数学专题论文格式

1 / 14 数学专题论文格式 数学论文格式范文 【时间： 2016-10-06 10:52 来源：未知】 题目要求：引人注目，一般不超过 20个字。字体要求：小 2 号黑体，居中。空一行写摘要。 页面设置要求：页边距上、下、右都为厘米，左边距为 3 厘米。装订线位置为左。 中学数学与高等数学的和谐接轨 摘要：从中学数学到高等数学，实际上是由具体的、粗浅的数学结构上升到了严谨的公理化体系的论述，由形象思维上升到抽象思维，由特殊到一般，由简单到复杂，由低级到高级。领悟到这一 点，再结合中学数学的相关知识去学高等数学，就不会觉得艰涩难懂。站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。所以如何实现中学数学和高等数学的和谐接轨，如何在两者之间架一座桥梁是至关重要的。本文从特例分析、数学内容、数学思想方法等三个方面就接轨问题进行了简要论述。 关键词：中学数学 高等数学 数学思想 接轨 一般说来，数学史家把数学的发展分成四个阶段：萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期或五个时期。 参考文献： 2 / 14 1 唐国庆 .湘教版初中数学教案 M.湖南教育出版社 .XX年 . 2 张禾瑞 .近世代数基础 M.高等教育出版社 .1978年 . 论文内容必须是有关数学方面的，专业或教学方面的。 西藏大学 本科生毕业论文 题目： -副标题： 院专业年级 姓 名学 号 指导教师职 称 怎么写数学毕业论文 一、数学毕业论文的特点： 1、科学性 2、创新性 3、实用性 4、学科性 二、数学论文类型 ： 数学教育类论文包括 1、数学教学研究论文 2、数学思想方法论文 数学应用论文 数学专题研究论文 数学学位论文 三、毕业论文的格式： 3 / 14 标题署名内容摘要关键词引言正文结论致谢参考文献 四、开题报告 1、 选题的目的、意义与国内外动态 2、 主要研究内容及创新之处 3、 研究方法、设计方案或论文提纲 4、 完成期限和预期速度 5、 参考文献 6、 指导老师意见 五、毕业论文的等级 1优秀 2良好 3中等 4及格 5 不及格 现代数学专题选讲学习报告格式 一、标题 二、学生姓名： 指导老师： 三、电子科技大学应用数学学院 XX级专业班 四、摘要 五、关键词 六、正文 1、 引言 2、 主题内容 3、 结束语 4 / 14 七、参考文献 示范论 文 拓扑学在混沌等价刻画与函数连续性研究 中的一些应用 学生姓名： 指导老师： 摘要 本文将 Devaney 混沌定义推广到一般拓扑空间 , 利用拓扑空间结构简单性 , 发现并且证明了 Devaney混沌映射的周期点与拓扑空间的开集之间的本质联系 : 连续自映射是 Devaney混沌的当且仅当任何二非空开集共享同一周期轨 . 并且用类似的方法 , 在数学分析中得到了函数连续的一个充要条件 . 通过这两个实例 , 在一定程度上说明了点集拓扑在数学教学与研究中的重要性 . 关键词 拓扑空间 连续映射 混沌 周期轨 逆像 半个世纪以来 , 拓扑学一直被誉为现代数学的“三大基础”之一 . 各重点高校的数学专业都始终不移将其作为是一门专业基础课程 . 然而 , 作为新步入数学专业的普通数学工作者自然要问 : 问题 1 为什么拓扑学是数学的一门基础课程 ? 问题 2 拓扑学对数学研究和大学数学课程的教学究竟有何指导作用 ?. 关于问题 1, 人们可以在学习了拓扑学的基础内容之后 , 在继续学习泛函分析、微分几何、动力系统理5 / 14 论、非线 性分析等数学理论课程的过程中逐步地寻找到答案。本文就拓扑学在混沌理论研究以及数学分析中连续函数性质研究谈两点体会 . 1 点集拓扑在混沌数学理论研究中的应用 1975年， Li-Yorke 第一次间接地给出了混沌的严格数学定义如下： Li-Yorke 混沌定义 1 设 J 是一个区间， f:J?J 是一个连续映射，如果满足下列条件被满足： T1：对于任何自然数 k， f有 k-周期点； T2：存在一个不可数集合 S?Jper 使得下列二条件成立： ?fn|?0,且 liminf|fn?fn|?0; n?n? ?p?S, ?q?per, 有 limsup|f?fn|?0. n?n 则称 f:J?J 是 Li-Yorke 意义下的混沌映射 . 其中 : per是 f的周期点集 . 由于混沌现象在现实世界中无所不有，因此，自Li-Yorke 混沌定义给出以来就倍受各领域的普遍关注 . 但这定义在应用研究中存在有如下两方面的不足 : 映射是在区间上定义的 , 适用范围太狭窄 ; 这定义是高度抽象的数学定义 ,缺乏直观性 ,不利于工 程应用 . 为克服在混沌研究中带来的困难， 1987 年，周作领6 / 14 在文献 2中将上述 Li-Yorke定义推广到度量空间并且对其作了如下修正 : 周氏混沌定义 对于度量空间 X, 若存在不可数集S?Xper使得 ?x,y?S:x?y, nnnn 有 limsupd,f)?0 并且 liminfd,f)?0, 则称 f是一个混沌映射 . n?n? 为克服在应用研究中的不足 , 1989 年 , 对混沌作了如下更直观的定义： Devaney 混沌定义 3 设 X是一度量空间，一个连续映射 f： X?X 称为是 X 的一个混沌映射，如果下列三条件被满足 : f是拓扑传递的 . f的周期点在 X中稠密 . f具有对初始条件的敏感依赖性 . 其中 : 条件 , 称映射 f 是拓扑传递的 , 如果对于 X上一切非空开集 U 和 V, 存在整数 k?0 使得 fk?V?;条件就是 Per?X, 其中 Per是 f的周期点集 Per 的闭包 ; 关于条件 , 我们称 f 是对初始条件的敏感依赖的 , 如果存在实数 ?0, 对于 ?x?X 及 x 的任何开邻域 U, 存在 y?U 和自然数 n 使得d,fn)?.这里 , d 为 X 上度量 , ?为非负整数集 . 混沌的周氏定义与 Devaney 定义都是建立在度量空间的基础上的 . 因此 , 这两个定义是否等价自然成为人们关注的热点问题 . 2002年 , 文献 4对于紧度量空间证明了 : 7 / 14 Devaney混沌意味着周氏混沌 . 2001年 , 文献 5在区间 I?0,1上如下等价刻画 定理 5f?C0 为混沌的充要条件是存在 x,y?I 使得 limsup|fn?fn|?0,并且 liminf|fn?fn|?0. n?n? 在此 , 一个自然的问题 是 : Devaney 混沌是否象Li-Yorke混沌一样有类似于上述定理 1的充分必要条件 ? 令人庆幸的是 : 早在 1992 年 Banks 等人在文献 5证明了：在 Devaney 定义中 ,条件和可以推出，而和是不可去的 . 由于 Banks等人的这一工作 , 而今 , 使我们很容易地将 Devaney混沌定义在拓扑空间上作如下推广： 定义 设 X 是一个拓扑空间，连续映射 f： X?X 称为在 X 上是 Devaney 混沌的，如果它是拓扑传递的并且其周期点集在 X 中稠密 . 这种数学的再度抽象使 Devaney 混 沌彻底地脱了离度量的限制 . 进而 ,让我们看到 : Devaney混沌有望到更为广泛的一类空间中去建立自身理论 . 由于拓扑空间研究只涉及开集、闭集、映射等基本数学内容，虽然能使用的数学工具很少，但是当问题完全置身于拓扑空间后，无疑这问题就得到简化、变得单纯而清澈见底 .为说明这一点 , 现在 ,我们以定义 1为例来探究当前国内外学者都努力想得到的 Devaney 混沌的充要条件 . 事实上 , 按照定义 1, 映射 f:X?X的 Devaney混沌性8 / 14 满足拓扑传递的和周期点集稠密两个条件 . 拓扑传递 是指 : X 中任何非空开集 U和 V, 都存在自然数 k使得 fk?V?; 周期点稠密是指 : per?X. 由此 ,我们很容易看到 : 定义 1实质上描述的是 X的任意二非空开集与 f的周期点之间的关系 . 于是 , 我们自然会问 : 问题 当映射 f 满足定义 1 时 , X 的任何二非空开集会享用同一周期轨吗 ? 更确切地讲 , ?X中任何非空开集 U和 V, 一定存在 x?per使得 U?O? f?且 V?Of? ?成立 吗 ? 问题 如果对于 X 中任何非空开集 U 和 V, 都存在x?Per使得 U?O? f?且 U?O? f?成立 , 则和一定同时成立吗 ? 综合问题 1 和问题 2, 引导我们去证明下面的定理 . 定理 设 X 是一个拓扑空间，则连续映射 f:X?X 是Devaney 混沌映射的充分必要条件是 X 的任意两个非空开子集享有同一周期轨 . 证明 设 U和 V是 X上的任意两个非空开集 . 因为 f是拓扑传递的 , 则 ?x?U, ?k?使得 fk?V. 令 W?f?k?U，则 W9 / 14 是点 x 的一个开邻域 . 又因 per =X, 故 Per?W?. 于是 , ?y?per使得 y?W?U并且 fk?V. 因此， U 与 V享有同一周期轨 O? f. . 设 U 与 V 是 X 中两非空开集 . 因为 U 与 V 享有同一个周期轨 , 故 ?x?per ?使得 fk1?U并且 fk2?V. 不妨使得 U?O? f?且 V?Of?. 即 ?k1,k2? 设 k1?k2, 令 r?k2?k1 并记 fk1?y, 则 r?并且fr?fk2?frUV. 故 fr?V?, f 是拓扑传递的 . 另一方面 , 对于 ?x?X,?U?U,取开集 V?X,由已知 ,U 与 V 共享同一周期轨 . 所以 ,?x?Per,?k?使得 x?U 并且 fk?V. 进而 ,Per?U?. 即Per?X. 因此 , 映射 f 是 Devaney混沌映射 . . 这样 ,我们就用点集拓扑方法发现并且证明了 :Devaney 混沌映射的一个充要条件 .下面 ,我们利用这个充要条件在度量空间与实数区间上的推论来结束这一节的讨论 . 推论 设 X 是一个度量空间 X, 连续映射 f:X?X 是Devaney 混沌的充要条件是 X 中任何二开球都享有同一周期轨道 . 推论 J 是一个实数区间 , 连续映射 f:J?J 是Devaney 混沌的充要条件是 J 的任意二子区间都享用同一周10 / 14 期轨道 . 2 拓扑学使函数连续的概念变得深刻 在数学分析中函数的连续性有如下定义 : 定义 6 设函数 f在点 x0的某邻域中有定义 . 称函数 f在点 x0是连续的 , 如果 x?x0limf?f, 即 ?0, ?0, 当|x?x0|?时 , 恒有 |f?f|?. 如果记 B=x:|x?x0|?, B,?)=y:|y?f|?, 则不难得知 : x?x0limf?f 当且仅当 ?0,?0使得 f)?B,?). 定义 6 称函数 f 在开区间是连续的 , 如果 f 在中每一点都连续 ; 称函数 f 在闭区间 a,b是连续的 , 如果 f在开区间连续且 limf?f, ?x?a x?b?limf?f. 同理 , 定义 f在区间 a,b)和到一般拓扑空间 . 定义 设 X,Y 是二拓扑空间 , x0?X, 映射 f:X?Y 称为在点 x0 是连续的 , 如果 ?V?U), ?U?U 使得 f?V. 其中 : U 与U)分别表示点 x0与点 f的开邻域系 . 定义 设 X,Y是二拓扑空间 , 映射 f:X?Y称为是连续的 , 如果它在 X上每一点都连续 . 即 , 映射 f:X?Y连续当且仅当 ?x?X, ?V?U), ?U?U 使得 f?V). 现在认真观察定义 : 当 f:X?Y 连续时 , 对于 Y 中任何开集 V, 如果 f?1? , 则 ?x?f?1, 有 V?U), 由 f:X?Y的连续性知 , ?Ux?U 使得 Ux?f?1. 因此 , 11 / 14 f?1?x?f?1x?x?f?1Ux?f?1. 于是 , 我们惊喜地发现 : f?1?x?f?1Ux是 X中的一个开集 . 即 , 连续映射使得开集的原像仍然是开集 . 在此 , 下列 逆问题自然产生 : 问题 对于二拓扑空间之间的映射 f:X?Y, 如果 Y 中任何开集的逆像都开于 X, 则 f一定连续吗 ? 于是 , 这引导我们去证明下一定理 : 定理设 X,Y 是二拓扑空间 , 映射 f:X?Y 是连续的充分必要条件是 Y中任何开集的逆像都开于 X. 证明 : 必要性在上面的观察与分析过程中已经得到证明 . 下面 , 只证充分性 . 事实上 , 对于 ?x?X, ?V?U), 因为 f?V, 则 x?f?1. 再由已知 , f?1 是 X 中开集 . 所以 , f?1?U. 即 , ?U?f?1?U使得 f?V. 由定义 , f:X?Y 连续 . 对照文献 7第 47页拓扑空间上连续映射的的定义 , 从上面定理 , 我们清楚地看到 :数学分析教材中函数的连续性与拓扑空间上映射的连续性等价的 . 下面的推论将带给我们对数学分析函数的连续性更加深刻的认识 : 推论 函数 f 在实直线 ?上连续的充要条件是任意开区间的逆像都是一些开区间的并集 . 证明： 因为实直线 ?上的任何开集都是一些开区间12 / 14 的并集 , 故对于 ?上的任何开集 V, 都存在开区间集 ?使得 V?. 因为 ?, f?1 为一些开区间并 . 故f?1=?f?1也是一些开区间的并 . 因此 , f?1为开集 . 故 f连续 . 设 f在 ?上连续 , 对 ?a,b?,?: a?b, 由定理的必要性 , f?1)是开集 . 即 , ?x?f?1), ?x?0 使得 ?f?1). 所以 , f?1)?x?f?1). 推论 函数 f 在区间 J 上连续的充要条件是任意开区间的逆像都是一些开区间的并集与区间 J的交集 . 同样 ,文献 8中上、下半连续函数，也容易作如下推广 定义 设 X 是一个拓扑空间， x0?X，映射 f:X?称为是在点 x0 上半连续的，如果 ?0， ?U?U 使得 U?); 映射f:X?称为是上半连续的，如果它在 X 中每一点都上半连续 . 用类似于定理的方法，容易得知： 定理 f:X?上半连续当且仅当 ?a?，逆像 f?1)开于X； f:X? ?下半连续当且仅当 ?a?，逆像 f?1)开于 X. 于是，对于拓扑空间 X的映射 f, 我们应用定理和定理 , 得到如下结果 : 定理 函数 f:X?是连续函数当且仅当它是上半连 续并且下半连续 . 这里 , 当 X取实直线 ?上通常取间时 , 定理 ,就是数学13 / 14 分析中的结果 . 3 结束语 上面 , 我们将 Devaney 混沌在拓扑空间的推广以及数学分析中函数连续在拓扑空间上的推广，由于拓扑空间结构简单 , 所推广对象的本质特征就变得非常特别清晰明朗 . 因此 , 在这样的情况下 , 我们抓住所涉及对象的本质特征 , 就相对比较容易地得到该对象的等价刻画 . 作为特例 , 这种等价刻画在原来的具体空间是当然的真命题 . 因此 , 这种方法无疑是推陈出新发现新结果的一种行之有效的方 法 . 本文中 , D