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2019年六年级奥数专题18：抽屉原理 一、填空题1.一个联欢会有100人参加,每个人在这个会上至少有一个朋友.那么这100人中至少有 个人的朋友数目相同.2.在明年(即xx年)出生的1000个孩子中,请你预测:(1)同在某月某日生的孩子至少有 个.(2)至少有 个孩子将来不单独过生日.3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸 次.4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取 颗.如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出 颗.5.从1,2,3,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有 对.6.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有 人的头发根数一样多.7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有 个.8.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取 张牌,才能保证其中必有3种花色.9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了 个球.10.某班有37名小学生,他们都订阅了小朋友、儿童时代、少年报中的一种或几种,那么其中至少有 名学生订的报刊种类完全相同.二、解答题11.任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数.12.在边长为1的正方形内任取51个点,求证:一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50.13.某幼儿园有50个小朋友,现在拿出420本连环画分给他们,试证明:至少有4个小朋友分到连环画一样多(每个小朋友都要分到连环画).14.能否在88的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由.答 案 1. 2因为每个人至少有1个朋友,至多有99个朋友,将有1个朋友的人,2个朋友的人,99个朋友的人分成99类，在100个人中,总有两个人属于同一类,他们的朋友个数相同.2. (1)3;(2)636因为xx年有365天,故在xx年出生的孩子至少有(个)孩子的生日相同;又因为1000-(365-1)=363,即至少有363个孩子将来不单独过生日.3. 91当摸出的2个球颜色相同时,可以有4种不同的结果;当摸出的2个球颜色不同时,最多可以有3+2+1=6(种)不同结果.一共有10种不同结果.将这10种不同结果看作10个抽屉,因为要求10次摸出结果相同,故至少要摸910+1=91(次).4. 4;7将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取13+1=4(颗)珠子.对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗,一次至少要取4+(12+1)=7(颗)珠子.5. 1将112这十二个数组成这六对两数差为6的数组.任取7个数,必定有两个数差在同一组中,这一对数的差为6.6. 267将4千万人按头发的根数进行分类:0根,1根,2根,150000根共150001类.因为40000000=(266150001)+99743266150001,故至少有一类中的人数不少于266+1=267(个),即该省至少有267个人的头发根数一样多.7. 7将每10块颜色相同的木块算作一类,共3类.把这三类看作三个抽屉,而现在要保证至少有三块同色木块在同一抽屉中,那么至少要有23+1=7(块).8. 29将4种花色看作4个抽屉,为了保证取出3张同色花,那么应取尽2个抽屉由的213张牌及大、小王与一张另一种花色牌.计共取213+2+1=29(张)才行.9. 9将5个同学投进的球作为抽屉,将41个球放入抽屉中,至少有一个抽屉中放了9个球,(否则最多只能进58=40个球).10. 6订阅报刊的种类共有7种:单订一份3种,订二份3种,订三分1种.将37名学生依他们订的报刊分成7类,至少有6人属于同一类,否则最多只有66=36(人).11. 将整数的末位数字(09)分成6类:在所给的7个整数中,若存在两个数,其末位数字相同,则其差是10的倍数;若此7数末位数字不同,则它们中必有两个属于上述6类中的某一类,其和是10的倍数.ABCEFGH12. 将边长为1的正方形分成25个边条为的正方形,在51个点中,一定有(个)点属于同一个小正方形.不妨设A、B、C三点边长为的小正方形EFGH内,由于三角形ABC的面积不大于小正方形面积EFGH的,又EFGH的面积为.故三角形ABC的面积不大于.13. 考虑最极端的情况,有3个小朋友分到1本,有3个小朋友分到2本,有3个小朋友分到16本,最后两个小朋友分到17本,那么一共至少要3(1+2+3+16)+217=442(本),而442420,故一定有4个小朋友分了同样多的书.14. 注意到8行、8列及两对角线共有18条“线”,每条线上有8个数字,要使每条线上的数字和不同,也就是需要每条线上的数字和有18种以上的可能.但我们填入的数只有1、2、3三种,因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17(种).故不可能使得每行,每列及两条对角线上的各个数字之和互不相等.十八 抽屉原理(2) 年级 班 姓名 得分 一、填空题1.半步桥小学六年级(一)班有42人开展读书活动.他们从学校图书馆借了212本图书,那么其中至少有一人借 本书.2.今天参加数学竞赛的210名同学中至少有 名同学是同一个月出生的.3.学校五(一)班40名学生中,年龄最大的是13岁,最小的是11岁,那么其中必有 名学生是同年同月出生的.4.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出_ 个,才能保证有2个小球是同色的.5.有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒中,一次至少摸出_个,才能保证有6个小球是同色的.6.布袋中有60个形状、大小相同的木块,每6块编上相同的号码,那么一次至少取出 块,才能保证其中至少有三块号码相同.7.某商店有126箱苹果,每箱至少有120个苹果,至多有144个苹果.现将苹果个数相同的箱子算作一类.设其中箱子数最多的一类有n个箱子,则n的最小值为 .8.有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双,混杂在一起,要求闭着眼睛,保证从中摸出不同颜色的2双筷子,则至少要摸出 根.9.袋子里装有红色球80只,蓝色球70只,黄色球60只,白色球50只.它们的大小与质量都一样,不许看只许用手摸取,要保证摸出10对同色球,至少应摸出_只.10.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各2支,让一位小朋友随便抓2支,这位小朋友至少抓 次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同.(每抓一次后又放回再抓另一次)二、解答题11.某游旅团一行50人,随意游览甲、乙、丙三地,问至少有多少人浏览的地方完全相同.12.从一列数1,5,9,13,93,97中,任取14个数.证明:其中必有两个数的和等于102.13.在一个边长为1的正三角形内,任给5个点,证明:其中必有两个点之间的距离不大于1/2.14.设,是任意互异的12个整数,试证明其中一定存在8个整数,使得:恰是1155的倍数.答 案1. 6将42名同学看成42个抽屉,因为212=542+1,故至少有一个抽屉中有6本或6本以上的书.2. 18因210=1712+16,故一定有18个或18个以上同学在同一月出生.3. 2这40名同学的年龄最多相差36个月(三年)因40=136+4,故必有2人是同年、同月出生的.4. 5从极端考虑:即使先取走取的4个球都是不同色的,那么取第5个球时就必有二球同色了.5. 21将球按颜色分成4类,每次各取5个时,也无6球同色,故应取(6-1)4+1=21(个)球,才能保证一定有6球同色. 6. 21将布袋中的木块按编号分成606=10(类)要保证其中某一类至少有三个,至少应拿出(3-1)10+1=21(块).7. 6每箱数目是120144,共有25种可能.因126=525+1,故至少有5+1=6(个)装相同苹果数的箱子,即n最小为6.8. 11当摸出10根时,可能是8根黑筷,白筷,红筷各一根,没有“不同颜色的二双”.当摸出11根时,至多有8根属于同一颜色,那么另3根中至少有二根是同色的.9. 23当摸出22只球时,可能有9对同色球,但剩余四球分别为红、蓝、黄、白各一只,达不到10对,另一方面,每摸出5个球,就会出现一对同色球,将这一对挪开,再摸出两个球,就必然会又出现一对红色球,如此下去,摸出23只球就能保证有10对同色球.10. 11两支笔的种类可分为同色与异色.同色的有4种,异色的有3+2+1=6种,为了保证至少有两次抓到笔的种类完全相同,至少要抓110+1=11(次).11. 浏览一个地方的,有3种,浏览二个地方的,有3种,浏览三个地方的,有1种,一个地方也不去的,有1种,共有8种方式.故至少有(人).浏览的地方是完全相同的.12. 给出的数是一个等差数列,它一共有25个数,将这25个组分成13组:.在这25个数中任取14个数来,必有二数属于上述13组中的同一组,故这一组二数之和是102.13. 如图,将三角形三边中点连结起来,就将原三角形分成了四个小三角形, 其边长均为,在原三角形内,任意给5个点,其中至少有两点在同一个小三角形内,这两点的距离小于小三角形的边长.ABCPQ. 14. 对1155分解质因数得1155=35711.在所给的12数中,必有2数除以11,余数相同,设这2数为x1,x2,则(x1-x2)是11的倍数.在剩下的数中,必有2数除以7,余数相同,设这2数为x3,x4,则(x3-x4)是7的倍数.在剩下的8数中,必有2数除以5,余数相同,设这2数为x5,x6,则(x5-x6)是5的倍数.在剩下的6数中,必有2数除以3,余数相同,设这二数为x7,x8,则(x7-x8)是3的倍数.故存在8个数x1,x2,x8,使(x1-x2) (x3-x4) (x5-x6) (x7-x8)是1155的倍数.附送：2019年六年级奥数专题19：最值问题 一、填空题1.一把钥匙只能开一把锁.现在有4把钥匙4把锁,但不知哪把钥匙开哪把锁,最多要试 次才能配好全部的钥匙和锁.2.用长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形小木块,拼成一个正方形,最少要用这样的木块 块.3.一个一位小数用四舍五入法取近似值精确到万位,记作50000.在取近似值以前,这个数的最大值是 .4.100个自然数,它们的总和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么这些数里至多有 个偶数.5.975935972( ),要使这个连乘积的最后四个数字都是零.在括号内最小应填 .8649877426.有三个连续自然数,它们依次是12、13、14的倍数,这三个连续自然数中(除13外)是13倍数的那个数最小是 .7.下图九个数中取出三个数来,这三个数都不在同一横行,也不在同一纵行.问:怎样取才能使这三个数之和最大,最大数是 .8.农民叔叔阿根想用20块长2米,宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝.为了防止鸡飞出,所建鸡窝的高度不得低于2米,要使鸡窝面积最大,长方形的长和宽分别应是 .9.一个三角形的三条边长是三个两位的连续偶数,它们的末位数字和能被7整除,这个三角形的最大周长等于 .10.农场计划挖一个面积为432m2的长方形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽应为 .34二、解答题11.下图中,已知a、b、c、d、e、f是不同的自然数,且前面标有两个箭头的每一个数恰等于箭头起点的两数的和(如b=a+d),那么图中c最小应为多少? a b c d e f12.唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑,米老鼠的速度是每分钟125米,唐老鸭的速度是每分钟100米.唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器,通过这种遥控器发出第n次指令,米老鼠就以原速度的n10%倒退一分钟,然后再按原来的速度继续前进,如果唐老鸭想在比赛中获胜,那么它通过遥控器发出指令的次数至少应是多少次?13.某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张240元,使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每人只限一次.某班有48名学生,老师打算组织学生集体去游泳,除需购买若干张游泳卡,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名学生,每次的包车费均为40元.若要使每个同学游8次,每人最少交多少钱?1.31.72.314.某商店需要制作如图所示的工字形架100个,每个由铝合金型材长为2.3米,1.7米,1.3米各一根组装而成.市场上可购得该铝合金型材的原料长为6.3米.问:至少要买回多少根原材料,才能满足要求(不计损耗)?答 案 1. 6第一把钥匙最坏的情况要试3次,第二把要试2次,第三把要试1次,共计6次.2. 12因4和3的最小公倍数为12,故最少需这样的木块12块.3. 50000.44. 48一共有100个自然数,其中奇数应多于50个,因为这100个自然数的总和是偶数,所以奇数的个数是偶数,至少有52个,因而至多有48个.5. 20因975=3952,935=1875,972=24322,要使其积为1000的倍数,至少应乘以522=20.6. 1105因为12、13、14的公倍数分别加上12、13、14后才依次是12、13、14倍数的连续自然数,故要求是13的倍数的最小自然数,只须先求12、13、14的最小公倍数为1092,再加上13得1105.7. 20第一横行取6,第二横行取7,第三横行取7.8. 12米,6米.金属网应竖着放,才能使鸡窝高度不低于2米.如图,设长方形的长和宽分别是x米和y米,则有x+2y=1.220=24.长方形的面积为S=xy=.xy因为x与2y的和等于24是一个定值,故它们的乘积当它们相等时最大,此时长方形的面积S也最大,于是有:x=12,y=6.9. 264依题意,末位数字和能被7整除的只有7、14、21等三种.但三个两位的连续偶数相加其和也一定是偶数,故符合题意的只有14.这样三个最大的两位连续偶数.它们的末位数字又能被7整除的,便是90、88、86，它们的和即三角形最大周长为90+88+86=264.10. 24m,18m如图,设水池边长为xm,宽为ym,则有xy=432,占地总面积S=(x+8)(y+6)m2于是S=xy+6x+8y+48=6x+8y+480.因6x+8y=48432为定值,故当6x=8y时,S最小,此时x=24,y=18.11. 依题意,d应当取最小值1,那么a和f只能一个为2,另一个为4.这样,根据b=a+d,e=d+f,b和e便只能一个为3,另一个为5,而c=b+e.所以c最小应为3+5=8. 12. 米老鼠跑完全程用的时间为10000125=80(分),唐老鸭跑完全程的时间为10000100=100(分). 唐老鸭第n次发出指令浪费米老鼠的时间为.当n次取数为1、2、3、413时,米老鼠浪费时间为1.1+1.2+1.3+1.4+2.3=22.1(分)大于20分.因为米老鼠早到100-80=20分,唐老鸭要想获胜,必须使米老鼠浪费的时间超过20分钟,因此唐老鸭通过遥控器至少要发13次指令才能在比赛中获胜.13.设一共买了x张卡,一共游泳y次,则共有xy=488=384(人次),总运费为:(240x+40y)元.因240x40y=24040384是一定值,故当240x=40y,即y=6x时和最小,此时可求得x=8,y=48.总用费为2408+4048=3840(元),平均每人最少要交384048=80(元).14. 每根原材料的切割有下表的七种情况:2.3米22111.7米31211.3米4321损耗/米1.71.21.100.10.31.0 显然三种方案损耗较小. 方案依次切割原材料42根、14根、29根和1根共用原材料42+14+29+1=86(根).十九 最值问题(2) 年级 班 姓名 得分 一、填空题1.下面算式中的两个方框内应填 ,才能使这道整数除法题的余数最大. 25=1042.在混合循环小数2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点,使新产生的循环小数尽可能大.写出新的循环小数: 3.一个整数乘以13后,乘积的最后三位数是123,那么这样的整数中最小的是 .4.将37拆成若干个不同的质数之和,使得这些质数的乘积尽可能大,那么,这个最大乘积等于 .5.一个五位数,五个数字各不同,且是13的倍数.则符合以上条件的最小的数是 .6.把1、2、3、4、99、100这一百个数顺序连接写在一起成一个数.Z=12345678910119899100从数Z中划出100个数码,把剩下的数码顺序写成一个,要求尽可能地大.请依次写出的前十个数码组成一个十位数 .7.用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是216cm3,长方体的长,宽,高各是 cm时,所用的铁丝长度最短.8.若一个长方体的表面积为54平方厘米,为了使长方体的体积最大,长方体的长,宽,高各应为 厘米.9.把小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6.拿两个这样的正方体,同时掷在桌子上.每次朝上的两个面上的数的和,最小可能是 .最大可能是 ,可能出现次数最多的两个面的数的和是 .10.将进货的单价为40元的商品按50元售出时,每个的利润是10元,但只能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个.为了赚得最多的利润,售价应定为 .二、解答题11.王大伯从家(A点处)去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里(B点处).请帮他找一条最短路线,在下图表示出来,并写出过程.AB河12.某公共汽车线路上共有15个车站(包括起点站和终点站),公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中,每一站(包括起点站)上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车,要使汽车在行驶中乘客都有座位,那么在车上至少要安排乘客座位多少个?13.有一块长24厘米的正方形厚纸片,如果在它的四个角各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸合容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米?14.某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台.已知从A地运一台到甲方的运费为5百元,到乙方的运费为4百元,从B地运一台到甲方的运费为3百元,到乙方的运费为6百元.已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省?答 案 1. 2426和24因为除数是25,余数最大应是24,所以被除数为25104+24=2426.算式应为262425=10424.2. 3. 471设这个整数为1000K+123,其中K是整数.因1000K+123=(1001K+117)+(K-6),1001K和117都是13的倍数,因而(K-6)是13的倍数,K的最小值是6,这个数为6123,612313=471.4. 2618因37=17+11+7+2,它们的积为171172=2618.5. 10257五位数字各不相同的最小的五位数是10234.1023413=7873.故符合题意的13的最小倍数为788.验算:13788=10244有两个重复数字,不合题意,13789=10257符合题意.6. 9999978956由计算可知,Z共有192位数,去掉100位数码,还剩92个数字,所以是92位数.对来说,前面的数字9越多,该数越大.因此中开头应尽可能多保留9.在Z中先划去第一个9前的8个数码,再分别划去第二个9、第三个9、第四个9、第五个9前各19个数码，这时共划去了84个数,这时得到的数是:99999505152535455565758596061还需要划去16个数码,第六个9前面有19个小于9的数码,划掉7以前的6和6以下的所有数码,这样又划掉16个数码,还剩下7、8、5等3个数码,新组成的数为:99999785960616299100,前十个数码组成的十位数是9999978596.7. 6,6,6设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm和zcm.则有xyz=216.