电磁场与电磁波课后习题答案第2章杨儒贵编着.pdf

1 第二章 静电场 2-1 若真空中相距为 d 的两个电荷 q1及 q2的电量分别 为 q 及 4q，当点电荷 q 位于 q1及 q2的连线上时，系统 处于平衡状态，试求 q 的大小及位置。 解解 要使系统处于平衡状态，点电荷 q 受到点电荷 q1及 q2的力应该大小相等，方向相反，即 qqqq FF 21 。那么， 由 12 2 20 2 2 10 1 2 44 rr r qq r qq ，同时考虑到drr 21 ，求得 drdr 3 2 , 3 1 21 可见点电荷 q 可以任意，但应位于点电荷 q1和 q2的连线 上，且与点电荷 1 q相距d 3 1 。 2-2 已 知 真 空 中 有 三 个 点 电 荷 ， 其 电 量 及 位 置 分 别 为： )0 , 1 , 0( ,4 ) 1 , 0 , 1 ( ,1 ) 1 , 0 , 0( ,1 33 22 11 PCq PCq PCq 试 求 位 于)0 , 1, 0( P点 的 电 场 强度。 解解 令 321 ,rrr分别为三个电电荷的位置 321 ,PPP到P点的 距离，则2 1 r，3 2 r，2 3 r。 利用点电荷的场强公式 r eE 2 0 4r q ，其中 r e为点电 荷 q 指向场点P的单位矢量。那么， 习题图 2-2 z x 1 q 2 q 3 q P E3 E2 E1 2 1 q在 P 点 的 场 强 大 小 为 0 2 10 1 1 8 1 4 r q E， 方 向 为 zyr eee 2 1 1 。 2 q在 P 点的场强大小为 0 2 20 2 2 12 1 4 r q E，方向为 zyxr eeee 3 1 2 。 3 q在 P 点 的 场 强 大 小 为 0 2 30 3 3 4 1 4 r q E， 方 向 为 yr ee 3 则P点的合成电场强度为 z eee EEEE yx 312 1 28 1 4 1 312 1 28 1 312 11 0 321 2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。 解 令点电荷q位于坐标原点，r为点电荷q至场点 P 的距离。再令点电荷q位于+z坐标轴上， 1 r为点电荷q 至场点 P 的距离。两个点电荷相距为l，场点 P 的坐标为 （r,） 。 根据叠加原理，电偶极子在场点 P 产生的电场为 3 1 1 3 0 4rr qrr E 考虑到 r l， 1 r e= er，cos 1 lrr，那么上式变为 rr rr rrrrq rr rrq eeE 2 1 2 11 0 2 1 2 22 1 0 )( 44 3 式中 2 1 2 2 2 1 22 1 1 cos21 1 cos2 r l r l r rllrr 以 r l 为变量，并将 2 1 2 2 cos21 r l r l 在零点作泰勒展 开。由于rl ，略去高阶项后，得 cos 1 cos1 1 2 1 1 r l rr l r r 利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为 r eeE 3 0 3 0 2 0 4 sin 2 cos1 cos 1 4r ql r ql rr l r q 2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为 6 102 C，相距为 2cm， 如习题图 2-4 所示。试求：P 点的电位；将 电量为 6 102 C 的点电荷由无限远处缓慢地移至 P 点时， 外力必须作的功。 解解 根据叠加原理，P点的合成电位为 V105 . 2 4 2 6 0 r q 因此，将电量为C102 6 的点电荷由无限远处缓慢地移到 P点，外力必须做的功为 J5 qW 2-5 通过电位计算有限长线电荷 1cm P 1cm q q 1cm r 习题图 2-4 4 的电场强度。 解解 建立圆柱坐标系。 令先电 荷沿 z 轴放置，由于结构以 z 轴对称，场强与无关。为了简 单起见，令场点位于 yz 平面。 设线电荷的长度为L，密度为 l ，线电荷的中点位于坐标原 点，场点P的坐标为 zr, 2 , 。 利用电位叠加原理，求得场点 P的电位为 2 2 00 d 4 L L l r l 式中 2 2 0 rlzr。故 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 22 22 ln 4 ln 4 r L z L z r L z L z rlzlz l L L l 因E，可知电场强度的 z 分量为 2 2 2 2 0 22 22 ln 4 r L z L z r L z L z zz E l z y 习题图 2-5 r0 P z z r o dl l 1 2 5 2 2 2 2 0 2 1 2 1 4 r L zr L z l 22 0 2 1 1 2 1 1 4 r Lz r Lz r l 2222 022 4 Lzr r Lzr r r l 12 0 sinsin 4 r l 电场强度的 r 分量为 2 2 2 2 0 22 22 ln 4 r L z L z r L z L z rr E l r 2222 0 222 4 rLzLzrLz r l 2222 222rLzLzrLz r 22 0 2 1 22 1 1 4 r Lz r Lz r Lz r l 6 22 2 1 22 1 1 r Lz r Lz r Lz 1 2 1 1 2 0 tan 1 1 tan 1 tan 1 1 1 4 r l 2 2 2 2 2 tan 1 1 tan 1 tan 1 1 1 21 0 cos1cos1 4 r l 21 0 coscos 4 r l 式中 2 t anarc , 2 tanarc 21 L z r L z r ，那么，合成电强为 rz l r eeE 1212 0 coscossinsin 4 当 L时， , 0 21 ，则合成电场强度为 r l r eE 0 2 可见，这些结果与教材 2-2 节例 4 完全相同。 2-6 已知分布在半径为 a 的半圆周上的电荷线密度 0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。 7 解解 建立直角坐标，令线电荷位于 xy 平面，且以 y 轴为 对称，如习题图 2-6 所示。那么，点电荷l ld 在圆心处产 生的电场强度具有两个分量 Ex和 Ey。由于电荷分布以 y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的 y E分量，即 sin 4 d dd 2 0a l EE l y 考虑到sin,dd 0 l al，代入上式求得合成电场强度 为 yy aa eeE 0 0 0 2 0 0 8 dsin 4 2-7 已知真空中半径为 a 的圆环上均匀地分布的线电荷 密度为 l ，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场 强度。 习题图 2-6 a y x o ld E 习题图 2-7 x y z P r o a 8 解解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图 2-7 所示。那么，点电荷l ld 在 z 轴上P点产生的电位为 r l l 0 4 d 根据叠加原理，圆环线电荷在P点产生的合成电位为 22 0 2 0 0 2 0 02 d 4 d 4 1 za a l r l r z l a l a l 因电场强度E，则圆环线电荷在P点产生的电 场强度为 23 22 0 2za az z z l zz eeE 2-8 设宽度为 W，面密度为 S 的带状电荷位于真空中， 试求空间任一点的电场强度。 解解 建立直角坐标，且令带状电荷位于 xz 平面内，如习 题图 2-8 所示。带状电荷可划分为很多条宽度为 x d的无 限长线电荷，其线密度为x s d。那么，该无限长线电荷 习题图 2-8 x y z 2 w 2 w x d o r y x 2 w 2 w dx x (a) (b) P(x,y) 9 产生的电场强度与坐标变量 z 无关，即 r eE r x s 0 2 d d 式中 2 2 yxxr yxx rr y r xx yxyxr eeeee 1 得 yxx yxx x s yx eeE 2 2 0 2 d d 那么 yxx yxx x s w wyx eeE 2 2 0 2 2 2 d y w x y w x y w x y w x ss2 arctan 2 arctan 2 2 2 ln 4 0 2 2 2 2 0 yx ee 2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为 a，面电荷密度 为 S ，位于 z = 0 平面，且盘心与原点重合，试求圆盘 轴线上任一点电场强度E。 解 如图 2-9 所示，在圆盘上取一半径为r，宽度为rd的 圆环，该圆环具有的电荷量为 s rrqd2d。由于对称性， 该圆环电荷在 z 轴上任一点 P 产生的电场强度仅的r有z 分量。根据习题 2-7 结果，获知该圆环电荷在 P 产生的 习题图 2-9 o x y z r dr P(0,0,z) 10 电场强度的z分量为 23 22 0 2 d d zr rzr E s z 那么，整个圆盘电荷在 P 产生的电场强度为 22 0 0 23 22 0 2 d 2 az z z z rz rzr s z a s z eeE 2-10 已 知 电 荷 密 度 为 S 及 S 的 两 块 无 限 大 面 电 荷 分 别位于 x = 0 及 x = 1 平面，试求10 , 1xx及0x区 域中的电场强度。 解解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的， 其电 场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位 于 x = 0 平面内的无限大面电荷 S ，在 x 0 区域中产生的电场强度 11 E x eE 。位于 x = 1 平面内的无限大面电荷 S ，在 x 1 区域中产生 的电场强度 22 E x eE 。 由电场强度法向边界条件获知， 0 1010 x s EE 0 2020 x s EE 即 0 1010 x s EE 1 2020 x s EE 由此求得 0 21 2 s EE 根据叠加定理，各区域中的电场强度应为 0 , 0 2121 xEE xx eeEEE 10 , 0 2121 xEE s xx eeEEE 1 , 0 2121 xEE xx eeEEE 11 2-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为 br bra ar 0, ,10 0 , 0 6 试求braar ,0及br 区域中的电通密度D。 解解 作一个半径为 r 的球面为高斯面，由对称性可知 r eDsD 2 4 d r q q s 式中 q 为闭合面 S 包围的电荷。那么 在ar 0区域中，由于 q = 0，因此 D = 0。 在bra区域中，闭合面 S 包围的电荷量为 336 3 4 10darvq v 因此， r eD 2 336 3 10 r ar 在br 区域中，闭合面 S 包围的电荷量为 336 3 4 10dabvq v 因此， r eD 2 336 3 10 r ab 2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为 ar a qr ar r q , , 2 r eE 试求球内外各点的电位。 解解 在ar 区域中，电位为 a q ra a q r a a rr 22 2 dddrErErE 在ar 区域中， r q r r rE d 2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为 12 ar r a arr , , 2 5 3 r eE 试求空间的电荷密度。 解解 利用高斯定理的微分形式 0 E，得知在球坐标 系中 r Er rr r 2 2 00 d d1 E 那么，在ar 区域中电荷密度为 2 0 5 2 0 5 d d1 rr rr r 在ar 区域中电荷密度为 0 d d1 5 2 0 a rr r 2-14 已知真空中的电荷分布函数为 ar arr r , 0 0 , )( 2 式中 r 为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。 解解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么 根据高斯定理 0 2 0 4d q rE q s sE 在ar 0区域中 5 0 22 5 4 d4drrrrvrq r v rr r r r eeE 0 3 0 5 2 5 1 5 4 4 1 在ar 区域中 5 0 22 5 4 d4darrrvrq a v rr r a a r eeE 0 2 5 0 5 2 5 1 5 4 4 1 13 2-15 已知空间电场强度 zyx eeeE543，试求（0,0,0） 与（1,1,2）两点间的电位差。 解解 设 P1点的坐标为（0,0,0,）, P2点的坐标为（1,1,2,） ， 那么，两点间的电位差为 2 1 d P P VlE 式中 zyxdddd ,543 zyxzyx eeeleeeE， 因 此 电 位 差为 V3d5d4d3 2, 1 , 1 0, 0, 0 zyxV 2-16 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为 a，外导体的 内半径为 b。若填充介质的相对介电常数2 r 。试求在 外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内外导 体半径之比。 解解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为 q1， 则同轴线内 电场强度 r eE r q 2 1 。为了使同轴线获得最高耐压，应在 保持内外导体之间的电位差 V 不变的情况下，使同轴线 内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面ar 处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电 容为 V a b q a bV q C ln 2 ln 2 1 1 1 则同轴线内导体表面ar 处电场强度为 a b a b b V a b a V aE lnln )( 令 b 不变，以比值 a b 为变量，对上式求极值，获知当比 14 值e a b 时， aE取得最小值，即同轴线获得最高耐压。 2-17 若在一个电荷密度为，半径为 a 的均匀带电球 中，存在一个半径为 b 的球形空腔，空腔中心与带电球 中心的间距为 d，试求空腔中的电场强度。 解解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。 首先设半径为 a的整个球内充满电荷密度为的电荷，则球内P点的电 场强度为 reE rP 0 3 2 0 1 3 3 4 4 1 r r 式中r是由球心 o 点指向P点的位置矢量， 再设半径为b的球腔内充满电荷密度为的电荷， 则其在球内P点的电场强度为 reE rP 0 3 2 0 2 33 4 4 1 r r 式中 r 是由腔心 o 点指向P点的位置矢量。 那么，合成电场强度 PP EE 21 即是原先空腔内任一 点的电场强度，即 drrEEE PPP 00 21 33 式中d是由球心 o 点指向腔心 o 点的位置矢量。可见，空 习题图 2-17 o b a P r d r 15 腔内的电场是均匀的。 2-18 已知介质圆柱体的半径为 a，长度为 l，当沿轴线方向发生 均匀极化时，极化强度为P，试 求介质中束缚电荷在圆柱内外轴 线上产生的电场强度。 解解 建立圆柱坐标， 且令圆柱的下 端面位于 xy 平面。由于是均匀极 化，故只考虑面束缚电荷。而且 该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度 与极化强度的关系为 ns eP 式中 en为表面的外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱 体上端面的束缚电荷面密度为P s 1 ，圆柱体下端面的 束缚面电荷密度为P s 2 。 由习题 2-9 获知，位于 xy 平面，面电荷为 s 的圆盘 在其轴线上的电场强度为 z s az z z z eE 22 0 2 因此，圆柱下端面束缚电荷在 z 轴上产生的电场强度为 z az z z zP eE 22 0 2 2 而圆柱上端面束缚电荷在 z 轴上产生的电场强度为 z alz lz lz lzP eE 22 0 1 )( 2 那么，上下端面束缚电荷在 z 轴上任一点产生的合成电 场强度为 x y z a P 习题图 2-18 P l y 16 22 2 2 0 2 az z z z alz lz lz lzP z eE 2-19 已知内半径为 a，外半径为 b 的均匀介质球壳的介 电常数为， 若在球心放置一个电量为 q 的点电荷， 试求： 介质壳内外表面上的束缚电荷；各区域中的电场强 度。 解解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理 r eDsD 2 2 4 4d r q qDrq s 在ar 0区域中，电场强度为 r e D E 2 00 4r q 在bra区域中，电场强度为 r e D E 2 4r q 在br 区域中，电场强度为 r e D E 2 00 4r q 再求介质壳内外表面上的束缚电荷。 由于EP 0 ，则介质壳内表面上束缚电荷面密 度为 2 0 2 0 4 1 4a q a q s PePn r 外表面上束缚电荷面密度为 2 0 2 0 4 1 4b q b q s PePn r 2-20 将一块无限大的厚度为 d 的介质板放在均匀电场E 中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为，均匀 17 电场E的方向与介质板法线的夹角为 1 ，如习题图 2-20 所示。当介质板中的电场线方向 4 2 时，试求角度 1 及 介质表面的束缚电荷面密度。 解解 根据两种介质的边界条件获知， 边界上电场强度切向 分量和电通密度的法向分量连续。因此可得 221 sinsinEE； 221 coscosDD 已知 220 ,EDED，那么由上式求得 0 1 0 2 0 1 0 2 1 arctantantan tan tan 已知介质表面的束缚电荷)( 0E DePe nns ， 那么，介质左表面上束缚电荷面密度为 10 0 21 0 2 0 211 cos111 E ns DeDePe nn1 介质右表面上束缚电荷面密度为 10 0 22 0 2 0 2222 cos111 E ns DeDePe nn 2-21 已知两个导体球的半径分别为 6cm 及 12cm，电 量均为 6 103 C，相距很远。若以导线相连后，试求： 电荷移动的方向及电量；两球最终的电位及电量。 解解 设两球相距为 d，考虑到 d a, d b，两个带电球 E d 1 1 2 2 0 0 E 习题图 2-20 E 2 en2 en1 18 的电位为 d q a q 21 0 1 4 1 ； d q b q 12 0 2 4 1 两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布， 但总电荷量应该守恒，即 21 及 C106 6 21 qqq， 求得两球最终的电量分别为 C102 3 1 2 6 1 qq abbdad bda q C104 3 2 2 6 2 qq abbdad adb q 可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球， 移动的电荷量为 C101 6 。 两球最终电位分别为 V103 4 1 51 0 1 a q V103 4 1 52 0 2 b q 2-22 已知两个导体球的重量分别为 m1=5g，m2=10g，电 量均为 6 105 C，以无重量的绝缘线相连。若绝缘线的长 度 l = 1m，且远大于两球的半径，试求；绝缘线切断 的瞬时，每球的加速度；绝缘线切断很久以后，两球 的速度。 解解 绝缘线切断的瞬时，每球受到的力为 N225. 0 4 105105 4 0 66 2 0 21 r qq F 因此，两球获得的加速度分别为 2 1 1 sm45 005. 0 225. 0 m F a 2 2 2 sm5 .22 01. 0 225. 0 m F a 19 当两球相距为 l 时，两球的电位分别为 l q r q 2 1 1 0 1 4 1 ； l q r q 1 2 2 0 2 4 1 此时，系统的电场能量为 2211 2 1 2 1 qqW 绝缘线切断很久以后，两球相距很远(la, lb)， 那么，两球的电位分别为 10 1 1 4r q ; 20 2 2 4r q 由此可见，绝缘线切断很久的前后，系统电场能量的变 化为 ) J (225. 0 442 1 42 1 0 2 2 0 1 1 0 2 l q q l q q l q W 这部分电场能量的变化转变为两球的动能，根据能量守 恒原理及动量守恒定理可得下列方程： 2 22 2 11 2 1 2 1 vmvmW， 0 2211 vmvm 由此即可求出绝缘线切断很久以后两球的速度 v1和 v2： sm74. 7 1 v； sm87. 3 2 v 2-23 如习题图 2-23 所示，半径为 a 的导体球中有两 个较小的球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷 q1及 q2，在距离ar 处放置另一个点电荷 q3，试求三 个点电荷受到的电场力。 q1 q2 r q3 a 习题图 2-23 20 解解 根据原书 2-7 节所述，封闭导体空腔具有静电屏蔽 特性。因此，q1与 q2之间没有作用力，q3对于 q1及 q2 也没有作用力。 但是 q1及 q2在导体外表面产生的感应电 荷-q1及-q2，对于 q3有作用力。考虑到 ra，根据库仑 定律获知该作用力为 2 0 321 4r qqq f 2-24 证 明 位 于 无 源 区 中 任 一 球 面 上 电 位 的 平 均 值 等 于 其球心的电位，而与球外的电荷分布特性无关。 解解 已 知 电 位 与 电 场 强 度 的 关 系 为E， 又 知 E，由此获知电位满足下列泊松方程 0 2 利用格林函数求得泊松方程的解为 SV GGvGsrr,rrrr, r rr,rdd 00 0 0 式中 rr rr, 4 1 0 G。考虑到 3 0 4 1 rr rr rr, G，代入 上式得 SV vsrr rr r rr r rr r rd 4 1 d 4 1 3 0 若闭合面S内为无源区，即0，那么 S srr rr r rr r rd 4 1 3 若闭合面 S 为一个球面，其半径为 a，球心为场点，则 arr，那么上式变为 21 srr rr r d 4 1 3 S aa 考虑到差矢量rr的方向为该球面的半径方向，即与 s d的方向恰好相反，又E,则上式变为 s aa SS d 4 1 d 4 1 2 rsEr 由于在S面内无电荷，则0d S sE，那么 s a S d 4 1 2 rr 由此式可见，位于无源区中任一球面上的电位的平均值 等于其球心的电位，而与球外的电荷分布无关。 2-25 已知可变电容器的最大电容量pF100 max C，最小电 容量pF10 min C，外加直流电压为 300V，试求使电容器 由最小变为最大的过程中外力必须作的功。 解解 在可变电容器的电容量由最小变为最大的过程中， 电 源作的功和外力作的功均转变为电场储能的增量，即 e WWW 外电源 式中 ) J (101 . 8)( 6 minmax VCVCVqVW电源 J1005. 4)( 2 1 62 minmax VCCWe 因此，外力必须作的功为 J1005. 4 6 外 W 2-26 若使两个电容器均为 C 的真空电容器充以电压 V 后， 断开电源相互并联， 再将其中之一填满介电常数为 r 的理想介质，试求：两个电容器的最终电位；转移 的电量。 解解 两电容器断开电源相互并联， 再将其中之一填满相对 介电常数为 r 理想介质后，两电容器的电容量分别为 22 CCCC r 21 , 两电容器的电量分别为 21,q q，且 CVqq2 21 由于两个电容器的电压相等，因此 r q q C q C q 2 1 2 2 1 1 联立上述两式，求得 r CV q 1 2 1 ， r r CV q 1 2 2 因此，两电容器的最终电位为 r V C q C q V 1 2 2 2 1 1 考虑到 12 qq ，转移的电量为 CVCVqq r r 1 1 2 2-27 同轴圆柱电容器的内导体 半径为 a，外导体半径为 b，其 内一半填充介电常数为 1 的介 质，另一半填充介质的介电常 数为 2 ，如习题图 2-27 所示。 当外加电压为 V 时，试求：电容器中的电场强度； 各边界上的电荷密度；电容及储能。 解解 设内导体的外表面上单位长度的电量为q， 外导体 的内表面上单位长度的电量为q。取内外导体之间一个 同轴的单位长度圆柱面作为高斯面，由高斯定理 q s sD d bra 2 a 1 b 习题图 2-27 23 求得 qDDr 21 已知 222111 ,EDED，在两种介质的分界面上电场 强度的切向分量必须连续，即 21 EE ，求得 21 21 r q EEE 内外导体之间的电位差为 a bq V b a lnd 21 rE 即单位长度内的电荷量为 a b Vq ln 1 21 故同轴电容器中的电场强度为 r eE a b r V ln 由 于 电 场 强 度 在 两 种 介 质 的 分 界 面 上 无 法 向 分 量，故此边界上的电荷密度为零。 内导体的外表面上的电荷面密度为 a b a V s ln 1 11 Eer； a b a V s ln 2 22 Eer 外导体的内表面上的电荷面密度为 a b b V s ln 1 11 Eer； a b b V s ln 2 22 Eer 单位长度的电容为 a b V q C ln 21 电容器中的储能密度为 21 2 2 2 21 2 1 ln 2 1 d 2 1 d 2 1 21 a b V vEvEw VV e 2-28 一平板电容器的结构如习题图 2-28 所示，间距 24 为 d，极板面积为ll。试求： 接上电压 V 时，移去介质前后电容器中的电场强度、 电通密度、各边界上的电荷密度、电容及储能； 断开电源后，再计算介质移去前后以上各个参数。 解解 接上电源，介质存在时，介质边界上电场强度切向 分量必须连续，因此，介质内外的电场强度E是相等的， 即电场强度为 d V E 。但是介质内外的电通密度不等，介 质内 d V ED ，介质外 d V ED 000 。 两部分极板表面自由电荷面密度分别为 d V s ， d V s00 电容器的电量 d Vll q ss 22 2 00 2 电容量为 d l V q C 2 2 0 电容器储能为 d Vl qVW 4 )( 2 1 22 0 若接上电压时，移去介质，那么电容器中的电场强 度为 d V E 电通密度为 极板表面自由电荷面密度为 d V E s00 电容器的电量为 d Vl lq s 2 0 2 d l/2 K V l/2 习题图 2-28 25 电容量为 d l V q C 2 0 电容器的储能为 d Vl qVW 22 1 22 0 断开电源后，移去介质前，各个参数不变。但是 若移去介质，由于极板上的电量q不变，电场强度为 0 0 2 0 2 d V l q E 电通密度为 d V ED 2 0 0 极板表面自由电荷面密度为 d V s 2 0 两极板之间的电位差为 0 0 2 V EdV 电容量为 d l V q C 0 2 电容器的储能为 0 2 0 22 82 1 d Vl qVW 2-29 若平板电容器的结构如习题图 2-29 所示，尺寸同 上题，计算上题中各种情况下的参数。 解解 接上电压，介质存在时，介质内外的电通密度均 为 2 l q D ，因此，介质内外的电场强度分别为 d/2 d/2 l 习题图 2-29 26 2 l q E ； 0 2 0 l q E 两极板之间的电位差为 0 2 0 0 22 l qd EE d V 。 则 d V E d V E d Vl q 0 0 0 0 0 0 2 2 , 22 则电位移矢量为 d V ED 0 0 2 ； d V ED 0 0 000 2 极板表面自由电荷面密度为 d V s 0 0 2 ； d V s 0 0 0 2 介电常数为的介质在靠近极板一侧表面上束缚电荷面 密度为 d V E ss 0 0 00 2 介电常数为与介电常数为 0 的两种介质边界上的束缚 电荷面密度为 d V EE s 0 0 000 2 此电容器的电量 d Vl llq ss 0 0 2 0 22 2 则电容量为 d l V q C 0 0 2 2 电容器的储能为 d lV qVW 0 0 22 2 2 2 1 接上电压时，移去介质后： 电场强度为 d V E 27 电位移矢量为 d V ED 00 极板表面自由电荷面密度为 d V s0 电容器的电量 d Vl lq s 2 0 2 电容量为 d l V q C 2 0 电容器的储能为 d Vl qVW 22 1 22 0 (2) 断开电源后，介质存在时，各个参数与接上电源时 完全相同。 但是， 移去介质后， 由于极板上的电量q不变， 电容器中电场强度为 d V l q E 0 2 0 2 ，电通密度为 d V ED 0 0 0 2 极板表面自由电荷面密度为 d V s 0 0 2 两极板之间的电位差为 0 2 V EdV 电容量为 d l V q C 2 0 电容器的储能为 d lV qVW 2 0 0 222 2 2 1 2-30 已知两个电容器 C1及 C2的电量分别为 q1及 q2， 试求两者并联后的总储能。若要求并联前后的总储能不 变，则两个电容器的电容及电量应满足什么条件？ 解解 并联前两个电容器总储能为 2 2 2 1 2 1 21 2 1 C q C q WWW cc前 28 并联后总电容为 21 CCC，总电量为 21 qqq，则 总储能为 21 2 21 2 2 1 2 1 CC qq C q W 后 要使 后前 WW，即要求 21 2 21 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 CC qq C q C q 方程两边同乘 21 CC ，整理后得 21 2 2 2 1 2 1 1 2 2qqq C C q C C 方程两边再同乘 21C C，可得 2121 2 2 2 1 2 1 2 2 2qqCCqCqC 即 0 2 2112 qCqC 由此获知两个电容器的电容量及电荷量应该满足的 条件为 2 1 2 1 C C q q 2-31 若平板电容器中介电 常数为 1 1 2 )( x d x 平板面积为 A，间距为 d，如 习题 2-31 所示。试求平板电 容器的电容。 解解 设极板上的电荷密度分别为