高中数学-不等式证明的若干技巧 利用不等式求最值 等专导学

2014 年寒假数学联赛 集训二 课程导学 (代数部分 ) 一、课程重点及难点概述 . 1 二、清北导学 . 2 数列部分 . 2 重点及难点 . 2 知识点 . 2 思考题 . 4 不等式 . 5 重点及难点 . 5 知识点 . 5 不等式常用证明方法 . 7 不等式证明的若干技巧 . 8 利用不等式求最值 . 8 不等式的综合应用 . 9 函数 . 10 重点及难点 . 10 知识点 . 10 复数 . 12 重点及难点 . 12 知识点 . 12 北京清北学堂教育科技有限公司 一、 课程重点及难点概述 本次培训的重点为数列、函数、不等式和复数。其中数列、函数、不等式及其三者的交叉综 合问题是学习的难点。 其中高一上已掌握的知识为函数相关知识，有关数列、函数和复数相关的知识会在后续的高中学习中了解。集训二班 以 知识点传授为主，夯实学员的基本功。 北京清北学堂教育科技有限公司 二、清北导学 数列部分 重点及难点 数列部分，等差数列及其性质、等比数列及其性质、数列前 n 项和求法、通项公式的求法、递归数列处理方法是该部分的重点；数列相关不等式的证明技巧、新数列构造等问题是该部分的难点。 知识点 1. 等差数列： 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数 ，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用 d 字母表示 。1 ()nna a d const 。等差数列前 n 项和公式 11 ()( 1 )22 nn n a annS n a d 。 常数列为公差 0d 的等差数列。 任意两项间有关系式 ()mna a m n d 等比数列： 如果一个 数列 从第 二 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数 ，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母 q 表示( 0)q 。 1 ( , 0 )nna q const qa 。当 1q 时，数列为常数列。 等比数列一般不含 0 元素项 任意两项间有关系式 mnmna qa 等比数列前 n 项和公式 11(1 ) ,11,1nnaq qS qna q 北京清北学堂教育科技有限公司 2. 等差乘等比数列的前 n 项和 nS 的求法 1: ( 1)nna a a n d ， 11: ( 0 , 1 )nnnb b b q q q ， :n n n nc c a b 1111 1 1 ( 1 )n n n kn k k kk k kS c a b a k d b q 1 11 1 1 112( 1 ) ( 2 )nn kkn kkq S a k d b q a k d b q 1 1 11 1 1 1 12 ( 1 )1nn knn k db q qS qS a b db q a b q 故 1 1 12(1 ) ,1 (1 )nn a b d b q qS n Nq q 3. 几种数列递推关系式求通项方法 （ 1） 11, , ,nna pa q a p q 已 知 1 ( ) ,1 1 1n n nq q qa p a ap p p 为 一 个 新 的 等 比 数 列 故 11()11nn qqa a ppp （ 2） 1 1 1 2, , , ,n n na p a q a a a p q 已 知 该递推关系式对应的特征方程为 2x px q，如果方程有不等两根 12,xx，那么12nnna Ax Bx，由 12,aa定得 ,AB，从而确定数列通项公式；如果特征方程有重根12xx ，那么 1()nna An B x ，由 12,aa定得 ,AB，从而确定数列通项公式。 （ 3）不动点法求数列通项 对于一个函数 ()y f x ，该函数的不动点指的是方程 ()x f x 的根，也就是()y f x 与直线 yx 的交点。 假设1 nn naa ba ca d ，已知 1, , , ,abc d a 令 () ax bfx cx d ，可求函数 ()y f x 的不动点满足 ax bx cx d ，即 北京清北学堂教育科技有限公司 2 ( ) 0cx d a x b ，令方程的两根为 12,xx 1 若 12xx ，则有1 1 11 1 2()nncppa x a x a d 其 中 2 若 12xx ，则有 1 1 1 11 2 2 2()nna x a x a c xqqa x a x a c x 其 中 从而可以求出 na 的通项公式。 总之，在已知数列前后项之间的递推关系时，我们首要的任务就是尝试构造新数列，使新数列满足等差或等比数列的性质，继而求得数列的通项公式。 思考题 已知数列 na 满足 1 1a ，前 n 项和为 nS ，1 2 ,1nnna S nn ，求证1 4 , 1nnS a n 北京清北学堂教育科技有限公司 不等式 重点及难点 不等式部分，常用不等式、应用不等式求极值、不等式证明技巧是该部分的重点；其中柯西不等式、排序不等式、不等式证明中的换元法、不等式的综合应用是不等式学习的难点。 知识点 1. 均值不等式 12, na a a R ，有 22111111 nnn nna a a an aannaa 常用形式： , 0 , 2x y x y xy 2. 柯西不等式 若 , , 1, 2, ,iia b R i n ，则 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )n n ni i i ii i ia b a b ，等号成立当且仅当1212nnaaab b b 常用变形一： RbRa ii ，若 (i=1,2,n) ，则 niniiniiiibaba11212 注：要求 bi 为正数 常用变形二： 若 Rba ii， (i=1,2,n) ，则 niiiniini iibaaba1211 北京清北学堂教育科技有限公司 注：要求 ai， bi 均为正数。 3. 排序不等式 * 设有两个有序数组 12 na a a 及 12 nb b b ，则 1 1 2 2 ()nna b a b a b 同 序 和 1 1 2 2 ()j j n jna b a b a b 乱 序 和 1 2 1 1 ()n n na b a b a b 逆 序 和 其中 12,nj j j 为 1,2, ,n 的任意一个排列。当且仅当 12 na a a 或12 nb b b 时等号（对任一排列 12,nj j j ）成立。 4. 琴生不等式 * 如果在定义域 ,ab 上函数 ()y f x 为上凸函数，则 12, , , ,nx x x a b ，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn ； 如果在定义域 ,ab 上函数 ()y f x 为下凸函数，则 12, , , ,nx x x a b ，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn 。 加权的琴生不等式 : 对于 定义域 ,ab 上 的 上 凸函数，若 11 ni ia，则 ni iini ii xfaxaf 11 5. 车比雪夫不等式 * 若 1 2 1 2,nna a a b b b ，则 1 1 2 2 1 2 1 2n n n na b a b a b a a a b b bn n n 6. 绝对值不等式 a b a b a b 1 2 1 2nna a a a a a 北京清北学堂教育科技有限公司 不等式常用证明方法 1 比较法 ：依据实数的运算性质及大小顺序之间的关系，通过两个实数的差或商的符号（范围）确定两个数的大小关系的方法。基本解题步骤是：作差（商） 变形 判号（范围） 定论。证题时常用到配方、因式分解、换元、乘方、恒等式、重要不等式、优化假设、放缩等变形技巧。 2 分析综合法 ：所谓 “综合 ”指由 “因 ”导 “果 ”，从已知条件出发，依据不等式的性质、函数的性质、重要不等式等逐步推进，证得所要证的不等式。所谓 “分析 ”指的是执 “果 ”索 “因 ”，从欲证不等式出发，层层推求使之成立的充分条件，直至已知事实为止。一般先用分析法分析证题思路，再用综合法书写证明过程。 3 重要不等式法： 主要有均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。 4 换元法 ：适当引入新变量，通过代换简化原有结构，实现某种变通，给证明的成功带来新的转机。具体地讲，就是化超越式为代数式，化无理式为有理式，化分式为整式，化高次式为低次式等等。比较常见的有三角代换、均值代 换、增量代换、对称代换、复数代换、局部代换、整体代换、比值代换、常量代换等。至于到底如何代换，因题而异。应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性。 5 放缩法 ：要证 AB（或 AB） , 可以先证明 AC（或 AC），再证明 CB（或 CB），由传递性得证。证明不等式的实质就是如何把不等式的一边经过适当放缩得到另一边。放缩法的常用技巧： 在恒等式中舍掉或添加一些项； 在分式中放大或缩小分子或分母； 应用函数的性质（如单调性、有界性等）进行放缩； 应用基本不等式进行放缩。运用放缩法证明不等式时，要注意目标明确和放缩适度。 6 数学归纳法 ：运用数学归纳法证明与正整数有关的不等式。对于某些较弱的不等式，可以加强命题后再作归纳法证明。 7 构造法 ：针对要证的不等式的结构特点，展开类比、联想，抓住知识间的横向联系，构造出数列、函数、图形等辅助模型，通过转化达到目的。 8 反证法 ：通过否定结论 ,导出矛盾 ,从而肯定结论 .一般用于证明否定性、唯一性、存在性命题，或用于直接证明比较困难的命题。 9 调整法： 在含有多个变元的不等式中，我们常将一个或几个变元的值适当调整 （增大或减小），使它们等于定值或其他变量，从而将原不等式转化为新的更强的不等式，而新的不等式变元减少或更易证明。 北京清北学堂教育科技有限公司 不等式 证明 的若干技巧 无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形 .这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法 ,去发现问题的本质，找到突破口 . 1 变形技巧 ：化简不等式一般是不等式证明的第一步。等量代入法是较常用的方法。 2 引入参变量 ：尤其是对于某些三角函数不等式，适当地引入参变量可以更好地化简不等式，使待证问题更为简洁明了。 3 数形结合、构造 （ 1） 构造重要不等式的结构，再利用相关的重要不等式来证明不等式 . （ 2） 构造函数，利用函数性质来证明不等式 .特别注意好利用二次函数。 （ 3） 构造图形，利用几何知识来证明不等式 . 4 递推 ：数列中采用的递推思路同样适用于部分不等式的证明。利用数学归纳法可以证明某些递推性质的不等式。 5 “特殊 ”到 “一般 ”的转化 6 “整体 ”与 “部分 ”合理巧妙转化 利用不等式求最值 利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意 “正数、定值和相等 ”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件（三要素）：正（各项或各因式均为正值）、定（和或积为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称 “一正、二定、三相等 ”，这三条缺一不可，当然还要牢记结论：积定 和最小，和定 积最大。但是在具体问题中，往往所给条件并非 “标准 ”的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧 ，对 “原始 ”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式。 北京清北学堂教育科技有限公司 不等式的综合应用 不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程 (组 )的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值 无论是什么类型的不等式证明，熟练掌握基本不等式的应用 ，将复杂问题逐步化简为简单问题逐一解决，是不等式证明的基本思路。 北京清北学堂教育科技有限公司 函数 重点及难点 函数部分，单调性、周期性、常用初等函数的性质是该部分的重点；可导性及导数的应用、函数极值、函数不等式是该部分的难点。 知识点 1. 函数的基本要素及性质 函数 ()y f x 可以看做实数域 A 到实数域 B 的映射。其中 A 为 f 的定义域， B 为f 的值域。 连续性 *：设函数 ()y f x 在 0x 的邻域内有定义（ 0()Ux ），则若0 0lim ( ) ( )xx f x f x ，称 f 在 0x 点连续。更进一步，有左连续和右连续的概念，不做更深介绍。 单调性、奇偶性、周期性：以上为较简单的基本概念，学员可查阅高中数学教材复习。 初等函数： 包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次 数 四则运算或函数的复合而得的函数 集合 。 有 界性：函数 ( ),y f x x D，若存在 ,mM R ，使得 , ( )x D m f x M ，则称 f 有界， m 为其下界， M 为其上界。有时函数只有上界或只有下界。当函数无界时，不存在关于原点对称的确定区间可包含函数的值域。 可导性：函数 ( ),y f x x D。 0xD ，若 000( ) ( )limxf x x f xx 存在，称 f在 0x 点可导，记为 00() dyf x x xdx为 f 0x 点的导数。 北京清北学堂教育科技有限公司 高阶导数：如果函数 ()y f x 的导函数可导，称 ()fx为 f 的二阶导数。高阶导数类似定义。 凸性： ()y f x 在区间 I 上有定义，若 12(0 ,1), ,x x I ，有1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x ，则称 ()y f x 为区间 I 上凸函数。 若 ()y f x 的二阶导数存在，则 ()y f x 为区间 I 上凸函数 , ( ) 0x I f x 2. 函数的值域（最值）的求法 配方法：如果所给的函数是二次函数或可化为二次函数的形式，一般采用配方法，但在求解时，要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围。 判别式法：将所给函数 y f x 看作是关于 x 的方程。若是关于 x 的一元二次方程则可利用判别式大于等于 0 来求 y 的取值范围，但要注意取等号的问题。 换元法：将一个复杂的函数中某个式子当作整体，通过换元可化为我们熟知的表达式，这里要注意所换元的表达式的取值范围。 利用函数单调性法：如果所给的函数是熟悉的已知函数的形式，则可利用函数的单调性来示值域，但要注意其单调区间。 反函数法：若某函数存在反函数，则可利用互为反函数两个函数的定义域与值域互换，改求反函数的定义域。 利用均值不等式法。 构造法：通过构造相应图形，数形结合求出最值。 3. 函数不等式 对于 定义域 ,ab 上 的 上 凸函数，若 11 ni ia，则 ni iini ii xfaxaf 11 利用函数的单调性证明不等式，如：求证 ( ) ( )f x g x ，可证 ( ) ( )f x g xee 配方法证明函数不等式：求证 22, , 3 3 3 0x y R x y x y x y 利用导函数及单调性证明：求证 0, 1xx e x 北京清北学堂教育科技有限公司 复数 重点及难点 复数部分，复数的四种表示方式、复数四则运算是该部分的重点；复数四则运算的几何意义、复数模及其相关运算是该部分的难点。 知识点 1. 复数的四种表示方法 复数是能写成以下形式的数： 2( , ) , 1z a bi a b R i 代数形式： ( , )z a bi a b R 几何形式：复平面上的点 z 或由原点出发的向量 OZ 三角形式： ( c o