高中数学均值不等式课件新人教B版必修.ppt

3.2均值不等式,一,二,三,一、重要不等式【问题思考】1.填空:对于任意实数a,b,有a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.,一,二,三,3.做一做:已知a,bR,且a2+b2=4,则ab()A.有最大值2,有最小值-2B.有最大值2,但无最小值C.有最小值2,但无最大值D.有最大值2,有最小值0解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b22|ab|,得|ab|2,所以-2ab2,可知ab的最大值为2,最小值为-2.答案:A,一,二,三,二、均值定理【问题思考】,一,二,三,2.均值不等式与不等式a2+b22ab的关系如何?请对此进行讨论.提示:(1)在a2+b22ab中,a,bR;在a+b中,a,b0.(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同).(3)证明的方法都是作差比较法.(4)都可以用来求最值.3.当利用均值不等式求最大(小)值,等号取不到时,如何处理?提示:等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.,一,二,三,答案:B,一,二,三,三、重要结论【问题思考】1.填空:已知x,y都为正数,则(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值_.(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值_.2.应用上述两个结论时,要注意哪些事项?提示:应用上述性质时注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.,一,二,三,3.做一做:已知x,y0,且x+4y=1,则xy的最大值为.,一,二,三,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.,答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,利用均值不等式求范围或最值,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.利用均值不等式求范围或最值时要注意:(1)x,y一定要都是正数.(2)求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值.(3)等号是否能够成立.2.有时需结合题目条件进行添项、凑项以及“1”的代换等,目的是为了使和或积为常数.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,解:x0,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,利用均值不等式比较大小,思路分析:这是一个有趣的不等式链,取特殊值可判断其大小关系.借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用均值不等式比较大小,其实质也是不等式的证明问题,但要注意对所求对象进行适用条件的验证及等号成立条件的探求.必要时,也要与之前讲述的作差法或作商法综合进行大小比较,对于结论可首先取特殊值得到,再作论证即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,答案:PQR,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,利用均值不等式证明不等式,反思感悟1.多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立;2.累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;3.对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,形成均值不等式模型,再使用.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,均值不等式与其他知识的交汇,思路分析:先利用特殊值法探求出结论,再利用函数的单调性及均值不等式证明.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,反思感悟近几年的高考,均值不等式与函数的交汇是命题的热点;在不等式恒成立问题中,可通过分离参数法,利用均值不等式求最值或范围,总之现在的高考,一般不单一地考查均值不等式,它仅作为一个工具.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,A.q=rpC.p=rq答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,均值不等式在实际问题中的应用【例5】某学校拟建一块周长为400m的操场,操场的两边是半圆形,中间是矩形(如图所示).学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,应如何设计矩形?,解:设半圆的直径为dm,矩形的另一边长为xm,中间的矩形区域面积为Sm2.由题知S=dx,且d+2x=400,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.在实际问题中,与最值有关的应用题是一种常见题型,高考试题中时有出现.解决此类问题的基本思路是,先建立目标函数,然后再求该目标函数的最值.由于均值不等式求最值具有方便快捷的特点,应作为求最值的首选方法.2.在应用均值不等式求最值时,要注意“一正、二定、三相等”的原则,特别是“三相等”必须验证.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,答案:10,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,因忽视均值不等式使用的条件而致误,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,解:0x1,log5x0)有()A.最大值8B.最小值8C.最大值4D.最小值4答案:B2.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上,则代数式3x+27y的最小值是.解析:根据条件可知x+3y=2,而3x+27y=3x+33y=6,当且仅当3x=33y时取等号.答案:6,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测,答案:a3,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思维辨析,当堂检测