高数求导方法总结

1 / 84 高数求导方法总结 导数公式 1幂函数 c?0 2指数函数 (au)?aulna 3对数函数 (logau)?1 4三角函数 (sinu)?cosu (tanu)?sec2u (secu)?secutanu5反三角函数 (arcsinu)? 1?u 2 (arctanu)?1?u2 6其他 u?1 ()? 2 / 84 2u (u2?a2)? uu2?a2 积分公式 1幂函数 ?0du?C 2指数函数 ?eudu?eu ?C 3有关对数 ? du?lnu?C (un)?nun?1 (eu)?eulne 3 / 84 (lnu)? 1 (cosu)?sinu (cotu)?csc2u (cscu)?cscucotu(arccosu)? ?u2 (arccotu)?1?u2 (11)?u ( 1 ? 4 / 84 1 )?2u ?un du?n?1 un?1?C ?au du? aulna ?C 4三角函数 ?sinudu?cosu?C 5 / 84 ?cosudu?sinu?C ?sec2udu?tanu?C ? csc2 udu?cotu?C ?secutanudu?secu?C ?cscucotudu?cscu?C ?tanudu?lncosu?C ?cotudu?lnsinu?C ?secudu?lnsecu?tanu?C ?cscudu?lncscu?cotu?C 5反三角函数 ? 6 / 84 du2u2 ?a2 ?lnu?u2?a?C ?duua?u?arcsin?C ?dua2? u2lna?u2a a?u?C ? du a2?u2 ?u aarctan 7 / 84 a ?C 6其他 ? duu2 ?1u?C ? udu?23 u2?C ? 1du?2u1 2?C 8 / 84 ? uduu2 ?2 ?u2?2?C ? udu1?u?12 ln?u?C ?lnudu?ulnu?u?C 定义域 对数公式 三角公式 9 / 84 因式分解 y?ax(a?0， a?1， x?(?， ?) y?logax(a?0， a?1， x?0) logaN bN? loga logna(m)?nlogam logk1k2q1 ? lgk1?lgk2 q2 ? 10 / 84 lglg2 lgq1?lgq2 sin2?2sin?cos? cos2?cos2?sin2?2cos2?1?cos2? 2sin2?1?cos2? (x?y)3?x3?3x2y?3xy2?y3 考研数学高数五种求导方法汇总 在复习考研数学的过程中，会发现很多题目都直接或间接地涉及到求导数的运算，因此，能熟练的求各类函数的导数是考研数学复习的必备 “ 武器 ” ，是一定要熟练掌握的。鉴于要为广大考生分忧的原则和初衷，将考研数学涉及到的各类函数求导数的方法以及例题总结如下： 一、求复合函数的导数：求复合函数的导数，关键是搞清楚复合关系，由表及里一层层求导，原理简单，需要的是认真、11 / 84 细心。 二、隐函数求导。求由方程 F(x,y)=0 所确定的可导函数 y的一阶导数 dy/dx，一般有以下三种方法： 方法 1：在方程的两边同时对 x求导，可得到一个含有 y的方程，从中解出 y即可。 方法 2：由多远函数微分法的隐函数求导公式求解。 方法 3：利用一阶微分形式的不变性，在方程两端求微分，然后解出 dy/dx。 三、求由参数方程确定的函数的导数。 四、求分段函数的导数。求分段函数导数的思路： (1)在函数定义域内的各个开区间上利用求导公式和求导法则求导 ;(2)在分段点处利用导数的定义求导。 五、求变限积分的导数。 (1)仅积分限含参变量的变限积分，其导数一般利用下面的公式求解 12 / 84 (2)求积分限及被积函数中均含参变量的变限积分的导数，对此类题型的解题思路为：首先利用定积分的性质或者变量替换将被积函数中的参变量去掉，然后按上面的求导方法求解。 高等数学第二章知识总结 在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。微分和导数的关 系 求导数与求微分方法相同 ,只不过在求微分时要在后面加上dx. 函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率 . 导数有很多种表现形式 . 一 . (1) 单侧导数 即左 右导数 . 函数可导的充要条件是 :左右导数存在且相等 . 13 / 84 (2) 可导与连续的关系 :可导必然连续 ,连续不一定可导 . 注 :函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限 . 求导数的方法有 : (1) 利用导数的定义 . (2) 利用导 数的几何意义解决几何及物理 ,化学的 实际问题 . (3) 利用初等函数的求导公式 .(在书 P59) (4) 利用反函数求导法 .(反函数的导数就是原函数 导数的倒数 .) (5) 利用复合函数求导法 .(由外到内 ,逐层求导 ) 14 / 84 (6) 利用隐函 数求导法 (7) 利用参数方程确定函数的求导法 . (8) 利用分段函数求导法 . (9) 利用函数连续 ,可导的定义 ,研究讨论函数的连 续性与可导性 . 二 .高阶导数 高阶导数可细分为 :一阶导数 ,二阶导数 ,三阶导数 N 阶导数等等 .(一阶导数的导数是二阶导数 ) 应该掌握的是高阶导数的运算 . 方法有两种 :(1)直接法 .(2)间接法 . 间接法适用于阶数较高的运算 .其规律性较强 . 常用的高阶导数公式在书 P63 上 .注意查看 . 计算 uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断 u，从一阶15 / 84 到阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果 。 三 .隐函数和由参数方程确定的函数的导数 什么是隐函数 ? 如果变量 x,y 的函数关系可以用一个二元方程表示 ,且对在给定范围内的每一个 x,通过方程有确定的 y 与之对应 ,即 Y是 X 的函数 ,这种函数就叫做隐函数 F(x,y)=0 从二元方程中解出 y 的值 ,就是隐函数的显化 . 有些隐函数不易显化 ,甚至不能显化 . 隐函数的求导方法 : (1) 把 y 看做是复合函数的中间变量 ,把 y看作 y(x) 即可。再在方程两边分别对 X求导 . (2) 从求导后的方程中求出 y . (3) 在隐函数的求导结果中允许含有 y,但是求某一 16 / 84 以知点的导数时不仅要代 X 的值 ,还要代 Y 的值 . 对数求导法 :先两边取对数 ,再关于 X求导 .例题在书 P68，例 44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法 ) 对参数方程确定的函数求导方法很简单 ,就是 用 y /x . 四 .函数的微分 . 可微就可导 ,可导就可微 . 求函数的 微分就是对函数求导 ,主要就是在所求结果后面加上 dx. 微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量 . 常用的微分公式在书 P76. 五 .微分的应用 . 1.微分在近似计算 ,误差估计中的应用 .在书 P80 P81. 17 / 84 第一章 导数及其应用 一， 导数的概念 1.已知 f(x)?1 ,则 f(2?x)?f(2) x ?lim x?0 ?x 的值是 A. ?1 4 B. 2 C. 14 D. 2 18 / 84 变式 1：设 f?3?4,则 limf?3?h?f?3?为 h?02h A 2 C 3 D 1 变式 2：设 f?x?在 x0可导 ,则 ?limf?x0?x?f?x0?3?x? x?0 ?x 等于 A 2f?x0? B f?x0? C 3f?x0? 19 / 84 D 4f?x0? 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于 二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量； 2 变更主元； 3根分布； 4判别式法 5、二次函数区间最值求法：对称轴 与定义域的关系 端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决 “ 不等式恒成立问题 ” 以及 “ 充分应用数形结合思想 ” ，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 f 20 / 84 (x)?0 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 -用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 第二种：变更主元 -； 例 1：设函数 y?f(x)在区间 D 上的导数为 f?(x)， f?(x)在区间 D 上的导数为 g(x)，若在区间 D 上， g(x)?0 恒成立，则称函数 y?f(x)在区间 D上为 “ 凸函数 ” ，已知实数 m 是常 f(x)?x4mx33x2 数， 12?6? 2 21 / 84 若 y?f(x)在区间 ?0,3?上为 “ 凸函数 ” ，求 m的取值范围； 若对满足 m?2 的任何一个实数 m，函数 f(x)在区间 ?a,b?上都为 “ 凸函数 ” ，求 b?a 的最大值 . 解 :由函数 f(x)?x4mx33x2x3mx212?6?2 得 f?(x)?3?2 ?3x ?g(x)?x2?mx?3 ?y?f(x)在区间 ?0,3?上为 “ 凸函数 ” ， 则 ?g(x)?x2 ?mx?3?0 在区间 0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 gmax(x)?0 22 / 84 ? ?g(0) ?0?g(3)?0?30? ?9m3?3?0m?2 解法二：分离变量法： 当 x?0时 , ?g(x)?x2 ?mx?3?3?0 恒成立 , 当 0?x?3 时 , g(x)?x2?mx?3?0 恒成立 等价于 m?x2?3x?x?3 x 的最大值恒成立， 而 h(x)?x?3 x 23 / 84 是增函数，则 hmax(x)?h(3)?2 ?m?2 (2) 当 m?2 时 f(x)在区间 ?a,b?上都为 “ 凸函数 ” 则等价于当 m?2时 g(x)?x2 ?mx?3?0 恒成立 变更主元法 再等价于 F(m)?mx?x2 ?3?0在 m?2 恒成立 24 / 84 ?F(?2)?0?F(2)?0?x2?x2 ?3?0?1?x?1 ? 2x?x2 ?3?0 ?b?a?2 例 2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 若对任意的 x?a?1,a?2,不等式 f?(x)?a恒成 立，求 a 的取值范围 . 解： f?(x)?x2?4ax?3a2 ?x?3a?x?a? ?0?a?1 令 f?(x)?0,得 f(x)令 f?(x)?0,得 f(x)的单调递减区间为和 25 / 84 当 x=a 时， f(x)极小值 =? 34 a3 ?b; 当 x=3a时， f(x)极大值 =b. 由 |f?(x)|a ，得：对任意的 x?a?1,a?2,?a?x2 ?4ax?3a2 ?a恒成立 则等价于 g(x)这个二次函数 ? ?gmax(x)?a?g g(x)?x2?4ax?3a2 的对称轴 x?2amin(x)?a ?0?a?1, 26 / 84 a?1?a?a?2a 即定义域在对称轴的右边， g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 g(x)?x2?4ax?3a2 在 a?1,a?2上是增函数 . g(x)max?g(a?2)?2a?(x)min?g(a?1)?4a?4. 于是，对任意 x?a?1,a?2，不等式 恒成立，等价于 ? g(a?2)?4a?4?a,? g(a?1)?2a?1?a 解得 4 5?a?1. 又 0?a?1, 4 5 27 / 84 ?a?1. 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征： f(x)?g(x)恒成立 ?h(x)?f(x)?g(x)?0 恒成立；从而转化为第一、二种题型 例 3；已知函数 f(x)?x3?ax2 图象上一点 P(1,b)处的切线斜率为 ?3， g(x)?x3? t?62 x2 ?(t?1)x?3(t?0) 求 a,b的值； 当 x?1,4时，求 f(x)的值域； 28 / 84 当 x?1,4时，不等式 f(x)?g(x)恒成立，求实数 t 的 取值范围。 解： f/(x)?3x2 ?2ax?f/(1)?3 ， 解得 ?a?3? b?1?a?b?2 由知， f(x)在 ?1,0上单调递增，在 0,2上 单调递减，在2,4上单调递减 又 f(?1)?4,f(0)?0,f(2)?4,f(4)?16 f(x) 的值域是 ?4,16 令 h(x)?f(x)?g(x)?t2 x2 ?(t?1)x?3x?1,4 思路 1：要使 f(x)?g(x)恒成立，只需 h(x)?0，即 t(x2 ?2x)?2x?6 分离变量 思路 2：二次函数区间最值 29 / 84 二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1：转化为 f(x)?0或 f(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法 2：利用子区间；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚 “ 在上是减函数 ” 与 “ 函数的单调减区间是 ” ，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例 4：已知 a?R，函数 f(x)? 112x3?a?12 x2 ?(4a?1)x 如果函数 g(x)?f?(x)是偶函数，求 f(x)的极大值和极小值； 如果函数 f(x)是 (?, ?)上的单调函数，求 a的取值范围 30 / 84 解： f?(x)?14 x2 ?(a?1)x?(4a?1). f?(x) 是偶函数， a?1. 此时 f(x)?131 12x?3x， f?(x)?4 x2?3， 令 f?(x)?0，解得： x?23. 列表如下： 可知： f(x)的极大值为 f(?2)?43， 31 / 84 f(x)的极小值为 f(2)?43. 函数 f(x)是 (?,?)上的单调函数， f?(x)? 14 x2 ?(a?1)x?(4a?1)?0，在给定区间 R 上恒成立判别式法 则 ?(a?1)2?4?12 4 ?(4a?1)?a?2a?0 ， 解得： 0?a?2. 综上， a的取值范围是 a0?a?2. 例 5、已知函数 f(x)? 32 / 84 13x3?1 2 (2?a)x2?(1?a)x(a?0). 求 f(x)的单调区间； 若 f(x)在 0， 1上单调递增，求 a 的取值范围。子集思想 f?(x)?x2 ?(2?a)x?1?a?(x?1)(x?1?a). 1、当 a?0时 ,f?(x)?(x?1)2 ?0恒成立 , 当且仅当 x?1 时取 “=” 号， f(x)在 (?,?)单调递增。 2、当 a?0时 ,由 f?(x)?0,得 x1? 1,x2?a?1,且 x1?x2, 单调增区间： (?,?1)a,(?1,? 单调增区间： (?1,a?1) 33 / 84 当 ?f(x)在 0,1上单调递增 , 则 ?0,1?是上述增区 间的子集： 1、 a?0 时， f(x)在 (?,?)单调递增 符合题意 2、 ?0,1?a?1,?， ?a?1?0 ?a?1 综上， a的取值范围是 0， 1。 三、题型二：根的个数问题 题 1 函数 f(x)与 g(x)的交点=即方程根的个数问题 解题 步骤 第一步：画出两个图像即 “ 穿线图 ” 和 “ 趋势图 ” 即三次函数的大致趋势 “ 是先增后减再增 ” 还是 “ 先减后增再减 ” ； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式；主要看极大值和极小值与 0的关系； 第三步：解不等式即可； 34 / 84 例 6、已知函数 f(x)? 13x3?(k?1)2x2， g(x)?1 3 ?kx，且 f(x)在区间 (2,?)上为增函数 求实数 k 的取值范围； 若函数 f(x)与 g(x)的图象有三个不同的交点，求实数 k 的取值范围 解：由题意 f?(x)?x2 ?(k?1)x f(x) 在区间 (2,?)上为增函数， f?(x)?x2 ?(k?1)x?0 在区间 (2,?)上恒成立 即 k?1?x 恒成立，又 x?2， k?1?2 ，故 k?1k 的取值范围35 / 84 为 k?1 x3 设 h(x)?f(x)?g(x)? 3?(k?1)21 2x?kx?3 ， h?(x)?x2?(k?1)x?k?(x?k)(x?1) 令 h?(x)?0 得x?k或 x?1 由知 k?1， 当 k?1 时， h?(x)?(x?1)2 ?0， h(x)在 R 上递增，显然不合题意 ? 当 k?1时，h(x)， h?(x)随 x的变化情况如下表 ： 由于 k?12 ?0，欲使 f(x)与 g(x)的图象有三个不同的交点，即方程 h(x)?0 有三个不同的 36 / 84 实根，故需 ?k36?k22?13?0，即 (k?1)(k2 ?2k?2)?0 ?k?1? k2?2k?2?0，解得 k?1?3 综上，所求 k的取值范围为 k?1? 根的个数知道，部分根可求或已知。 例 7、已知函数 f(x)?ax3 ? 12 x2 ?2x?c 若 x?1 是 f(x)的极值点且 f(x)的图像过原点，求 f(x)的极值； 若 g(x)?12 37 / 84 2 bx?x?d，在的条件下，是否存在实数 b，使得函数 g(x)的图像与函 数 f(x)的图像恒有含 x?1 的三个不同交点？若存在，求出实数 b的取值范围；否则说明理由。 解： f(x) 的 图 像 过 原 点 ， 则 f(0)?0?c?0 f?(x)?3ax2?x?2， 又 x?1 是 f(x)的极值点，则 f?(?1)?3a?1?2?0?a?1 ?f?(x)?3x2?x?2?(3x?2)(x?1)?0 f 极大值 (x)?f(?1)? 32 ff222 极小值 (x)?3?)?7 设函数 g(x)的图像与函数 f(x)的图像恒存在含 x?1 的 38 / 84 三个不同交点， 等价于 f(x)?g(x)有含 x?1的三个根，即： f(?1)?g(?1)?d? 1 2 (b?1) ?x3? 12x2?2x?12bx2?x?1 2(b?1)整理得： 即： x3?12(b?1)x2 ?x?12 (b?1)?0恒有含 x?1 的三个不等实根 h(x)?x3?12(b?1)x2?x?1 2 39 / 84 (b?1)?0有含 x?1 的根， 则 h(x)必可分解为 (x?1)(二次式 )?0，故用添项配凑法因式分解， x3?x2?x2?11 2(b?1)x2?x?2(b?1)?0 x2(x?1)?11? ?2(b?1)x2?x?2(b?1)? ?0 x2(x?1)?12 2 40 / 84 ?(b?1)x?2x?(b?1)?0 十字相乘法分解：x2(x?1)1 2 ?(b?1x)?b(?1)x?1 ?0 (x?1)?x2?12(b?1)x?12(b?1)? ? ?0 ?x3?12(b?1)x2?x?1 2 (b?1)?0恒有含 x?1 的三个不等实根 等价于 x2 41 / 84 ?12(b?1)x?12 (b?1)?0有两个不等于 -1的不等实根。 ?1(b?1)2?4?1(b?1)?4201?b?(?,?1)?(?1,3)?(3,?) ?(?1)2?12(b?1)?2 (b?1)?0 题 2：切线的条数问题 =以切点 x0为未知数的方程的根的个数 例 7、已知函数 f(x)?ax3 ?bx2 ?cx在点 x0处取得极小值 4，使其导数 f(x)?0的x 的取值 范围为 (1,3)，求： f(x)的解析式；若过点 P(?1,m)可作曲线 y?f(x)的三条切线，求实数 m的取值范围 42 / 84 由题意得： f(x)?3ax2?2bx?c?3a(x?1)(x?3),(a?0) 在 (?,1)上 f(x)?0；在 (1,3)上 f(x)?0；在 (3,?)上f(x)?0 因此 f(x)在 x0?1处取得极小值 ?4 a?b?c?4 ， f(1)?3a?2b?c?0 ， f(3)?27a?6b?c?0 ?a由 联立得： ?1 ?b?6， f(x)?x3?6x2 ?9x ? c?9设切点 Q(t,f(t)， y?f(t)?f, (t)(x?t) y?(?3t2?12t?9)(x?t)?(?t3?6t2?9t) ?(?3t2?12t?9)x?t(3t2?12t?9)?t(t2?6t?9) ?(?3t2?12t?9)x?t(2t2?6t)过 (?1,m) 43 / 84 m?(?3t2?12t?9)(?1)?2t3?6t2 g(t)?2t3?2t2?12t?9?m?0 令 g(t)?6t2 ?6t?12?6(t2 ?t?2)?0， 求得： t?1,t?2，方 程 g(t)?0有三个根。 需： ?g(?1)?0?2?3?12?9?m?0?m?g(2)?0?16?12?24?9?m?0?16 ? m?11 故： ?11?m?16；因此所求实数 m的范围为： (?11,16) 题 3：已知 f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数 =0的根的个数 解法：根分布或判别式法 44 / 84 例 8、 解：函数的定义域为 R 当 m 4时， f (x) 133 7 2 2 10x， f?(x) x2 7x 10，令 f?(x)?0 ， 解得 x?5,或 x?2. 令 f?(x)?0 ， 解得 2?x?5 可知函数 f(x)的单调递增区间为 (?,2)和，单调递减区间为 ?2,5? f?(x) x2 (m 3)x m 6, 要使函数 y f (x)在有两个 极值点 ,?f?(x) x2 (m 3)x m 6=0的根在 根分布问题： ? 45 / 84 ?(m?3)2?4(m?6)?0;则 ? ?f?(1)?1?(m?3)?m?6?0;， 解得 m 3 ?m?3?2 ?1. 例 9、已知函数 f(x)? a312 3x?2 x， (a?R,a?0)求 f(x)的单调区间； 令 g(x) 14 x4 f 有且仅有 3个极值点，求 a的取值范围 解： f (x)?ax2 46 / 84 ?x?x(ax?1) 当 a?0时，令 f (x)?0解得 x? 1a或 x?0，令 f(x)?0解得 ?1 a ?x?0， 所以 f(x)的递 (转 载于 : 海达 范文 网 :高数求导方法总结 )增区间为 (?,?1a )?(0,?)，递减区间为 (? 1 a,0). 导数的基础知识 一导数的定义： 47 / 84 1.(1).函数 y?f(x)在 x?x0处的导数 :f(x0)?y|x?x?lim f(x0?x)?f(x0) ?x ?x?0 (2).函数 y?f(x)的导数 :f(x)?y?lim ?x?0 f(x?x)?f(x) ?x ?y?x 2.利用定义求导数的步骤： 求函数的增量： ?y?f(x0?x)?f(x0)； 求平均变化率：48 / 84 取极限得导数： f(x0)?lim ?y?x ? f(x0?x)?f(x0) ?x ； ?x?0 二、导数的运算： 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： C?0(C为常数 )； (x)?nx n 49 / 84 n?1 ； ( 1x n m )?(x x ?n )? nx x 50 / 84 ?n?1 ； ?(x)? x n mn m x n ?1 (sinx)?cosx ； (cosx)?sinx (e)?e (a)?alna(a?0, 且 a?1)； (lnx)? 1 51 / 84 xxlna 法则 1： f(x)?g(x)?f(x)?g(x)； (口诀：和与差的导数等于导数的和与差 ). x ； (logax)? 1 (a?0,且 a?1) 法则 2： f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号 ) 法则 3： f(x)g(x) ? f(x)?g(x)?f(x)?g(x) 52 / 84 g(x) 2 (g(x)?0) (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号 ) 复合函数 y?f(g(x)的导数求法： 换 元 ， 令 u?g(x) ，则 y?f(u) 分 别 求 导 再 相 乘y?g(x)?f(u)? 回代 u?g(x) 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知 f ?x? x x?2x?sin?，则 f 2 53 / 84 ?0? 2、若 f?x? 10 esinx ，则 f 13 ?x? (x)=ax3+3x2+2 ， f?(?1)?4，则 a= 33 三导数的物理意义 A. 54 / 84 B. 1.求瞬时速度：物体在时刻 t0时的瞬时速度 V0就是物体运动规律 S?f?t?在 t?t0 时的导数 f?t0?， 即有 V0?f?t0?。 / s(t) 表示即时速度。 a=v(t) 表示加速度。 四导数的几何意义： 函数 f?x?在 x0 处导数的几何意义，曲线 y?f?x?在点P?x0,f?x0?处切线的斜率是 k?f?x0?。于是相应的切线方程是： y?y0?f?x0?x?x0?。 题型三用导数求曲线的切线 注意两种情况： 曲线 y?f?x?在点 P?x0,f?x0?处切线：性质： k切线 ?f?x0?。相应的切线方程是： y?y0?f?x0?x?x0? 曲线 y?f?x?过点P?x0,y0?处切线：先设切点，切点为 Q(a,b) ,则斜率k=f(a)，切点 Q(a,b) 在曲线 y?f?x?上，切点 Q(a,b)在切线 y?y0?f?a?x?x0?上，切点 Q(a,b)坐标代入方程得关于55 / 84 a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率 k=f(a)，确定切线方程。 例题在曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程； 解析： k?y|x?x?3x02?6x0?6?3(x0?1)2?3 当 x0=-1时， k有最小值 3， 此时 P 的坐标为故所求切线的方程为 3x-y-11=0 五函数的单调性：设函数 y?f(x)在某个区 间内可导， f(x)?0?f(x)该区间内为增函数； f(x)?0?f(x)该区间内为减函数； 注意：当 f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正时， f(x)在这个区间上仍是递增的。 f(x)在该区间内单调递增 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； f(x)在该区间内单调递减 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明函数 f(x)在某一区间上单调性： 步骤： 求导数 y?f?(x) 56 / 84 (2)判断导函数 y?f?(x)在区间上的符号 (3)下结论 f(x)?0?f(x) 该区间内为增函数； f(x)?0?f(x) 该区间内为减函数； 题型二、利用导数求单调区间 求函数 y?f(x)单调区间的步骤为： 分析 y?f(x)的定义域； 求导数 y?f?(x) 解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间 解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值 思路一 .f(x)在该区间内单调递增 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； f(x)在该区间内单调递减 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； 思路二 .先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子 57 / 84 集。 注意：若函数 f在上为减函数，在上为增函数，则 x=c两侧使函数 f?变号，即 x=c为函数的一个极值点，所以 f(c)?0 例题若函数 f(x)? lnxx ，若 a?f(3),b?f(4),c?f(5)则 ( ) A. a 六、函数的极值与其导数的关系： 1. 极值的定义：设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，且若对x0附近的所有的点都有 f(x)?f(x0)值， x0为极大值点。 可导数 f(x)在极值点，但函数 f(x)在某点 x0处的导数为 0，并不一定函数 f(x)在 x0处的导数为 0 3 该处取得极值。 求极值的步骤： 58 / 84 第一步：求导数 f(x)； 第二步：求方程 f(x)?0的所有实根； 第三步：列表考察在每个根 x0附近，从左到右，导数 f(x)的符号如何变化， 若 f(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值； 若 f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值； 若 f(x)的符号不变，则 f(x0)不是极值， x0不是极值点。 2、函数的最值： 最值的定义：若函数在定义域 D 内存 x0，使得对任意的x?D，都有 f(x)?f(x0)，则称 f(x0)为函数的最大值，记作ymax?f(x0) 如果函数 y?f(x)在闭区间 a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间 a,b上必有最大值和最小值。 求可导函数 f(x)在闭区间 a,b上的最值方法： 第一步；求 f(x)在区间 a,b内的极值； 第二步：比较 f(x)的极值与 f(a)、 f(b)的大小： 第三步：59 / 84 下结论 :最大的为最大值，最小的为最小值。 注意： 1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值 点、不可导点、区间的端点处取得。极值 最值。函数 f(x)在区间 a,b上的最大值为极大值和 f(a) 、 f(b)中最大的一个。最小值为极小值和 f(a) 、 f(b)中最小的一个。 2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值 3、注意：极大值不一定比极小值大。如 f(x)?x? / / 1x 的极大值为 ?2，极小值为 2。 注意：当 x=x0时，函数有极值 ? f(x0) 0。但是， f(x0)60 / 84 0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值； 判断极值 ，还需结合函数的单调性说明。 题型一、求极值与最值 题型二、导数的极值与最值的应用 题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数 原函数 f(x)的符号 f(x)单调性 f(x)与 x 轴的交点且交点两侧异号 f(x)极值 f(x)的增减性 f(x)的每一点的切线斜率的变化趋势 f(x)的增 f(x)的每一点的切线斜率增大 f(x)减 f(x)的每一点的切线斜率减小 例 1. 已知 f(x)=e-ax-1. 求 f(x)的单调增区间； 若 f(x）在定义域 R内单调递增，求 a 的取值范围； 是否存在 a,使 f(x)在上单调递增？若存在，求出 a 的值；61 / 84 若不存在，说明理由 . 解： f?(x) x =e-a. 若 a0 ， x x x f?(x) =e-a0 恒成立，即 f(x)在 R 上递增 . x 若 a0,e-a 0, e a,x lna. f(x)的单调递增区间为(lna,+ ). 62 / 84 f 在 R内单调递增， x x f?(x) 0 在 R上恒成立 . x x e-a 0，即 a e 在 R 上恒成立 . a min，又 e0， a 0. 由题意知， x=0为 f(x)的极小值点 . 3 2 63 / 84 f?(0) =0,即 e-a=0, a=1. 23 例 2. 已知函数 f(x)=x+ax+bx+c,曲线 y=f(x）在点 x=1处的切线为 l:3x-y+1=0，若 x=时， y=f(x）有极值 .求 a,b,c 的y=f(x）在 -3， 1上的最大值和最小值 . 解 由f(x)=x+ax+bx+c,得 3 2 f?(x) =3x+2ax+b, 2 当 x=1 时 ， 切 线 l 的斜率为 3 ， 可 得 2a+b=0 64 / 84 当 x=时， y=f(x)有极值，则 32 ?2?f?3? =0,可得 4a+3b+4=0 由解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1, f(1)=4.1+a+b+c=4. c=5. 由可得 f(x)=x+2x-4x+5, 3 2 f?(x) =3x+4x-4, 2 f?(x) 65 / 84 =0,得 x=-2,x=. 3 2 当 x 变化时， y,y的取值及变化如下表： x -3 (-3,-2) + 单调递增 -2 0 13 2? ?2,? 3? 66 / 84 23 ?2? ?,1?3? 1 4 y y 8 - 单调递减 9527 + 单调递增 67 / 84 9527 . y=f在 -3， 1上的最大值为 13，最小值为 例 3.当 x?0，证明不等式证明： f(x)?ln(x?1)? x1?x ?ln(1?x)?x. x(1?x) 2 x1?x ， g(x)?ln(x?1)?x，则 f?(x)?， x1?x 68 / 84 ?0， 当 x?0 时。 ?f(x)在 ?0,?内是增函数， ?f(x)?f(0)，即ln(1?x)?又 g?(x)? ?x1?x ，当 x?0 时， g?(x)?0， ?g(x)在 ?0,?内是减函数， ?g(x)?g(0)，即 ln(1?x)?x?0，因 x1?x ?ln(1?x)?x 成立 . x1?x 此，当 x?0时，不等式 点 评 ： 由 题 意 构 造 出 两 个 函 数 f(x)?ln(x?1)? ，g(x)?ln(x?1)?x. 利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题69 / 84 的关键 . 七定积分求值 1定积分的概念 设函数 f(x)在区间 a,b上连续，则 ?f(x)dx?lim ab n n? ?f? i i?1 b?an n 70 / 84 n 等分区间 ?a,b?； 2.用定义求定积分的一般方法是：分割：近似代替：取点 ?i?xi?1,xi?；求和： ? i?1 b?an f(?i)； 取极 限： ?f(x)dx?lim a b n n? ? 71 / 84 i?1 f?i? b?an 0,S? ba 3.曲边图形面积： f?x?0,S? t2t1 ? ba f ?x?dx； f?x? 72 / 84 f ?x?dx 在 x 轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程S? 4定积分的性质 性