 a与 b 反方向时 =180，同时 0 与 ：如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直，记作 a b0 48 / 64 ： ? a b?a b O?xx?yy? 1212 题型 1.基本概念判断正误： 共线向量就是在同一条直线上的向量 . 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 . 与已知向量共线的单位向量是唯一的 . 四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 AB?CD. 若 AB?CD，则 A、B、 C、 D 四点构成平行四边形 . 因为向量就是有向线段，所以数轴是向量 . 若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a与 c 共线 . 若 ma?mb，则 a?b. 高中数学必修 4 平面向量 49 / 64 知识点归纳 一 .向量的基本概念与基本运算 1 向量的概念： ? 向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a,b,c?来表示，或用有向线段的起点与终 ? 点的大写字母表示，如： AB， a；坐标表示法 a?xi?yj?(x,y 向 ? 量的大小即向量的模，记作 |ABa 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 50 / 64 ? 零向量：长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0与任意向量平行 a 0? ? a由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量，故在有关向量平行 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 单位向量：模为 1向量 a0为单位向量 ? a0 ? 平行向量：方向相同或相反的非零向量 ? 线上 a b(即 自由向量 ) 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，51 / 64 起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ? 相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后 总 可 以 重 合 ， 记 为 a?b(x1,y1)?(x2,y2)?2 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 ?x1?x2 y?y2?1 ? 设 AB?a,BC?b，则 a+b=AB?BC=AC ?0?a?a?0?a；向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： 52 / 64 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的 终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ? AB?BC?CD?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连” 3 向量的减法 ? 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a? 53 / 64 记作 ?a,零向量的相反向量仍是零向量 ? 关于相反向量有： ?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0； ? (iii)若 a、 b是互为相反向量，则 a=?b,b=?a,a+b=0 ? 向量减法：向量 a 加上 b的相反向量叫做 a 与 b 的差， ? 记作： a?b?a?(?b? 作图法： a?b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量4 实数与向量的积： ? 54 / 64 实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它 的长度与方向规定如下： ?a?a； 当 ?0时， a的方向与 a 的方向相同；当 ?0时， a的方向与 a的方向相 ? ? ? 反；当 ?0 时， ?a?0，方向是任意的 数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线 定理： ? 55 / 64 向量 b与非零向量 a 共线 ?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a 6 平面向量的基本定理： 如果 e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 ?1,?2 使：a?1e1?2e2，其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意 : 向量的加法与减法是互逆运算相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线，而向量平行则包括共线的 情况向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 ? ? 56 / 64 例 1 给出下列命题： ? 若 |a| |b|，则 a=b； ? 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 AB?DC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要 条件； ? 若 a=b， b=c，则 a=c， ? a=b的充 要条件是 |a|=|b|且 a/b； ? 若 a/b， b/c，则 a/c， 57 / 64 解：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 ? 正确 AB?DC， |AB|?|DC|且 AB/DC， 又 A， B， C， D是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD ?为平行四边形，则， AB/DC 且|AB|?|DC|， ?因此， AB?DC ? 正确 a=b， a， b 的长度相等且方向相同； ? 又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， 58 / 64 ? a， c 的长度相等且方向相同，故 a c ? 不正确当 a/b 且方向