高等电磁场公式总结

1 / 63 高等电磁场公式总结 电荷守恒定律：电荷既不能被创造 ,也不能被消灭 ,它们只能从一个物体转移到另一个物体 ,或从物体的 一部分转移到另一部分 ,在任何物理过程中电荷的代数和总是守恒的 ?B?WABAAB ?Edl Aqq 电位差：单位正电荷的电位能差即： UAB 渭 南 师 院 08 级 物 理 学 班 刘 占 利 2016-9-22 2 / 63 1 2 渭 南 师 院 08 级 物 理 学 班 刘 占 利 2016-9-22 人生在搏，不索何获 渭 南 师 院 08 级 物 理 学 班 刘 占 利 2016-9-22 3 人生在搏，不索何获 电场 和磁场的本质及内在联系： 运动 电荷 3 / 63 电流 激发激发 电场 静电场问题求解 基础问题 1.场的唯一性定理： 已 知 V内的自由电荷分布 V 的边界面上的 ?值或 ?/?n 值， 则 V 内的电势分布，除了附加的常数外，由泊松方程 变化 变化 磁场 ?/? 4 / 63 及在介质分界面上的边值关系 2 ?,? i j (i ? )?j()? ?n?n 唯一的确 定。 两种静电问题的唯一性表述： 给定空间的电荷分布，导体上的电势值及区域边界上的电势或电势梯度值 ?空间的电势分布和导体上的面电荷分布 给定空间的电荷分布，导5 / 63 体上的总电荷及区域边界上的电势或电势梯度值 ?空间的电势分布和导体上的面电荷分布 2.静电场问题的分类： 分布性问题：场源分布 ?E 电场分布 边值性问题：场域边界上电位或电位法向导数 ?电位分布和导体上电荷分布 3.求解边值性问题的三种方法： 分离变量法 思想：根据泊松方程初步求解 ?的表达式，再根据边值条件确定其系数 电像法 思想：根据电荷与边值条件的等效转化，用镜像电荷代替导体面上的感应电荷 格林函数法 思想：将任意边值条件转化为特定边值条件，根据单位点电荷来等价原来边界情况 静电场，恒流场，稳恒磁场的边界问题： 渭 南 师 院 08 级 物 理 学 班 刘 占 利 2016-9-22 6 / 63 4 电荷守恒定律：电荷既不能被创造 ,也不能被消灭 ,它们只能从一个物体转移到另一个物体 ,或从物体的一部分转移到另 一部分 ,在任何物理过程中电荷的代数和总是守恒的 BWABAAB ?Edl Aqq 电位差：单位正电荷的电位能差即： UAB 磁介 质：在磁场中影响原磁场的物质称为磁介质 在介质中求电场感应强度 : 位移电流与传导电流比较 四种电动势的比较： 7 / 63 高斯定理和环路定理： 麦克斯韦方程组： 电场和磁场的本质及内在联系： 运动 电荷 电流 激发激发 电场 静电场问题求解 基础问题 1.场的唯一性定理： 已知 V内的自由电荷分布 V 的边界面上的 ?值或 ?/?n 值， 8 / 63 则 V 内的电势分布，除了附加的常数外，由泊松方程 变化 变化 磁场 ?/? 及在介质分界面上的边值关系 2 ?,? i j (i 9 / 63 ? )?j()? ?n?n 唯一的确定。 两种静电问题的唯一性表述： 给定空间的电荷分布，导体上的电势值及区域边界上的电势或电势梯度值 ?空间的电势分布和导体上的面电荷分布 给定空间的电荷分布，导体上的总电荷及区域边界上的电势或电势梯度值 ?空间的电势分布和导体上的面电荷分布 2.静电场问题的分类： 分布性问题：场源分布 ?E 电场分布 边值性问题：场域边界上电位或电位法向导数 ?电位分布和导体上电荷分布 3.求解边值性问题的三种方法： 分离变量法 思想：根据泊松方程初步求解 ?的表达式，再根据边值条10 / 63 件确定其系数 电像法 思想：根据电荷与边值条件的等效转化，用镜像电荷代替导体面上的感应电荷 格林函数法 思想：将任意边值条件转化为特定边值条件，根据单位点电荷来等价原来边界情况 静电场，恒流场，稳恒磁场的边界问题： 电磁场与电磁波复习 第一部分 知识点归纳 第一章 矢量分析 1、三种常用的坐标系 直角坐标系 ?dSx?dydz 微分线元： dR?axdx?aydy?azdz 面积元： ?dS?dxdz ?y ?dS?dxdy?z ? 11 / 63 ? ? ? ， d?dxdydz 柱坐标系 ?dSr?dl?dlz?rd?dz?dlr?dr ? 长度元： ?dl?rd?，面积元 ?dS?dlrdlz?drdz，体积元：d?rdrd?dz ?dl?dz?dS?dldl?rdrdz?z?z?z 12 / 63 球坐标系 ?dlr?dr? 长度元： ?dl?rd?，面积元： ?dl?rsin?d? d?r2sin?drd?d? 2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 直角坐标系与柱坐标系的关系 22? ?x?rcos?r?x?y y ? ?y?rsin?,?x?z?z? z?z?直角坐标系与球坐标系的关系 13 / 63 ?dSr?dl?dl?r2sin?d?d? ? ?dS?dlrdl?rsin?drd?，体积元： ?dS?dldl?rdrd? ?r? ? ?r?x2?y2?z2 ?x?rsin?cos? z? ?y?rsin?sin?,?2 x?y2?z2?z?rcos? ?y ? 14 / 63 z? 柱坐标系与球坐标系的关系 22 ?r?rsin?r?r?z ?z? ?,?2 2 r?z?z?rcos? ? 3、梯度 直角坐标系中： 15 / 63 ? grad?ax?ay?az ?x?y?z ? 柱坐标系中： ?1? grad?ar?a?az ?rr?z ? 球坐标系中： ?1?1? 16 / 63 grad?ar?a?a? ?rr?rsin? ? 4.散度 直角坐标系中： divA? ? ? ?AX?Ay?Az ? ?x?y?z1?1?A?Az 17 / 63 (rAr)? r?rr?z 柱坐标系中： divA? ? 球坐标系中： 1?21?1?A? divA?2(rAr)?(sin?A?)? rsin?rsin?r?r 5、高斯散度定理： A?dS?Ad?divAd?，意义为：任意矢量场 A 的散度在 场中任 18 / 63 S ? ? ? ? ? ? 意体积内的体积分等于矢量场 A 在限定该体积的闭合面上的通量。 6，旋度 直角坐标系中： 19 / 63 ax ?A? ?xAx ? ? ay?yAy ? ? az? ?zAz ? ? 20 / 63 柱坐标系中： ar ?1?A? r?rArra?rA? ? az? ?zAz ? ? 球坐标系中： ar ?1?A?2 21 / 63 rsin?r Arra?rA?rsin?a? ? ?rsin?A? ? 两个重要性质： 矢量场旋度的散度恒为零， ?A?0 标量场梯度的旋度恒为零， ?0 7、斯托克斯公式： A?dl?A?dS C S 22 / 63 ? 第二章 静电场和恒定电场 1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的基本变量是电场强度 E、电 位移矢量 D和电位 ?。电场强度与电位的关系为： E ? ? ? ?。 ?0?10?12F/m 2、电场分布有点电荷分 布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的计算公式如下： 点电荷分布 qkRk?1 23 / 63 E?4?0k?1Rk34?0 ? 1 N ? 11 q?(),?k Rk4?0k?1 14?0 N qk 24 / 63 ?C ?k?1Rk N 体电荷分布 E? ? 14?0 ? ?(r)(r?r)dv ? ? 25 / 63 ? v r?r ?3 ,? ? ?(r)dv ? v r?r 26 / 63 ? ?C 面电荷分布 E? ? 14?0 ? ?S(r)(r?r)dS ? ? ? 27 / 63 S r?r ?3 ,? 14?0 ? ?S(r)dS ? S r?r ? 28 / 63 ?C 线电荷分布 E? ? 14?0 ? ?l(r)(r?r)dl ? ? ? 29 / 63 l r?r ?3 ,? 14?0 ? ?l(r)dl ? l r?r ? 30 / 63 ?C 3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为 ? ?SD?dS?q,(积分形式 )表示意义 ?介质中的高斯定理 ? ?)?D?(r ? ?CE?dl?0,(积分形式 )表示意义 ?安培 环路定理 ,说明静电场是一种发散场，也是保守场。 ? ?0?E? ?1n? 31 / 63 qi.(积分形式 )?SE?dS?0?i?1 ?表示意义 ?真空中的高斯定理 ? ?E?为体电荷密度） ?0? 在线性、各向同性介质中，本构方 程为： D?0E?P?E?0?rE 4、电介质的极化 ? ) 。 极 化 介 质 体 积 内 的 极 化 体 电 荷 密 度为： ?p?P(P 极化强度矢量 ? 量 ) 介质表面的极化面电荷密度为： ?pS?P?n(n 为表面的单位法向量矢 5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即 32 / 63 ? ?2? ? (有源区域 )， ?2?0 ? 6、介质分界面上的边界条件 分界面上 Dn的边界条件 D1n?D2n?S 或 n?(D1?D2)?S ，当分界面上没有 自由电荷时，则有： ? D1n?D2n 即 n?D1?n?D2，它给出了 D 的法向分量在 33 / 63 介质分界面两侧的关系： ? ? 分界面上 D的边界条件 n ? 如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧 D的法向分量连续； 时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度 ?s。 用电位表示： ?1 如果介质分界面上分布电荷密度 ?s， D 的法向分量从介质 1跨过分界面进入介质 2 ?1?2?1?2 ?2?S和 ?1?2(?S?0) ?n?n?n?n 34 / 63 ? 分界面上 Et的边界条件 ? ? ? ? ? n?E?n?E 或 E1t?E2t,电场强度的切向分量 在不同的分界面上总是连续的。 由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量 有限，故在分界面上的电位函数连续，即 35 / 63 h?1?2。 电力线折射定律： tan?1?1 ?tan?2?2 。 2t分界面上 Et的边界条件 7、静电场能量 静电荷系统的总能量 1 ?d?； ?21 面电荷： We?S?ds； 36 / 63 2S1 线电荷： We?l?dl。 2l 体电荷： We? 导体系统的总能量为： We? 1 qk?k。 ?2k 能量密度 静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。场中任意 1?123 一点的能量密度为： ?e?D?E?EJ/m 22 37 / 63 12 在任何情况下，总静电能可由 We?Ed?来计算。 2V 8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的基本变量为电场强度 E 和电流密度 J，且 J?E。 ?为媒质的电导率。 恒定电场的基本方程 ? ?q? J?dS?S电流连续性方程： ?t ?微分形式： ?J?-或 ?J?0 38 / 63 ?t?t? 恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的增减，即 ? ? ?q? ?0 和 ?0。因此，电流连续性方程变为： J?dS?0和 ?J?0，再加上 S?t?t ? E?dl?0 和 ?E?0，这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。 39 / 63 C 恒定电场的边界条件 (1)J1n?J2n 或 n?(J1?J2)?0,(2)E1t?E2t 或 n?(E1t?E2t)?0 应用欧姆定律可得： ?1E1n?2E2n 和 ? J1t ? ?1 ? J2t ? 40 / 63 ?2 。 2 此外，恒定电场的焦耳损耗功率密度为 p?E，储能密度为 ?e? 12 ?E。 2 第四章 恒定磁场 1 H 来描述，真空中磁感应强度的计算公式为： 线电流：B? ? 41 / 63 ? ? ? ? ? ?0Idl?aR?0Idl?(r?r) ?2l4?4?l?3R r?r ? 面电流： B?0 42 / 63 4? ? S JS?aR?0 dS? 4?R2 ? ? ? JS?(r?r) ? 43 / 63 ? ? S r?r ? ?3 dS 体电流： B? ? 44 / 63 ?04? ? J?aRR 2 d? ?04? ? ? J?(r?r) ? ? 45 / 63 r?r ?3 d? 2、恒定磁场的基本方程 真空中恒定磁场的基本方程为： ? ? SB?dS?0， B、真空中安培环路定理： A、磁通连续性方程： ?微分形式： ?B?0 ? ? B?d?ll?0I ?微分形式： ?B?0J 46 / 63 磁介质中恒定磁场的基本方程为： ? ? B?dS?0， A、磁通连续性方程仍然满足： ?S?微分形式： ?B?0? ? H?dl?I B、磁介质中安培环路定理： ?l?微分形式： ?H?J? 电荷守恒定律：电荷既不能被创造 ,也不能被消灭 ,它们只能从一个物体转移到另一个物体 ,或从物体的 一部分转移到另一部分 ,在任何物理过程中电荷的代数和总是守恒的 BWABAAB 47 / 63 ?Edl Aqq 电位差：单位正电荷的电位能差即： UAB 1 2 3 电场和磁场的本质及内在联系： 运动 电荷 电流 激发激发 48 / 63 电场 静电场问题求解 基础问题 1.场的唯一性定理： 已知 V内的自由电荷分布 V 的边界面上的 ?值或 ?/?n 值， 则 V 内的电势分布，除了附加的常数外，由泊松方程 变化 变化 磁场 ?/? 及在介质分界面上的边值关系 2 49 / 63 ?,? i j (i ? )?j()? ?n?n 唯一的确定。 两种静电问题的唯一性表述： 给定空间的电荷分布，导体上的电势值及区域 边界上的电势或电势梯度值 ?空间的电势分布和导体上的面电荷分布 给定空间的电荷分布，导体上的总电荷及区域边界上的电势或电势梯度值 ?空间的电势分布和导体上的面电荷分布 2.静电场问题的分类： 50 / 63 分布性问题：场源分布 ?E 电场分布 边值性问题：场域边界上电位或电位法向导数 ?电位分布和导体上电荷分布 3.求解边值性问题的三种方法： 分离变量法 思想：根据泊松方程初步求解 ?的表达式，再根据边值条件确定其系数 电像法 思想：根据电荷与边值条件的等效转化，用镜像电荷代替导体面上的感应电荷 格林函数法 思想：将任意边值条件转化为特定边值条件，根据单位点电荷来等价原来边界情况 静电场，恒流场，稳恒磁场的边界问题： 4 电磁场与电磁波课程知识点总结与主要公式 1 麦克斯韦方程组的理解和掌握 麦克斯韦方程组 51 / 63 ? ?D?H?J? ?t?B?E? ?t?D? ?B?0 ? ?D?H?dl?(J?)?dsl?s?t ? ?B?E?dl?l?s?t?ds ?sD?ds?Q?B?ds?0 s ? 52 / 63 本构关系： D?E?B?H?J?E 静态场时的麦克斯韦方程组 ? ?H?JlH?dl?I ?E?0lE?dl?0 ?D?sD?ds?Q ?B?0B?ds?0 s 2 边界条件 一般情况的边界条件 ?an?介质界面边界条件 53 / 63 E1t?E2t D1n?D2n?sH1t?H2t?JsTB1n?B2n ?an?基本方程 ?E?0 ?D?2? ?lE?dl?0?D?ds?Q s ? ? ?2?0 54 / 63 ?E?dl p A ? ?A?0 ? 本构关系： D?E 解题思路 ? 对称问题使用高斯定理或解电位方程。 ? 假设电荷 Q 计算电场强度 E 计算电位 计算能 量 e=E2/2 或者电容。 典型问题 55 / 63 ? 导体球的电场、电位计算； ? 长直导体柱的电场、电位计算； ? 平行导 体板的电场、电位计算； ? 电荷导线环的电场、电位计算； ? 电容和能量的计算。 例 s ： 球对称 轴对称 面对称 基本方程 ?E?0 ?J?0?2?0 ?lE?dl?0?sJ?ds?0 56 / 63 ?A? ?E?dl p ?A?0 ? 本构关系： J?E 解题思路 ? 利用静电比拟或者解电位方程。 ? 假设电荷 Q 计算电场 E 将电荷换成电流、电 导率换成介电常数得到恒定 电场的解 计算电位 和电阻 R或电导 G。 57 / 63 5 恒定磁场基本知识点 基本方程 ?H?J ?B?0?2 ?A?J ?Hl?dl?I?sB?ds?0 ?B?ds s ? 本构关系： B?H 解题思路 ? 对称问题使用安培定理 ? 假设电流 I 计算磁场强度 H 计算磁58 / 63 通 计算能 量 m=H2/2 或者电感。 典型问题 ? 载流直导线的磁场计算； ? 电流环的磁场计算； ? 磁通的计算； ? 能量与电感的计算。 直角坐标下的分离变量法 ? 二维问题通解形式的选择； ? 特解的确定。 镜像法 ? 无限大