《多元函数的概念》PPT课件.ppt

第七章,多元函数微分本节学习多元函数的概念多元函数的极限和连续性，重点在二元函数。,（1）邻域,平面区域的概念,7.1多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为开集,设D是开集。如果对于D内任何两点，都可以用折线连接起来，且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通区域，简称为区域或开区域。,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,二元函数的定义与几何意义,1定义（二元函数）：设点集DR2，对于P(x，y)D，变量z按照一定法则总有确定的值与之对应，则称z是变量xy的二元函数（或称点P的函数）记为z=f(x,y)（或z=f(P)）定义域：D（点集）自变量：xy因变量：z值域：,o,x,y,z,P0,z0,2.定义域：,用解析式表示的二元函数，其定义域是使该式有意义的点的集合（区域）（有特殊说明除外）；例如：,o,x,y,D1,D1,表达实际意义的多元函数，定义域由实际意义确定。,例如：圆柱体体积,o,R,h,D,3二元函数的几何意义,则空间点集称为的图形一张曲面例如：,o,x,y,z,Z=f(x,y),y,x,z,0,D,球心在(0，0，0)，半径为R的上半球球面,顶点在原点，位于xoy面上方的圆锥面,R,O,x,y,z,o,x,y,z,S,S,二元函数的极限,1表述定义：设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义（点P0可以除外），P(x,y)是该邻域内异于P0的任意一点，如果当点P以任何方式趋近于点P0时，函数的对应值f(x,y)趋近于一个确定的常数A，我们称A是函数z=f(x,y)当xx0yy0时的极限，记为,或,2.分析定义：设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义（点P0可以除外）,A为确定常数，若对于0，0，使当,的一切点P(x,y)(P(x0,y0)，恒有成立，则称A为z=f(x,y)当PP0(xx0,yy0)时的极限，记为或,。,P0,P,注记：,PP0的方式必须是任意的。例如，考察当(x，y)(0，0)时的极限的存在性。(x，y)沿y=kx趋于(0，0)时,有f(x,y)确定常数,y=kx,0,x,y,在PP0的某一种方式下，f(x,y)A，不能断定函数极限存在。但是在PP0的不同方式下，f(x,y)趋于不同的值，则可断定极限不存在。在已知函数极限存在的前提下，可取PP0的某种特殊方式求极限。一元函数极限的运算法则等，适于二元函数情形。,例：讨论下列极限,二元函数的连续性,1定义（二元函数连续）:设z=f(x,y)在P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续，P0为连续点否则称f(x,y)在点P0间断，P0为间断点。,在点(0，0)间断,例如：,注记：,1、f(x,y)在P0连续，满足三个条件，缺一不可：f(x,y)在P0有定义f(x0,y0);,2.f(x,y)在D上连续的几何意义（曲面无孔隙无裂缝）,3二元初等函数在定义区域内连续,4若则,5有界闭区域上二元连续函数的性质：,最值存在性：介值点存在性：有界性：M0，使,第七章作业,P241(2)(3)(6