理论力学第11章习题答案.pdf

我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.1 用跨过滑轮的绳子牵引质量为kg 2的滑块A沿倾角为 30的光滑槽运动。设 绳子拉力N 20F。计算滑块由位置A至位置B时，重力与拉力F所作的总功。 解： 绳子走过的距离：m 342660sin626 重心上升的高度：m )326(5 . 0)60tan66(5 . 0 总功：J 6.299.82)326(5 . 0) 3426(20 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.2 质量为kg 3的质点以sm 5的速度沿水平直线向左运动。今对其施以水平向 右的常力， 此力的作用经s 30而停止， 这时质点的速度水平向右， 大小为sm 55。 求此力的大小及其所做的功。 解： 加速度大小为： 22 sm 2sm 30 )5(55 a 力F大小：N 6 maF 位移：m 7505 2 1 5 22 ttatts 功：J 4500 FsW 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.3 重量为 W F的鼓轮沿水平面做纯滚动，如图示，拉力F与水平面成 30。轮 子与水平面之间的静摩擦系数为f，滚阻系数为，求轮心C移动距离为x的过 程中力的功。其中rR2。 解： 滚阻力偶：) 2 ( F mgNM 轮转动角度： R x 将力F向C简化，F对C主矩： 2 FR FrMC 总功： R xF mg Fx R xF mg R xFR Fx MMxF C ) 2 ()31 ( 2 ) 2 ( 22 3 60sin 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.4 计算下列情况下各物体的动能 (1)如图(a)所示，质量为m、长为l的均质直杆以角速度绕O轴转动； (2)如图(b)所示，质量为m、半径为r的圆盘以角速度绕O轴转动，其对质心C 的转动惯量为 C J； (3)如图(c)所示，质量为m、半径为r的均质圆轮在水平地面上纯滚动，质心的速 度为v； (4)如图(d)所示，质量为m、长为l的均质直杆以角速度绕球铰O转动，杆与铅 垂线的夹角为(常数) 解： (1) 22 6 1 ml；(2) 22) ( 2 1 meJC；(3) 2 4 3 mv (4) 222 sin 6 1 ml 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.5 计算图示各系统的动能 (1)如图(a)所示，质量为m、长为l的均质圆盘在自身平面内作平面运动，已知圆 盘上A、B两点的速度方向，B点的速度为 B v， 45； (2)如图(b)所示，质量为 1 m的均质杆OA、一端铰接在质量为 2 m的均质圆盘中心， 另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v； (3)如图(c)所示质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质 点A，细圆环在水平面上纯滚动，图示瞬时角速度为。 解： (1)速度瞬心在BC直径左端， r vB 2 动能： 222 16 3 2 3 2 1 B mvmr (2)OA杆平动，动能为 2 1 2 1 vm；盘纯滚动，动能 2 2 4 3 vm。所以系统总动能为 2 2 2 1 4 3 2 1 vmvm (3)细圆环动能： 22222 )( 2 1 mRmRmR A速度为R2，动能为 222 )2( 2 1 mRRm 总动能： 22 2mR 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.6 图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量为 1 m，车轮可视为均质圆盘， 半径为R。两车轮轴间的距离为R。设坦克前进速度为v，计算此质点系的动 能。 解： 两车轮动能为： 2 1 2 1 2 3 4 3 2vmvm 上面一段履带平动，下面一段静止；上面一段动能为 22 2 1 )2( 4 2 1 mvvm R 左右两段履带可视为纯滚动圆环，动能为 2 2 2 22 2 1 4 2 4 2 1 mv R v mR R mR R 总动能： 22 1 2 3 mvvm 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.7 均质杆CD和EA分别重N 50和N 80， 铰接于点B。 若杆EA以srad 2绕 A转动，试计算图示位置两杆的动能。 解： EA动能：J 4422. 5 6 1 22 EAEAl m CD的速度瞬心位于F点，在AE方向上。 srad 3 14 3 . 0 B CD v 由几何关系，CD质心到F的距离为m 20 33 ，所以CD杆动能： J 5 . 7) 20 33 ( 12 1 2 1 22 CDCDCD mlm 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.8 如图所示，重物M系于弹簧上，弹簧的另一端则固定在置于铅垂平面内的 圆环的最高点A上。重物不受摩擦地沿圆环滑下，圆环的半径为cm 20，重物的 质量为kg 5，如重物在初位置时cm 20AM，且弹簧具有原长，重物的初速度 等于零，弹簧的重量略去不计，欲使重物在最低处时对圆环的压力等于零，弹簧 刚性系数应为多大？ 解： M的初位置和末位置分别如图 初位置 末位置 末位置受力图 重力作功：mgrmg5 . 1 弹性力做功： 22 S 2 S 2 2 1 2 1 )0( 2 1 krkk 根据动能定理： 22 2 1 5 . 1 2 1 krmgrmv (1) 再根据末位置的受力图，有： r v mmgkr 2 (2) (1)、(2)联立求解： mgkr2 即：mN 490 2 r mg k 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.9 滑轮重 W F，半径为R，对轮轴O的回转半径为，一绳绕在滑轮上，绳的 另一端系一重为 P F的物体A。滑轮上作用有一不变转矩M，使系统由静止而运 动。不计绳的质量，求重物上升距离为s时的速度和加速度。 解： 设物体A的速度为V(向上)，滑轮的角速度为，存在运动学关系 RV 物体A动能： 2 P 2 1 V g F TA 定滑轮动能： 2 22 W 2 2 2 W 2 22 1 2 1 gR VF R V g F JT OO 当重物上升距离s时，外力总功： R s MsFW P 根据积分形式的动能定理： R s MsFV gR F g F P 2 2 2 WP 0) 22 ( 2 W 2 P P )(2 FRF RRFMgs V (1) 将(1)式对时间求导，有 2 W 2 P P 2 W 2 P P 2 W 2 P P 2 W 2 P P 2 W 2 P P )()(2 2 1)(2 2 1)(2 d d)(2 d d FRF RRFMg FRF RsRFMg sFRF RRFMg V sFRF RRFMg t s FRF RRFMg t V a 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.10 图示冲床冲压工件时冲头受的平均工作阻力kN52F，工作行程 mm 10s。飞轮的转动惯量 2 mkg 40J，转速minr 415n。假定冲压工件 所需的全部能量都由飞轮供给，计算冲压结束后飞轮的转速。 解： 根据动能定理 FsJ)( 2 1 2 1 2 2 60 2 1 n minr 13.412 2 ) 60 2 ( 2 60 2 1 2 J Fsn n 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.11 如图所示，均质杆AB长为l，质量为m2，两端分别与质量均为m的滑块 铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k，且当 0时，弹簧为原长。若 机构在 60时无初速开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加 速度。 解： AB杆瞬心为D， 222 3 2 ) 3 (2)2( 12 1 ml l mlmJD 滑块A的速度：cos lvA 滑块B的速度：sin lvB 系统动能： 22222 6 5 2 1 2 1 2 1 mlmvmvJ BAD 重力功：)sin(sin2)sin(sin2)sin(sin 2 000 mglmglmg l 弹性力功：)cos1 ()cos1 ( 2 1 222 0 2 llk 根据动能定理： )cos1 ()cos1 ( 2 1 )sin(sin20 6 5 222 0 2 0 22 llkmglml (1) 当 60 0 、 0时， ml klmg 20 3324 ，在逆时针方向上 对(1)式两边同时求微分 dsin)cos1 (dcos2d 3 5 22 klmglml 令 0，且注意到t dd ，将上次两边同除以t d，得： l g 5 6 ，实际方向在逆时针方向上 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.12 等长、等重的三根均质杆用理想铰链连接，在铅垂平面内摆动。求自图示 位置无初速施放时杆AB中点C的加速度，以及运动到最低位置时C的速度。设 杆长m 1l。 正方向和起点的定义 解： AB杆平动，设其中点速度为v，则系统动能为 22 2 2 6 5 2 1 2 3 1 2 1 mvmv l v mlT 在OA位置为时，重力做功为： )cos(cos2)cos(cos2)cos(cos 2 000 mglmgl mgl 根据动能定理 )cos(cos20 6 5 0 2 mglmv (1) 将 45 0 、 0代入(1)式，得 ) 2 2 1 ( 5 12 2 glv sm 625. 2v 对(1)式两边同时对时间求到导数 )(sin2sin2 3 5 l v mglmglmva sin 5 6g a 当 45 0 ，ga 10 26 对lv的说明：从上图可知，定义的的正方向是顺时针，即的正方 向也是顺时针，但机构实际作逆时针转动，所以在和lv间差一个负号。 如此定义的起点和正方向的好处是可方便计算重力功。 也可以将的起点定义在运动的初始位置， 正方向为逆时针方向。 即 0 0 、 45。此时重力作功的表达式与上面的表达式有所不同。 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.13 传送机主动轮B上作用一常转矩M，由静止开始运动。重物A的质量为 1 m，带轮B、C的半径均为r，质量均为 2 m，可看成为均质圆盘。传送机胶带 的质量可略去不计，它与水平面成角。设胶带与带轮间无滑动，试将重物的速 度v表示成位移s的函数。 解： 设重物速度为v，系统动能为 2 21 2 2 2 2 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 2 2 1 vmm r v rmvmT 外力功： sgm r M mgsM)sin(sin 1 由动能定理： sgm r M vmm)sin(0)( 2 1 1 2 21 所以： rmm sgrmM v )( )sin(2 21 1 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.14 如图所示， 重物A质量为 1 m， 系在绳索上跨过一不计质量的定滑轮D并绕 在轮B上，轮B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为 2 m，对O 轴的回转半径为。当重物A下降时，滚子C沿水平轨道滚动而不滑动，试求重 物A的加速度。 解： 设物体A速度为v，则轮角速度为： rR v 轮心C速度为 rR vr vC 系统动能： 2 2 2 2 2 2 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 1 )()( 2 1 )(2 1 )(2 1 2 1 v rR rm rR m m rR vr m rR v mvmT 在t d时间内重力元功： tgvmd 1 根据微分形式的动能定理 tgvmvv rR rm rR m mTdd )()( d 1 2 2 2 2 2 2 1 即： 2 2 2 2 2 1 2 1 )( )( d d rmmrRm rRgm t v a 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.15 链条全长m 1，单位长的质量为mkg 2，悬挂在半径为m 1 . 0R、 质量为kg 1m的滑轮上，在图示位置受扰动由静止开始下落。设链条与滑轮无 相对滑动，滑轮为均质圆盘，求链子离开滑轮时的速度。 解： 关键是计算重力作功，即链条重心的初、末位置坐标。 重心初位置： m 09758. 0 2 2 4 2 0 l r r rlrl x 重心末位置： m 5 . 0 1 x1 设速度为v，则： 2 2 22 4 1 2 1 R v mRlvT 则： mgxx R v mRlv)(0 4 1 2 1 01 2 2 22 sm 512. 2v 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.16 图示曲柄连杆机构位于水平面内。曲柄重 P F、长为r，连杆重 W F、长为l、 滑块重 G F。曲柄及连杆可视为均质细长杆。今在曲柄上作用一不变转矩M，当 90BOA时A点速度为v，求当曲柄转至水平位置时A的速度。 解： 在初位置时，AB杆瞬时平动，系统初动能 2 G 2 WP 2 G 2 W 2 2 2 P 0 223 2 1 2 1 2 1 6 1 v g F v g F g F v g F v g F r v r g F T 当OA、AB在同一直线上时，AB杆瞬心在B点，设A点速度为 1 v，则末动能为 2 1 WP 2 2 1 2 W 2 2 1 2 P 1 6 1 6 1 6 1 v g F g F l v l g F r v r g F T 外力作功： 2 MW 2 223 2 1 6 1 2 G 2 WP 2 1 WP Mv g F v g F g F v g F g F WP 2 GWP 1 )33(3 FF vFFFMg v 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.17 两均质杆AC和BC的质量均m，长均为l，在点C用铰链相连接，放在光 滑水平面上，如图所示。由于A和B端的滑动，杆系在其铅直面内落下。点C的 初始高度为h。开始时杆系静止，求铰链C与地面相碰时的速度v。 解： AB作定轴转动，CB作平面运动。当AB、CB刚水平时，CB瞬心为B AB C BC l V 此时系统动能 2222 3 1 2 1 2 1 ABBCBABABCAB mlJJTTT 根据动能定理积分形式 mgh h mgml AB 2 20 3 1 22 所以 gh l AB 3 1 ghlV ABC 3 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.18 均质连杆AB质量为kg 4，长mm 400l。均质圆盘质量为kg 6，半径 mm 100r。弹簧刚度为mmN 2k，不计套筒A及弹簧的质量。如连杆在图 示位置被无初速施放后，A端沿光滑杆滑下，圆盘作纯滚动。求： (1)当AB到达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度； (2)弹簧的最大压缩量 解： 当AB杆水平时，B为其瞬心，则圆盘角速度为0，AB杆角速度为 AB 。 系统动能： 22 6 1 AB mlT 重力功： 4 30sin 2 mgl mg l W 所以： 4 0 6 1 22 mgl ml AB srad 95. 4 AB 弹簧处于最大压缩量时，AB及圆盘速度均为零，则有 2 maxmax 22 2 1 2 1 )95. 4( 6 1 0kmgml 解得： m 0871. 0 max 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.19 图(a)的圆盘和图(b)的圆环，质量均为m，半径均为r，均置于距地面为h 的斜面上，斜面倾角为，盘与环都从时间0t开始，在斜面上作纯滚动。分析 圆盘与圆环哪一个先到达地面？ 解： 若均质圆盘圆心速度为 1 v，则均质圆盘的动能 2 11 4 3 mvT ；若圆环圆心速度 为 2 v，则圆环动能为 2 222 vmT 若均质圆盘沿斜面下滑tv d 1 ，则有 sindd 2 3 d 1111 tmgvvmvT sin 3 2 1 ga 同样，对圆环有 sin 2 1 2 ga 由于 21 aa ，所以均质圆盘先达到地面。 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.20 如图所示，质量为kg 15的细杆可绕轴转动，杆端A则连接刚度系数为 mN 50k的弹簧；弹簧另一端固结于B点，弹簧原长m 5 . 1。试求杆从水平位 置以初角速度srad 1 . 0 0 落到图示位置的角速度。 解： 弹簧初变形m 5 . 0 0 ，末变形m )5 . 132( 1 设杆在图示位置的角速度为 1 ，则 )( 2 60sin 2 )( 6 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 kmgl ml 所以 srad 929. 1 1 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.21 均质杆长l 2，在光滑水平面上从铅垂位置无初速地倒下(如图示)。求其质 心C离平面的高度为h时的速度。 解： 根据例题 11.12，有 )sin1 (0)cos 3 1 ()2( 8 1 222 mgllm 注意到lharctan，有 22 34 )(6 hl hlg 速度瞬心如图，有 22 22 34 )(6 )( hl hlg hlhlDCvC 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.22 轴转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。已知动齿轮半径为r，质量 为 1 m，可看成为均质圆盘；曲柄OA，质量为 2 m，可看成是均质杆；定齿轮半 径为R。在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M，使此机构由静止开始运动。 求曲柄转过角后的角速度和角加速度。 解： 设曲柄的角速度为，齿轮 2 的角速度为 2 。 r rR 2 取整个系统作为研究对象，系统的初动能：0 1 T 杆转过角后，系统的动能： 22 1 22 2 2 2 2 1 2 1 22 22 )( 4 3 )( 6 1 4 1 2 1 )( 6 1 rRmrRm rmVmrRmT A 由于系统在水平面内，重力不作功，理想约束反力不作功，所以只有M作功： MW 12 根据积分形式的动能定理 1212 WTT 21 29 32 mm M rR )29()( 6 d d 2 1 29 32 d d 29 32 d d 21 2 21 21 mmrR M tmm M rR tmm M rRt 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.23 均质细长杆AB长为l，质量为m，B端靠在光滑铅直墙壁上，A端用铰链 与圆柱中心相连，如图所示。圆柱质量为M，半径为r，从图示位置由静止开始 沿水平面滚动。求A点在初瞬时的加速度。 解： 取为系统的位置参数，如图。AB瞬心为D。(轮应理解为纯滚动)。 、 222 3 1 4 1 12 1 mlmlmlJD cos lvA 系统动能： 22222222 cos 4 3 6 1 4 3 3 1 2 1 MlmlMvmlT A 重力作功：)cos(cos 2 0 mgl 所以，根据动能定理 )cos(cos 2 cos 4 3 6 1 0 22222 mgl Mlml 两边同时取微分，有 dsin 2 dsincos 2 3 dcos 2 3 d 3 1 22222 mgl MlMlml 两边同除以t d sin 2 dsincos 2 3 cos 2 3 3 1 32222 mgl MlMlml 注意到 45时0，代入上式 Mm mg 94 23 ，在顺时针方向 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 以B为基点，研究A点加速度(注意到在刚开始运动时，AB杆角速度为零) BABA aaa t 投影到水平向左方向，得： Mm mgl l Mm mg aa ABA 94 3 2 2 94 23 45cos t 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.24 水平均质细杆质量为m，长为l，C为杆的质心。杆A处为光滑铰支座，B 端为一挂钩，如图所示。如B端突然脱落，杆转到铅垂位置，问b值多大能使杆 有最大角速度。 解： 杆对A转动惯量 22 12 1 mbmlJA 落到铅垂位置时， mgbmblJA 2222 ) 12 1 ( 2 1 2 1 所以 2 2 2 12 2 b l gb 显然，当 0 ) 12 ( 2 12 2 12 2 22 2 2 2 2 2 b l bbb l g b l gb 时 有最大值，此时lb 6 3 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.25 在图示机构中，鼓轮B质量为m，内、外半径分别为r和R，对转轴O的 回转半径为，其中绕有细绳，一端吊有一质量为m的物块A，另一端与质量为 M、半径为r的均质圆轮C相连，C沿斜面作纯滚动。斜面倾角为，绳的倾斜 段与斜面平行。试求： (1).鼓轮的角加速度 (2).斜面的摩擦力及连接物块A的绳子的张力(表示为的函数) 解： 设鼓轮角速度为，则系统动能为 2222222222 ) 2 3 ( 2 1 4 3 2 1 2 1 MrmRmMrmRmT 若滚轮顺时针转动t d，则元功之为： tRmgtrMgWddsind 由动能定理的微分形式 tRmgrMgMrmRmd)sin(d) 2 3 ( 222 得： 222 3)(2 )sin(2 d d MrRm mRMrg t 计算鼓轮的角加速度，也可使用对定点O的动量矩定理。系统的受力图如下 设鼓轮的加速度为，逆时针为正，则： 鼓轮对O动量矩： 2 m 假设物体A的质心在绳的延长线上，A对O动量矩： 2 mR 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 圆轮C对O动量矩： 22 2 3 2 1 MrrrMMr 因此系统对O的动量矩： 222 2 3 )(MrRmLO 外力对O点之矩的总和：sinMgrMgR 所以： sin d d 2 3 )( d d 222 MgrMgR t MrRm t LO 即： 222 3)(2 )sin(2 d d MrRm mRMrg t 注意： 由几何关系，轮C所受摩擦力正好通过O，且轮C的重力沿斜面法向方向的 分量与斜面的支持力正好平衡，因此这些力对O之矩均为零。 由几何关系可知，轮C的角速度和角加速度与鼓轮相同。 对轮C应用对质心的动量矩定理，立刻可得到： 2 2 1 MrFr 即： MrF 2 1 分析A即可得(过程略去)： )(RgmTA 1 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 1.26 正方形均质板的质量为kg 40，在铅直平面内以三根软绳拉住，板的边长 mm 100b，如图所示。求： (1)当软绳FG剪断后，木板开始运动的加速度以及AD和BE两绳的张力。 (2)当AD和BE两绳位于铅直位置时，板中心C的加速度和两绳的张力。 解： 板始终作平动，其角加速度为 0。 (1) 在剪断绳FG后的瞬间，板受力图如上 质心C的加速度垂直于AD或BE。根据相对于质心的动量矩定理： 060cos)(5 . 060sin)(5 . 0 ABAB TTbTTb 即： ) 13() 13( BA TT 根据y方向的质心运动定理： 60sinGTT BA 联立求解，得到： N 268N 72 BA TT 根据x方向的质心运动定理： 60cosGmaC， gaC5 . 0 (2)当柔绳铅垂时，木板的受力图以及质心C加速度如图。 根据动能定理， )60sin1 ( 2 1 2 mgmvC 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 所以： 2 22 sm 63. 2)60sin1 (2 g l v l v a CA C 根据动量矩定理： BA TT 根据动量定理： CBA mamgTT 因此： N 5 .248 BA TT 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.27 图示一撞击试验机， 主要部分为一质量为kg 20m的钢铸物， 固定在杆上， 杆重和轴承摩擦都忽略不计。钢铸物的中心到铰链O的距离为m 1l，钢铸物由 最高位置A无初速地落下。求轴承的约束力与杆位置之间的关系。并讨论等 于多少时杆受力为最大或最小。 解： 由动能定理可求出、 的关系。 )cos1 ( 2 1 2 mg ml 所以： )cos1 ( 2 2 l g sin l g 由于杆不计质量，因此是二力杆。钢铸物的加速度及受力图如下。 )cos1 (2cos 2 n mglmmaNmg )2cos3(mgN 而轴承受到的力为)2cos3(mgNN，方向相反。显然， 当时，N 980 max N 当 3 2 arccos时，N 0N 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.28 在图示机构中，物体A质量为 1 m，放在光滑水平面上；均质圆盘C、B质 量均为m，半径均为R；物体D质量为 2 m。不计绳的质量，设绳与滑轮之间无 相对滑动，绳的AE段与水平面平行，系统由静止开始释放，试求物体D的加速 度以及BC段绳的张力。 解： 不妨设D速度为v，向下。则轮C相当于沿其左边绳纯滚动，圆心C的速度 为v；轮B边缘上速度显然为v2，物体A速度也为v2。 系统动能： 2 21 2 2 2222 1 ) 2 1 4 7 2( 2 1 4 3 ) 2 ( 2 1 2 1 )2( 2 1 vmmm vmmv r v mrvmT 在t d时间内，外力元功为： tmgvtgvmWddd 2 所以 tgvmmvvmmmTd)(d) 2 7 4(d 221 所以： 21 2 287 )(2 d d mmm gmm t v a 而根据运动学关系，物体A的加速度是a2 研究物体A， 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 AE段绳索张力： 21 12 1 287 )(4 2 mmm gmmm amTAE 再研究B： mra r a mrrTrT AEBC 2 2 1 2 21 212 287 )(2)(4 mmm mgmmgmmm maTT AEBC 求BC的张力，也可以研究，选择A、B组成的系统，对B的动量矩定理。 或者选择C、D组成的系统，对绳的悬挂点的动量矩定理。 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.29 图示三棱柱A沿三棱柱B的斜面滑动，A和B的质量各为 1 m与 2 m，三棱 柱的斜面与水平面成角。如开始时动系静止，忽略摩擦，求运动时三棱柱B的 加速度。 请参照习题 9.13 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.30 均质棒AB的质量为kg 4m，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平 位置，如图所示。设其中一绳突然断了，求此瞬时另一绳的张力。 解： 忽略绳索变形。若右绳断裂，在断裂瞬间，AB 杆角速度为零，其上各点速 度也为零。即AB杆相当于绕固定点A定轴转动。 Plml 2 1 3 1 1 2 所以 l g 2 3 1 AB杆质心C加速度 4 3 2 1 gl aC 根据质心运动定理，有： N 8 . 9 1 C mamgT 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.31 定滑轮O及动滑轮C均为均质圆盘，质量均为m，半径均为R，用绳缠绕 连接，如图所示。如此系统由静止开始运动，求动滑轮质心C的速度v与下降距 离h的关系，并求AB段绳子的张力。 两滑轮的受力图 解： 两轮受力图分别如上。对轮O，应用对定点的动量矩定理；对轮C，应用对 其质心的相对动量矩定理，显然有： CO 由于系统从静止开始运动，由此可得到： CO 设C速度为 C v，根据运动学关系，有： CCOC RRv2)( 显然，也有： CCOC RRa2)( 系统动能： 2222222 2 5 2 1 2 1 )2( 2 1 2 1 2 1 CCCO mRmRRmmRT 由动能定理 mghmR C 22 2 5 所以： 2 5 2 R gh C 5 2 2 5 2 22 2 gh R gh RRv CC 5 4 5 2 2 2 1 5 2 2 d d 5 2 2 d dggh h g t hg t v a C C 由此得到动滑轮C的角加速度： R g R aC C 5 2 2 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 对动滑轮利用对质心C的相对动量矩定理，有： R g mRmRTR C 5 2 2 1 2 1 22 所以： 5 mg T 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.32 质量为 0 m的上刻有半径为r的半圆槽，放在光滑水平面上，原处于静止状 态。有一质量为m的小球自A处无初速地沿光滑半圆槽下滑。若mm3 0 ，求小 球下滑到B处时相对于物体的速度及槽对小球的正压力。 解： 当小球位于B时，设圆槽速度为v，小球相对于圆槽速度为 r v。v水平向右， r v水平向左。系统在水平方向动量守恒： 0)( r0 vvmvm 所以： vv4 r 动能定理： mgrvvmvm 2 r 2 0 )( 2 1 2 1 所以： 6 gr v ，grvv 3 8 4 r 以槽为动系，小球为动点，加速度合成矢量图如下： 小球的加速度合成矢量图和受力图 其中： 3 8 2 r n r g r v a e n r t ra aaaa 投影到竖直向上方向，有 3 8 n ra g aa y 根据小球的受力图，有 y mamgN a mgmamgN y 3 11 a 我在沙滩上写上你的名字，却被浪花带走了；我在云上写上你的名字，却被风儿带走了；于是我在理论力 学的习题答案上写上我的名字. 四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 11.33 图示机构中， 物块A，B的质量均为m， 两均质圆轮C、D的质量均为m2， 半径均为R。轮C铰接于无重悬梁CK上，D为动滑轮，梁的长度为R3，绳与 轮间无滑动，系统由静止开始运动。求： (1)