高中数学平面向量知识点总结

1 / 67 高中数学平面向量知识点总结 高中数学必修 4之平面向量 知识点归纳 一 .向量的基本概念与基本运算 1 向量的概念： ? 向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a,b,c?来表示，或用有向线段的起点与终 ? 点的大写字母表示，如： AB， a；坐标表示法 a?xi?yj?(x,y 向 ? 2 / 67 量的大小即向量的模，记作 |ABa 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ? 零向量：长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0与任意向量平行 a 0? ? a由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量，故在有关向量平行 的问题中务必看清楚是否有 “ 非零向量 ” 这个条件 单位向量：模为 1向量 a0为单位向量 ? a0 ? 平行向量：方向相同或相反的非零向量 ? 3 / 67 线上 ab( 即 自由向量 ) 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的 “ 共线 ” 与几何中的 “ 共线 ” 、的含义，要理解好平行向量中的“ 平行 ” 与几何中的 “ 平行 ” 是不一样的 ? 相等向量： 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后 总 可 以 重 合 ， 记 为 a?b 小 相 等 ， 方 向 相 同(x1,y1)?(x2,y2)?2 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 ?x1?x2 y?y2?1 ? 设 AB?a,BC?b，则 a+b=AB?BC=AC 4 / 67 ?0?a?a?0?a；向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有 “ 三角形法则 ” 与 “ 平行四边形法则 ” ： 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 三角形法则的特点是 “ 首尾相接 ” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量 的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ? AB?BC?CD?PQ?QR?AR，但这时必须 “ 首尾相连 ” 3 向量的减法 5 / 67 ? 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a? 记作 ?a,零向量的相反向量仍是零向量 ? 关于相反向量有： ?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0； ? (iii)若 a、 b是互为相反向量，则 a=?b,b=?a,a+b=0 ? 向量减法：向量 a 加上 b的相反向量叫做 a 与 b 的差， ? 记作： a?b?a?(?b? 6 / 67 作图法： a?b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量4 实数与向量的积： ? 实数 与向量 a 的积 是一个向量，记作 a ，它的长度与方向规定如下： ?a?a； 当 ?0时， a 的方向与 a 的方向相同；当 ?0时， a 的方向与 a的方向相 ? ? ? 反；当 ?0 时， ?a?0，方向是任意的 7 / 67 数乘向量满足交换律、结合 律与分配律 5两个向量共线定理： ? 向量 b与非零向量 a 共线 ?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a 6 平面向量的基本定理： 如果 e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 ?1,?2 使：a?1e1?2e2，其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意 : 向量的加法与减法是互逆运算相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线 ，而向量平行则包括共线的情况向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算往往会与三角函数、数列、不等8 / 67 式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 ? ? 例 1 给出下列命题： ? 若 |a| |b|，则 a=b； ? 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 AB?DC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要 条件； ? 若 a=b， b=c，则 a=c， ? 9 / 67 a=b 的充要条件是 |a|=|b|且 a/b； ? 若 a/b， b/c，则 a/c， 解： 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 ? 正确 AB?DC ， |AB|?|DC| 且 AB/DC， 又 A， B， C， D是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD ?为平行四边形，则， AB/DC 且|AB|?|DC|， ?因此， AB?DC ? 10 / 67 正确 a=b ， a ， b 的长度相等且方向相同； ? 又 b c， b ， c 的长度相等且方向相同， ? a ， c 的长度相等且方向相同，故 a c ? 不正确当 a/b 且方向相反时，即使 |a|=|b|，也不能得到 a=b，故 |a|=|b| ? 且 a/b不是 a=b的充要条件，而是必要不充分条件 ? 不正确考虑 b=0这种特殊情况 综上所述，正确 命题的序号是 11 / 67 点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想 例 2 设 A、 B、 C、 D、 O 是平面上的任意五点，试化简： ?AB?BC?CD， DB?AC?BD ?OA?OC?OB?CO ? 解： 原式 = (AB?BC)?CD?AC?CD?AD ? 原式 = (DB?BD)?AC?0?AC?AC ? 原式 = (OB?OA)?(?OC?CO)?AB?(OC?CO)?AB?0?AB ? 12 / 67 例 3设非零向量 a、 b不共线， c=ka+b， d=a+kb (k?R)，若 cd ，试求 k? 解： cd ? 由向量共线的充要条件得： c =d (?R) ? aaa即 k+b=(+kb) (k?) + (1?k) b = 0 ? 又 a 、 b不共线 由平面向量的基本定理 ? ?k?0 13 / 67 ?k?1 1?k?0? 二 .平面向量的坐标表示 ? 1 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底该平面内的任一向量 a 可表示成 a?xi?yj，由于 a与 ? ? ? 数对 (x,y)是一一对应的，因此把 (x,y)叫做向量 a的坐标，记作 a=(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y14 / 67 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算： ? ? (1) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2,y1?y2? ? (2) 若 A?x1,y1?,B?x2,y2?，则 AB?x2?x1,y2?y1? (3) 若 a=(x,y)，则 ?a=(?x, ?y) ? ? (4) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a/b?x1y2?x2y1?0 ? 15 / 67 (5) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2?y1?y2 ? 若 a?b，则 x1?x2?y1?y2?0 和性质 例 1 已知向量 a?(1,2),b?(x,1),u?a?2b， v?2a?b，且 u/v，求实数 x 的值 ? 解：因为 a?(1,2),b?(x,1),u?a?2b， v?2a?b ? 所以 u?(1,2)?2(x,1)?(2x?1,4)， v?2(1,2)?(x,1)?(2?x,3) ?又因为 u/v 所以 3(2x?1)?4(2?x)?0，即 10x?5 1 16 / 67 解得 x? 2 例 2已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线 AC和 OB交点 P 的坐标 ? 解：设 P(x,y)，则 OP?(x,y),AP?(x?4,y) 因为 P是 AC与 OB的交点 所以 P在直线 AC上，也在直线 OB上 ?即得 OP/OB,AP/AC ? 由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6)得， AC?(?2,6),OB?(4,4) 平面向量 一 .向量的基本概念与基本运算 17 / 67 ? 向量： a,b,c?来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如： AB AB， a；坐标表示法 a?xi?yj?(x,y向 ? 量的大小即向量的模，记作 |ABa? 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ? a零向量：长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0 0? a由于 0的 方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量，故在有关向量平行 18 / 67 ? 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 单位向量：模为 1向量 a0为单位向量 ? a0 ? 平行向 量： ? a b(即 自由向量 )? 相等向量： a?b 小相等，方向相同 (x1,y1)?(x2,y2)? ?x1?x2 ?y1?y2 设 AB?a,BC?b，则 a+b=AB?BC=AC? ?0?a?a?0?a；向量加法满足交换律与结合律； 19 / 67 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第 一个向量的起点指向最后一个向量的终点的当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB?BC?CD? ?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连” 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量 ? 记作 ?a,? ? 关于相反向量有： ?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0； 20 / 67 ? (iii)若 a、 b是互为相反向量，则 a=?b,b=?a,a+b=0? 向量减法：向量 a 加上 b的相反向量叫做 a 与 b 的差， ? 记作： a?b?a?(?b? 作图法： a?b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量 ?a?a； 当 ?0时， a的方向与 a 的方向相同；当 ?0时， a的方向与 a的方向 ? ? ? 21 / 67 相反；当 ?0时， ?a?0 ? 向量 b与非零向量 a 共线 ?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a 如果 e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 ?1,?2 使：a?1e1?2e2，其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有 ? ? ? 特别注意 : 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线，而向量平行则包括共线向量的坐标与表 示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 二 .平面向量的坐标表示 22 / 67 在直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 量的基本定理知，该平面内的任 一向量 a 可表示成a?xi?yj，由于 a 与数对 (x,y)是一一对应的，因此把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a=(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y(1)(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位 (1) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2,y1?y2? (2) 若 A?x1,y1?,B?x2,y2? ，则 AB?x2?x1,y2?y1? (3) 若a=(x,y)，则 ?a=(?x, ?y) (4) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a/b?x1y2?x2y1?0 (5) 若a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2?y1?y2 若 a?b，则 x1?x2?y1?y2?0 及其各运算的坐标表示和性质 三平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ?，则 a b= a23 / 67 b cos?叫做 a与 b 的规定 0?a? b cos?= a?b R，称为向量 b在 a|a| a b等于 a的长度与 b 在 aa?a?a2?|a|2 ?a?b?a?b?a?b?a?b； ?a?b?a?2a?b?b?a?2a?b?b 2 2 2 2 2 2 24 / 67 2 2 2 交换律成立： a?b?b?a ?R? 分配律成立： ?a?b?c?a?c?b?c?c?a?b? 特别注意：结合律不成立： a?b?c?a?b?c； 对 实数的结合律成立： ?a?b?a?b?a?b 消去律不成立a?b?a?c 不能得到 b?c? ? a?b=0不能得到 a=0 或 b= 25 / 67 已知两个向量 a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则 a b=x1x2?y1y 已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA=a, OB=b,则 AOB=? 叫做向量 a与 bcos?=cos?a,b? a?ba?b = x1x2?y1y2x1?y1?x2?y2 2222 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时， =0，当且仅当 a与 b 反方向时 =180，同时 0 与 ：如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直，记作 a b0 26 / 67 ： ? a b?a b O?xx?yy? 1212 题型 1.基本概念判断正误： 共线向量就是在同一条直线上的向量 . 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 . 与已知向量共线的单位向量是唯一的 . 四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 AB?CD. 若 AB?CD，则 A、B、 C、 D 四点构成平行四边形 . 因为向量就是有向线段，所以数轴是向量 . 若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a与 c 共线 . 若 ma?mb，则 a?b. 高中数学必修 4之平面向量 27 / 67 一 .向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ? 零向量：长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0与任意向量平行 单位向量：模为 1平行向量：方向相同或相反的非零向量相等向量：长度相等且方向相同的向量 ? 2 、 向 量 加 法 ： 设 AB?a,BC?b ，则a+b=AB?BC=AC?0?a?a?0?a；向 量加法满足交换律与结合律； ? AB?BC?CD?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连” 28 / 67 ? 3、向量的减法： 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量 ? 向量减法：向量 a 加上 b的相反向量叫做 a 与 b 的差，作图法： a?b可以表示为从 b的终点指向 a的终点 ? 的向量 4、实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下： ?a?a； 当 ?0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 ?0时， a的方向与 a 的方向 ? ? 29 / 67 ? ? 相反；当 ?0时， ?a?0，方向是任意的 ? 5、两个向量共线定理：向量 b与非零向量 a共线 ?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a6、平面向量的基本定理：如果 e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 ?1,?2 使： a?1e1?2e2，其中 不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ? ? 二 .平面向量的坐标表示 ? 1a可表示成 a?xi?yj，记作 a=(x,y)。 30 / 67 2 平面向量的坐标运算： ? (1) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2,y1?y2? ? (2) 若 A?x1,y1?,B?x2,y2?，则 AB?x2?x1,y2?y1? (3) 若 a=(x,y)，则 ?a=(?x, ?y) ? ? (4) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a/b?x1y2?x2y1?0 ? (5) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2?y1?y2 ?若 a?b，则 x1?x2?y1?y2?0 31 / 67 三平面向量的数量积 1 ? 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ?，则 a b= ab cos? ? a 叫 做与 b 的数量积规定 0?a?0?a?b 2 向量的投影： b cos?= R，称为向量 b在 a |a| ? 3 a b 等于 a 的长度与 b 在 a4a?a?a2?|a|2? 5 ?a?b?a?2a?b?b 2 32 / 67 2 ?2?2?2?2 a?b?a?b?a?b?a?b； 2 ?2?2?a?2a?b?b 6 ? 交换律成立： a?b?b?a ? 对实数的结合律成立： ?a?b?a?b?a?b?R? ? 33 / 67 ? 分配律成立： ?a?b?c?a?c?b?c?c?a?b? ? 特别注意：结 合律不成立： a?b?c?a?b?c； ? 消去律不成立 a?b?a?c不能得到 b?c? ? a?b=0不能得到 a=0 或 b=0? 7 ? 已 知 两 个 向 量 a?(x1,y1),b?(x2,y2) ，则34 / 67 a b=x1x2?y1y2?00 8a与 b，作 OA=a, OB=b,则 AOB=? 叫做向量 a 与 b 的夹角 ?a?b cos?=cos?a,b? a?b?00 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时， =0，当且仅当 a与 b 反方向时 =180，同时 0 与其它任何非零向量 之间不谈夹角这一问题 ?0 9a与 b 的夹角为 90则称 a与 b 垂直，记作 a b： ? 35 / 67 a b?a b O?x1x2?y1y2? 平面向量 知识点归纳 一 .向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ? 零向量：长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的， 0与任意向量平行 单位向量：模为 1 个单位长度的向量平行向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量 ? 2、向量加 法：设 AB?a,BC?b，则 a+b=AB?BC=AC ?0?a?a?0?a；向量加法满足交换律与结合律； 36 / 67 ? AB?BC?CD?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连” ? 3、向量的减法： 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a? 向量减法：向 量 a 加上 b的相反向量叫做 a 与 b 的差，作图法： a?b可以表示为从 b的终点指向 a的终点 ? 的向量 ? 4、实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长 度与方向规定如下： ? ?a?a； 当 ?0 时， a 的方向与 a 的方向相同；37 / 67 当 ?0时， a的方向与 a 的方向 ? 相反；当 ?0时， ?a?0，方向是任意的 ? 5、两个向量共线定理：向量 b与非零向量 a共线 ?有且只有一个实数 ?，使得 b=?a? 6、平面向量的基本定理：如果 e1,e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这 一平面内的任一向量 a，有且只 ? 有一对实数 ?1,?2使： a?1e1?2e2，其中不共线的向量 e1,e2 二 .平面向量的坐标表示 ? 1a可表示成 a?xi?yj，记作 a=(x,y)。 2 38 / 67 ? (1) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2,y1?y2? ? (2) 若 A?x1,y1?,B?x2,y2?，则 AB?x2?x1,y2?y1? (3) 若 a=(x,y)，则 ?a=(?x, ?y) ? (4) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a/b?x1y2?x2y1?0 ? (5) 若 a?x1,y1?,b?x2,y2?，则 a?b?x1?x2?y1?y2 ? 若 a?b，则 x1?x2?y1?y2?0 39 / 67 ? 三平面向量的数量积 1 ? 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ?，则 a b= ab cos? ? 叫做 a 与 b的数量积规定 0?a?0?a?b 2b cos?= R，称为向量 b在 a投影的绝对值称为射影 |a| ? aa3数量积的几何意义： b等于的长度与 b 在 a 方向上的40 / 67 投影的乘积 ?2?2 4a?a?a?|a|5 ?2?2a?b?a?b?a?b?2?2?2a?b?a?2a?b?b? ? ? ?2 ?2 a?b； ?2?2a?2a?b?b 6 ? 交换律成立： a?b?b?a 41 / 67 ? 对实数的结合律成立： ?a?b?a?b?a?b ?R? ? 分配律成立： a?b?c?a?c?b?c?c?a?b ? 特别注意：结合律不成立： a?b?c?a?b?c； ? 消去律不成立 a?b?a?c不能 b?c? ? 42 / 67 a=0或 b=0a?b=0 不能 ? ? 7 ? 已知两个向量 a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则 a b=x1x2?y1(转 载 于 : 海 达 范 文 网 : 高 中 数 学 平 面 向 量 知 识 点 总结 )y2?00 8 已知两个非零向量 a 与 b，作 OA=a, OB=b,则 AOB=? 叫做向量 a 与 b的夹角 ?a?b cos?=cos?a,b? a?b?00 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时， =0，当且仅当 a43 / 67 与 b 反方向时 =180，同时 0 与其它任何非零向量 之间不谈夹角这一问题 ?0 9 垂直：如果 a与 b 的夹角为 90则称 a 与 b垂直，记作 ab10： ? a b?a b O?x1x2?y1y2? 空间向量与立体几何 1、空间向量及其运算： ? 空间中的平行条件： a/bb?0?x?R,a?xb ? 空间中的共面条件： a,b,c 共面 ?x,y?R,a?xb?yc ? 44 / 67 OC 推论：对于空间任一点和不共线三点 A、 B、，OP?xOA?yOB?zOC ?x?y?z?1?，则四点 O、 ? A、 B、 C共面 空间向量分解定理：如果三个向量 a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p?xa?yb?zc 空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算 ? 若 a?x1,y1,z1?,b?x2,y2,z2? ， 则 ：a?b?x1?x2,y1?y2,z1?z2? ? ?a?x1,?y1,?z1? a?b?1x2 zx?1y2y?1z 注 1：数量积不满足结合律； 注 2：空间中的基底要求不共面。 2、空间向量在立体几何证明中的应用： 45 / 67 ? 证明 AB/CD，即证明 AB/CD ? 证明 AB?CD，即证明 AB?CD?0 ? ? AB/?证明，即证明 AB 垂直于平面的法向量或证明 AB 与平面内的基底共面； ? 证明 AB?，即证明 AB平行于平面的法向量或证明 AB垂直于平面内的两条相交的直线所对应的 向量； 证明两平面 ?/?，即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面； 46 / 67 证明两平面 ?，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。 平面向量真题集训 XX年 已知平面上直线 l 的方向向量 e?(? ? ?43 ,)，点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O1和A1，则 O1A1 ?e， 55 其中 ? 1111 47 / 67 2 2 55 XX 年 8. 已知点 A， BC A. 2 B. C. 3 D. ， 0） .设 BAC的平分线 AE 与 BC相交于 E，那么有 ? x 已知向量 a，向量 b，且 a/b,则 x ( ) 48 / 67 9 (B)6 (C)5 (D)3 XX年 XX年 ?1? CD?CA?CB，则 ? 5在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD?2DB， 3 2112A B C ? D ? 3333 2016年 6. 已知向量 a?2,1?,a?b?10,|a?b|?|b|? A. 49 / 67 B. D. 25 2016年 uuruuruuur ABC中，点 D在 AB上， CD平方 ?ACB若 CB?a， CA?b， a?1，b?2，则 CD? 13 a? 23 b 23 a? 50 / 67 13 b 35 a? 45 b 45 a? 35 b 2016年 51 / 67 ?1 设向量 a、 b 满足 a?b?1， a?b?,则 a?2b? 2 直线与直线的位置关系，不重合的两条直线 a,b的方向向量分别为 a ,b. 若 a b,即 a= b,则 a b. 若 a b,即 a b = 0,则 a b (2)直线与平面的位置关系 直线 L的方向向量为 a,平面的法向量为 n, 若 a n,即 a = n,则 L 若 a n,即a n = 0,则 a . ，再由垂直向量性质得 ? ? ?b?EF?0? ，从而得到 E、 F 52 / 67 的坐标，最后算出所求 EF. 点 P 到平面 ?的距离 h 先设平面 ?的斜线为 PA?A?，再求 ?的法向量 n，运用向量平移，不难得到推论“ h等 ? ? ? 于 PA在法向量 n上的射影 PA? ? n ? PA?n 的 绝对值”，即 h? 53 / 67 ? ，最后由此算出所求距离 . nn 两平行平面 ?,?之间的距离 由平行平面间的距离定义知道，平面 ?上任意一点 A 到 ?的距离就是 ?到 ?的距离，因此，我们也可把 ?到 ?的距离转化为 A到 ?的距离，运用求点与面距离的方法来求。 (三 )、用向量解决角的问题 两条异面直线 a、 b间夹角 在直线 a 上取两点 A、 B，在直线 b 上取两点 C、 D，若直线 a与 b 的夹角为 ?，则 ?cos?|co?sABC, 54 / 67 D? 注意 ,由于两向量的夹角范围为 ?0?,180?,而异面直线所成角的范围为 ?0?90?，若两向量夹角 ?为钝角 ,转化到异面直线夹角时为 180 ? 直线 a 与平面 ?所成的角 ? 图 1 1 ?2 图 1 2 ?2 图 1 3 ?2 移得：若 ?时 ? 55 / 67 ? ?；若 ?时 ? ?2 . 平面 ?的法向量 n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具 .由 n?可知，要求得法向量 n，只需在平面 ?上找出两个不共线向量 a、 b，最后通过解方程 ? ? ? ? 数学必会基础题型 平面向量 56 / 67 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作： AB或 a。 2.向量的模：向量的大小，记作： |AB|或 |a|。 3.单位向量：长度为 1的向量。若 e 是单位向量，则 |e|?1。 4.零向量：长度为 0 的向量。记作： 0。【 0 方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。 AB?BA。 8.三角形法则： AB?BC?AC； AB?BC?CD?DE?AE； AB?AC?CB 57 / 67 9.平行四边形法则： 以 a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a?b， a?b。 10.共线定理： a?b?a/b。当 ?0时， a 与 b同向；当 ?0时，a 与 b 反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若 a? (x,y)，则 |a|?a2?|a| 2， |a?b|?13.数量积与夹角公式： a?b?|a|?|b|cos?； cos?a?b |a|?|b| 14. 平行与垂直： a/b?a?b?x1y2?x2y1 ；a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0 题型 1.基本概念判断正误： 共线向量就是在同一条直线上的向量。 58 / 67 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 与已知向量共线的单位向量是唯一的。 四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 AB?CD。 若 AB?CD，则 A、 B、 C、 D四点构成平行四边形。 因为向量就是有向线段，所以数轴是向 量。 若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。 若 ma?mb，则 a?b。 1 若 ma?na，则 m?n。 若 a 与 b 不共线，则 a 与 b都不是零向量。 若 a?b?|a|?|b|，则 a/b。 59 / 67 若 |a?b|?|a?b|，则 a?b。 题型 2.向量的加减运算 1.设 a 表示“向东走 8km” , b 表示“向北走 6km” ,则|a?b|? 。 2.化简 (AB?MB)?(BO?BC)?OM? 。 3.已知 |OA|?5,|OB|?3,则 |AB|的最大值和最小值分别为 、 。 4.已知 AC为 AB与 AD的和向量，且 AC?a,BD?b，则 AB? ，AD? 。 5.已知点 C在线段 AB上，且 AC?3 5AB,则 AC?BC， AB?BC。 题型 3.向量的数乘运算 60 / 67 1. 计算： 3(a?b)?2(a?b)? 2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)? 2.已知 a?(1,?4),b?(?3,8)，则 3a?1 2b? 题型 4.作图法球向量的和 已知向量 a,b，如下图，请做出向量 3a?13 2b和 2a?2b。 ab 题型 5.根 据图形由已知向量求未知向量 1.已知在 ?ABC 中， D 是 BC的中点，请用向量 AB， AC 表示 AD。 2.在平行四边形 ABCD中，已知 AC?a,BD?b，求 AB和 AD。 题型 6.向量的坐标运算 1.已知 AB?(4,5)， A(2,3)，则点 B 的坐标是 。 61 / 67 2.已知 PQ?(?3,?5)， P(3,7)，则点 Q 的坐标是 。 3.若物体受三个力 F1?(1,2),F2?(?2,3),F3?(?1,?4),则合力的坐标为。 2 4.已知 a?(?3,4)， b?(5,2)，求 a?b， a?b， 3a?2b。 5.已知 A(1,2),B(3,2),向量 a?(x?2,x?3y?2)与 AB相等，求x,y的值。 6. 已知 AB?(2,3) ， BC?(m,n) ， CD?(?1,4) ，则DA? 。 7.已知 O 是坐标原点， A(2,?1),B(?4,8)，且 AB?3BC?0，求OC的坐标。 题型 7.判断两个向量能否作为一组基底 1.已知 e1,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否62 / 67 能构成一组基底： ?e2 和 e1?e2 ?2e2 和 4e2?6e1 ?3e2 和 e2?3e1 和 e2?e1 2.已知 a?(3,4)，能与 a 构成基底的是 A.(3443344 5,5) B.(5,5) C.(?5,?5) D.(?1,?3) 题型 8.结合三角函数求向量坐标 1.已知 O 是坐标原点，点 A在第二象限， |OA|?2， ?xOA?150，求 OA的坐标。 2.已知 O 是原点