清华大学物理系博士生资格考试经典物理试题.pdf

清华大学物理系博士生资格考试清华大学物理系博士生资格考试 O m v 2002005 5 年春季清华大学物理系博士生资格考试年春季清华大学物理系博士生资格考试 分析力学：分析力学： 两质点两质点 m1,m2m1,m2，中间用无质量的弹簧相连，弹性系数，中间用无质量的弹簧相连，弹性系数 k k，原长，原长 d d。在无摩擦的光滑平面上运。在无摩擦的光滑平面上运 动，转动或振动。求出广义动量，哈密顿量，哈密顿方程（写出积分形式即可）动，转动或振动。求出广义动量，哈密顿量，哈密顿方程（写出积分形式即可） 电动力学：电动力学： 求运动电荷产生的电磁辐射能量密度求运动电荷产生的电磁辐射能量密度 力学：力学： 1.1.一个杆质量一个杆质量 m m，长度，长度 l l，截面积，截面积 S,S,杨氏模量杨氏模量 Y Y。在光滑水平面内绕一端转动，角速度。在光滑水平面内绕一端转动，角速度。 在杆内部截面上切向应力均匀分布。求在杆内部截面上切向应力均匀分布。求 r r 处的内应力，求杆的总伸长量。处的内应力，求杆的总伸长量。 2.2.滑轮质量滑轮质量 M M，半径，半径 R R，两侧两个水桶通过绳子相连，绳子绕过滑轮。两桶原质量为，两侧两个水桶通过绳子相连，绳子绕过滑轮。两桶原质量为 m0m0，静，静 止。左侧桶下止。左侧桶下有个洞，水从中流出，单位时间内流出的质量为有个洞，水从中流出，单位时间内流出的质量为 qmqm，流出的水相对桶的速度，流出的水相对桶的速度 为为 u u。求左侧桶的加速度。求左侧桶的加速度 a(t).a(t). 3.3.质量为质量为 m0m0 的质点从静止开始在的质点从静止开始在 F=kx*xF=kx*x 作用下运动，考虑相对论效应，求作用下运动，考虑相对论效应，求 v(t).v(t). 电磁学：电磁学： 1.1.圆柱形电容器，内半径圆柱形电容器，内半径 a a，外半径，外半径 b b，长，长 l l。上下两半为两种导电（注意是导电。上下两半为两种导电（注意是导电!）介质，）介质， 介电常数和电导率分别为介电常数和电导率分别为 1 1， 1 1， 2 2 2 2。电容器中间通过的总电流为。电容器中间通过的总电流为 I I。求电容器的电。求电容器的电 势差，第一种介质内表面的自由电荷密度。 。 。势差，第一种介质内表面的自由电荷密度。 。 。 2.2.一大圆圈，半径一大圆圈，半径 R R，电流，电流 I I。在正上方有一小圆圈，平行于大圆圈，半径。在正上方有一小圆圈，平行于大圆圈，半径 r r。两圆圈圆心。两圆圈圆心 在一条直线上。在一条直线上。t t=0=0 时小圆圈圆心距大圆圈圆心时小圆圈圆心距大圆圈圆心 z z，以，以 v v 偏离大圆圈运动。小圆圆半径偏离大圆圈运动。小圆圆半径 r r 很很 小，可近似认为小圆圈内磁场均匀分布。求小圆圈圆心处的磁场，小圆圈上的感应电动势小，可近似认为小圆圈内磁场均匀分布。求小圆圈圆心处的磁场，小圆圈上的感应电动势 大小和方向。设小圆圈自感为大小和方向。设小圆圈自感为 T T，求小圆圈中的电流，求小圆圈中的电流 i.i. 热学：热学： 质量为质量为 m m，温度为，温度为 T1T1，压强为，压强为 P1P1 的液体，变为压强的液体，变为压强 P2P2，温度，温度 T2T2 的高温高压气体。求熵变。的高温高压气体。求熵变。 给定液体比热给定液体比热 c c，水蒸汽临界压强，水蒸汽临界压强 Pb?Pb?汽化热？。 。 。 。记不清了汽化热？。 。 。 。记不清了 光学：光学： 1.1.双缝间距双缝间距 d=0.4mmd=0.4mm，缝宽，缝宽 a=0.08mma=0.08mm。后面透镜。后面透镜 f=50cmf=50cm。一束单色平面光波长。 。 。垂直于。一束单色平面光波长。 。 。垂直于 缝入射，求透镜像平面上明条纹间距，求一级衍射包中间缝入射，求透镜像平面上明条纹间距，求一级衍射包中间的明条纹数量的明条纹数量 2.2.光，通过线偏振器，转动线偏振器，发现光强没有变化。让光先通过光，通过线偏振器，转动线偏振器，发现光强没有变化。让光先通过 1/41/4 波长偏振片，波长偏振片， 然后再用线偏振器检偏，发现最大光强是最小光强的然后再用线偏振器检偏，发现最大光强是最小光强的 4 4 倍。求光的组成，原先光中偏振光倍。求光的组成，原先光中偏振光 的光强占总光强的百分比的光强占总光强的百分比 2002006 6 年春季清华大学物理系博士生资格考试年春季清华大学物理系博士生资格考试 1 1 一质量为一质量为 m m 的物体与长为的物体与长为 L L、拴于轴、拴于轴 O O 点的静止杆相碰撞，点的静止杆相碰撞， 碰撞之后物体的速度为零。碰撞时间极短为碰撞之后物体的速度为零。碰撞时间极短为 。 求（求（1 1）刚碰撞完时，杆的角速度？（）刚碰撞完时，杆的角速度？（2 2）碰撞过程中，轴）碰撞过程中，轴 O O 对杆的水平力对杆的水平力 F F 为多少？（为多少？（3 3）不计阻力，杆上升的最大角）不计阻力，杆上升的最大角 度？度？ 2 2 体 系 拉 氏 量体 系 拉 氏 量 1212 ( .,., )L qq qq t， 哈 密 顿 量， 哈 密 顿 量 1212 ( .,., )H qqpp t， 求证：求证： , 0 ii ii q q qq q p dLdH dqdq 清华大学物理系博士生资格考试清华大学物理系博士生资格考试 q a Q S 3 3 有一个金属板，面积为有一个金属板，面积为 S S，带电量为，带电量为 Q Q，距离金属板为，距离金属板为 a a 处有一电量为处有一电量为 q q 的点电荷。 问： 该点电电荷的受力？的点电荷。 问： 该点电电荷的受力？ （计算时面积认为无穷大）（计算时面积认为无穷大） 4 4 Z Z方 向 有 磁 场 的 电 子 ， 其 拉 氏 量方 向 有 磁 场 的 电 子 ， 其 拉 氏 量 222 11 22 ()()Lm xyzeB yxxy 证明：证明：L L 具有平移对称性，并求其不变量。具有平移对称性，并求其不变量。 5 5 线性介质中，无自由电荷和自由电流的情况下，线性介质中，无自由电荷和自由电流的情况下， （1 1） 求电场强度和磁感应强度满足的波动方程，并说明其以速度求电场强度和磁感应强度满足的波动方程，并说明其以速度 v v 传播。传播。 （2 2） 证明电场强度和磁感应强证明电场强度和磁感应强度的解具有如下形式，度的解具有如下形式，( , )()E r tE tr n v ， ( , )()B r tB tr n v 其中其中n为波速方向。为波速方向。 （3 3） 证明，满足（证明，满足（2 2）的形式的解为平面波。）的形式的解为平面波。 （4 4） 证明，平面波为横波。证明，平面波为横波。 （5 5） 证明，能流以速度证明，能流以速度v传播，证明电场能密度等于磁场能密度。传播，证明电场能密度等于磁场能密度。 6 6 有一个空调可视为卡诺循环机，空调连续工作时的功率为有一个空调可视为卡诺循环机，空调连续工作时的功率为 P P。夏天空调将室内的热量运。夏天空调将室内的热量运 送到室外，使室温低于室外温度；冬天则将室外的热量运送到室内，使室温送到室外，使室温低于室外温度；冬天则将室外的热量运送到室内，使室温高于室外温高于室外温 度。若室内外的温差为度。若室内外的温差为T时，每秒钟热量传输为时，每秒钟热量传输为QAT。 （1 1） 夏天，若空调连续工作则室温夏天，若空调连续工作则室温 2 T为多少？（设室外维持恒温为多少？（设室外维持恒温 1 T） （2 2） 冬天，若要使室温维持在冬天，若要使室温维持在 1 T，则室外的温度最低为多少？，则室外的温度最低为多少？ 7 7 （题中的具体数值忘了，而且题估计也有出入）有一激光器频率为 （题中的具体数值忘了，而且题估计也有出入）有一激光器频率为，其相干长度为，其相干长度为 L L。 束腰直径为束腰直径为 D D， （， （1 1）求激光器的频谱宽度， （）求激光器的频谱宽度， （2 2）若在）若在 10km10km 的距离观察此激光器的束斑，其的距离观察此激光器的束斑，其 半径为多少？（半径为多少？（3 3）若用一个望远镜系统将此激光器的束腰减小到原来的十分之一，则此望）若用一个望远镜系统将此激光器的束腰减小到原来的十分之一，则此望 远镜系统如何设计，其放大率为多少？远镜系统如何设计，其放大率为多少？ 20072007 年春季清华大学物理系博士生资格考试年春季清华大学物理系博士生资格考试 1、 如图所示，刚杆一端如图所示，刚杆一端 O 固定在光滑铰链上，水平松手使之下落，某一时刻与水平方向夹固定在光滑铰链上，水平松手使之下落，某一时刻与水平方向夹 角角 。已知刚杆质量。已知刚杆质量 m，长度，长度 l。 （1） 求此时刚杆的角速度和角加速度。求此时刚杆的角速度和角加速度。 （2） 求距离求距离 O 为为 r 的截面的截面 A 上的横向力（与杆垂直）和力偶矩。上的横向力（与杆垂直）和力偶矩。 2、 在哈密顿系统中作一个变量代换：在哈密顿系统中作一个变量代换：PP(p,q) , Q = Q(p,q) （具体的函数关系记不清了，（具体的函数关系记不清了， 其中含有几个参数） 。问参数取什么值时变换是正则的，并写出变换的母函数。其中含有几个参数） 。问参数取什么值时变换是正则的，并写出变换的母函数。 3 3、 如图，质量为如图，质量为 m 的小球穿在一根抛物线铁丝（的小球穿在一根抛物线铁丝（y=bx2）上可以光滑的滑动，铁丝以恒）上可以光滑的滑动，铁丝以恒 O r A 清华大学物理系博士生资格考试清华大学物理系博士生资格考试 定角速度定角速度 绕对称轴旋转绕对称轴旋转, ,对称轴沿竖直方向。 取对称轴沿竖直方向。 取 x x 为广义坐标， 求出对应的广义动量。为广义坐标， 求出对应的广义动量。 从哈密顿方程得到从哈密顿方程得到 x x 的运动方程。的运动方程。 4 4、 如图，一段圆柱形金属导线中通有恒定电流。导线周围是如图，一段圆柱形金属导线中通有恒定电流。导线周围是真空真空 （1 1） 说明在这段导线的两个端面上没有能量流入或流出；说明在这段导线的两个端面上没有能量流入或流出； （2 2） 说明在导线的侧面有能量流入。说明在导线的侧面有能量流入。 （3 3） 证明单位时间流入的能量等于单位时间导线产生的焦耳热。证明单位时间流入的能量等于单位时间导线产生的焦耳热。 （4 4） 在怎么情况下，能量可以从侧面流出导线？在怎么情况下，能量可以从侧面流出导线？ 5 5、 如图，在一个半径为如图，在一个半径为 R R 圆形区域内部有指向纸内的均匀磁场圆形区域内部有指向纸内的均匀磁场 B(t)B(t)。绝缘体导轨。绝缘体导轨 ABAB 到圆到圆 心心 O O 的距离是的距离是 h h。一个质量。一个质量 m m，正电荷，正电荷 q q 的粒子静止在的粒子静止在 B B 端。现在使端。现在使 B B 随时间均匀增加，随时间均匀增加， dB/dt=KdB/dt=K，则粒子沿导轨向，则粒子沿导轨向 A A 端运动。求粒子运动到中点端运动。求粒子运动到中点 O O时的速率时的速率 v v 和受到导轨的和受到导轨的 作用力作用力 N N。 6 6、用两个薄凸透镜自制一台简易望远镜，镜筒长用两个薄凸透镜自制一台简易望远镜，镜筒长 32cm32cm（指两镜片的距离） ，刚好能分辨（指两镜片的距离） ，刚好能分辨 50m50m m x I O R h A B m,q O 清华大学物理系博士生资格考试清华大学物理系博士生资格考试 开外横向距离开外横向距离 1mm1mm 的两条细线，已知光波长为的两条细线，已知光波长为 0.550.55 m，人眼最小分辨角为，人眼最小分辨角为 310 4rad。 。 （1）求望远镜的物镜的口径。）求望远镜的物镜的口径。 （2）求物镜和目镜的焦距。）求物镜和目镜的焦距。 （3）若目镜直径为）若目镜直径为 2cm，求望远镜的入射视角。，求望远镜的入射视角。 7、 如图， 摩尔某理想气体经历一个准静态过程，、 如图， 摩尔某理想气体经历一个准静态过程， 在在pV图上反映为一条线段。图上反映为一条线段。 起点起点A(3p0,V0)， 终点终点 B(p0,3V0)。 （1）求该过程中气体对外做的功以及吸收的热量。）求该过程中气体对外做的功以及吸收的热量。 （2）求该过程中气体）求该过程中气体温度的最大值和最小值。温度的最大值和最小值。 （3）求气体的熵变。）求气体的熵变。 2002008 8 年春季清华大学物理系博士生资格考试年春季清华大学物理系博士生资格考试 力学：力学： 1 1（1515 分）斜面上有个球，开始是纯滚，随着斜面的增大，开始变得又滑又滚，已知斜面角分）斜面上有个球，开始是纯滚，随着斜面的增大，开始变得又滑又滚，已知斜面角 度，摩擦系数，球的转动惯量，质量等。求度，摩擦系数，球的转动惯量，质量等。求 (a)(a)纯滚时的质心加速度纯滚时的质心加速度 (b)(b)角度增大到何时时，开始又滑又滚角度增大到何时时，开始又滑又滚 (c)(c)又滑又滚时的角度为已知，求摩擦力做功（球运动的距离已知）又滑又滚时的角度为已知，求摩擦力做功（球运动的距离已知） 点评：这题比较简单，以前的考题里有类似的，基本是白送分。要点是掌握了纯滚条件点评：这题比较简单，以前的考题里有类似的，基本是白送分。要点是掌握了纯滚条件。 电磁学：电磁学： 2 2（1515 分）一分）一个通电螺线管，电流随时间的变化为线性关系，螺线管的单位长度匝数为个通电螺线管，电流随时间的变化为线性关系，螺线管的单位长度匝数为 n n， 半径为半径为 R R，在螺线管中有一段长为，在螺线管中有一段长为 a a，宽为，宽为 h h 的方形区域。求的方形区域。求 (a)(a)螺线管里面电磁场的分布螺线管里面电磁场的分布 (b)(b)通过方形区域的能量通过方形区域的能量 (c)(c)螺线管里面的能量表达式螺线管里面的能量表达式 点评，这个题也是属于送分题，只要记住螺线管的磁感强度的表达式，这个题就可以直接点评，这个题也是属于送分题，只要记住螺线管的磁感强度的表达式，这个题就可以直接 作了。作了。 分析力学：分析力学： 3 3（1010 分）给定一个变换，用两种方法求证是正则变换。分）给定一个变换，用两种方法求证是正则变换。 点评：纵观往年卷子，母函数经常考。这个题的变化形式比较简单，做的方法一是凑全微点评：纵观往年卷子，母函数经常考。这个题的变化形式比较简单，做的方法一是凑全微 分，二是看新坐标对原坐标的波松括号为分，二是看新坐标对原坐标的波松括号为 1 1。这个题凑微分稍微有一点麻烦。这个题凑微分稍微有一点麻烦。 4 4。 （。 （1010 分）一个锥形桶，顶角的一半为分）一个锥形桶，顶角的一半为 alphaalpha，里面有个小球绕中心转动，要求自己选定，里面有个小球绕中心转动，要求自己选定 广义坐标，写出拉格朗日量，求运动方程，并判断是否为可积体系。广义坐标，写出拉格朗日量，求运动方程，并判断是否为可积体系。 点评：这个类型的题也是老生常谈了，以前也经常考。这个题就是普物题，让用分析力学点评：这个类型的题也是老生常谈了，以前也经常考。这个题就是普物题，让用分析力学 的方法做。可以找半径和绕过的角度作为广义坐标，然后写出的方法做。可以找半径和绕过的角度作为广义坐标，然后写出 L L，进行求解。由于这个体系，进行求解。由于这个体系 是二自由度的，且可以找到两个守恒量（能量和角动量） ，因此是可积系统。是二自由度的，且可以找到两个守恒量（能量和角动量） ，因此是可积系统。 光学：光学： A(3p0,V0) B(p0,3V0) V O p 清华大学物理系博士生资格考试清华大学物理系博士生资格考试 5 5（1010 分） 。一个右圆偏振光，从折射率分） 。一个右圆偏振光，从折射率 n1n1 的介质中打到折射率的介质中打到折射率 n2n2，问光的状态变成什么，问光的状态变成什么 样了。其中告诉了你菲涅尔公式。样了。其中告诉了你菲涅尔公式。 点评：这个题算点评：这个题算是比较中规中矩，但是如果没有复习到偏振的话就彻底完了。我在做的过是比较中规中矩，但是如果没有复习到偏振的话就彻底完了。我在做的过 程中考虑了两种折射率的大小关系，即有可能有半波损失，不过即使有也没关系，因为是程中考虑了两种折射率的大小关系，即有可能有半波损失，不过即使有也没关系，因为是 对整体的半波损失，所以不影响结果。答案应该是反射光为左圆偏振，其强度由菲涅尔公对整体的半波损失，所以不影响结果。答案应该是反射光为左圆偏振，其强度由菲涅尔公 式给出。式给出。 6 6（1010 分） 。给一个指数衰减的光波形式，求自相关函数（自相关函数的公式给出） ，并说明分） 。给一个指数衰减的光波形式，求自相关函数（自相关函数的公式给出） ，并说明 用这种光做迈克耳逊干涉仪，测量长度的量程是多少。用这种光做迈克耳逊干涉仪，测量长度的量程是多少。 点评：这个题比较新，以前从来没出过。但是一点都不难，因为根据自相关函数的特点，点评：这个题比较新，以前从来没出过。但是一点都不难，因为根据自相关函数的特点， 就发现几乎不需要任何计算。所谓迈克耳逊干涉仪的测量长度，其实就是相干长就发现几乎不需要任何计算。所谓迈克耳逊干涉仪的测量长度，其实就是相干长度的一半，度的一半， 也就是和光波中指数的那个项有关。所以如果概念清楚，也就是和光波中指数的那个项有关。所以如果概念清楚，2 2 分钟就做完了。但是这题的难点分钟就做完了。但是这题的难点 同上，就是没复习到迈克耳逊干涉的话，肯定就不会了。当然，如果做光谱的，肯定会。同上，就是没复习到迈克耳逊干涉的话，肯定就不会了。当然，如果做光谱的，肯定会。 热学：热学： 7 7（1010 分）把迈克斯韦速率分布换成动能分布的形式。速率分布的归一化系数已经给了。分）把迈克斯韦速率分布换成动能分布的形式。速率分布的归一化系数已经给了。 点评：这个题和以往都不一样，以前做是考热力学，这次考的竟然是分布问题！肯定很多点评：这个题和以往都不一样，以前做是考热力学，这次考的竟然是分布问题！肯定很多 同学都没复习到。这个题，我相信只要知道速率分布函数的形式，肯定同学都没复习到。这个题，我相信只要知道速率分布函数的形式，肯定 5 5 分钟就做出来了。分钟就做出来了。 电动力学（电动力学（2020 分） ：分） ： 8 8 给定迈克斯韦方程组和洛仑兹力的形式，推导能流密度和能量密度的表达式，给定迈克斯韦方程组和洛仑兹力的形式，推导能流密度和能量密度的表达式，并说明物理并说明物理 意义。意义。 点评：这个题是压轴题，也是这次考试中最难的一个。其实就是郭硕红书上第一章的内容，点评：这个题是压轴题，也是这次考试中最难的一个。其实就是郭硕红书上第一章的内容， 王王 q q 的讲义也有。但是我觉得，如果没有对电动很熟的掌握，或是正好复习到这点，这个的讲义也有。但是我觉得，如果没有对电动很熟的掌握，或是正好复习到这点，这个 题很难当场做出来，因为涉及到了一些倒三角的运算和迈克斯韦方程的变形题很难当场做出来，因为涉及到了一些倒三角的运算和迈克斯韦方程的变形。 总结：这次普物相对来说计算量少（电动除外） ，但是知识覆盖面太大了，比以往的都要大。总结：这次普物相对来说计算量少（电动除外） ，但是知识覆盖面太大了，比以往的都要大。 这好像也是趋势，现在的资格考试不能像以前那样放弃什么东西了，因为分数都非常平均。这好像也是趋势，现在的资格考试不能像以前那样放弃什么东西了，因为分数都非常平均。 所以希望大家全面复习，不要所以希望大家全面复习，不要“压宝压宝”。另外，全面复习的另一个好处是让你对学科有个。另外，全面复习的另一个好处是让你对学科有个 整体的认识，这其实对科研也整体的认识，这其实对科研也有好处。有好处。 2 2008008 年秋季清华大学物理系博士生资格考试年秋季清华大学物理系博士生资格考试 一、一卫星在一行星的某一圆形轨道上，能量一、一卫星在一行星的某一圆形轨道上，能量 E_0E_0，半径，半径 r_0r_0。在某一时刻受到一沿径向的。在某一时刻受到一沿径向的 小冲量的作用。定量描述卫星之后的运动：小冲量的作用。定量描述卫星之后的运动：a)a)画出等效势能的图形，角动量画出等效势能的图形，角动量 L L；b)b)卫星做圆卫星做圆 周运动的周期周运动的周期 T_T_ ；c)c)卫星在受到冲量作用后，径向卫星在受到冲量作用后，径向 r r 是是 t t 的函数，写出的函数，写出 r(t)r(t)。 二、一质点质量二、一质点质量 m m 在质量为在质量为 M M 倾斜角为倾斜角为 的斜面上滑下，记的斜面上滑下，记 m m 相对斜面的运动距离为相对斜面的运动距离为 L L， 斜面的位移为斜面的位移为 X X，忽略所有的摩擦。选择广义坐标，写出系统的拉氏量，拉氏方程。求，忽略所有的摩擦。选择广义坐标，写出系统的拉氏量，拉氏方程。求 m m 相相 对对 M M 的加速度。的加速度。 三、一半径为三、一半径为 b b 的圆形平行板电容器，漏电电流为的圆形平行板电容器，漏电电流为 I I，求电容器内部任意一点的磁场强度。，求电容器内部任意一点的磁场强度。 四、描述电介质可用两种方式：用极化电荷密度四、描述电介质可用两种方式：用极化电荷密度 和和 ；用极化强度；用极化强度 P P。1)1)从物理上从物理上 讲这两种描述为什么是等价的。讲这两种描述为什么是等价的。2 2）写是两种描述下空间任意一点的电势表达式，并由）写是两种描述下空间任意一点的电势表达式，并由 1 1） 中的等价关系推出中的等价关系推出 PP， nPnP，并说说其物理意义。，并说说其物理意义。 五、一右旋圆偏振光垂直从折射率为五、一右旋圆偏振光垂直从折射率为 n1n1 的介质入射到折射率为的介质入射到折射率为 n2n2 的介质，求反射光的偏的介质，求反射光的偏 振状态。题目给出了垂直入射时的菲涅尔公式。振状态。题目给出了垂直入射时的菲涅尔公式。 六、一电磁波，六、一电磁波，Ex=Ez=0Ex=Ez=0，Ey=4cos(12Ey=4cos(12 10E(14)t10E(14)t- -5 5 10E6x)10E6x)，写出振幅，频率，波，写出振幅，频率，波 长 ， 相 速 度 ， 折 射 率 。 写 出 磁 场 表 达 式 。 若 有 另 一 列 电 磁 波长 ， 相 速 度 ， 折 射 率 。 写 出 磁 场 表 达 式 。 若 有 另 一 列 电 磁 波Ex=Ez=0Ex=Ez=0 ， Ey=4cos(10Ey=4cos(10 10E(14)t10E(14)t- -4 4 10E6x)10E6x)，写出合成波的表达式和群速度。，写出合成波的表达式和群速度。 七、七、1mol1mol 的理想气体在气缸中，上面有一固定活塞质量的理想气体在气缸中，上面有一固定活塞质量 m m 塞住，温度塞住，温度 T_0T_0，压强，压强 P_0P_0。在某。在某 清华大学物理系博士生资格考试清华大学物理系博士生资格考试 一时刻把活塞不固定，活塞上下做振动并最终停在某一位置。假设这一过程是绝热过程，一时刻把活塞不固定，活塞上下做振动并最终停在某一位置。假设这一过程是绝热过程， 忽略活塞所受外界的压力，理想气体的定容热容为忽略活塞所受外界的压力，理想气体的定容热容为 C_(vC_(v，m)m)。1 1）这一过程气体的温度是上）这一过程气体的温度是上 升？下降？不变？求之后的温度升？下降？不变？求之后的温度 T T。2 2）这一过程熵是增大还是减小，求熵变。）这一过程熵是增大还是减小，求熵变。 理论理论：一个竖直旋转圆环内一小球，求拉氏量，拉氏方程，哈氏量，讨论：一个竖直旋转圆环内一小球，求拉氏量，拉氏方程，哈氏量，讨论 T TV V 是否守恒是否守恒 电动：证明真空中电磁波为横波电动：证明真空中电磁波为横波 2002009 9 年春季清华大学物理系博士生资格考试年春季清华大学物理系博士生资格考试 一、力学（一、力学（1515 分）一个质量分）一个质量 M M 的均匀立方车架下，装有的均匀立方车架下，装有 4 4 个质量都为个质量都为 m m，半径，半径 r r 的圆轮，的圆轮， 放在倾角放在倾角的斜面上，已知每个小轮都作无滑运动，并的斜面上，已知每个小轮都作无滑运动，并 且已知车架对转动轴的摩擦力矩且已知车架对转动轴的摩擦力矩 f ，求： （，求： （1 1）车架的加）车架的加 速度和斜面对小轮的摩擦力。 （速度和斜面对小轮的摩擦力。 （2 2）若车架由静止释放，）若车架由静止释放， 运动距离为运动距离为 s s 时，求车架的速时，求车架的速度和转轴处摩擦力所做的度和转轴处摩擦力所做的 功功 f W。 二、分析力学（二、分析力学（1515 分）质量为分）质量为 1 1 的粒子，在势能的粒子，在势能 2 ( )tan ()V qUq a的场中运动，设其能的场中运动，设其能 量为量为 E E，求作用量，求作用量 I I 和频率和频率。 （给了一个积分公式）。 （给了一个积分公式） 三、电动力学（三、电动力学（2525 分） （分） （1 1）写出真空静电场的）写出真空静电场的 MaxwellMaxwell 方程组； （方程组； （2 2）随着测量仪器的日益）随着测量仪器的日益 精进，有人发现点电荷的电场不是正比于精进，有人发现点电荷的电场不是正比于 2 r，而是正比于，而是正比于 2.000001 r，试问（，试问（1 1）中的方程哪）中的方程哪 些会变， 哪些不会变；（些会变， 哪些不会变；（3 3） 若发现点电荷的电场大小除了与） 若发现点电荷的电场大小除了与 2 r成正比外， 还有一个成正比外， 还有一个1( )g 的因子，的因子，g g 是关于是关于的一个很小的函数，问（的一个很小的函数，问（1 1）中的方程哪些会变，哪些不会变？）中的方程哪些会变，哪些不会变？ （给出球坐标中矢量（给出球坐标中矢量 rr ff ef ef e 的的f和和f形式）形式） 四、电磁学（四、电磁学（1515 分）分）. .无限长半径为无限长半径为 a a 的圆直导线，通以均匀的、体密度为的圆直导线，通以均匀的、体密度为 j j 的电流，已知的电流，已知 导线电导率为导线电导率为，相对磁导率为，相对磁导率为 r 。 （。 （1 1）分析磁场的分布； （）分析磁场的分布； （2 2）求出）求出 B B、 H H； （； （3 3）求出圆棒磁化电流内表面密度）求出圆棒磁化电流内表面密度 i和磁化电流体密度和磁化电流体密度 j； （； （4 4）求）求 出单位长度内圆棒外表面流入内部的能量？出单位长度内圆棒外表面流入内部的能量？ 五、光学（五、光学（1515 分）分）. .用迈克耳逊干涉仪测量钠黄双线，已知钠黄双线的平均波长为用迈克耳逊干涉仪测量钠黄双线，已知钠黄双线的平均波长为 58935893A。 （1 1）若把干涉仪的动镜从等光程处向一个方向移动，问条纹如何变化？（条纹是从中心冒）若把干涉仪的动镜从等光程处向一个方向移动，问条纹如何变化？（条纹是从中心冒 出还是消失）（出还是消失）（2 2） 继续移动动镜， 干涉条纹变疏还是变密？ （） 继续移动动镜， 干涉条纹变疏还是变密？ （3 3） 若动镜移动距离） 若动镜移动距离 0.0289395cm0.0289395cm， 看到条纹由模糊变至清晰又变至模糊，求钠黄双线的波长？看到条纹由模糊变至清晰又变至模糊，求钠黄双线的波长？ 六、热学（六、热学（1515 分）分）. .- -1010，10g10g 的冰块放进的冰块放进 1515的湖水中，求平衡后冰块与湖水系统的熵的湖水中，求平衡后冰块与湖水系统的熵 变？（已知冰的比热变？（已知冰的比热C冰，水的比热，水的比热C水，冰的熔解热，冰的熔解热L冰） 清华大学物理系博士生资格考试清华大学物理系博士生资格考试 20092009 年秋季清华大学物理系博士生资格考试年秋季清华大学物理系博士生资格考试 1.1.如图如图 1 1，绕竖直轴进动，忽略章动，绕竖直轴进动，忽略章动, ,求求 betabeta（1).1).（进动角速度，轻（进动角速度，轻 绳长，轻杆长，以轻杆为轴的转动惯量已知）绳长，轻杆长，以轻杆为轴的转动惯量已知） 2.2.给出磁场中的给出磁场中的 LagrangeLagrange 量，在仅存在量，在仅存在 z z 方向均匀静磁场的情况下，求方向均匀静磁场的情况下，求 电子的电子的 L L，H H，守恒量，运动方程。，守恒量，运动方程。 3.3.如图。如图。dB/dt = K dB/dt = K 为定值，求为定值，求 （1 1）电场分布（）电场分布（2 2）线圈半径）线圈半径 b b，电阻，电阻 R R，求电，求电流和（流和（2 2）中的）中的 Uab Uab （sita=pi/4sita=pi/4） （3 3） （） （3 3）中的电压表读书（电）中的电压表读书（电 压表内阻压表内阻 R0R0） 4.4.（1 1）磁场在真空中的）磁场在真空中的 maxwellmaxwell 两个方程； （两个方程； （2 2）B B 和和 A A 的关系； （的关系； （3 3）如）如 磁单极子存在，如何改写磁单极子存在，如何改写 1 1 中的方程，各代表什么物理意义； （中的方程，各代表什么物理意义； （4 4）2 2 中的关系将变为如何，为啥； （中的关系将变为如何，为啥； （5 5）磁单极子组成的次偶极子和电流）磁单极子组成的次偶极子和电流 线圈线圈 分别产生的磁场等价否，为什么分别产生的磁场等价否，为什么 5.5.给出超导相和正常相的给出超导相和正常相的 G G，求相变潜热啊等东西，忘了，求相变潜热啊等东西，忘了 6.6.如图，如图，n1n4n1n4 已知，曲率半径等已知，已知左面的第已知，曲率半径等已知，已知左面的第 j j 级和第级和第 j+5j+5 级两条纹的半径，求级两条纹的半径，求 波长，右面的条纹半径（似乎是问这个，反波长，右面的条纹半径（似乎是问这个，反 正差不正差不多）多） 7.7.光栅，求光栅常数的（题目忘了，似乎直接带公式就能出结果，光栅，求光栅常数的（题目忘了，似乎直接带公式就能出结果， 等人补充吧）等人补充吧） 8.8.部分椭圆偏振光，过部分椭圆偏振光，过 x x 向偏振片有最大光强向偏振片有最大光强1.5I1.5I，过，过 y y 向偏向偏 振片有最小光强振片有最小光强I I，过，过 x x 向向 1/41/4 波片后，在与波片后，在与 x x 轴成轴成 3030 度处有度处有 最大光强，求：过最大光强，求：过 1/41/4 波片前，当偏振片与波片前，当偏振片与 x x 轴成轴成 sitasita 时，光强时，光强 和和 sitasita 的关系；过的关系；过 1/41/4 拨片后的那个最大光强多大；不偏振部分拨片后的那个最大光强多大；不偏振部分 的比例（还有别的问没？忘了）的比例（还有别的问没？忘了） 20102010 年春季清华大学物理系博士生资格考试年春季清华大学物理系博士生资格考试 力学力学(15)(15) 1. 1. 卫星变轨卫星变轨. . 以以 r0, v0r0, v0 圆周运动的卫星在圆周运动的卫星在 M M 点改变速度方向点改变速度方向, , 大小不变大小不变, , 切换到椭圆轨切换到椭圆轨 道道. . 近地点距离为近地点距离为 r0/c.r0/c. (1)(1)用用 r0r0 表示表示 v0 v0 (2)(2)求近地点速度求近地点速度 (3)(3)求求 M M 点处速度与矢径的夹角点处速度与矢径的夹角( (只与只与 c c 有关有关).). 分析力学分析力学, , 二选一二选一(15)(15) 2a. 2a. 证明证明 NoetherNoether 定理定理: Lagrangian: Lagrangian 对以参数对以参数 s_js_j 刻划的变换有不变性刻划的变换有不变性, , 求相应的守恒量求相应的守恒量 I_j.I_j. 参见参见 Hand & Finch 5.2Hand & Finch 5.2 节节. . 2b. 2b. 长长(a+b)(a+b)的轻杆两端有两个质量的轻杆两端有两个质量 m m 的小球的小球, , 绕绕 z z 轴以轴以旋转旋转. (. (见见 2b2b 附图附图) ) (1) (1) 求动能及固连坐标系中的角动量求动能及固连坐标系中的角动量 (2)(2)求对轴的力矩求对轴的力矩 (3)(3)若消除轴上力矩若消除轴上力矩, , 变成绕变成绕 O O 点的定点转动点的定点转动, , 求自转和进求自转和进动角速度动角速度. . 电磁学电磁学, , 二选一二选一(15)(15) 3a. 3a. 均匀极化为均匀极化为 P P 的电介质球的电介质球. . 求求 (1)(1)极化电荷分布极化电荷分布 (2)(2)球内极化电场球内极化电场. . 3b. Helmholtz3b. Helmholtz 线圈线圈. . 没细看没细看, , 大概是求轴上的大概是求轴上的 B, B, 两线圈相距多少时两线圈相距多少时 B B 对对 z z 的二阶导为的二阶导为 0 0 及其物理意义及其物理意义. . 可参赵凯华新概念物理第一版可参赵凯华新概念物理第一版 2.22.2 节例节例 4.4. 电动力学电动力学(25)(25) 4. 4. 原点处有一个磁单极子原点处有一个磁单极子 g, Rg, R 处有一个运动的点电荷处有一个运动的点电荷 q. q. 对空间任一点对空间任一点 r, H=r, H= gr/4gr/4 清华大学物理系博士生资格考试清华大学物理系博士生资格考试 |r|3, E=qr/4|r|3, E=qr/4 |r|3, |r|3, 场的动量密度是场的动量密度是 DXB.DXB. (1)(1)求证全空间场的角动量求证全空间场的角动量 L=L=- -g