2013C_韩师(大专)国家一等奖论文.doc

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 4698 所属学校（请填写完整的全名）： 韩山师范学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘文轩 2. 方晓漫 3. 林灿玲 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 林海涛 日期： 2013 年 9 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目摘要根据附件中1986年和1996年古塔第13层的第五个点空白坐标，可由坐标拟合得到。对于问题一，通过将古塔各层到平面上进行投影，建立了三种模型：多边形面积求中心的模型、几何法求重心模型和分割多边形求重心模型，得到了中心位置的坐标（其中竖坐标采用取平均值法），通过比较三个模型的求解结果发现，各次测量的古塔各层中心位置坐标几乎一致。对问题二，首先，采用空间直线拟合，求出古塔的斜率、倾斜角，同时横向比较分析各层倾斜度的变化；纵向比较不同年份斜率的变化，得到了古塔倾斜角先变大再变小，其中，86-96年，倾斜角稍微变大，96-09年，倾斜角变小；2009-2011年，倾斜角几乎不变。其次，对于弯曲则采用空间曲线拟合的方法，求得每一层中心位置的曲率，同时横向比较分析各层曲率的变化规律；纵向比较分析出不同年份曲率的变化规律；得到了1986年与1996年、2009年与2011年古塔曲率总体上的变化趋势相同。1986-1996年，古塔十二层以下曲率基本上保持不变，而1996年，相对于1986年来说，十三层的曲率较大；1996-2009年，古塔4-11层曲率发生不同程度的变大；2009年-2011年曲率基本保持不变。最后，采用挠率计算公式，求出扭曲的变化规律，得到了1986年、1996年、2009年和2011年，这几个年段，挠率基本上趋向于0，几乎没有扭曲。但是，1996年古塔第8层，发生了一次较明显的扭曲。 对于问题三，采用线性拟合方法，利用每年同一层的中心位置，拟合求得5年、10年、20年及50年后中心的坐标，并用问题二同样的方法，求出斜率、曲率、挠率。随着年限的不断增长，1-4层古塔的斜率不断变大，7层以上，倾斜没有明显的变化，估计地基较软；并且随着年限的增大，曲率不断地增大，弯曲程度愈来愈大；而除了20年后古塔的挠率变化趋势有震荡之外，但总体趋势都接近于0，而其他年限古塔的挠率基本上没有发生扭动。以古塔在2011年时的倾斜角作为标准，预测古塔在20年后5层以下倾斜角基本上保持不变；5层以上，由于倾斜角度越来越小，即意味着古塔的倾斜程度越来越严重，使其愈发倾斜。关键词：几何中心；拟合；斜率；曲率；挠率；最小二乘法一、问题的重述某古塔是我国重点保护文物，由于古塔不仅长时间承受自重、气温、风力等各种作用的影响，而且偶尔将受地震、飓风的侵袭，导致古塔产生各种变形（倾斜、弯曲、扭曲等）。为制定必要的保护措施，管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3. 分析该塔的变形趋势。二、 问题的分析针对问题一，确定古塔各层的中心位置的通用方法有多种，我们利用各塔各层的重心相当于各层的中心的方法、将古塔各层在平面上所投影出的多边形分割成个三角形,并且利用每个三角形的面积确定其重心，进而求出各塔各层重心（即中心）位置的方法等，测量出古塔各层的中心位置，并列出了古塔各层中心坐标的表格。 针对问题二，首先，将古塔各层的重心分别从倾斜角、梯度分析说明该塔的倾斜情况；其次，则通过曲率分析古塔的弯曲程度；最后，根据挠率度量扭曲情况。 针对问题三，利用管理部门委托测绘公司进行的4次观测值，拟合出古塔在未来几年乃至几十年的中心位置，分别从倾斜、弯曲和扭曲三种情况预测古塔的变形趋势。三、模型的假设 1假设题目中给定的数据都是可靠的；2. 假设古塔横截面近倾八边形，8个已知点数据为八边形的顶点；3. 假设古塔每层塔都是匀质的（密度相同）；4. 假设时，挠率为0。四、定义与符号的说明古塔各层投影到平面上各个顶点名称（）古塔各层投影到平面上各个顶点的横坐标（）古塔各层投影到平面上各个顶点的纵坐标（）古塔各层重心的横坐标（；代表横坐标）古塔各层重心的纵坐标（；代表纵坐标）五、模型的建立与求解5.1模型的准备（1）顶点数据的处理 对于1986年及1996年同一顶点坐标四个坐标的数据，我们采用平均值法，求出顶点数据，得到（567.2473,522.2438,55.1233）以及（567.2544,522.2367,35.1198）。（2）空白数据处理 通过对附件中数据的梳理，将1986年和1996年管理部门委托测绘公司进行观测的数据中第13层的第5个点空白的坐标，依据第6至12层中对应点（第5个观测点）的坐标，对于x坐标和y坐标利用EXCEL描点并由图像的趋势拟合成一次和二次曲线，对于z坐标，采用平均值法。如下图1图4：图1 1986年X与Z的曲线拟合图2 1986年y与Z的曲线拟合图3 1996年x与z的曲线拟合图4 1996年y与z的曲线拟合z坐标为古塔第13层其余7个点的z坐标平均值，第13层中第5个点的坐标为（568.025，519.568，52.834）；第13层中第5个点的坐标为（568.036，519.801，52.83）。5.2问题一模型的建立与求解根据我国古塔建筑的形状特点，借鉴于空间几何学原理，将古塔各层投影到平面上，形成了一系列的多边形，并把古塔各层投影到平面上各个顶点命名为（），利用MATLAB编程确定了古塔各层的中心位置。5.2.1模型一：利用多边形面积求中心的模型通过对古塔各层到平面上投影的多边形，我们将求出其多边形的中心位置，定理1 ：一个由N个顶点确定的不自交闭多边形的中心如下计算（其中，记与顶点相同）：多边形的面积公式为： （1）多边形的中心公式为： （2） （3）由定理1，求得各多边形的面积为下表：古塔八边形面积层 年1986199620092011183.3194383.3194383.2995683.29965277.2533277.2532776.9504676.95141371.5244171.5240770.9847970.98464467.1387867.1384566.3894566.38936562.5850462.5858361.6441161.64418658.3110858.3107952.1307652.1318751.6182251.6178748.7893848.78938845.4965845.4973943.6969543.69729939.7693539.7699638.9063338.906191034.7054934.7052735.175435.175521130.359430.3602530.6368630.636711226.2958526.2961826.4203926.420391322.700622.2492222.6587322.65874根据公式（1）、（2）和（3）我们计算得到了各次测量的古塔各层中心坐标如表二：表二1986199620092011层数xyxyxyxy1566.665522.709566.665522.709566.741522.700566.741522.7002566.722522.671566.723522.670566.776522.671566.776522.6713566.778522.633566.779522.632566.809522.644566.810522.6444566.821522.603566.823522.601566.837522.621566.837522.6205566.868522.571566.871522.569566.866522.597566.866522.5966566.917522.540566.920522.537566.954522.548566.955522.5477566.951522.523566.955522.519566.987522.525566.988522.5258566.985522.507566.989522.502567.039522.493567.040522.4929567.018522.490567.023522.485567.091522.460567.092522.45910567.049522.476567.054522.471567.146522.407567.147522.40611567.102522.436567.108522.430567.189522.367567.190522.36612567.155522.395567.161522.389567.231522.327567.233522.32613567.209522.351567.201522.394567.280522.282567.281522.281塔尖567.247522.244567.254522.237567.337522.214567.336522.2155.2.2模型二：几何法求重心模型重心是物理学中的概念，是物体所受重力的作用点。而几何重心，又称为几何中心，当物体为均质(密度为定值)，质心等同于形心。如：三角形三条中线的交点。根据古塔空间的几何中心的特点，将各层到平面上投影出的多边形的重心视为古塔各层的中心。定理2：若n边形顶点坐标为（）重心坐标为（）,；为古塔的层数,则有 （4） (5) 根据公式（4）、（5）我们求得了各次测量的古塔各层中心坐标如下表三： 表三1986 1996 2009 2011 层数xyxyxyxy1566.665522.710566.665522.710566.727522.701566.727522.7012566.719522.668566.721522.667566.764522.669566.764522.6693566.773522.627566.775522.626566.800522.638566.800522.6394566.816522.594566.818522.592566.829522.613566.830522.6135566.862522.5591566.865522.556566.860522.587566.861522.5866566.908522.524566.912522.521566.947522.534566.948522.5337566.946522.508566.951522.504566.979522.512566.980522.5128566.984522.492566.988522.488567.031522.480567.031522.4799567.022522.476567.027522.471567.082522.447567.083522.44610567.057522.462567.062522.457567.137522.394567.138522.39311567.104522.423567.110522.417567.180522.355567.181522.35412567.152522.383567.158522.378567.223522.316567.224522.31513567.203522.343567.209522.367567.271522.272567.273522.270塔尖567.247522.244567.254522.237567.337522.214567.336522.2155.2.3模型三：分割多边形求重心模型定理3：平面上多边形分割成个三角形,每个三角形的面积记为，每个三角形的重心坐标记为（），则多边形重心的坐标公式如下：横坐标计算公式： (9)纵坐标计算公式： (10)其中S表示总面积，即 (11)面积可由海伦公式计算，利用三角形的三条边长求出分割的三角形面积，即令，三角形的面积可由下列公式求得： （12） 其中，代表三角形的半周长，而分别为三角形的三条边长。根据海伦公式（12），计算出每个年份古塔各层在平面上所投影的多边形，进行分割出的各个三角形面积（具体数据见附录一），而各个年份的各层投影面分割成的三角形面积之和如下表四:表四面积1986199620092011183.3194383.3194383.2995683.29965277.2533277.2532776.9504676.95141371.5244171.5240770.9847970.98464467.1387867.1384566.3894566.38936562.5850462.5858361.6441161.64418658.3110858.3107952.1307652.1318751.6182251.6178748.7893848.78938845.4965845.4973943.6969543.69729939.7693539.7699638.9063338.906191034.7054934.7052735.175435.175521130.359430.3602530.6368630.636711226.2958526.2961826.4203926.420391322.700622.2492222.6587322.65874依据古塔的基本现状，将古塔的某一层在平面上所投影的八边形分割成6个三角形，如下图5所示：图5从图5，我们可以更直观看到古塔的投影在平面上的多边形，并且通过公式（9）、（10）和（11）我们计算得到了各次测量的古塔各层中心坐标如下表五：表五1986199620092011层数xyxyxyxy1566.6649522.7092566.6651522.7089566.7412522.7005566.7413522.70042566.7219522.6708566.7227522.6699566.7761522.6713566.7763522.67103566.7776522.6333566.7792522.6317566.8095522.6437566.8098522.64414566.8213522.6035566.8235522.6013566.8368522.6208566.8372522.62035566.8684522.5714566.8712522.5685566.8655522.5970566.8662522.59646566.9168522.5399566.9202522.5365566.9541522.5476566.9548522.54687566.9512522.5231566.9550522.5193566.9871522.5254566.9879522.52468566.9845522.5066566.9887522.5024567.0394522.4932567.0402522.49239567.0182522.4900567.0230522.4850567.0915522.4604567.0925522.459510567.0491522.4759567.0542522.4707567.1463522.4068567.1474522.405711567.1021522.4356567.1079522.4299567.1890522.3668567.1901522.365612567.1551522.3955567.1611522.3893567.2313522.3273567.2326522.326013567.2087522.3514567.2014522.3943567.2799522.2822567.2812522.2807塔尖567.2473522.2438567.2544522.2367567.3370522.2140567.3360522.2150综上所述，利用多边形面积求中心的模型、几何法求重心模型和分割多边形求重心模型，三个模型得到了各次测量的古塔各层中心坐标大致相近，但分割多边形求重心模型的数据处理较为精确，得到的各次测量的古塔各层中心坐标更接近于实际值，由此，我们选择了分割多边形求重心模型。根据分割多边形求重心模型，我们将每个年份每一层的各个点的Z取其平均值作为衡量该层中心的对应坐标Z值，得到了各次测量的古塔各层中心坐标如下表六表九：表六（1986年）坐标层数xyz1566.665522.7091.78742566.722522.6717.32033566.778522.63312.75534566.8213522.60317.07835566.8684522.57121.72056566.917522.54026.23517566.951522.52329.83698566.985522.50733.35099567.018522.49036.854910567.049522.47640.172111567.102522.43644.440912567.155522.39548.711913567.209522.35152.8343塔尖567.247522.24455.1233表七（1996年）坐标层数xyz1566.665522.7091.78302566.723522.6707.31463566.779522.63212.75084566.823522.60117.07515566.871522.56921.71606566.920522.53726.22957566.955522.51929.83238566.989522.50233.34549567.023522.48536.848310567.054522.47140.167611567.108522.43044.435412567.161522.38948.707413567.201522.39452.8300塔尖567.254522.23755.1198表八（2009年）坐标层数xyz1566.741522.7001.76452566.776522.6717.30903566.809522.64412.73234566.837522.62117.06985566.866522.59721.70946566.954522.54826.21107566.987522.52529.82468567.039522.49333.33999567.091522.46036.843810567.146522.40740.161111567.189522.36744.432612567.231522.32748.699813567.280522.28252.8184塔尖567.337522.21455.0910表九（2011年）坐标层数xyz1566.741522.7001.76332566.776522.6717.29053566.810522.64412.72694566.837522.62017.05205566.866522.59621.70396566.955522.54726.20457566.988522.52529.81708567.040522.49233.33669567.092522.45936.822310567.147522.40640.144111567.190522.36644.424912567.233522.32648.683913567.281522.28152.8131塔尖567.336522.21555.0870从数据中，进一步分析： 左图为古塔的俯视图，右图是立体图，从左图可以看出它曲线密集的方向表示为古塔的倾斜方向，从右图可以看出古塔整体形状为上窄下宽。各年的中心的x-y、x-z、y-z的散点图68如下：图6 从图6正视图可看出:1986年与1996年塔中心较接近；2009年与2011年塔中心较接近，倾斜角度最大。图7从上图7侧视图可看出1986年与1996年塔中心较接近；2009年与2011年塔中心较接近。图8从上图7俯视图可看出1986年与1996年塔中心较接近；2009年与2011年塔中心较接近。根据以上表六表九，作出了各年各层的中心位置的分布如下：层次图像层次图像层次图像16 11 27 12 38 13 49 14 510分析：各年各层的中心位置的分布5.3问题二模型的建立与求解5.3.1倾斜情况对于古塔的倾斜情况，从古塔各层的中心位置研究和分析其斜率，从而得到了古塔的倾斜趋势和规律。斜率，即“角系数”，表示一条直线相对于横坐标轴的倾斜程度。一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向的夹角的正切值即为该直线相对于该坐标系的斜率。如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。 为了测定出古塔上的倾斜程度，进行每层倾斜角的计算：当设为第层的重心，则连接的向量，可以表示第层的倾斜方向，方向向量的坐标，并且倾斜角满足：，从而。 根据所给的数据和EXCEL软件可计算出各个年份各层倾斜角，并且作出如下的变化柱形图9图12：图9从以上图9可得：古塔1-5层倾斜角一定，几乎不变；5-6层，倾斜角发生了变化，估计是由于地基、自然因素（地震、飓风等）导致古塔产生裂缝，使其倾斜；6-9层，作为一个整体来说，古塔倾斜度不变；9-10层，古塔倾斜度发生变化，导致倾斜角出现变化的原因，可能是其他外在因素；10-12层，作为一个整体而言，倾斜度不变；12-13层，古塔倾斜程度较大，估计此时塔尖歪了。图10从以上图10可看出，1996年（即经过了1986年1996年10年后），古塔1-4层，倾斜角几乎不变；5-6层，倾斜角度变小，即古塔稍微向垂直还原；6-7层，古塔倾斜变化程度不大；7-9层，倾斜度变小，也即古塔稍微向垂直趋势还原；10-11层，倾斜变化程度不大；11-12层，古塔倾斜角变大，即古塔歪斜；12-13层，倾斜角变小，即塔尖稍微向垂直趋势还原。图11从以上图11可看出，2009年(即经过了1996年2009年13年)：古塔1-4层，作为一个整体来说，倾斜角大了，即古塔开始产生了歪斜；4-5层，估计古塔产生了裂缝，倾斜角度变小；6-9层，倾斜角度经过13年后变化明显，可能古塔这3层建筑不牢固；11-12层，作为整体而言，倾斜角度没有多大变化；12-13层，倾斜角变化较大，即塔尖愈歪斜。图12从图12可看出，2011年，古塔1-10层倾斜变化趋势不大，整体趋势与2009年相吻合。根据图9图12可以得到如下分析：1986年：古塔1-5层倾斜角一定，几乎不变；5-6层，倾斜角发生了变化，估计是由于地基、自然因素（地震、飓风等）导致古塔产生裂缝，使其倾斜；6-9层，作为一个整体来说，古塔倾斜度不变；9-10层，古塔倾斜度发生变化，导致倾斜角出现变化的原因，可能是其他外在因素；10-12层，作为一个整体而言，倾斜度不变；12-13层，古塔倾斜程度较大，估计此时塔尖歪了。1996年（即经过了1986年1996年10年后）：古塔1-4层，倾斜角几乎不变；5-6层，倾斜角度变小，即古塔稍微向垂直还原；6-7层，古塔倾斜变化程度不大；7-9层，倾斜度变小，也即古塔稍微向垂直趋势还原；10-11层，倾斜变化程度不大；11-12层，古塔倾斜角变大，即古塔歪斜；12-13层，倾斜角变小，即塔尖稍微向垂直趋势还原。2009年(即经过了1996年2009年13年)：古塔1-4层，作为一个整体来说，倾斜角大了，即古塔开始产生了歪斜；4-5层，估计古塔产生了裂缝，倾斜角度变小；6-9层，倾斜角度经过13年后变化明显，可能古塔这3层建筑不牢固；11-12层，作为整体而言，倾斜角度没有多大变化；12-13层，倾斜角变化较大，即塔尖愈歪斜。2011年（即经过了2009年2011年3年间）：古塔整体上倾斜程度不大。（1）当已知点为和方向向量，其空间直线方程为： (13)公式（13）等价于： （14） （15）将1986年、1996年、2009年和2011年古塔每层中心位置描点，根据所描绘出的点的趋势，对x与z、y与z进行线性拟合得到了： (16) (17)各年份的x与z及y与z的一次方程系数表十 年份系数1986199620092011 x-zy-z-x-zy-zx-zy-zx-zy-zk0.01061-0.007320.01066-0.007150.1156-0.008870.1157-0.00888b566.6522.7566.6522.7566.7522.8566.7522.8根据公式（13）、（14）、（15）和（16）可得到斜率,。当设Z=1时，斜率。其倾斜角（方向向量与水平面的夹角）满足： （18）而斜率k=。利用MATLAB软件，求得了每个年份的，代入公式（18）得它们各个年份的斜率如下图13(具体程序见附录二)：图13从上图10可看出:古塔的倾斜角越大，则塔愈垂直，而在1986年1996年阶段，古塔经过10年后稍微变直；在1996年2009年阶段，古塔变得歪斜，倾斜程度较大；在2009年2011年阶段，古塔倾斜程度变化小，几乎一致。综上所述，古塔随着年限的不断上升，倾斜程度愈明显，不断地还原或歪曲，而在年限较短的时间内，倾斜程度变化较小，年限愈短，倾斜愈不明显。5.3.2弯曲情况对于古塔的弯曲情况，利用古塔每层的中心构成的空间曲线，求其曲率，从而分析古塔的弯曲程度。定义：空间曲线的曲率空间曲线在点的曲率为，其中为点及其邻近点间的弧长，为曲线在点和的切向量的夹角.若空间曲线的方程；则把曲率的一般参数形式表示为： （19）其中 ， ，其推导过程如下： 若给出类的空间曲线， =所以 因此由此得到了曲率的一般参数的表示式根据空间曲线可以转化为平面曲线，利用MATLAB的Smoothing Spline(光滑曲线)可拟合出的x(t)、y(t)，z(t)，求其分别一阶导数、二阶导数，即可得到再利用MATLAB求得向量的模。根据所给的数据和EXCEL软件可计算出各个年份各层曲率，并且作出如下的曲率表和变化折线图：曲率19861996200920111000020.00001408830.00000876770.00006841590.000082618430.00002528500.00002645040.00006053660.000065622740.00003793410.00003816420.00055212080.000544931950.00008951730.00009339150.00225246070.002241587060.00050152240.00050786280.00150852840.001508867370.00017625520.00017128460.00071349440.000713559580.00004318430.00000340280.00074818070.000776542690.00020729770.00025347080.00127910890.0012770181100.00114889390.00113764070.00189628990.0018995264110.00009083580.00056805450.00033892530.0003212529120.00097882350.00063577760.00098871500.0009462051130.00816796170.01510727590.00537866540.0050276958140000图14从图14中可看出，1986年和1996年古塔曲率总体上的变化趋势相同，在1-5层，曲率几乎为0，即弯曲程度没变化；5-7层，曲率发生稍微的变化，即在这几层，古塔发生了弯曲；7-9层趋于稳定；9-11层曲率先上升后下降，此阶段，古塔弯曲；而12-13层，曲率上升趋势较大，弯曲程度也较大。2009年和2011年曲率总体上的变化趋势也相同，在1-4层，曲率稳定接近于0，古塔不弯曲；4-7层和7-11层阶段，曲率都是先上升后下降，弯曲程度也是先边大后变小；11-13层，曲率上升速度最快，古塔弯曲程度也变大。5.3.2扭曲情况对于古塔的扭曲情况，利用古塔每层的中心构成的空间曲线，求其挠率，从而分析古塔的扭曲程度。挠率的一般参数形式表示为： （20）其推导过程如下：由，其中 =其中，可得挠率的一般参数形式为：根据空间曲线可以转化为平面曲线，利用MATLAB的Smoothing Spline(光滑曲线)（拟合度与置信区间见附录三）可拟合出的x(t)、y(t)，z(t)，二阶导数和三阶导数，即可得到，再利用MATLAB求得向量的混合积的值，向量的外积的模为，分别将其代入公式，计算出各个年份各层的挠率表和折线图结果如下（具体程序见附录四）：挠率19861996200920111000020.1098283250.1989879630.0145806440.03296881730.1654831320.1595100990.3581375813493036470.3679653830.001960886-0.00179854850.4490964060.4357756910.0028900190.00271019560.0306507370.030577520.0127028570.01402748170.1030321330.123647807-0.074950536-0.0739062798-0.585929574-27.30787422-0.15400688-00868936940.158834348-0.270655713-0.280985479100.0091700350.05203221-0.050646728-0.05098798811-0.9993351880.076437328-0.146066824-0.16843679512-0.0447444590.294449551-0.038946595-0.03807633213-0.0018791280.002400591-0.00659613-0.006805047140000图15从图15可看出：1986年、1996年、2009年和2011年：古塔的各年的挠率总体趋势几乎接近于0，则扭曲程度极小；其中，1986年， 10-12层挠率在负半轴上，即发生稍微扭曲，扭曲程度不大；1996年：古塔经过10年后，第8层的扭曲程度愈发严重，此时可能导致古塔7-9层不牢固；2011年，古塔的2-4层挠率先升后降，古塔稍微发生了扭曲。综上所述，古塔的变形情况为：总体上，古塔倾斜角先变大再变小，其中，1986-1996年，倾斜角稍微变大，1996-2009年，倾斜角变小；2009-2011年，倾斜角几乎不变。1986-1996年，古塔十二层以下曲率基本上保持不变，而1996年，相对于1986年来说，十三层的曲率较大；1996-2009年，古塔4-11层曲率发生不同程度的变大；2009年-2011年曲率基本保持不变。从1986年、1996年、2009年和2011年，这几个年段，挠率基本上趋向于0，几乎没有扭曲。但是，1996年古塔第8层，发生了一次较大的扭曲。 5.4问题三的模型建立与求解根据古塔在空间上的变形情况，将古塔每层的中心位置从空间曲线转换为平面上的方程，利用1986年、1996年、2009年和2011年的数据，通过线性拟合的方法分别求出未来5年、10年、20年古塔的中心位置。首先，将空间曲线转化为平面直线，其中代表年限。并将1986年、1996年、2009年和2011年分别记为t=0、t=10、t=23和t=25年。通过线性拟合，将每一年第层的代入拟合函数，求得t年的第层，从而预测出t=30、35、45时，即2016年，2021年，2031年古塔各点的中心位置，再分别从倾斜（斜率）、弯曲（曲率）、扭曲（挠率）三个方面逐一分析古塔的变形趋势。通过利用MATLAB软件拟合可得到预测年份t=30、35、45年的古塔各层的中心位置坐标如下表：表十一303545xyzxyzxyz1566.7572522.69811.7585566.7747522.6961.7533566.8096522.69191.74292566.7876522.67097.2942566.8522.6717.2896566.8247522.67117.28033566.8163522.646312.7236566.8235522.648812.7178566.8379522.65412.70644566.8405522.62417.0563566.844522.628217.0522566.851522.636417.04415566.8657522.601721.7031566.865522.607721.7001566.8636522.619621.69416566.9628522.548826.2012566.9712522.550726.1952566.9882522.554426.1837566.9956522.525129.8167567.0038522.525829.8132567.0202522.527129.80618567.0515522.48933.335567.0638522.485933.3323567.0885522.479733.3279567.1076522.452636.8271567.1243522