第一章 机器人数学基础

机器人位姿变换与坐标变换,1.1坐标系位姿的描述,坐标描述：指坐标系的位置和方位（姿态）位置的描述方位的描述旋转矩阵的正交性坐标系位姿的描述,1.1.1位置的描述,在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:,1.1.2方位的描述,空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系B的三个单位主矢量xB,yB,zB相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.,1.1.3旋转矩阵R的正交性,上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的,1.1.4旋转矩阵的意义,若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为,旋转矩阵的几何意义:1)可以表示固定于刚体上的坐标系B对参考坐标系的姿态矩阵.2)可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系B中的点的坐标变换成A中点的坐标.3)可作为算子,将B中的矢量或物体变换到A中.,1.1.5坐标系位姿的描述,刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示,1.2不同坐标系间的映射,映射（mappings）：将在一个坐标系下的描述改变为在另一个坐标系下的描述。,平移映射旋转映射一般映射一般映射的奇次坐标表达方法,1.2.1平移映射,注意：只有在两坐标系平行的时候，才能将两坐标系的位置描述直接相加。,坐标系A和B具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式,1.2.2旋转映射,坐标系A和B有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:,1.2.3一般映射,一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有:,1.2.4一般映射的奇次坐标表达方法,1、将1加到3维坐标的第4维，原坐标向量变成41的奇次坐标向量；2、将0001加到RP的最下面一行，构成44的奇次矩阵。,P点在A和B中的位置矢量分别增广为:,1.3平移与旋转的奇次变换矩阵,平移旋转绕Z轴旋转绕X轴旋转绕Y轴旋转绕多个轴的旋转复合运动：多次平移与旋转,设:P（x,y,z)T;UP0=(x0,y0,z0)T则:VPP0（x+x0,y+y0,z+z0)T可用齐次坐标表示为：,平移齐次变换矩阵:Trans(x0,y0,z0),1.3.1平移,1.3.2绕Z轴旋转的方位描述,设坐标系O1X1Y1Z1从OXYZ绕Z旋转而成，且有点：P1（x1,y1,z1)TP1在OXYZ中应表示为：P（x,y,z)T，则有：x=x1cos-y1siny=x1sin+y1cosz=z1,P=R(Z,)P1；变换矩阵R(Z,),1.3.2旋转的齐次变换矩阵Rot,1.3.2绕多个轴旋转的变换,原始坐标系OAXAYAZA绕旋转后得到坐标系OXYZ；它再绕Y旋转后成”XY”Z”；又绕Z”旋转成为OBXBYBZB,P”=R(Z”,)PBP=R(Y,)P”=R(Y,)R(Z”,)PB=RYZ(,)PBPA=R(XA,)P=R(XA,)RYZ(,)PB=R(XA,)RY()RZ”()PB=RXYZ(,)PB=R(,)PB连续绕固定坐标系旋转连续左乘,广义R连续旋转变换矩阵,1.3.3复合运动,相对于运动坐标系的变换，变换矩阵连续右乘,例：对点进行旋转操作的坐标变换,？,例：对点进行旋转操作的坐标变换,XX”,ZY”,Z”,Y,第一次绕Z轴旋转90o有R(Z,90o)第二次绕Y轴转动实际是绕X轴旋转90o，所以有R(X,90o)因此有Rot=Rot(Z,90o)Rot(X,90o),1.4齐次坐标的逆变换,B相对于A:ABT;A相对于B:BAT;两者互为逆矩阵.求逆的办法:1.直接求ABT-12.简化方法,1.4齐次坐标的逆变换,一般,若,则,1.5变换顺序的相对性,XX”,Z”,1、当变换相对于运动系进行时，变换矩阵连续右乘，Rot=Rot(Z,90o)Rot(X,90o),Y,2、当变换相对于固定系进行时，变换矩阵连续左乘，Rot=Rot(Z,90o)Rot(X,90o),先绕Z转90o再绕X转90o,先绕X转90o再绕Z转90o,X”,XZ”,Z,YY”,3、上述变换也可以Rot=Rot(Y,90o)Rot(Z,90o)或Rot=Rot(Y,90o)Rot(Z,90o)实现,ZY”,V,1.6通用旋转变换,1.通用旋转变换公式求:绕从原点出发的f旋转角时的旋转矩阵.S:物体上固接的坐标系T:参考坐标系C:Z轴与f重合的辅助坐标系,在S上取一点p,其坐标为向量P,它绕T中直线f旋转角。1）将S上p点坐标变换到T中，其坐标为2）直接计算绕f旋转的坐标为，目前上式在T无法直接求。采取如下步骤：3）建立辅助坐标系C，使其Z轴与f重合。这样问题变为绕ZC旋转。将S中的点p变换到C中，变换为：4）在C中绕Z轴旋转有：5）将C中坐标变换回T中有，,1.6通用旋转变换,根据坐标轴的正交性,有令,则,1.6通用旋转变换,总结,绕X、Y、Z轴旋转的R矩阵平移与旋转的齐次坐标变换矩阵多次变换的坐标系之间关系通用旋转变换齐次坐标的逆变换,向量的点积和叉积,附录,齐次坐标解释,0,0,0,nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数1000T指向无穷远处的OX轴0100T指向无穷远处的OY轴0010T指向无穷远处的OZ轴这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可以用来规定矢量的方向。第四个元素非零时，代表点的位置；第四个元素为零时，代表方向。,加入一个比例因子w,如果x,y,z各除以w,则得到ax,by,cz。于是，这时向量可以写为：P=(x,y,z,W)其中，X=ax*w,y=by*w,z=cz*w。随着w的变化，向量大小也随之发生变化，这类似于计算机图形学中对图片的放大或缩小。让我们来讨论一下w的取值w1时，向量的所有分量都变大w=1时，各分量大小保持不变w1时，向量的所有分量都变小w=0时，向量长度无穷大，方向由x,y,z确定,附录,Matlab使用与矩阵计算矩阵的输入:1)矩阵的直接输入.(操作)以作为首尾,行分隔用”;”,元素分隔用”,”或空格.2)矩阵编辑器.(操作)先在工作区定义矩