【硕士论文】不确定理论中几类信用风险定价模型的分析.pdf

摘要 随着全球化信用风险的发展，信用风险的管理和控制越来越引起市场参与者的关注特 别是2 0 0 8 年开始的世界范围的全球经济危机发生以来，更加让人们意识到信用风险控制的 重要性信用风险定价模型与违约分析是尤为重要的问题本文我们主要利用不确定理论 的方法来研究欧式期权的一些性质和对信用风险中的一些重要模型的违约情形进行分析 不确定理论是清华大学刘宝锭教授于2 0 0 7 年首先提出的不确定理论研究现实世界中 的不确定问题它包含了概率论，可行性理论，机会理论等内容 本文分为五个部分第一部分介绍了信用风险和不确定理论的发展背景第二部分是 对信用风险中的传统结构化模型，约化模型和K M V 模型的研究进展做了详细的介绍和分 析第三部分介绍了不确定理论的基本概念和一些重要的定理，根据这些基本概念和定理 我们得出了不确定理论下的欧式期权平价公式，以及美式看涨和看跌期权的关系不等式 之后将可行性理论下的分数刘过程引入到不确定理论下的分数标准过程。得出了分数标准 过程的期望和方差表达式，然后根据分数标准过程的定义得出了算术分数标准过程，几何 分数标准过程的隶属度函数，以及几何分数标准过程的期望值等第四部分运用不确定理 论的一些知识对M e a o n 模型，首达时间模型( 包括常数边界和随机违约边界) ，以及K M V 模 型进行违约分析，进而得出了一些比较有用的结论第五部分是结论和展望 关键词：不确定理论，欧式平价公式，分数标准过程，违约分析，信用风险模型 第1 页 第一章前言 1 1 信用风险的发展背景 风险是影响决策行为的基本要素在现实生活中，风险总是无处不在的，而且在现实生 活中金融体系最基本的作用就是在于有效的管理风险如何管理风险始终困扰着金融机 构，特别是证券交易所，银行等等经历了系列诸如2 0 世纪9 0 年代末的亚洲金融危机以 及2 0 0 8 年的全世界范围的经济危机之后，金融界开始不断加强对信用风险的防范和管理， 许多以信用风险为核心的信用衍生工具得到迅速发展，成为国际市场上金融创新的一大热 点 信用风险，即违约风险，是指在一份金融合约中，由于另一方的信用质量的不预期变化 所导致的金融损失。比如交易对手被信用评级机构降低等级或者违约( 交易对于不愿履行 合约责任) 这种极端情形虽然信用风险在几个世纪前就己经存在，也一直足金融市场参与 者所关心的主要问题之一，但有助于克服此问题的现代模型和技术也只是到最近这些年才 有了较快的发展主要原因有三个第一：金融市场的迅速发展，特别是O T C ( 场外交易市 场) 衍生金融工具的增长速度远快于交易所交易的衍生产品，导致了信用风险急速地增长； 第二：近年来全球信用等级的大幅度变化，违约数量的连续上升，使得处于全球化中的经 济单位个体每时每刻都在面临着“多米诺骨牌效应”的威胁第三：信用风险复杂程度的 上升这是由信用风险市场的迅速增长所造成的，尤其是O T C ( 场外交易市场) 衍生金融工 具，其中涉及的信用风险显然比在证券交易所中的信用风险要复杂得多此外，新的信用风 险管理工具的广泛使用，也给信用风险带来了额外的复杂性 多年来，信用风险量化管理在国际金融界得到了很高的重视和相当大的发展对于与 违约事件相关联的衍生证券评估模型可以分为两类：结构化模型 2 8 1 1 3 8 ，约化模型【2 9 】如 果具体细分的话，结构化模型可以分为M e r t o n 模型( 1 9 7 4 ) 1 4 2 ，首达边界时间模型 3 6 ( F i r s t P a s s a g eT i m em o d e l s ) ，随机利率模型【2 2 】，K M V 模型 3 4 1 3 5 ，可融资条件下的模型1 3 3 1 ，违 约可传染模型【3 l 】【3 2 】等等约化模型又可以分为：常数违约强度模型1 2 9 ，时变违约强度模 型1 2 9 和C o x 模型【2 9 】等等 结构化模型的定价方法主要考虑的是公司的资产价值，M e r t o n ( 1 9 7 4 ) 4 2 和B l a c k - C o x ( 1 9 7 6 ) 3 6 把资产净值看作公司资产的看涨期权，用这个方法来给公司债务建立模型 违约是发生在公司债券的首次偿还日，此时公司总的资产低于债券价值由于资产价值被 假定为可以观察的过程，所以随着支付日期的临近，违约就越能被精确地预测出来 上述就是M e r t o n 模型的主要思想，后面结构化的模型的主要思想就是建立在这个模型 的基础之上，但是这个模型的弊端在于它只在首次偿还日考虑是否违约，而且它只考虑一次 融资的情况，所以就有了首达时问模型【3 6 】这个模型假设当企业价值下降至一个特定的常 第1 页 I 二海 J I | j 范人硕士沦义 数或与时间相关的边界D 时，就被确认为违约，临界值D 被称为违约边界，它可以是一个常 数，也可以是一个随时间变化的确定性的函数或者一一个随机过程而这些就是首达时间模 型的基本建模思想随机利率模型【2 2 】就是在M e r t o n 模型的基础一t z ，考虑利率为随机时候的 公司违约的情况，其方法与M e r t o n 的方法基本类似，这里不介绍 K M V 模型1 3 4 1 主要是由K M V 公司在8 0 年代早期构建的一个模型，这个模型主要是建立 在公司的历史数据的摹础上，对公司的资产价值进行建立模型，利用给定的计算公式来计 算违约的概率在这个模型中，引入了“可违约的距离”这个概念，用图解的形式比较形象 的刻画了违约时刻的情形，具体可见文献 3 5 1 而违约传染模型【3 l 】主要考虑的是公司之问 的一个相互关系，假设A 公司和B 公司有互相持有对方公司的股票或债券，在A 公司违约的 时候，B 公司发生违约的可能性 但是实际上一个公司的真实价值却不是很容易来衡量，而约化模型避免了对无法观察 的公司价值进行建模，直接将违约时间定义为具有违约强度的绝不可及时，将违约过程看 作跳过程【2 9 】违约过程的强度过程可依赖外生的宏观状态变量，也可以受到其他公司违约 传染的影响这些状态变量包括利率、时间、股票价格、信用等级和其他被认为对违约概 率有影响的一些随机变量约化模型最大的优点是具有可操作性，计算出的信用利著接近 现实，成为现在比较流行的债券定价模型之一。其中J a r r o w 和T u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) 3 9 是这个方法 的代表叶中行，白云芬( 2 0 0 8 ) 2 9 对这方面进行了总结，并给出了风险债券的定价原理，得 到了公司可违约债券定价的一般公式，并推导出了交易对手风险存在时公司债券定价公式 1 2 不确定理论的发展背景 古典测度理论由E m i l eB o r e l 和H e n r iL e b e s g u e 在1 9 0 0 年创建的古典测度是满足非负 性，可数可加性公理的一个集合函数，到现在为止，它的理论和应用已经涉及到许多学科的 各个方面 然而，古典测度理论的可加性公理受到许多数学家的质疑最初是来自于C h o q u e t 的T h e o r yo f C a p a c i t i e s 4 3 文章中假设的单调性和连续性公理S u g e n o 提出把可加性公理代 替古典测度理论中的单调性和半连续性公理，从而得出了模糊测度理论 Z a d e h 1 8 在1 9 6 5 年通过隶属度函数提出了模糊集合的概念为了刻画模糊事件， Z a d e h 又提出了可能性测度的概念，虽然可能性测度被广泛的运用在各个方面，但是它没有 自对偶的性质为此刘宝锭( 2 0 0 4 ) 1 1 提出了一个可行性测度的概念，而且给出了可行性测度 的一个充分必要条件在处理不确定的问题中，自对偶性加上可数次可加性比连续性和半 连续性更加重要因此，“u 建立了不确定理论，它是建立在正则性，单调性，自对偶性，次可 数可加性4 个公理之上，成为了数学中的一个重要的分支不确定理论囊括了概率论，可行 性理论，机会理论等内容，使之成为数学的不可缺少的一个分支 不确定理论是基于正则性，单调性，自对偶性，可数可加性，乘积测度5 大公理，建立起了 与概率论平行的一个理论，目前它已经广泛运用在科学和工程中对于这个理论，可以广泛 第2 页 的运用在很多学科，当然也包括信用风险，本文就是基于不确定性理论，对信用风险进行初 步的一些研究目前这部分的研究还是一片空白，涉及的成果不是很多，我相信随着研究不 确定理论的人越来越多和不确定理论的不断完善它肯定有一个美好的发展前景 1 3 本文所做的工作 本人的工作主要在于下面几个方面： 首先，介绍了不确定理论的基础知识并且在基础知识之上得出了欧式看涨看跌期权的 平价公式，欧式看涨看跌期权的线性关系，以及美式看涨看跌期权的一个不等式其次，将分 数标准过程引入到不确定理论中，得出了分数标准过程的期望和方差，然后根据分数标准 过程的定义得出了算术分数标准过程，几何分数标准过程的隶属度函数，以及儿何分数标准 过程的期望值 在信用风险和它的一些基本模型中，运用不确定理论的知识对其进行建模刻画，来 计算它的违约值首先对结构化模型巾的M e r t o n 模型进行刻画，运用不确定理论的知识， 计算出来在M e r t o n 模型中的违约值然后对于M e r t o n 模型的改进模型( F 盯模型) 进行刻 画对于F P T 模型，我们考虑常数边界和随机边界的情形，分别得出模型的违约值然后对 于K M V 模型，我们依然运用不确定理论对其进行刻画，得出其在不确定理论下的违约值 第3 页 海师范大学硕士沦义 第二章信用风险的模型简介 2 1引言 随着信用风险的迅速发展，各种信用风险所引起的问题也越来越引起人们的关注，借款 个人不能按时还钱，银行呆账坏账的增多，债务国甚至也不能偿还债务的本息，这些由于信 用风险而产生的影响已经影响到了社会正常的经济秩序而由此银行业对信用风险管理的 方法也在不断创新和完善，以此来来适应信用经济不断发展的客观要求最近2 0 年来，银行 业信用风险管理的发展大致经历了以下三个阶段： ( 1 ) 巴塞尔协议的诞生 在2 0 世纪8 0 年代初期，由于受到债务危机影响，银行业普遍开始注重对信用风险的防范 和管理，从而诞生了巴塞尔协议该协议通过对不同资产设定不同的权重，进而规范资 产管理，防范信用风险，其实这也肯定了国际大银行使用的风险计量模型但是由于信息和 数据的J 1 获得性不够，这些模型还不能完全应用在银行的实务中但是，随着金融市场的不 断发展和完善，新的模型和方法逐渐被开发和利用 ( 2 ) C r e d i tM e t d e s 模型的推出 2 0 世纪9 0 年代以来，与信用有关的业务快速发展，一些大的国际性银行更加关注信用风 险，并且开始尝试通过计量模型得到风险的量化数据，以便于内部控制和防范其中，以J ， P 摩根的C r e d i tM e t r i c s 信用风险管理系统最为出名1 9 9 7 年4 月，美国J P 摩根财团和其他 几个国际银行：德意志摩根建富、美国银行、瑞士银行、瑞士联合银行和B Z W 共同研究， 推出了世界上第一个评估银行信贷风险的证券组合模型C r e d i tM e t r i c s 同年1 0 月，C r e d i t S u i s s e 研究开发出了一种计算机信用风险损失分布模型：C r e d i tR i s k + ( 3 ) 全面风险管理模型的出现 1 9 9 7 年金融危机爆发以后，越来越多的金融机构意识到信用风险不再是以单一的形式 危害金融安全，而是与市场风险的其他金融风险联合在一起，造成更大的危机1 9 9 7 年的金 融危机使人们更加重视市场风险和信用风险的综合模型以及操作风险的量化问题这类模 型需要将信用风险、市场风险及其他一系列的金融风险都纳入到统一体系，而且要求所应 用的指标反映各种资产和资产组合以及参与承担风险的各个业务部门然后对各类风险再 根据统一的标准进行测量加总，依据全部业务的相关性来对风险进行控制和管理这种管 理方法的优点是可以很好的改进风险一收益分析的质量，对市场上的整体风险有一个宏观 的认识它不仅是银行业务多元化后，对银行机构本身的一种要求，也是当今国际金融市场 不断发展，经济形势不断变化的情况下，对各大金融机构提出的要求因此，这类新的风险 管理方法得到广泛运用 第4 页 由于信用风险的发展，从而也促进了信用衍生T 具的创新和发展早在1 9 9 2 年，在 巴黎举行的国际互换与衍生产品协会( I n t e r n a t i o n a lS w a p sa n dD e r i v a t i v e sA s s o e i a t i o n ，简 称I S D A ) 年会上首次正式提出了一种町以用作分散、转移、对冲信用风险的创新产品一信 用衍生工具它是指参与信用衍生交易双方签订的一项合约，该合约实质上将信用风险从 其他风险中分离出来，并向交易对手转移1 9 9 9 年7 月，I S D A 发布了有关信用衍生工具的一 些定义，如破产、债务加速和债务违约等，同时制定了信用违约互换的标准合同文本2 0 0 3 年4 月，国际清算银行发布了第三次关于信用衍生工具的修改意见同年，巴塞尔委员 会发布巴塞尔新资本协议，将信用衍生工具纳入资本监管的整体框架 2 0 世纪8 0 年代末，随着金融的全球化及金融市场波动性的加剧，各国银行都受到了前所 未有的信用风险的挑战在2 0 世纪9 0 年代，国际银行界开始将信用衍生工具应用到实际业 务中1 9 9 3 年，H 本信孚银行发行了一种与其持有的贷款信用质量相关联的债券，作为银行 自身的信用保护措施，由此引发了一场应用信用衍生产品进行信用风险管理的革命之后， 市场逐渐接受了信用衍生工具美国美林公司、莱曼兄弟、花旗银行、信孚银行、J P 摩根 和摩根斯坦利都是信用衍生产品市场的早期参与者和建设者1 9 9 6 年后，欧洲的德意志银 行、德雷斯顿银行以及日本的樱花证券、大和证券等公司也开始积极参与信用衍生产品 市场9 0 年代末，信用衍生产品的发行和交易市场获得了极大的发展正如美国著名金融学 家约翰考埃特( J o h nBC a o u e t t e ) 的话：“为了管理信用风险，银行需要把贷款分散化，而 信用衍生工具则为银行提供了机会”【4 4 从1 9 9 8 年到2 0 0 2 年，尚未到期的信用衍生工具名 义本金增长了4 倍多，接近2 万亿美元，至U 2 0 0 3 年年底达到3 5 8 万亿美元截至2 0 0 4 年上半年， 全球信用衍生产品未清偿额达到5 4 4 万亿美元经过几年的发展，信用衍生工具逐步标准 化、合约化和市场化，其流动性也不断提高 2 2 信用风险中的结构化模型 一般假定债权人拥有关于债务人的完全信息，包括企业的资产价值及其变化规律，资本 结构，债权人，等等如果企业的资产价值不足以偿付到期日T 时的债务，企业就会发生违约， 这个方法就称为结构化模型结构化模型主要分为企业价值方法( M e r t o n 模型) 和首达时问 模型( F i r s tP a s s a g eT i m em o d e l s ，F P T ) 两大类 2 2 1 企业价值方法( M e a o n 模型) M e r t o n 模型考虑一个市场价值为y 的企业，企业在寿命期只进行一次债权和股权融资， 之后不再回购股票或者发行次级债务，其债务可视为总金额为K 到期日为T 的零息票债券， 企业按照规定在时间丁时刻，一次性支付给投资者的现金总额为K ，债务契约保证债权人拥 有绝对的优先权，即：如果公司无法履行其支付义务，债权人将立即接管该企业M e r t o n 的模 型还假设市场无摩擦、证券可连续交易，无借贷限制，无卖空约束等，因此违约时间7 - 为具 有下列形式的离散随机变量： 第5 页 j ：海师范大学硕士沦义 丁= 仁蒹K 仁， 式中为企业在债务到期日的资产价值 我们假设在债务到期前，企业资产的价值随时问t 的变化服从几何布朗运动： 瓦d V t = p 班+ 盯州，V o 。， 式中p 兄为漂移率，盯 0 为企业资产价值的波动率；m 为服从标准布朗运动的随机过程， 即吼的期望是0 ，方差是t F q l t 5 公式可以得到 K ：V o e ( 一；叮2 ) 件盯毗 在债券的到期B T ，W j 服从均值为0 ，方差为T 的正态分布，所以违约概率片可表示为： g r = P 【许 K 】= P a W T l n L 一( p 一言盯2 ) T ) 】 ：P 坼 0 ：v t D ( 2 - 2 ) 违约的概率如下： P ( T ) = P 【V 麓讯 D 】 = 尸m i n V o e ( m t + a w t ) D 1 t T 。 = P m 挚( m t + 盯毗) K ，权益投资者得到剩余的坼 D ，债券投资者将得到数额为债券面值的收益，但坼 卅 第7 页 j ：海师范人学硕士沦义 = 1 一P m 啦V o e ( ”扣m D ，v o K 1 n 。 = l P m 璺( m t + 口比) I n ( D v o ) ，t t T 利用算术布朗运动与其历史最小值的联合分布，可以得到 P r = N i l n L - F m T 瓦D ) 万2 m 【型挚】 这里的 m = ( p 一去盯2 ) 由上式易得这个违约概率明显大于M e r t o n 模型中所得到的违约概率式，因为它是M e r t o n 模 型e F D = O n t 的特殊情况 股权投资者到期日所获得的支付是 E r = m a x ( O ，许一K ) l ( 。D ， 其中1 A 是事件A 的示性函数于是，股权投资者就等价于持有一份以公司价值y 为标的价 格，执行价为，关卡为D ，期限为T 的欧式下降敲出看涨期权那么，我们由公式可以得到 E o = V ( 盯，T ，K ，R ，) 一K ( 嚣) 2 r 沪+ l ( d - ) + K e _ - r T L , 瓦D ，2 r a - 2 - I - 1 N ( d 2 ) ， 其中y 是标准欧式看涨期权的价值，d 。d 2 的表达式如下： d 1 ：l n ( D 2 ( K V _ o ) ) 万+ ( r + ；一a 2 ) T ， c f 2 ：d 1 一口T 在到期日T 的债券支付为 B T = K 一( K 一婚) + + ( 晦一K ) + l ( ；。 0 ：K D ( ) ) 第8 页 从而违约概率为 P ( T ) = P t i 。 D ( t ) 】 = P m i n V o e _ 戚托毗 D ( t ) 】 一T = P 【留( ( m 一尼) + 仃吼) 0 I N , o ) 第9 页 I ：海师范人学硕士沦义 那么违约概率为 F ( t ) = P 卜t 】= 1 一e 一 ( 2 4 ) 于是由( 2 4 ) 可得此时的违约强度为： l i m 堕盟h 趔型= 揣t 乱， ，l O 上一， J 将违约强度带入上式即可求出违约概率 当然，还可将其推广到违约强度与时问有关的情形，即A = 入( ) ，称为非齐次P o s s i o n 过 程下面我们就介绍违约强度是随机时候的情形，即是C o x 过程 1 4 1 2 3 2C o x 过程 C o x 过程是非时齐P o s s i o n 的推广，我们把具有强度A = ( 九) 。 o 的随机过程，形成 为双随机P o i s s o n 过程L a n d o 1 4 】在1 9 9 8 年的文章中给出了具体C o x 过程的构造：考 虑：( Q ，少，( 玩) 建o ，P ) 上一个右连续左极值存在的随机过程X = x t 。0 t T + o 称为 状态变量) 和一个服从参数为l 的指数分布的随机变量E ，z 与E 相互独立假设入：g a R 是 非负连续的函数，定义违约时间为 丁= i 几f tIt 入( 咒) d s _ E ) 违约时间司看作强度为入( 叉s ) 的C o x 过程的首次跳跃时间从返里我们司以得到阴个关 键的结论 e t P ( r tI ( 咒) 岣t ) = e 印( 一入( 五) d s ) ，t 0 ，T + 1 ， ，O 和 P ( 丁 t ) = E 【e 印( 一f o t A ( 咒) d S ) 】，t I o ，T + 】 ( 2 5 ) 2 4K M V 模型 1 9 9 3 年，K M V 公司利用B l a c k S c h o l e s M e r t o n 模型( B S MM o d e l ) 提出了著名的信用监测 模型( C r e d i tM o n i t o r M o d e l ) ，后f 垒L o n g s t a f f 和S c h w a r z ( 1 9 9 5 ) 、D s a ( 1 9 9 5 ) 和Z h o u ( 1 9 9 7 ) 的进一 步扩展，形成影响广泛的K M V 模型 2 4 1 K M V 模型的简介和基本思想 K M V 模型不是从受信企业信用评级变化的历史数据中分析出企业的信用状况，而是从 受信企业股票市场价格变化的角度来分析该企业的信用状况K M V 模型主要是通过预期 违约频率( E x p e c t e dD e f a u l tF r e q u e n c y , E D F ) 来分析问题，即受信企业在正常的市场条件下， 第1 0 页 在计划期内违约的概率违约概率是食业资本结构，资产收益波动性和当前资产价值的函 数，各个企业的预期违约频率都不同，可以对应到任何评级体系 K M V 模型中对”违约”的理解是，企业不能正常支付到期的本金和利息在企业的T l r 场 价值( 可用企业资产价值表示) 等于企业负债水平时就会发生违约，因为此时该企业即便 将其全部资产出售也不能完成全部的偿还义务基于对违约的这种理解，企业的市场价值 或资产价值的违约点( D e f a u l tP o i n t ，D P I r ) 就可以设定为与企业负债水平相等的企业资产 价值水平E D F 就是根据企业资产价值的波动性( 即该企业股票在市场上的波动性测算出 来) 来衡量企业目前市场价值或资产价值水平降低到违约触发点水平的概率，即违约概率 这个模型认为企业信用风险主要决定于企业资产市场价值、波动率以及负债账面价 值，它将企业负债看作是买入一份欧式看涨期权，即企业所有者持有一份以公司债务面值 为执行价格，以公司资产市场价值为标的的欧式看涨期权( E u r o p e a nc a l lo p t i o n ) ，如果负债 到期时企业资产市场价值高于其债务，企业偿还债务；当企业资产市场价值小于其债务时， 企业选择违约同时又将债券持有人的支付视为欧式看跌期权( E u r o p e a np u to p t i o n ) ，从而 我们可以对企业进行定价和违约分析 2 4 2K M V 模型的基本假设和计算 ( 1 ) 满足B l a c k - S c h o l e s M e r t o n 模型( B S MM o d e l ) 的基本假设，即公司股票价格是个随 机过程、允许卖空、没有交易费用和税收、证券可分、不存在套利机会、证券交易具有 连续性、无风险利率在借款人还清债务前保持不变； ( 2 ) 借款人资产价值大于其债务价值时借款人彳i 会违约，相反，借款人资产价值小于 其债务价值时借款人就会违约； ( 3 ) 企业市场价值服从布朗运动，借款人资产收益服从正态分布 ( 4 ) 借款人资本结构只由所有者权益、短期债务、长期债务和可转换优先股构成 我们考虑一个公司，其风险资产为y ，股本为S 起始时间为0 ，债务到期日为T ，债务的 面值为F ，市值为B 假设市场是有效的，则有v o = S o + 1 3 0 成立银行发放给公司一笔贷款 相当于卖出了一份以信贷资产为标的资产、执行价格为贷款额的一个看跌期权在时刻T ， 当硌F ，信贷资产市值低于贷款额时，借款人可以选择行使卖出权，即违约，将信贷资产 按照相当于贷款额价格卖给银行；否则，就不行使卖出权，继续地持有信贷资产 此时银行为了规避期权所带来的风险，通过买入一个以公司资产为标的资产的看跌 期权P 来对冲信用风险的成本那么该投资组合的市价就等于将这笔贷款投资于无风险 债券的债券价值，投资于信用风险的估计问题也就变成了一个标准的期权定价问题我们 根据无套利原理的思想，在均衡状态的时侯，有B + P = F e ”T ，其中r 为无风险利率，利 用B l a c k - - S c h o l e s 期权定价模型，则有下列等式 F e 叶T N ( - a 2 ) = P + ( 一d 1 ) ， 第1 I 页 上海师范人学硕：上沦文 其中( ) 是累计的标准J 下态分布，d ，：塑蔓甍堂竺，如：d ，一盯y 行 从而这笔贷款在初始时刻的价值如下 B o = F e 一订一P = F e - r T N ( d 2 ) + ( 一d 1 ) - Y o 如果贷款的到期收益率为R T = ! 型T ，那么信贷利差L T 可以定义为贷款到期收益率与 同期无风险利率之差 L T 全R T r = 一扣【万鳊+ ( 如) 】 如果我们定义公司财务杠杆比率L R 全F e - r T V o ，那么信贷利差L T ，是公司财务结构( 由 杠杆比率L R 给出) 、资产收益波动率即和贷款到期日丁的函数由于信贷利差本身反映了 信用风险定价，因此信用风险( 违约风险) 也由这三个因素所确定 上面求出的信贷利差度量了违约风险的大小，但如何计算违约的概率呢? 这是我们现 在要解决的的问题M e r t o n ( 1 9 7 4 ) 指出：当借款人的资产市值低于其债务面值时，债务人的 偿债能力和偿债意愿下降，从而造成违约根据M e r t o n 的思想，K M V 公司开发了信用风险计 量模型，该模型把风险贷款看作期权，认为债务的帐面价值是触发债务人违约的临界值不 过，根据K M V 公司对样本的观察，当公司的资产价值介于全部负债和短期负债之间的某个 临界水平时，企业在一般情形下更可能违约因此实际的违约临界值应该小于全部债务的 帐面值K M V 将此违约的临界值定义为违约点( D 旧，并把它定义为公司短期债务( S T D ) 与 长期债务( L T D ) 的一半之和，即有下式 D P r = S T D + 0 5 三丁D 由于商业风险的存在，公司的资产价值是不确定的在市场有效性的前提下，假设公司资 产y 服从几何布朗运动过程 警：p d t + 仉d W t ( 2 - 6 ) 这里p ，吼都是常数分别表示资产收益均值和资产收益波动率，暇表示标准布朗运动，那么 在时刻t 资产的价值分布呈现对数正态分布，且有 K = V o e 印【一! 孚) t + 岛盯y 铜， C t 一( o ，1 ) 但是在风险中性测度下，那么公司的违约概率可以表达为 P V tgD P T T ：P ts 一( r - a 2 ) T + I n 万( V D P T T ) ) ：( 一呓) ， 其中 d ：( r - a 2 ) T + I n 7 ( V D P T T ) ：l n V o e ( r - # 移) T - - 了：I n D P 一T T 一(7V、t(7Vvt 第1 2 页 上式中的e ( r 一 口移) T 表示公司资产在T 时刻的期望值；D P T T 表示违约点对应的资产市 值这里的分子我们可以理解成丁时刻公司资产市值到违约点的距离，分母是T 时刻内的资 产回报波动率从而d 可以理解为标准化以后的违约距离，K M V 公司将这个违约距离称为 违约距离指数( D D ) ，定义为 。全塑兰堕! ：菩芋笋= 呓 盯y 、t 由于( 蝶) 是一个正态分布的积分函数，从而求出违约距离d ；，就可以求得相应的违约 概率了比如，如果求得该D D 为2 ，则对应的违约概率为2 2 8 注意，这里的违约概率是 在风险中性测度下的结果，即投资者预期回报水平等于无风险利率时的违约率而在实际 的真实市场中，一般投资者的预期回报水平率“ r ，那么也就说明E D F P r o b ( E D F 是 将( 一啦) 巾的7 换作p 而得到的违约概率) ，即实际的违约概率小于风险中性的违约概率 下面我们来举一个例子来说明怎样通过K M V 模型来计算违约概率，有关信息如下：时 间跨度为T = 5 年；资产的原始市值= 1 0 0 0 0 ￥；资产年预期增长率为p = 0 1 ，年资产波动 率为盯y = 0 2 ；短期负债为S T D = 4 0 0 0 ￥，长期负债为L T D = 6 0 0 0 ￥从而在5 年内的违 约点是：D 尸砰= S T D + 0 5 L T D = 7 0 0 0 ￥由D D 的表达式，距离违约点的距离是：D D = l n V o e ( - 。 5 7 5 ) T - r l n D P T T ：1 6 9 2 因此违约概率为：E D F ：( 一D D ) ：4 5 3 ，即该公司 O V 、 在5 年内违约的概率为4 5 3 第1 3 页 上海师范大学硕士论文 第三章期权定价性质与分数标准过程 3 1 不确定理论的简介 早在1 9 6 5 年，Z a d e h 1 8 就通过隶属度函数提出了模糊集合的概念，为了刻画模糊事件， Z a d e h 又提出了可能性测度的概念虽然可能性测度被广泛的运用在各个方面，但是它没有 自对偶的性质为此刘宝锭( 2 0 0 4 ) 1 提出了一个可行性测度的概念，而且给出了可行性测度 的一个充分必要条件随后刘宝锭又提出了与之平行的机会理论，它们可以统一在不确定 理论中下丽我们主要介绍不确定理论的基本知识 令丁是非窄集合，是丁上的一个盯代数每一个C 成为一个事件为了给出不确 定测度的公理化的定义，对于每一个水平发生时，都有一个觋 ) 与它对应为了确 保吼 ) 有明确的数学意义L i u 1 提出了下面的4 个公理： 公理l ：( 正则性) 觋 丁) = 1 公理2 ：( 单调性) 当新c 砺时，弧 。研弧 。研 公理3 ：自对偶性对于任何事件，觚 ) 卜贼 。) 公理4 ：次可数可加性对于每一个可数的事件序列 砺) ，可以得到 0 0 觚 U 磁 瓤 磁) 4 = 1i = 1 定义3 1 1 ( L i u 【l 】) ：集合函数卿称作不确定测度，如果它满足正则性，单调性，自对偶性， 次可数可加性 定义3 1 2 ( L i u 【l 】) ：令丁是一个非空集合，C 是丁上的盯代数，而且弧是一个不确定测度，则 称( ZC ，觋) 是一个不确定空间 定义3 1 3 ( L i u 【1 】) ：我们称是不确定空间( 丁，C ，妍) 上的不确定变量，如果它满足下列性 质： ( a ) 非负性，即觋 f ) Y o ) 0 成立，这里K = X o t 1 - A 1 t X l t + + 入卅墨t 引理3 11 ( Q i na n dL i 1 9 ) 在模糊市场下的欧式看涨期权定价公式如下： 瞄m 叩吲卅) 反而磊知血 引理3 12 ( Q i na n dL i 【1 9 1 ) 在模糊市场下的欧式看跌期权定价公式如下 f ( Y o , K , e , a , r ) = K e 印卜仃) 上f K Y o 可忑历6 嘉厕血 1 第1 6 页 3 2 看涨看跌平价公式以及其他性质 下面我们利用引理l 和引理2 来证明欧式看涨和看跌期权的平价公式以及其它性质 定理3 2 1 令c t ，P t 分别表示欧式看涨期权和看跌期权的价格，K 表示敲定价格，这时 欧式看涨看跌平价公式如下： Q + K e 一( T 一。) = P t + E Y ( t ) I 证明由引理1 和引理2 ，我们有 因此 坼( 。) 一W 0 9 = Y o e x p ( - r T ) 【 ，+ J K7 Y o 1 再面焉彝诵如 f K l r o 1 一上 i - 再面焉彝而出1 娟唧( - 旧翰而丽丢厕出 f K V o 1 f K I Y o + o 雨顽丢网捌一以M 叫 娟唧( - r T ) o 再丽丢丽出“e x p ( 叫T ) = E f y ( T ) 1 一K e x p ( - r T ) 根据欧式看涨期权和欧式看跌期权的定义在W i n i t ：0 我们有 ( 。) 一v o o , ) = E Y o 】一K e x p ( O ) 第1 7 页 ( 3 一1 ) ( 3 - 2 ) 一m 一卜 ! 俯 r L 海师范大学硕士沦义 冈此我们可以得到，对于【0 ，刁， 也就是下式成立 证毕 K ( c ) 一V t ( p ) = E l Y ( t ) 1 一K e x p ( - r ( T 一亡) ) ， Q + K e r ( r 一2 ) = P t + E y ( 亡) 】 定理3 2 2 令G ，只分别表示美式看涨期权和美式看跌期权，这里标的资产不付红利则 我们有 K K G B E Y t 】一K e x p ( - r ( T 一亡) ) ( 3 - 3 ) 证明根据美式看涨期权和美式看跌期权的定义，我们可以推导出a c t ，P t P t 在 期权不支付红利的情况下，G = a t 而且我们从( 3 1 ) 可以得到 只P t = a t + K e x p ( - r ( T t ) ) 一E Y t 】 = c t + K e x p ( - r ( T t ) ) 一E Y t ， a 一只E 】一K e x p ( - r ( T 一亡) ) 现在，我们推导( 3 2 ) 的左边，在时N t ，我们考虑下面2 个投资组合 圣1 = c + K ，圣2 = P + 矿 在区问【t ，列内，美式看跌期权在T 时刻实施这时我们可以得到 婚( 圣1 ) = ( S T K ) + + K e x p ( r ( T t ) ) ， 聆( 圣2 ) = ( K 一) + + 昂 当K Y r 的时候，我们可以得到 Y r ( 圣1 ) = K e x p ( r ( T 一舌) ) K = V r ( 圣2 ) 当K V r ( 圣2 ) 因此 C r ( 嵋( 垂1 ) Y r ( 垂2 ) ) = 1 第1 8 页 如果美式期权在7 - 时刻实施，N i l r ( t ，丁) ，那么我们可以得到 W ( 圣1 ) = G + Ke x p ( r ( T 一) ) ， 诈( 圣2 ) = ( K K ) + + K 因此。 W ( 垂1 ) ( 耳一K ) + + K e x p ( r ( T 一) ) K ( 中2 ) ， 根据无套利原理，在任意时N t ， 那么， C r V ；( 圣1 ) u ( 西2 ) ) = 1 v t ( 0 1 ) K ( 垂2 ) ， G + K B4 - ， M KSG 一只 证毕 定理3 2 3 令a t , P t