新三第21讲 方阵问题.doc

方阵问题学生排队，士兵列操，横着排叫作行，竖着排叫作列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫作方阵。方阵可分实心方阵和空心方阵两种。如果一个方阵中间都是排满的，就叫实心方阵；反之，就叫空心方阵。解方阵问题时，应注意方阵中排列的规律，找出巧妙的解法。一般来说，无论是实心方阵，还是空心方阵，都具有以下特点：1方阵无论哪一层，每边上的人（或物）数量都是相等的；每向里一层，每边上的人（或物）数就少2；2每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系是：四周人（或物）数 = 每边人（或物）数 1 4每边人（或物）数 = 四周人（或物）数 4 + 13实心方阵的总人（或物）数一每边人（或物）数每边人（或物）数；4空心方阵的总人（或物）数=最外层每边人（或物）数最内层每边人（或物）数；5方阵相邻两层人（或物）数相差8。解空心方阵时，如果利用“四分法”将空心方阵分成四个相等的矩形，就会有化腐朽为神奇之感。这时，空心方阵的总人（或物）数 = 最外层每边人（或物）数空心方阵的层数 空心方阵的层数 4。【例1】 三（1）班的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列。如果去掉一行一列，要去掉多少人? 还剩下多少人?分析 横行去掉7个，竖列去掉7人，好像去掉了（7 + 7）= 14人，但是行和列交汇处的那个人被重复计算了一次，所以去掉的总人数要减去1。即学即练1（1）运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉1行1列，要减少多少名运动员?（2）东方小学四年级准备排演一个正方形队列参加学校广播体操表演，先排了一个14行14列的队伍。但觉得不够气势，所以决定增加1行1列，则还需补充多少人参加队列表演?【例2】 棋子若干粒，如果排成三层的中空方阵，就多20粒；如果中空部分增加两层，就少12粒。棋子有多少粒?分析 相邻两层相差8，中空部分增加两层，需20 + 12 = 32粒棋子。32 = 12 + 20，最内层为12粒，第2层为20粒。即学即练2（1）在一块正方形土地的四边植树，每边栽17棵，四个角各栽1棵，共可以栽多少棵树?（2）某小学三年级的学生排成一个实心方阵，最外面一层有学生40人。这个方阵共有学生多少人?【例3】 小朋友们排成方阵做广播体操。小明恰好站在方阵的正中心，此时无论从前往后或者从后往前数时他都排在第5个，无论是从左往右或者是从右往左数时他都排在第6个，则这个方阵中一共有几位小朋友?分析 小明前、后各有51 = 4（人），琊么一列就有4 + 1 + 4 = 9（人），一列9人方阵共9行；小明左、右各有61 = 5（人），那么一行就有5 + 1 + 5 = 11（人），一行11人表示方阵共11列。即学即练3学校为庆祝“十一”，用花盆摆了一个中空方阵，最外一层有36盆花。这个方阵每边共有多少盆花?【例4】 光明小学三年级原准备排成一个正方形队列参加广播体操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉29人。三年级原来准备多少人参加表演?分析 横、竖各减少1排，共减少29人，说明原来每边（29 + 1） 2 = 15（人）。即学即练4 某校学生进行队列表演，排成一个正方形队列。如果这个队列横、竖各去掉一排，则减少15人。原米参加队列表演的学生有多少人?【例5】 若干个学生排成一个空心方阵，最外层每边10人，最内层每边6人。学生共有多少人？分析 由于每向里一层，每边上的人数就少2，所以如图，将这个空心方阵填上一个边长为（62）的实心方阵，它也变成了一个边长为10的实心方阵，所以学生总人数就等于10 10 4 4 = 84（人）。即学即练5（1）有一体育馆的地面要铺瓷砖，排成空心方阵，外层每边26块，内层每边20块。一共使用了瓷砖多少块?（2）社区居委会打算从林场采购一些小树苗。居委会王大妈发现，林场的一些小树苗排成了一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树。王大妈将这些小树苗全都买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上。这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵。那么，最后还剩下多少棵小树苗?【例6】 聪聪用棋子摆了一个5层的空心方阵，共用了220枚棋子。最外边一层每边有多少枚棋子?分析 如图，以层数5作为一条边，以每边棋子数与层数5的差作为另一条边，将这个空心方阵分成四个完全一样的长方形，则每个长方形共有棋子220 4 = 55（枚），长方形的长边上有棋子55 5 = 11（枚），空心方阵最外层每边上有棋子11 + 5 = 16（枚）。即学即练6 （1）有儿童排成每边24人的实心方阵，今想改成三层的空心方阵，空心方阵的最外层共有几人?（2）有棋子若干枚，它们恰好可以排成一个外层每边10枚棋子的4层空心方阵。这些棋子的总数是多少? 最外层共有棋子多少枚?【例7】 有一堆棋子，排成实心正方形方阵，剩余9枚棋子。若正方形纵、横两个方向各增加一层，则缺少12枚棋子。共有棋子多少枚?分析 若正方形纵、横两个方向各增加一层，已有的9枚棋子不够，还需要增加12枚，说明正方形纵横各增加一层需要9 + 12 = 21（枚）棋子，则增加后的正方形每边有（21+1）2 = 11（枚）棋子。即学即练7 有学生若干人，如果排成实心方阵，则不足14人；如果每边少排1人，就余41人。学生一共有多少人?能力检测1学校正方形操场四周插彩旗，四个角上都要插上1面彩旗，每条边上都有12面彩旗。一共需要准备多少面彩旗?2一个正方形苗圃种满了树苗，后来又补种了19棵，使横、竖各增加了一排。原来正方形苗圃有树苗多少棵?3三年级学生组成一个正方形方队，共12行，每行12人。后来由于服装不够，只好去掉一行一列。去掉了多少名学生?4如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池。水池长8米、宽3米。水池周围用边长1米的方砖一圈一圈地向外铺。恰好铺了若干圈，共用了152块方砖。那么，一共铺了多少圈?5用边长10厘米的正方形瓷砖拼地面，周围要求用绿色，中间用白色（如图）。（1）每边5块绿瓷砖时，一共需要准备多少块绿瓷砖?（2）周围共用96块绿瓷砖时，白瓷砖要多少块?6运动会入场式要求运动员排成9行9列的正方形方阵。如果去掉2行2列，每个方阵减少多少名运动?7 “六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵。最外面一层每边有鲜花多少盆?8100位同学都面向主席台，排成10行10列的方阵。小明在方阵中，他的正左方有2位同学，正前方有4位同学。若整个方阵的同学向右转，则小明的正左方和正前方分别有几位同学?9有一个三层长方形中空方阵，排列方式如图，长比宽多1颗棋子，最外层一周有26颗棋子。中空方阵最外侧每边各有几颗棋子? 一共有多少颗棋子?10三年级学生分成两队参加学校广播体操比赛，他们排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边有8人。如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。三年级参加广播体操比赛的一共有多少人?11将若干玻璃扣进行排列，横、竖行数目相同，一横排与一竖行共21粒。若每一横排与一竖行共增加4粒，组成的正方形共有多少粒玻璃扣?12用20粒珠子，可以同成每边6粒的一层正方形空心方阵。如果用600粒珠子，可以围成每边几粒的正方形?13用棋