第3章不等式复习教案

1 / 33 第 3 章不等式复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k 教学设计 整体设计 教学分析 本章知识网络 本章复习建议 本章为高中 5 个必修中的最后一章，我们在这一章中重点探究了三种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组 )及均值不等式，在了解了这三种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用，那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想，以及分类讨论思想，类比思想，换元思想等 1充分 认识不等式的地位与作用不等式是中学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程 (组 )的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，无一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其2 / 33 他章节无法相比的因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合 2加深对不等式性质的理解不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题 直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如 a b， c0 ac bc(忘了 c 0)，abcd ac bd(忘了 a、 b、 c、 dR )等等 3加强等 价变换在解不等式中的运用解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案在确定划分标准时应本着 “ 互斥、无漏、最简 ” 的原则，有的问题还可能进行二次分类另外一定要区分是 “ 分类问题 ” 的解集还是 “ 分段问题 ” 的解集 3 / 33 4注重在证明不等式中推理论证能力的提高不等式的证明非常活跃，它可以和很多内容结合，是高中数学的一个难点， 又是历届高考中的热点问题证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，均值不等式是证明不等式的主要依据证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法 (归 0、归 1)、分析法、综合法等 5解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归化简二是加强 “ 三个二次结合 ” 的深刻理解一元二次方程、 一元二次不等式及二次函数简称 “ 三个二次 ” ，它们互相联系，互相渗透，使这个 “ 知识块 ” 的内容异常丰富，是历年高考命题的重点求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高 6不等式的应用是本章的重点不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或均值不等式解决实际问题对于第一个方面，要求学生运算准确第二个方面，我们 知道方程和4 / 33 不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变 本章复习分为两课时完成，第一课时侧重三种不等式模型的复习，第二课时侧重线性规划的复习 三维目标 1通过本章的综合复习，理解并掌 握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式 (组 )的实际背景，能用不等式的基本性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见问题；理解并掌握均值不等式 a b2ab(a 0， b 0)的应用方法与技巧 2通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的程序框图，深刻理解三个二次之间的关系以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗 透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力 5 / 33 3通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观 重点难点 教学重点： 1.进一步掌握三种不等式模型一元二次不等式、二元一次不等式 (组 )、均值不等式的概念、方法及应用 2深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行 域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识 3掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题 教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；均值不等式解函数最值的正确运用 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(直接导入 )通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能6 / 33 力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业 阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行 整合的？由此展开新课 思路 2.(问题导入 )先让学生结合本章小结，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课 推进新课 新知探究 提出问题 1本章共研究了几种不等式模型？不等式有哪些性质？ 2怎样求解一元二次不等式的解集？怎样画一元二次不等式的程序框图？3均值不等式 a b2ab 的应用条件是什么？主 要用它来解决哪些问题？ 4“ 三个二次 ” 是指哪三个？它们之间具有怎样的关系？ 活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究本章共研究了三种不等式模型，它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式 (组 )、均值不等式a b2ab(a 0， b 0) 由实数的基本性质，我们推出了常用的不等式的 4 条性质 5个推论，教师可结合多媒体课件给出这些性质在这些基本7 / 33 性质的基础上，我们接着探究了均值不等式 a b2ab(a 0， b 0)的代数及几何意义，以及均值不等式在 求最值、证明不等式方面的应用在温故知新的基础上，我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了 “ 三个二次 ” 之间的关系，并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来，为前面学过的算法找到了用武之地对一元二次不等式的求解集问题，老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写，加深对 “ 三个二次 ” 关系的理解 . b2 4ac 0 0 0 二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象 ax2 bx c 0 的根 x1,2 b2a x1 x2 b2a ø ax2 bx c 0 的解集 ax2 bx c 0 的解集 由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解 8 / 33 应用示例 例 1 已知集合 A x|x2 2x 8 0， B x|x 2| 3，c x|x2 2mx m2 1 0， mR 若 (1)Ac ø，(2)ABc ，分别求出 m 的取值范围 活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评 解： (1)A x| 4 x 2， B x|x 1 或 x 5， c x|m 1 x m 1， 欲使 Ac ø，只需 m 12 或 m 1 4.m3或 m 5. (2)欲使 ABc ， AB x|1 x 2，只需 m 11 ， m 12 ，即 m2 ， m1 ，即 1m2. 点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇 变式训练 设集合 A x|(x 1)2 3x 7， xR ，则集合 AZ 中有 _个元素 答案： 6 解析：由 (x 1)2 3x 7 可得 1 x 6，结合 题意可得 A ( 1,6) 例 2 若正数 x、 y 满足 6x 36，求 xy 的最大值 活动：均值不等式的功能就是 “ 和积互化 ” 通过此例，教9 / 33 师引导学生回忆如何用均值不等式求最值本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式 解： x 、 y 为正数，则 6x、也是正数， 6x 26x 30xy， 当且仅当 6x时，取 “ ” 6x 36，则 30xy362 ，即 xy545.xy 的最大值为 545. 点评：本例旨在说明均值不等式的应用事实上， 6x 36， y 36 6x5.代入 xy，得 xy x15(36 6x) 65x2 365x(x 0)，利用二次函数的图象和性质也很容易解出来，教师可在活动前向学生说明学生用均值不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨 变式训练 已知 2x 3y 2(x 0， y 0)，则 xy 的最小值是_ 解法一：由 x 0， y 0，得 2 2x 3y22x3y. xy6 ，当且仅当 2x 3y 1，即 x 2， y 3 时， xy 取得最小值为 6. 解法二：令 2x 2cos2 ， 3y 2sin2 ， (0 ， 2) ，x 22cos2 ， y 32sin2. xy 64sin2cos2 6sin22. 10 / 33 sin221 ，当且仅当 4 时等号成立，这时 x 2，y 3.xy 的最小值是 6. 解法三：由 2x 3y 2，得 y 3x2x 2.xy 3x22x 1(x 1) 令 x 1 t， t 0， x t 1.3x22x 1 3t 122t 32(t 1t 2)32(2t1t 2) 6. 当且仅当 t 1 时等号成立，即 x 1 1， x 2.xy 有最小值 6. 答案： 6 例 3 不等式 axx 1 1 的解集为 x|x 1 或 x 2，求a. 活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式来思考训练学生的等价转化能力 解法一：将 axx 1 1 化为 a 1x 1x 1 0，即 (a 1)x 1(x 1) 0. 由已知，解集为 x|x 1 或 x 2可知 a 1 0， (1 a)x 1(x 1) 0. (1 a)x 1 0， x 11 a.于是有 11 a 2.解得 a 12. 解法二：原不等式转化为 (a 1)x 1(x 1) 0，即 (a1)x2 (2 a)x 1 0. 11 / 33 依题意，方程 (1 a)x2 (a 2)x 1 0 的两根为 1 和 2， 11 a 2， a 2a 1 3，解得 a 12. 点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义 变式训练 若关于 x 的不等式 x ax 1 0 的解集为 ( ，1)(4 ， ) ，则实数 a _. 答案： 4 例 4 为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为 200m2 的长方体二级净水处理池 (如图 )，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米 400 元，中间一条隔墙建造单价为每平方米 100 元，池底建造单价为每平方米 60元一般情形下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？ 活动：教师引导学生观察题目的条件，可以先建立目标函数，再求解可让学生独立探究，必要时教师给予适当的点拨 解：设净水池长为 xm，则宽为 200xm，高为 hm，则总造价 f(x) 400(2x 2200x)h 100200xh 60200 800h(x 225x) 12000(x 0)， 12 / 33 当且仅当 x 225x(x 0)，即 x 15 时上述不等式取到等号故当净水池的长设计为 15m 时总造价最低 点评：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证用均值不等式创设不等量关系，也是经常采用的方式方法，让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用 知能训练 1已知集合 A x|2x 1| 3， B x|x2 x 60 ，则 AB 等于 ( ) A 3， 2)(1,2 B ( 3， 2(1 ， ) c ( 3， 21,2)D ( ， 3)(1,2 2已知 aR ，二次函数 f(x) ax2 2x 2a，设不等式 f(x) 0 的解集为 A，又知集合 B x|1 x 3，若 AB ，求 a 的取值范围 3已知关于 x 的不等式 x ax2 32 的解集是 x|2 x m，求不等式 ax2 (5a 1)x ma 0 的解集 4解关于 x 的不等式 (x 2)(ax 2) 0. 5已知 a、 b、 c、 dR ，求证： ac bda2 b2c2 d2. 答案： 1 A 解析：易得 A x|x 1 或 x 2， B x|3x2 则 AB x|1 x2 或 3x 2 13 / 33 2解：由 f(x)为二次函数，知 a0. 令 f(x) 0， 解得其两根为 x1 1a 2 1a2， x2 1a 2 1a2.由此可知x1 0， x2 0. (1)当 a 0 时， A x|x x1x|x x2 AB 的 充要条件是 x2 3，即 1a 2 1a2 3，解得 a 67. (2)当 a 0 时， A x|x1 x x2 AB 的充要条件是 x2 1，即 1a 2 1a2 1，解得 a 2. 综上，使 AB 成立的 a 的取值范围为 ( ， 2)(67 ， ) 3解： x ax2 32 ax2 x 32 0,2 x m (x 2)(x m) 0 x2 (2 m)x 2m 0.对照不等号方向及 x2 的系数可知 a 0 且 a1 12 m 322m，解得 a 18， m 36. ax2 (5a 1)x ma 0 18x2 (518 1)x 3618 0 x2 13x 36 0 (x 4)(x 9) 0 x 4或 x 9. 点评：条件中的不等式含参数 a，而其解集中又含有参数 m，似乎有较大难度策略之一，求出原不等式的解集，与 x|2 x m比较；策略之二，抓住解集，即写出解集为 x|2 x m的一元二次不等式，再与原不等式比较，若只求原不等式的解集，需讨论 4解： (1)当 a 0 时，原不等式化为 x 2 0，解集为 x|x14 / 33 2 (2)当 a 0 时，原不等式化为 (x 2)(x 2a) 0，这时两根的大小顺序为 2 2a，所以解集为 x|2a x 2 (3)当 a 0 时，原不等式化为 (x 2)(x 2a) 0， 当 0a 1 时，两根的大小顺序为 2 2a，所以原不等式的解集为x|x 2a 或 x 2； 当 a 1 时， 2 2a，所以原不等式的解集为 x|x2 且xR ； 当 a 1 时，两根的大小顺序为 2 2a，解集为 x|x 2 或x 2a 综上所述，不等式的解集为 a 0 时， x|x 2， a 1 时，x|x2 ， a 0 时， x|2a x 2， 0 a 1 时， x|x 2a 或 x 2， a 1 时， x|x 2 或 x2a 点评：本例应对字母 a 分类讨论，分类的原则是不重、不漏解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性 5证明： (a2 b2)(c2 d2) a2c2 b2c2 a2d2 b2d2 (a2c2 2abcd b2d2) (b2c2 2abcd a2d2) (acbd)2 (bc ad)2(ac bd)2， a2 b2c2 d2|ac bd|ac bd. 15 / 33 点评：能否联想到均值不等式 aba b2 或其 变形形式上来？关键是探究根号里面的 (a2 b2)(c2 d2)的变形问题 课堂小节 1由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？ 2通过本节复习，深化了 “ 三个二次 ” 之间的关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系从更高的角度理解了相等和不等的关系，体会了数学来源于生活的道理，也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美 作业 本章巩固与提高 A 组 3、 4、 7、 8、 9； B 组 6、 7、 8、 9. 设计感想 1本课时设计体现了复习课的特点，从更高的角度对本章知识方法进行整合复习不是简单的重复或阅读课本，把“ 发展为本 ” 作为教学设计的中心，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到 “ 温故而知新 ” 的目的 2本课时设计重视了学生的探究活动，让学生在教师的引导下自主探究，避免了学生只当观众、听众设计中体现把复习的机会还给学生，充分让学生在知识整合的基础上，再发展、再创造 16 / 33 3本课时设计体现了复习中前后知识的联系注重了复习应涉及哪些内容？重难点是什么？与其前沿知识和后继知识 有哪些联系？在复习过程中应该注意什么等针对这些情况，教师应该做到心中有数，这样，在复习过程中，才能够做到步步到位，使学生在复习中不至于盲目无从 (设计者：郑吉星 ) 第 2 课时 导入新课 思路 1.(复习导入 )上节课我们重点复习了不等式的基本性质，一元二次不等式的解法及均值不等式的应用本节将重点对平面区域和线性规划问题做一归纳整合，由此展开复习 思路 2.(直接引入 )我们曾对平面区域，线性规划问题进行了探究，解决了我们日常生活中有关资源的分配，人力、物力的合理利用等最优问题本节课我们将对这些内容做进一步的回顾与提高，进一步提高线性规划这一数学工具的应用 推进新课 新知探究 提出问题 1在直角坐标系中，怎样用二元一次不等式 组 的解集表示平面上的区域？17 / 33 2确定二元一次不等式表示的区域的方法是什么？ 3利用线性规划可解决哪些实际问 题？渗透了哪些数学思想方法？ 4解线性规划实际问题的方法步骤是什么？ 活动：教师引导学生回忆并思考以上问题我们知道二元一次方程 ax by c 0 表示平面坐标系中的一条直线这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分：在直线 ax by c 0 上或两侧在直线上的点的坐标满足 ax by c 0，两侧点的坐标则满足 ax by c 0 或 ax by c 0.这样，二元一次不等式 ax by c 0 在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区 域不包括边界直线；若画不等式 ax by c0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线 由于对在直线 ax by c 0 同一侧的所有点 (x， y)，把它的坐标 (x， y)代入 ax by c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点 (x0， y0)，以 a0x b0y c 的正负情况便可判断 ax by c 0 表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当 c0 时，常把原点作为此特殊点 (此时，教师用投影仪给出下面的图形归纳 ) 用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形： 18 / 33 平 面区域 二元一次 不等式 Ax By c0 (A 0， B 0， c 0)Ax By c0 (A 0， B 0， c 0)Ax By c0 (A 0， B 0， c 0)Ax By c0 (A 0， B 0， c 0) 说 明对于二元一次不等式不带等号时，其表示的平面区域，应把边界直线画成虚线 本节课内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材通过本节课的复习，让学生进一步了解到线性规划是利 用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经19 / 33 济效益它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法 数学建模法 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： (1)阅读题意， 寻找线性约束条件，线性目标函数； (2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域 (即画出不等式组所表示的公共区域 )； (3)在可行域内求目标函数的最优解 (设 t 0，画出直线 l0，观察、分析，平移直线 l0，从而找到最优解 )； (4)由实际问题的实际意义作答 讨论结果： (1) (4)略 应用示例 例 1 画出不等式组 x y 60 ， x y0 ， y3 ， x 5 表示的平面区域 活动：为了让全体学生都能准确地画出平面区域，教师可请两名学生上黑板板演，然后对出现的问题作点评 解：不等式 x y 60 表示在直线 x y 6 0 上及右上方20 / 33 的点的集合， x y0 表示在直线 x y 0 上及右下方的点的集合， y3 表示在直线 y 3 上及其下方的点的集合， x 5 表示直线 x 5 左方的点的集合，所以不等式组 x y60 ， x y0 ， y3 ， x 5 表示的平面区域如图所示 点评：画平面区域是学生易错的地方，也是用线性规划解决实际问题的关键步骤，一定让学生准确掌握 变式训练 已知实数 x， y 满足 x1 ， y2x 1， x ym ，如果目标函数 z x y 的最小值为 1，则实数 m 等于 ( ) A 7 B 5 c 4 D 3 答案： B 解析：画出 x， y 满足的可行域，可得直线 y 2x 1 与直线x y m 的交点使目标函数 z x y 取得最小值故由 y2x 1， x y m，解得 x m 13， y 2m 13.代入 x y 1，得 m 13 2m 13 1，解得 m 5. 例 2 某机械厂的车工分 、 两个等级，各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示： 级别加工能力 (个 /人天 )成品合格率 (%)工资 (元 /天 ) 21 / 33 工厂要求每天至少加工 配件 2400 个，车工每出一个废品，工厂要损失 2 元，现有 级车工 8 人， 级车工 12 人，且工厂要求至少安排 6 名 级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少 活动：学生对求解简单线性规划实际应用问题的步骤已经是很熟悉，让学生独立解决问题，有助于学生解题能力的锻炼与培养本例的关键是列出约束条件和目标函数，再就是画平面区域 解：根据题意列出线性约束条件和目标函数设需 、 级车工分别为 x、 y 人 线性约束条件： 97%240x %160y2400 ， 0x8 ，6y 12 ，化简即为 300 ， 0x8 ， 6y12. 目 标 函 数 为 z (1 97%)240x (1 %)160y2 ， 化简即为 z 20x 18y.根据题意知即求目标函数 z 的最小值 画出约束条件的可行域，如图，根据图知，点 A(6,)应为既满足题意，又使目标函数最小然而 A 点非整数点故在点A 上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点距离最近，可知 (6,7)为满足题意的整数解 22 / 33 此时 zmin 206 187 246(元 )，即每天安排 级车工6 人， 级车工 7 人时，工厂每天支出费用最少 答：每天安排 级车工 6 人， 级车工 7 人，工厂每天支出费用最少 点评：通过本例的求解我们可以看出，处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解 例 3A、 B 两个产地分别生产同一规格产品 12 千吨、 8 千吨，而 D、 E、 F 三地分别需要 8 千吨、 6 千吨、 6 千吨，每千吨的运费如下表所示： (万元 )到 D 到 E 到 F 从 A456 从 B524 怎样确定调运方案，使总的运费最少？ 点评：本例表中的数据较多可设从 A 运到 D 为 x，从 A 运到 E 为 y，则从 A 运到 F 就可用 x、 y 表示，即 12 x y，则 B 运到 D、 E、 F 分别为 8 x,6 y， x y 6.目标函数为f 3x y 100. 23 / 33 解：设从 A 运到 D 为 x，从 A 运到 E 为 y，则从 A 运到 F 为12 x y， B 运到 D、 E、 F 分别为 8 x,6 y， x y 6. 约束条件为 x0 ， y0 ， 12 x y0 ， 8 x0 ， 6 y0 ，x y 60. 目标函数为 f 3x y 100. 可行 域为如图所示的阴影部分 (包括边界 )易知，当 x 8，y 0 时， f 最小，即运费最省 故当从 A 运到 D8 千吨、从 A 运到 F4 千吨、从 B 运到 E6 千吨、从 B 运到 F2 千吨时，总的运费最少 点评：通过本例的训练，让学生学会对多个数据的处理，进一步明确线性规划的应用性 变式训练 行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用，要继续向前滑行一段距离才能停下来，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(m)与汽车的车速 x(km/h)满足下列关系： y nx100 x2400(n 为常数， nN) 做两次刹车试验，有数据如图，其中 5 y1 7,13 y2 15. (1)求出 n 的值； (2)要求刹车距离不超过，则行驶的最大速度应为多少？ 24 / 33 解： (1)将 x1 40， x2 70 分别代入 y nx100 x2400，有y1 25n 4， y2 710n 494. 依 题 意 ， 有 525n 47 ， 13710n 49415(nN) 解得 n 3. (2)y 3x100 x2400 ，解得 x80 ，即最大行驶速度为80km/h. 知能训练 1实数 x， y 满足不等式组 y0 ， x y0 ， 2x y 20 ，则 y 1x 1 的取值范围是 ( ) A 1， 13B 12， 13 c 12， )D 12， 1) 2如图所示，在约束条件 x0 ， y0 ， y xs ， y 2x4下，当 3s5 时，目标函数 z 3x 2y 的最大值的变化范围是 ( ) A 7,8B 7,15c 6,8D 6,15 3购买 8 角和 2 元的邮票若干张，并要求每种邮票至少要两张，如果小明带有 10 元钱，问有多少种买法？ 答案： 1. D 解析：设点 D(x， y)在图 中阴影部分内，如图 y25 / 33 1x 1，即动点 (x， y)与定点 A( 1,1)连线的斜率当动点为 B 点时， 取得最小值，由 y 0， 2x y 2 0，得 B 点坐标为 (1,0) 12.当动点在 x y 0 上，且 x 时， 趋向于最大值，即经过 A 点，斜率为 的直线与x y 0 平行 12， 1) 2 A 解析：由题意知要求在约束条件 x0 ， y0 ， y xs ，y 2x4 下，目标函数 z 3x 2y 的取值范围，作出如图所示目标函数取最大值时的可行域 由 z 3x 2y 得 y 32x z2， 当 x y 3 时，在 B 点处 z 取最大值；随着 x y 3 的上移， z 的最大值也随着增大当平移经过 c 点时， z 的最大值达到最大，且 B(1,2)， c(0,4) 当 3s5 时，目标函数 z 3x 2y 的最大值的变化范围是 7,8 3解：设 8 角邮票可买 x 张， 2 元邮票可买 y 张，根据题意有 8x 20y100 ， x2 ， y2 ， x、 yN. 不等式表示的平面区域如图所示，而在该区域内， x、 y 都是不小于 2 的整数，这样的点的个数为 11，所以小明有 11种购买方法，分别是 (2,2)， (2,3)， (2,4)， (3,2)， (3,3)，(4,2)， (4,3)， (5,2)， (5,3)， (6,2)， (7,2) 26 / 33 课堂小节 1由学生回顾本节课复习了哪些内容？通过对这些内容的复习，你有什么新的发现？ 2本节课重点复习了平面区域和线性规划问题，明确了用线性规划的方法解决的两种重要问题线性规划实质上是数形结合的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷地求最值的方法进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤还结合一道线性规划题目，探究了利用新视角解决问题的方法，打破了思维定式，今后要注意这方面的思维训练，以培养 学生思维的灵活性 作业 1本章巩固与提高 A 组 14、 15； B 组 14、 15. 2本章自测与评估 设计感想 1本课时设计注重了教师的灵活操作在复习时，采取提问、讨论、练习等方式，引导学生再现知识点、知识的形成过程及内在联系用表格、图示、文字的方法串成线、连成片，建立起合理的认知结构，便于学生记忆，而不是简单的重复 2本课时设计关注了学生的层次，关注了学习要求上的分层让学习较差层次的学生多回答一些概念识记性提问，要求学会做一些基础题目让学习中等层次的学生，多回答一27 / 33 些需认真思索的提问 ，会做一些难度适中的综合练习让学习较好层次的学生，多回答一些智力运用性的提问，会运用知识解决一些难度较大的综合性题目 3本课时设计注意了数学思想方法的教学学生的能力最终体现在数学思想方法的应用上在讲授数学知识的同时，更加注重数学思想方法的渗透和培养，把数学思维方法和数学知识、技能融为一体，不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力 (设计者：郑吉星 ) 备课资料 一、备用例题 【例 1】已知 0 x 13，求函数 y x(1 3x)的最大值 活动一：原函数式可化为 y 3x2 x，利用二次函数求某一区间的最值 解法一： (利用二次函数法可获得求解 )(解略 ) 活动二：挖掘隐含条件， 3x 1 3x 1 为定值，且 0 x 13，则 1 3x 0；可用均值不等式 解法二： 0 x 13， 1 3x 0.y x(1 3x)133x(1 3x)13(3x 1 3x2)2 112，当且仅当 3x 1 3x，即 x 16 时， ymax 112. 【例 2】求 y sinx 5sinx 的最小值， x(0 ， ) 28 / 33 错 解 ： x(0 ， ) ， sinx 0.y sinx 5sinx25.ymin 25. 错因： y 25 的充要条件是 sinx 5sinx，即 sin2x 5，这是不存在的 正解： x(0 ， ) ， sinx 0.又 y sinx 5sinx sinx 1sinx 4sinx2 4sinx，当且仅当 sinx 1sinx，即 sinx 1 时，取 “ ” 而此时 4sinx 也有最小值 4， 当 sinx 1 时， ymin 6. 【例 3】已知正数 x、 y 满足 2x y 1，求 1x 1y 的最小值 错解： 1 2x y22xy ， xy122 ，即 1xy22. 1x 1y21xy222 42，即 1x 1y 的最小值为42. 错因：过程中两次运用了均值不等式中取 “ ” 过渡，而这两次取 “ ” 的条件是不同的，故结果错 正解一： 2x y 1， 1x 1y (2x y)(1x 1y) 2 2xy yx 13 22，当且仅当 yx 2xy，即 y 2x 时，取 “ ” 而 y 2x2x y 1 x 12 2， y 22 2，即此时 ymin 3 22. 正解二： 1x 1y 2x yx 2x yy 3 yx 2xy(以下同解一 ) 小结：用均值不等式求最值 时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑29 / 33 多次 “”( 或者 “”) 中取 “ ” 成立的诸条件是否相容 【例 4】已知正数 x、 y 满足 xy x y 3，试求 xy、 x y的范围 解法一：由 x 0， y 0，则 xy x y 3xy 3 x y2xy ，即 (xy)2 2xy 30. 解得 xy 1(舍去 )或 xy3 ，当且仅当 x y 且 xy x y 3，即 x y 3 时取 “ ” ，故 xy 的取值范围是 9， ) 又 x y 3 xy(x y2)2(x y)2 4(x y) 12 0xy 2(舍去 )或 x y6 ，当且仅当 x y 且 xy x y 3，即 x y 3 时取 “ ” ，故 x y 的取值范围是 6， ) 解法二：由 x 0， y 0， xy x y 3 (x 1)y