数学竞赛平面几何讲座：注意添加平行线证题

1 / 10 数学竞赛平面几何讲座：注意添加平行线证题 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第一讲注意添加平行线证题 在同一平面内 ,不相交的两条直线叫平行线 .平行线是初中平面几何最基本的 ,也是非常重要的图形 .在证明某些平面几何问题时 ,若能依据证题的需要 ,添加恰当的平行线 ,则能使证明顺畅、简洁 . 添加平行线证题 ,一般有如下四种情况 . 1 为了改变角的位置 大家知道 ,两条平行直线被第三条直线所截 ,同位角相等 ,内错角相等 ,同旁内角互补 .利用这些性质 ,常可通过添加平行线 ,将某些角的位置改变 ,以满足求解的需要 . 例 1 设 P、 Q 为线段 Bc 上两点 ,且 BP cQ, A 为 Bc 外一动点 (如图 1).当点 A 运动到使 BAP cAQ 时 ,ABc 是什么三角形？试 证明你的结论 . 答：当点 A 运动到使 BAP cAQ 时 ,ABc 为等腰三角形 . 证明：如图 1,分别过点 P、 B 作 Ac、 AQ 的平行线得交点 D.连结 DA. 在 DBP AQc 中 ,显然 2 / 10 DBP AQc,DPB c. 由 BP cQ,可知 DBPAQc. 有 DP Ac,BDP QAc. 于是 ,DAB P,BAP BDP. 则 A、 D、 B、 P 四点共圆 ,且四边形 ADBP 为等腰梯形 .故 AB DP. 所以 AB Ac. 这里 ,通过作平行线 ,将 QAc“ 平推 ” 到 BDP 的位置 .由于A、 D、 B、 P 四点共圆 ,使证明很顺畅 . 例 2 如图 2,四边形 ABcD 为平行四边形 , BAF BcE. 求证： EBA ADE. 证明：如图 2,分别过点 A、 B 作 ED、 Ec 的平行线 ,得交点 P,连 PE. 由 ABcD,易知 PBAEcD. 有 PA ED,PB Ec. 显然 ,四边形 PBcE、 PADE 均为平行四边形 .有 BcE BPE,APE ADE. 由 BAF BcE, 可知 BAF BPE. 有 P、 B、 A、 E 四点共圆 . 于是 ,EBA APE. 3 / 10 所以 ,EBA ADE. 这里 ,通过添加平行线 ,使已知与未知中的四个角通过 P、 B、A、 E 四点共圆 ,紧密联系起来 .APE 成为 EBA 与 ADE 相等的媒介 ,证法很巧妙 . 2 欲 “ 送 ” 线段到当处 利用 “ 平行线间距离相等 ” 、 “ 夹在平行线间的平行线段相等 ” 这两条 ,常可通过添加平行线 ,将某些线段 “ 送 ”到恰当位置 ,以证题 . 例 3 在 ABc 中 ,BD、 cE 为角平分线 ,P 为 ED 上任意一点 .过P 分别作 Ac、 AB、 Bc 的垂线 ,m、 N、 Q 为垂足 .求证： Pm PN PQ. 证明：如图 3,过点 P 作 AB 的平行线交 BD 于 F,过点 F 作 Bc 的平行线分别交 PQ、 Ac 于 k、 G,连 PG. 由 BD 平行 ABc, 可知点 F 到 AB、 Bc 两边距离相等 .有 kQ PN. 显然 , ,可知 PGEc. 由 cE 平分 BcA, 知 GP 平分 FGA. 有 Pk Pm.于是 , Pm PN Pk kQ PQ. 这里 ,通过添加平行线 ,将 PQ“ 掐开 ” 成两段 ,证得 Pm Pk,就有 Pm PN PQ.证法非常简捷 . 3 为了线段比的转化 4 / 10 由于 “ 平行于三角形一边的直线截其它两边 ,所得对应线段成比例 ”, 在一些问题中 ,可以通过添加平行线 ,实现某些线段比的良性转化 .这在平面几何证题中是会经常遇到的 . 例 4 设 m1、 m2 是 ABc 的 Bc 边上的点 ,且 Bm1 cm2.任作一直线分别交 AB、 Ac、 Am1、 Am2 于 P、 Q、 N1、 N2.试证： . 证明：如图 4,若 PQBc, 易证结论成立 . 若 PQ 与 Bc 不平行 ,设 PQ 交直线 Bc 于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线 Bc 于 E. 由 Bm1 cm2,可知 BE cE m1E m2E,易知 , , , . 则 . 所以 , . 这里 ,仅仅添加了一条平行线 ,将求证式中的四个线段比“ 通分 ”, 使公分母为 DE,于是问题迎刃而解 . 例 5AD 是 ABc 的高线 ,k 为 AD 上一点 ,Bk 交 Ac 于 E,ck 交AB 于 F.求证： FDA EDA. 证明：如图 5,过点 A 作 Bc 的平行线 ,分 别交直线 DE、 DF、 BE、 cF 于 Q、 P、 5 / 10 N、 m. 显然 , . 有 BDAm DcAN.(1) 由 ,有 AP .(2) 由 ,有 AQ .(3) 对比 (1)、 (2)、 (3)有 AP AQ. 显然 AD 为 PQ 的中垂线 ,故 AD 平分 PDQ. 所以 ,FDA EDA. 这里 ,原题并未涉及线段比 ,添加 Bc 的平行线 ,就有大量的比例式产生 ,恰当地运用这些比例式 ,就使 AP 与 AQ 的相等关系显现出来 . 4 为了线段相等的传递 当题目给出或求证某点为线段中点时 ,应注意到平行线等分线段定理 ,用平行线将线段相等的关系传递开去 . 例 6 在 ABc 中 ,AD 是 Bc 边上的中线 ,点 m 在 AB 边上 ,点 N在 Ac 边上 ,并且 mDN 90. 如果 Bm2 cN2 Dm2 DN2,求证： AD2 (AB2 Ac2). 证明：如图 6,过点 B 作 Ac 的平行线交 ND 延长线于 E.连 mE. 6 / 10 由 BD Dc,可知 ED DN.有 BEDcND. 于是 ,BE Nc. 显然 ,mD 为 EN 的中垂线 .有 Em mN. 由 Bm2 BE2 Bm2 Nc2 mD2 DN2 mN2 Em2,可知 BEm为直角三角形 ,mBE 90. 有 ABc AcB ABc EBc 90. 于是 ,BAc 90. 所以 ,AD2 (AB2 Ac2). 这里 ,添加 Ac 的平行线 ,将 Bc 的以 D 为中点的性质传递给EN,使解题找到出路 . 例 7 如图 7,AB 为半圆直径 ,D 为 AB 上一点 , 分别在半圆上取点 E、 F,使 EA DA,FB DB. 过 D 作 AB 的垂线 ,交半圆于 c.求证： cD 平 分 EF. 证明：如图 7,分别过点 E、 F 作 AB 的垂线 ,G、 H 为垂足 ,连FA、 EB.易知 DB2 FB2 ABHB, AD2 AE2 AGAB. 二式相减 ,得 7 / 10 DB2 AD2 AB(HB AG), 或 (DB AD)AB AB(HB AG). 于是 ,DB AD HB AG, 或 DB HB AD AG. 就是 DH GD. 显然 ,EGcDFH. 故 cD 平分 EF. 这里 ,为证明 cD 平分 EF,想到可先证 cD 平分 GH.为此添加cD 的两条平行线 EG、 FH,从而得到 G、 H 两点 .证明很精彩 . 经过一点的若干直线称为一组直线束 . 一组直线束在一条直线上截得的线段相等 ,在该直线的平行直线上截得的线段也相等 . 如图 8,三直线 AB、 AN、 Ac 构成一组直线束 ,DE 是与 Bc 平行的直线 .于是 ,有 , 即或 . 此式表明 ,Dm mE 的充要条件是 BN Nc. 利用平行线的这一性质 ,解决某些线段相等的问题会很漂亮 . 例 8 如图 9,ABcD 为四边形 ,两组对边延长 后得交点 E、 F,对角线 BDEF,Ac 的延长 8 / 10 线交 EF 于 G.求证： EG GF. 证明：如图 9,过 c 作 EF 的平行线分别交 AE、 AF 于 m、 N.由 BDEF, 可知 mNBD. 易知 SBEF SDEF. 有 SBEc SkG *5DFc. 可得 mc cN. 所以 ,EG GF. 例 9 如图 10,o 是 ABc 的边 Bc 外的旁 切圆 ,D、 E、 F 分别为 o 与 Bc、 cA、 AB 的切点 .若 oD 与 EF 相交于 k,求证： Ak 平 分 Bc. 证明：如图 10,过点 k 作 Bc 的行平线分别 交直线 AB、 Ac 于 Q、 P 两点 ,连 oP、 oQ、 oE、 oF. 由 oDBc, 可知 okPQ. 由 oFAB, 可知 o、 k、 F、 Q 四点共圆 ,有 FoQ FkQ. 由 oEAc, 可知 o、 k、 P、 E 四点共圆 .有 EoP EkP. 显然 ,FkQ EkP, 可知 FoQ EoP. 由 oF oE,可知 9 / 10 RtoFQR toEP. 则 oQ oP. 于是 ,ok 为 PQ 的中垂线 ,故 Qk kP. 所以 ,Ak 平分 Bc. 综上 ,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用 .同学们在实践中应注意适时添加平行线 ,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用 . 练习题 1.四边形 ABcD 中 ,AB cD,m、 N 分别为 AD、 Bc 的中点 ,延长BA交直线 Nm于 E,延长 cD交直线 Nm于 F.求证： BEN cFN. (提示：设 P 为 Ac 的中点 ,易证 Pm PN.) 2.设 P 为 ABc 边 Bc 上一点 ,且 Pc 2PB.已知 ABc 45,APc 60. 求 AcB. (提示：过点 c 作 PA 的平行线交 BA 延长线于点 D.易证AcDPBA. 答： 75) 3.六 边 开 ABcDEF 的 各 角 相 等 ,FA AB Bc,EBD 60,SEBD 60cm2.求六边形 ABcDEF 的面积 . (提示：设 EF、 Dc 分别交直线 AB 于 P、 Q,过点 E 作 Dc 的平行线交 AB 于点 m.所求面积与 EmQD 面积相等 .答： 120cm2) 为 RtABc 的斜边 Bc 上的高 ,P 是 AD 的中点 ,连 BP 并延长交 Ac 于 E.已知 Ac:AB k.求 AE:Ec. 10 / 10 (提示：过点 A 作 Bc 的平行线交 BE 延 长线于点 F.设 Bc 1,有 AD k,Dc k2.答： ) 为半圆直径 ,c 为半圆上一点 ,cDAB 于 D,E 为 DB 上一点 ,过 D 作 cE 的垂线交 cB 于 F.求证： . (提示：过点 F 作 AB 的平行线交 cE 于点为 cDF 的垂心 .) 6.在 ABc 中 ,A:B:c 4:2:1,A 、 B 、 c 的对边分别为 a、 b、 c.求证： . (提示：在 Bc 上取一点 D,使 AD AB.分别过点 B、 c 作 AD 的平行线交直线 cA、 BA 于点 E、 F.) 7.分别以 ABc 的边 Ac 和 Bc 为一边在 ABc 外作正方形AcDE 和 cBFG,点 P 是 EF 的中点 .求证： P 点到边 AB 的距离是AB 的一半 . 8.ABc 的内