2014年自主招生数学命题趋势分析与题型分析

2014 年寒假 自主招生班型 导学 （第一次） 资料 说明 本 导学用于学员在实际授课 之 前 ，了解授课方向及重难点。 同时 还 附上部分知识点 的详细解读。每个班型导学共由 4 次书面资料构成。此次发布的为第一次导学，后面的第二次导学 ， 将于 2013 年 12 月 5 日发布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 还 会发布 相应班型的详细授课大纲，敬请关注。 本次导学涉及知识模块： 集合、函数、不等式、三角函数、数列、排列组合、概率论、极限与导数 一、自 主 招 生 数学命题趋势分析 自主招生考试于 2003 年正式启动。早期自招考试由学校自主命题，风格较为多样化。2010 年开始，各大自 主 招 生 联盟形成，并陆续将命题权交由考试院，命题风格趋于统一。近 3 年来，自招试题有了明显转型，知识点从竞赛向课内迅速靠拢，在高考考纲边界附近游动，保留一定数量的高考核心考点，但着力点和区分度主要放在高考自然延伸出的一些知识和解题方法上，突出对学生思维能力的考查，总体难度低于竞赛，但高于高考。 二、 自 主 招 生 数学题型分析 清北学堂集中 培训课程 导学资料 （ 2014 年寒假 集中培训 课程 使 用 ） QBXT/JY/DX2013/11-1-1 2013-11-30 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 400-699-3290 从近几年自招数学 的题型来看，有以下三种： 选择题和解答题 的组合 、填空题和解答题的组合、 只有解答题；满分一般是 100 分， 考试时间 90 分钟。 从 所 考察知识点的角度来看，基本都属于高考的范围，但有 30%-50%的题目属于 高考中不会出现的 题目类型 。 这些题目对思维的深度要求很高；同时也偏向于知识的综合性，经常以某一 部分 的知识为题目背景，考察的实质却是 另一个 内容 ，要求 同学们 有较强的思维转换能力和 抓住问题主要方向 的能力。从题目难度来看， 与高考的一个很大不同是没有送分题。其中约有一半与高考中高档题类似 ；另外一半难度要 高 于高考，需要提前进行备考训练。 三 、 自主招生 学习方法介绍 以下对自主招生 数学的学习方法提出一些建议。大多数同学 对试卷 中已错题目 利用不足。事实上 试卷中的错题恰恰指明了 下一阶段的努力方向。同学们 要做的就是分析 题目 丢分 原因 。丢分的原因属于 审题 错误 还是计算错误， 或者题目 步骤 书写问题 ， 或者是 由于 没有相应思路导致 无从下手 。当 分析出题目 丢分 原因之后，解决办法也就 随之而来 。如果 属于审题 错误，下次读 题 中 就放慢速度 ， 对题目的重要条件认真分析 ；如果 属于 计算错误，下次做题 过程中的 计算 环节 就要 更加认真， 时间 充裕 的话可以计算两遍、三遍 或者进行验算 ；如果是题目步骤扣分，就拿来标准答案，认真分析 哪些步骤 漏写或者表达不清并学习相应的表达方式 ；如果说这道题没有思路，就 进行 对该种题型的 针对性训练 ， 并 在做题的过程中 ， 总结解题的经验 和 方法。 自招的数学学习 与高考 有很大不同。首先 ， 备考时间 相对 较短； 其次 ，可供 参考的真题非常有限，只有 10 套左右，无法进行大量 练习；第三，每年的 自招 题目在考察范围和难度上波动 性较大 。 因此在自招备考时，对真题的利用要更高效，对每道题 目 尽可能多挖掘 一些内涵 ； 解答完 每 道题后，要重新 梳 理一下题目 过程， 找到 思路的触发点，争取遇到类似的题目 时 能 举一反三。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 400-699-3290 四 、 自 主 招 生 知识补充，例题分析 1. 集合与命题 【知识补充】 容斥原理： ()A B C A B C A B B C A C A B C 例 1： 某班共有 36 人参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、 15、 13，同时参加数学和物理小组的有 6人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 人 解析： 设参加数学和化学的有 m 人， 利用容斥原理得到 3 6 2 6 1 3 1 5 4 6 0m . 例 2：（ 2007 复旦）“ 12a ”是“直线 ( 2) 3 1 0a x ay 与直线 ( 2 ) ( 2 ) 3 0a x a y 相互垂直”的 . A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不充分也不必要 解析： ( 2 ) ( 2 ) 3 ( 2 ) 0a a a a 14 ( 2 )( ) 02aa 2. 函数与方程 【知识补充】 三次方程韦达定理 设三次方程 32 0ax bx cx d 的三个根为 1 2 3,x x x ，则有 1 2 31 2 2 3 1 31 2 3bx xacx x x x x xadx x xa 例 1： （ 2008 复旦）方程 2( 8 1 5 )( 2 )31x x xx 有几个解 解析： 2( 8 1 5 )( 2 ) 0x x x 或 31x. 例 2： （ 2005 上海交大） 22 8 1ax x by x 的最大值为 9，最小值为 1，求实数 ,ab的值 . 解析： 22 8 1ax x by x 2( ) 8 0y a x x y b 方程有根得到 0 64 4( ) ( ) 0y a y b ( 1 ( 9 ) 0yy 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 400-699-3290 3. 不等式 【知识补充】 1）常用不等式及其推广 对 ,ab R，有 22 21122a b a b abab 推广到 n 个正实数，有 2 2 21 2 1 2 12121 1 1nn n nna a a a a a na a anna a a 2）柯西不等式 设 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,nna a a a b b b b是实数，则有 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )n n n ba a a b b b a b a b a b 当且仅当 0( 1, 2, , )ib i n 或存在一个数 k ，使得 ( 1, 2, , )iia kb i n 时，等号成立。 证明： 若 1, 2,ia i n 全部为零，则不等式 显然成立 ； 若 ia 不全为零，构造二次函数 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( )n n n nf x a a a x a b a b a b x b b b 又因为 2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0nnf x a x b a x b a x b 所以二次函数 ()fx的判别式 0 即 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 24 ( ) 4 ( ) ( ) 0n n n na b a b a b a a a b b b 柯西不等式推论一 2 2 2 21 2 1 21 () nna a a a a an 证明： 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2( 1 1 1 ) ( ) ( 1 1 1 )nna a a a a a 2 2 2 21 2 1 2( ) ( )nnn a a a a a a 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 400-699-3290 柯西不等式推论二 设 iaR ，则有 2111nniii iana 例 1： 已知 2 3 1x y z ，求 2 2 2x y z的最小值。 解析： 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 1 2 3 ) ( 2 3 ) 1x y z x y z 2 2 2 114x y z 当且仅当 1 2 3x y z，即 1 1 3,1 4 7 1 4x y z 时， 2 2 2x y z取最小值 114 . 例 2： （ 2004 复旦） 求证：3 3 31 1 11323 n . 证明： 因为 31 1 1 1 1()( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1m m m m m m m m mm 1 1 1 1 1() 211 mmm m m 而且 1 1 1 122m m m m m 所以有 31 1 111mmm 所以 3 3 31 1 1 1 1 1 1 1 111 1 3 2 4 1 123 nnn 2 1 1232 1nn 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 400-699-3290 4. 三角函数，解三角形 【知识补充】 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 平方关系 22sin cos 1 221 tan sec 221 cot csc 三倍角公式 3sin 3 3 sin 4 sin 3co s 3 4 co s 3 co s 万能公式 22 tan 2sin1 tan 2 221 tan 2cos1 tan 2 22 tan 2tan1 tan 2 积化和差公式 1s i n c o s s i n ( ) s i n ( ) 2 1c o s s i n s i n ( ) s i n ( ) 2 1c o s c o s c o s ( ) c o s ( ) 2 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 400-699-3290 1s i n s i n c o s ( ) c o s ( ) 2 和差化积公式 s i n s i n 2 s i n c o s22 s i n s i n 2 c o s s i n22 c o s c o s 2 c o s c o s22 c o s c o s 2 s i n s i n22 例 1： （ 2013 华约） 已知 x 、 y 满足1sin sin31cos cos5xyxy ，求 cos xy 与 sin xy 的值 解析： （ 1）将两式的两边分别平方后相加得 2 2 2 2 2 211s i n s i n 2 s i n s i n c o s c o s 2 c o s c o s 2 2 c o s ( ) ( ) ( )35x y x y x y x y x y 计算可得 208cos 225xy （ 2）方法一：先将两式分别相乘 得到 11s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n 2 s i n 2 s i n ( )22x x x y y x y y x y x y 因为 s i n 2 s i n ( ) s i n ( ) c o s ( ) c o s ( ) s i n ( )x x y x y x y x y x y x y 所以 1 1 1 1sin 2 sin 2 sin ( ) sin ( ) c os ( ) c os ( ) sin ( ) sin ( ) c os ( )2 2 2 217 1c os ( ) sin ( ) sin ( ) c os ( ) 1 sin ( ) sin ( )22 5 15x y x y x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y 计算得 15sin 17xy 方法二：先分别将两式和差化积，相除得到 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 400-699-3290 3tan 25xy 由万能公式得 22 t a n 152si n171 t a n2xyxy xy 例 2： （ 2013 北约） 对任意 ，求 63 2 c o s c o s 6 6 c o s 4 1 5 c o s 2 的值 解析： 6 3 23 2 3 3 2c o s 2 13 2 c o s c o s 6 6 c o s 4 1 5 c o s 2 3 2 ( ) c o s 4 c o s 2 s i n 4 s i n 2 6 ( 2 c o s 2 1 ) 1 5 c o s 224 c o s 2 1 2 c o s 2 1 2 c o s 2 4 2 c o s 2 3 c o s 2 2 c o s 2 1 2 c o s 2 6 1 5 c o s 2 1 0 例 3： （ 2005 复旦）在 ABC 中， tan : tan : tan 1 : 2 : 3A B C ，求 ACAB. 解析： A B C ，所以 t a n t a nt a n t a n ( ) t a n t a n 1BCA B C 3 3 ( t a n t a n )t a n t a n2 t a n t a n 1BCCB BC 可解得 tan 1A ， tan 2B , tan 3C ，由正弦定理即可求 ACAB. 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 400-699-3290 5. 数列 【知识补充】 1） 累差迭加法求数列通项 若数列 na 满足 1 ()nna a f n 的递推式，其中 ()fn 是等差数列或等比数列，即当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，则可用累差迭加法求通项。 2） 累商迭乘法求数列通项 当数列 na 能写成 1 ()nna a f n 的形式时，可利用累商迭乘法求数列通项。 3） 待定系数法 形如 1nna pa q 的数列，可通过待定系数法构造等比数列 1 ()nna p a 来求解。 4） 特征方程法 形如 11n n na pa qa（其中 2n ， ,pq为常数）的数列 如果特征方程 2x px q的两根为 12,xx，则当 12xx 时，有 12nnna x x 当 12xx 时，有 1()nna n x 其中 ,是由数列的初始值 12,aa确定的常数。 例 1： 已知 1 5a ， 21 2425nn naa a ，求数列 na 的通项公式 . 解析： 21 2425nn naa a 2112 5 2 4n n n na a a a 令 nna b x，带入上式得到 221 1 12 2 5 5 2 4 0n n n n nb b x b b b x x 令常数项 2 5 24 0xx 得到 3x 或 -8. 令 3nnba，则 2112 11 0n n n nb b b b 21 2 11nn nbb b 211 2 11n n nb b b 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 400-699-3290 令 1n nx b，得到 21 2 11n n nx x x 211 1 1 (1 1 1)nnxx 两侧取对数得 1ln (1 1 1) 2 ln (1 1 1)nnxx 且其首项为 1 1 1 1 3l n (1 1 1 ) l n (1 1 1 ) l n32x a 所以 1 13ln(11 1) 2 ln 2nnx 121311 1 ( )2 nnx 121 1311 1 ( )32 nna 1211 313( ) 12 nna ， 1,2,3n 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 400-699-3290 6. 排列组合 例 1： （ 2013 华约 ）设集合 | 10A x xZ ， B 是 A 的子集，且 B 中的元素满足： 各个数字互不相同； 任意两个数字之和不等于 9 集合 B 中的两位数与三位数各有多少个？ 解析： 集合 B 中的两位数，十位数字为 1 的数，个位数字不能为 1 和 8，所以有 8 个 同理，十位数字为 2 的数，个位数字不能为 2 和 7，所以有 8 个 ； 依次类推，集合 B 中的两位数共有 9 8=72 个 集合 B 中的三位数，百位数字共有 9 种选择选定了百位数字后，十位数字有 8 种选择，个位数字有 6 种选择，所以 B 中的三位数共有 9 8 6 432 个 集合 B 中是否有五位数？是否有六位数？ 解析： 09 的 10 个数字中共有 5 对和为 9 的数字，根据条件要求，有五位数，如 56789； 一个各个数字不同的六位数，至少有两个数字的和为 9，故没有六位数。 将集合 B 中的数从小到大排列，第 1081 个数是什么？ 解析： 在集合 B 中，两位数与三位数共有 504 个；四位数中千位数字相同的数各有8 6 4=192 个因此第 1081 个数是千位数字为 4 的第一个数，它是 4012 例 2： （ 2013 北约） 在 66 棋盘上放 3 个完全相同的红色的车和 3 个完全相同的黑色的车，若这 6 个车不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 种