2014年五一高考压轴题突破班导学1-数学 函数 倒数 数列 几何等

2014 年五一高考压轴题突破班导学 （第一次 数学部分 ） 资料 说明 本 导学用于学员在实际授课之前，了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的详细解读。每个班型导学共由 2 次书面资料构成。 清北学堂集中培训课程导 学 （ 2014 年 五一 集中培训课程使用） QBXT/JY/DX2014/4-1-12 2014-4-5 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂 高考压轴题突破班 导学 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年五一高考压轴题突破班导学 （ 数学部分 ） 一、课程重点及难点概述 . 3 二、清北导学 . 4 1.函数与导数 . 4 1.1 重点及难点 . 4 1.2 知识点 . 4 2.数列 . 8 2.1 重点及难点 . 8 2.2 知识点 . 8 3.解析几何 . 9 3.1 重点及难点 . 9 3.2 知识点 . 9 4 概率统计、立体几何等 . 12 4.1 重点及难点 . 12 4.2 知识点 . 12 清北学堂 高考压轴题突破班 导学 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 一、 课程重点及难点概述 本课程 面向 高三学生 ， 从函数与导数，数列，解析几何等章节，结合不等式 在 高考压轴题中的应用，重点剖析高考压轴题的常考知识点及解题方法，帮助考生制胜高考压轴题。 解答题的难题主要集中在函数与导数、数列和解析几何三大分支，近年来概率统计和立体几何比例有所增加；其中各个知识点都可以涉及不等式，尤其是放缩法使得有些试题的难度较大。 通过对各省各年数学高考压轴题进行统计分析，其中 2009 年 39 套， 2010 年 35 套， 2011年 35 套， 2012 年 35 套， 2013 年 37 套，结果如下表所示： 年份 函数 及导数 数列 解析几何 其他 2009 38 26 37 16 2010 35 13 33 24 2011 34 22 30 19 2012 35 17 33 20 2013 40 14 35 22 注：函数内容为：函数基本性质（不涉及导 数）；其他部分的内容为：立体几何和概率与统计，这些试题大多数在倒 数第二、三题。 清北学堂 高考压轴题突破班 导学 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 二、清北导学 1.函数与导数 1.1 重点及难点 函数压轴题通常考查函数的定义域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等，设计的具体函数主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及由以上函数组成的复合函数等， 通常会与不等式相结合。 1.2 知识点 1函数值域求法： 分析法 ； 配方法 ； 判别式法 ； 利用函数单调性 ； 换元法 ； 利用均值不等式 2222 babaab ； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）； 利用函数有界性（ xa 、 xsin 、 xcos 等）； 导数法 2复合函数的有关问题 （ 1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为 a， b ,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 ag(x)b 解出 ； 若 fg(x)的定义域为 a， b,求 f(x)的定义域，相当于 x a， b时，求 g(x)的值域 . （ 2）复合函数单调性的判定： 首先将原函数 )( xgfy 分解为基本函数：内函数 )(xgu 与外函数 )(ufy ； 分别研究内、外函 数在各自定义域内的单调性； 根据 “同性则增，异性则减 ”来判断原函数在其定义域内的单调性。 3分段函数： 值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 4函数的奇偶性 （ 1） 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 必要条件 ； （ 2） )(xf 是奇函数 f( x)= f(x)； )(xf 是 偶 函数 f( x)= f(x) （ 3） 奇函数 )(xf 在原点有定义，则 0)0( f ； （ 4） 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （ 5） 若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 清北学堂 高考压轴题突破班 导学 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 5函数的单调性 （ 1） 单调性的定义： )(xf 在区间 M 上是增函数 , 21 Mxx 当 21 xx 时有 12( ) ( )f x f x ； )(xf 在区间 M 上是 减 函数 , 21 Mxx 当 21 xx 时有 12( ) ( )f x f x ； （ 2） 单调性的判定 定义法：一般要将式子 )()( 21 xfxf 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； 导数法（见导数部分）； 复合函数法； 图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 6函数的周期性 （ 1） 周期性的定义：对定义域内的任意 x ，若有 )()( xfTxf （其中 T 为非零常数），则称函数 )(xf 为周期函数， T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （ 2）三角函数的周期 2:sin Txy ； 2:cos Txy ； Txy :tan ； |2:)c o s (),s in ( TxAyxAy|:ta n Txy （ 3） 与周期有关的结论 )()( axfaxf 或 )0)()2( axfaxf )(xf 的周期为 a2 ； 7基本初等函数的图像与性质 （ 1） 幂函数： xy （ )R ； （ 2） 指数函数： )1,0( aaay x ； （ 3） 对数函数 : )1,0(lo g aaxy a ； （ 4） 正弦函数 : xy sin ； （ 5） 余弦函数： xy cos ； （ 6） 正切函数： xy tan ； （ 7） 一元二次函数： 02 cbxax ； （ 8） 其它常用函数： 正比例函数： )0( kkxy ； 清北学堂 高考压轴题突破班 导学 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 反比例函数： )0( kxky ； 勾 函数 ： )0( axaxy ； 8二次函数： （ 1） 解析式： 一般式： cbxaxxf 2)( ； 顶 点式： khxaxf 2)()( ， ),( kh 为顶点； 零点式： )()( 21 xxxxaxf 。 （ 2） 二次函数问题解决需考虑的因素： 开口方向； 对称轴； 端点值； 与坐标轴交点； 判别式； 两根符号。 二 次 函 数 cbxaxy 2 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 是 abx 2 ， 顶 点 坐 标 是 a bacab 442 2， 。 9函数图象： （ 1） 图象作法 ： 描点法 （特别注意三角函数的五点作图） 图象变换法 导数法 （ 2） 图象变换： 平移变换： ) )()( axfyxfy ， )0( a 左 “+”右 “ ”； ) )0(,)()( kkxfyxfy 上 “+”下 “ ”； 对称变换： )(xfy )0,0( )( xfy ； )(xfy 0y )(xfy ； )(xfy 0x )( xfy ； )(xfy xy ()x f y ； 翻转变换： ) |)(|)( xfyxfy 右不动，右向左翻（ )(xf 在 y 左侧图象去掉）； ) |)(|)( xfyxfy 上不动，下向上翻（ | )(xf |在 x 下面无图象）； 10函数图象（曲线）对称性的证明 （ 1） 证明函数 )(xfy 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）清北学堂 高考压轴题突破班 导学 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 的对称点仍在图像上； （ 2）证明函数 )(xfy 与 )(xgy 图象的对称性，即证明 )(xfy 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 )(xgy 的图象上，反之亦然； 注： 曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（ 0,0）的对称曲线 C2 方程为： f( x, y)=0； 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为： f( x, y)=0； 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为： f(x, y)=0； 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为： f(y, x)=0 f(a+x)=f(b x) （ x R） y=f(x)图像关于直线 x= 2ba 对称； 特别地： f(a+x)=f(a x) （ x R） y=f(x)图像关于直线 x=a 对称； 11函数零点的求法： （ 1） 直接法（求 0)( xf 的根）； （ 2） 图象法； （ 3） 二分法 ； （ 4） 零点定理：若 y=f(x)在 a,b上满足 f(a)f(b)0； 6圆的方程的求法： （ 1） 待定系数法； （ 2） 几何法 . 7点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） （ 1） 点与圆的位置关系：（ d 表示点到圆心的距离） Rd 点在圆上； Rd 点在圆内； Rd 点在圆外 . （ 2） 直线与圆的位置关系：（ d 表示圆心到直线的距离） Rd 相切； Rd 相交； Rd 相离 . （ 3） 圆与圆的位置关系：（ d 表示圆心距， rR, 表示两圆半径，且 rR ） rRd 相离； rRd 外切； rRdrR 相交； rRd 内切； rRd0 内含。 8、直线与圆相交所得弦长 ： 22| | 2AB r d 二 圆锥曲线 1 定义： （ 1） 椭圆： |)|2(,2| 2121 FFaaMFMF ； 清北学堂 高考压轴题突破班 导学 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 （ 2） 双曲线： |)|2(,2| 2121 FFaaMFMF ； （ 3） 抛物线： |MF|=d 2结论 （ 1） 焦半径：抛物线： 20 pxPF （ 2） 弦长公式： 4)(1(1 212212122 xxxxkxxkAB 注：抛物线： AB x1+x2+p； （ 3） 通径（最短弦）： 椭圆、双曲线：ab22； 抛物线： 2p （ 4） 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： 122 nymx （ nm, 同时大于 0 时表示椭圆， 0mn 时表示双曲线）；当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 21PFF 最大； （ 5） 双曲线中的结论： 双曲线 12222 byax （ a0,b0）的渐近线： 02222 byax ； 共渐进线 xaby 的双曲线标准方程为 (2222 byax 为参数， 0）； 双曲线为等轴双曲线 2e 渐近线为 xy 渐近线互相垂直； （ 6） 焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解 . 3直线与圆锥曲线问题解 法： （ 1） 直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题： 联立的关于 “x ”还是关于 “y ”的一元二次方程？ 直线斜率不存在时考虑了吗？ 判别式验证了吗？ （ 2） 设而不求（代点相减法）： -处理弦中点问题 步骤如下： 设点 A(x1， y1)、 B(x2,y2)； 作差得 21 21 xx yyk AB； 解决问题 . 4求轨迹的常用方法： （ 1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （ 2）直接法（列等式）； （ 3）代入法（相关点法或转移法）； （ 4） 待定系数法； （ 5）参数法； （ 6）交轨法 清北学堂 高考压轴题突破班 导学 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 4 概率统计、立体几何等 4.1 重点及难点 概率统计部分建立在排列组合基础上主要考查古典概型，相互独立事件，互斥时间等；立体几何部分的难点在于求二面角的平面角，传统的综合法作二面角较难，空间向量的方法较繁，同时需要判断二面角是锐角还是钝角 ，需要考生有足够的耐心 。 4.2 知识点 一立体几何 1表（侧）面积与体积公式： （ 1） 柱体： 表面积： S=S 侧 +2S 底 ； 侧面积： S 侧 = rh2 ； 体积： V=S 底 h （ 2） 锥体： 表面积： S=S 侧 +S 底 ； 侧面积： S 侧 = rl ； 体积： V=31 S 底 h （ 3） 台体： 表面积： S=S 侧 +S 上底 S 下底 ； 侧面积： S 侧 = lrr )( ； 体积： V=31 （ S+ SSS ） h； （ 4） 球体： 表面积： S= 24R ； 体积： V= 334R . 2位置关系的证明（主要方法）： （ 1） 直线与直线平行： 公理 4； 线面平行的性质定理； 面面平行的性质定理。 （ 2） 直线与平面平行： 线面平行的判定定理； 面面平行 线面平行。 （ 3） 平面与平面平行： 面面平行的判定定理及推论； 垂直于同一直线的两平面平行。 （ 4） 直线与平面垂直： 直线与平面垂直的判定定理； 面面垂直的性质定理。 （ 5） 平面与平面垂直： 两平面所成二面角为直角； 面面垂直的判定定理。 注：理科还可用向量法。 清北学堂 高考压轴题突破班 导学 北京清北学堂教育科技有限公司 第 13 页 3.求角：（步骤 - 。找或作角； 。求角） （ 1） 异面直线所成角的求法： 平移法：平移直线，构造三角形； 向量法 : ba,c osc os （ 2） 直线与平面所成的角： 直接法（利用线面角定义）； 向量法 : nAB ,c oss in （ 3）二面 角： 几何 法； 向量法 : nm ,c osc os 4.求距离：（步骤 - 。找或作垂线段； 。求距离） 点到平面的距离 ： 等体积法； 向量法 ：| | n nABd . 5.结论： （ 1） 长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a， b， c，则对角线长为 222 cba ，全面积为 2ab+2bc+2ca