2014年清北学堂 寒假高一理科精英班导学2-数学部分 函数 数列等

2014 年寒假 高一理科精英班 导学 （第 二 次） 资料 说明 本 导学用于学员在实际授课之前，了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的详细解读。本班型导学共由 2 次书面资料构成。此次发布的为第 2 次导学。 2 次导学的相应关联以及课程详细授课内容，请参见相应班型的详细授课大纲。寒假授课即将开始，除现场授课及答疑外，欢迎大家参加寒假之后的在线答疑活动。祝大家在寒假中收获良多，学习进步！ 自主招生邮箱： 数学竞赛邮箱： 物理竞赛邮箱： 化学竞赛邮箱： 生物竞赛邮箱： 理科精英邮箱： 清北学堂集中 培训课程 导学资料 （ 2014 年寒假集中培训 课程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-4-3 2013-12-25 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 1 页 2014 年寒假 高一理科精英班 导学 (数学 部分 ) 目录 知识框架 . 3 重点难点 . 4 知识梳理 . 5 一、 函数问题 . 5 1. 函数的基本要素及性质 . 5 2. 函数的值域（最值）的求法 . 5 3. 函数不等式问题 . 6 二、 数列问题 . 6 1. 等差数列及其性质 . 6 2. 等比数列及其性质 . 6 3. 等差乘等比数列的前 n 项和 nS 的求法 . 7 4. 几种数列递推关系求通项方法 . 7 三、 不等式 . 8 1. 常用不等式 . 8 2. 常用不等式证明方法 . 10 3. 利用不等式求最值 . 10 四、 平面几何 . 11 1. 基本定理 . 11 2. 三角形的心 . 12 3. 多点共圆问题 . 13 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 4. 面积问题 . 14 五、 数论基础 . 14 1. 整除问题 . 14 2. 整除 . 15 3. 染色、博弈问题 . 16 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 知识框架 函数问题 基本内容 函数的性质 函数的导数与极值 函数不等式 经典方法 换元法、构造法、反函数法、 判别式法 数列问题 基本内容 等差数列及其性质 等比数列及其性质 数列前 n 项和求法 数列通项求法 经典方法 不动点法、构造法 不等式 基本内容 常用不等式 不等式求极值 不等式证明 不等式的综合应用 经典方法 换元法、放缩法、反证法、 比较法、调整法 空间几何 基本内容 常用定理及证明方法 三角形的心 多点共圆问题 面积问题 经典方法 作图法、反证法、等积变换 数论基础 基本内容 整数问题 整除问题 染色及博弈问题 经典方法 假设法、反证法、排列组合方法 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 重点难点 函数问题是高中数学问题的基础，要求同学们能够熟练掌握。其中函数 单调性 、 周期性 、常用初等函数 的形式是该部分的重点； 可导性及导数的应用 、 函数极值 、 函数不等式 是该部分的难点。 在数列部分中， 等差数列 及其性质 、 等比数列及其性质 、 数列前 n 项和求法 、 通项公式的求法 、 递归数列处理方法 是该部分的重点；数列相关 不等式的证明技巧 、 新数列构造等问题是该部分的难点。 在 不等式部分 中 ， 常用不等式 、 应用不等式求极值 、不 等式证明 技巧是该部分的重点；其中 柯西不等式 、 排序不等式 、 不等式证明中的换元法 、 不等式的综合应用 是不等式学习的难点。 平面几何的基本知识一般出现在竞赛大纲中，题目的难度超出了高考的大纲范围。但一些 基本的定理和方法 应该当做难点来学习掌握。 数论问题是近些年加入考纲的内容，其重点为 整除 和 同余问题 。在学习中应重点掌握考虑问题的 方法和思路 ，难点是准确快速地运用相关的 定理 。 而在解题中最终将转换为排列组合的知识，因此在本文中不做具体介绍。 函数和数列 的知识是自主招生及高考中的 压轴 所在，需要同学们能够灵活运用解题方法，综合多种解题技巧，在平日练习中更要注重方法的积累，举一反三。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 知识梳理 一、 函数问题 1. 函数的基本要素及性质 a) 定义： 函数 ()y f x 可以看做实数域 A 到实数域 B 的 映射 。其中 A 为 f 的 定义域 ，B 为 f 的 值域 。 b) 基本性质： 连续性 、 单调性 、 奇偶性 、 周期性 。 c) 有界性 ：函数 ( ),y f x x D，若存在 ,mM R ，使得 , ( )x D m f x M ，则称 f 有界， m 为其下界， M 为其上界。有时函数只有上界或只有下界。当函数无界时，不存在关于原点对称的确定区间可包含函数的值域。 d) 可导性 ：函数 ( ),y f x x D。 0xD ，若 000( ) ( )limxf x x f xx 存在，称 f在 0x 点可导，记为 00() dyf x x xdx为 f 0x 点的导数。 e) 高阶导数 ：如果函数 ()y f x 的导函数可导，称 ()fx为 f 的二阶导数。高阶导数类似定义。 f) 凸性 ： ()y f x 在区间 I 上 有 定 义 ， 若 12(0 ,1), ,x x I ，有1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x ，则称 ()y f x 为区间 I 上凸函数。 若 ()y f x 的二阶导数存在，则 ()y f x 为区间 I 上凸函数 , ( ) 0x I f x 2. 函数的值域（最值）的求法 a) 配方法 ：如果所给的函数是 二次函数或可化为二次函数的形式 ，一般采用配方法，但在求解时，要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围。 b) 判别式法 ：将所给函数 y f x 看作是关于 x 的方程。若是关于 x 的一元二次方程则可利用 判别式大于等于 0 来求 y 的取值范围 ，但要注意取等号的问题。 c) 换元法 ：将一个复杂的函数中某个式子当作 整体 ，通过换元可化为我们熟知的表达式，这里要注意所换元的表达式的取值范围。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 d) 单调性法 ：如果所给的函数是熟悉的 已知函数的形式 ，则可利用函数的单调性来示值域，但要注意其单调区间。 e) 反函数法 ：若某函数 存在反函数 ，则可利用互为反函数两个函数的定义域与值域互换，改求反函数的定义域。 f) 均值不等式法 。 （在不等式中介绍） g) 构造法 ：通过构造相应图形， 数形结合 求出最值。 3. 函数不等式问题 a) 凸性 ： 对于 定义域 ,ab 上 的凸函数，若 11 ni ia，则 ni iini ii xfaxaf 11 b) 单调性 ：利用函数单调性 证明不等式，如：求证 ( ) ( )f x g x ，可证 ( ) ( )f x g xee c) 配方法 ：配方法 证明函数不等式：求证 22, , 3 3 3 0x y R x y x y x y d) 求导法 ： 利用导函数及单调性证明：求证 0, 1xx e x 二、 数列问题 1. 等差数列及其性质 a) 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数 ，这个数列就叫做 等差数列 ，而这个常数叫做等差数列的 公差 ，公差常用 d 字母表示 。 递推公式 为： 1 ()nna a d const 。 任意两项间有关系 式 ()mna a m n d 。 b) 等差数列 前 n 项和公式 11 ()( 1 )22 nn n a annS n a d 。 2. 等比数列及其性质 a) 如果一个 数列 从第 二 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数 ，这个数列就叫做 等比数列 。这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母 q 表示 ( 0)q 。递推公式 为： 1 ( , 0 )nna q const qa 。当 1q 时，数列为常数列。 任意两项间有关系 式 mnmna qa 。 b) 要注意的是， 等比数列一般 不含 0 元素项 。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 c) 等比数列前 n 项和公式 11(1 ) ,11,1nnaq qS qna q 3. 等差乘等比数列的前 n 项和 nS 的求法 1: ( 1)nna a a n d ， 11: ( 0 , 1 )nnnb b b q q q ， :n n n nc c a b 1111 1 1 ( 1 )n n n kn k k kk k kS c a b a k d b q 1 11 1 1 112( 1 ) ( 2 )nn kkn kkq S a k d b q a k d b q 1 1 11 1 1 1 12 ( 1 )1nn knn k d b q qS q S a b d b q a b q 故 1 1 12(1 ) ,1 (1 )nn a b d b q qS n Nq q 4. 几种数列递推关系求通项方法 a) 11, , ,nna pa q a p q 已 知1 ( ) ,1 1 1n n nq q qa p a ap p p 为 一 个 新 的 等 比 数 列 故 11()11nn qqa a ppp b) 1 1 1 2, , , ,n n na p a q a a a p q 已 知 该递推关系式对应的特征方程为 2x px q，如果方程有不等两根 12,xx，那么212nna Ax Bx，由 12,aa定得 ,AB，从而确定数列通项公式；如果特征方程有重根 12xx ，那么 1()nna An B x ，由 12,aa定得 ,AB，从而确定数列通项公式。 c) 不动点法 求数列通项 对于一个函数 ()y f x ，该函数的不动点指的是方程 ()x f x 的根，也就是()y f x 与直线 yx 的交点。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 假设1 nn naa ba ca d ，已知 1, , , ,abc d a 令 () ax bfx cx d ，可求函数 ()y f x 的不动点满足 ax bx cx d ，即2 ( ) 0cx d a x b ，令方程的两根为 12,xx （ 1） 若 12xx ，则有1 1 11 1 2()nncppa x a x a d 其 中 （ 2） 若 12xx ，则有 1 1 1 11 2 2 2()nna x a x a c xqqa x a x a c x 其 中 从而可以求出 na 的通项公式。 总之，在已知数列前后项之间的递推关系时，我们首要的任务就是 尝试构造新数列 ，使新数列满足等差或等比数列的性质 ，继而求得数列的通项公式。 三、 不等式 1. 常用不等式 a) 均值不等式 12, na a a R，有 22111111 nnn nna a a an aannaa 常用形式： , 0 , 2x y x y xy b) 柯西不等式 若 , , 1, 2, ,iia b R i n ，则 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )n n ni i i ii i ia b a b ，等号成立当且仅当1212nnaaab b b 常用变形一： 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 RbRa ii ，若 (i=1,2,n) ，则 niniiniiiibaba11212 注：要求 bi 为正数 常用变形二： 若 Rba ii， (i=1,2,n) ，则 niiiniini iibaaba1211 c) 排序不等式 设有两个有序数组 12 na a a 及 12 nb b b ，则 1 1 2 2 ()nna b a b a b 同 序 和 1 1 2 2 ()j j n jna b a b a b 乱 序 和 1 2 1 1 ()n n na b a b a b 逆 序 和 其中 12,nj j j 为 1,2, ,n 的任意一个排列。当且仅当 12 na a a 或12 nb b b 时等号（对任一排列 12,nj j j ）成立。 d) 琴生不等式 （了解即可） 如果在定义域 ,ab 上函数 ()y f x 为上凸函数，则 12, , , ,nx x x a b，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn ； 如果在定义域 ,ab 上函数 ()y f x 为下凸函数，则 12, , , ,nx x x a b，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn 。 加权的琴生不等式 : 对于 定义域 ,ab 上 的 上 凸函数，若 11 ni ia，则 ni iini ii xfaxaf 11 e) 车比雪夫不等式 （了解即可） 若 1 2 1 2,nna a a b b b ，则 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 1 1 2 2 1 2 1 2n n n na b a b a b a a a b b bn n n f) 绝对值不等式 a b a b a b 1 2 1 2nna a a a a a 2. 常用不等式证明方法 a) 比较法 ：依据实数的运算性质及大小顺序之间的关系，通过两个实数的差或商的符号（范围）确定两个数的大小关系的方法。基本解题步骤是： 作差（商） 变形 判号（范围） 定论 。证题时常用到 配方、因式分解、换元、乘方、恒等式、重要不等式、优化假设、放缩 等变形技巧。 b) 分析综合法 ：所谓 “综合 ”指由 “因 ”导 “果 ”，从已知条件出发，依据不等式的性质、函数的性质、重要不等式等逐步推进，证得所要证的不等式。所谓 “分析 ”指的是执“果 ”索 “因 ”， 从欲证不等式出发，层层推求使之成立的充分条件 ，直至已知事实为止。一般先用分析法分析证题思路，再用综合法书写证明过程。 c) 换元法 ：适当 引入新变量 ，通过代换简化原有结构，实现某种变通，给证明的成功带来新的转机。具体地讲， 就是化超越式为代数式，化无理式为有理式，化分式为整式，化高次式为低次式 等等。比较常见的有三角代换、均值代换、增量代换、对称代换、复数代换、局部代换、整体代换、比值代换、常量 代换等。至于到底如何代换，因题而异。应用换元法时， 要注意新变量的取值范围，即代换的等价性 。 d) 放缩法 ：要证 AB（或 AB） , 可以先证明 AC（或 AC），再证明 CB（或 CB），由传递性得证。证明不等式的实质就是如何把不等式的一边经过适当放缩得到另一边。放缩法的 常用技巧 ： 在恒等式中舍掉或添加一些项； 在分式中放大或缩小分子或分母； 应用函数的性质（如单调性、有界性等）进行放缩； 应用基本不等式进行放缩。运用放缩法证明不等式时，要注意目标明确和放缩适度。 e) 数学归纳法 ：运用数学归纳法证明与正整数 有关的不等式。对于某些较弱的不等式，可以加强命题后再作归纳法证明。 f) 构造法 ：针对要证的不等式的结构特点，展开类比、联想，抓住知识间的横向联系，构造出数列、函数、图形等辅助模型 ，通过转化达到目的。 g) 反证法 ：通过否定结论 ,导出矛盾 ,从而肯定结论 。 一般用于证明否定性、唯一性、存在性命题，或用于直接证明比较困难的命题 。 3. 利用不等式求最值 利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意 “正数、定值和相等 ”三个条件缺一不可，清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件 。 为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件（三要素）： 正（各项或各因式均为正值）、定（和或积为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件） ，简称 “一正、二定、三相等 ”，这三条缺一不可，当然还要牢记结论： 积定 和最小，和定 积最大 。但是在具体问题中，往往所给条件并非 “标准 ”的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧，对 “原始 ”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式。 四、 平面几何 1. 基本定理 a) 梅捏劳斯（ Menelaus）定理（梅式线） ABC 的三边 BC、 CA、 AB 或其延长线上有点 P、 Q、R，则 P、 Q、 R 共线的充要条件 是 1BP CQ ARPC QA RB 。 说明： 恰当选择三角形的截线或作出截线，是应用梅涅劳斯定理的关键，其逆定理常应用于证明三点共线问题。 b) 赛瓦（ Ceva）定理（塞瓦点） ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上有点 P、 Q、 R，则 AP、 BQ、CR 三线共点的充要条件是 1BP CQ ARPC QA RB 。 说明： 对较复杂的问题，要注意梅涅劳斯定理和塞瓦定理的联合应用。 c) 托勒密 (Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积 （如图，即A B C D B C D A A C B D ） 的充要条件是该四边形内接于一圆。 说明： 托勒密定理可作如下推广：在凸四边形 ABCD 中，有A B C D B C D A A C B D ，等号成立的充要条件是 ABCD 为圆的内接四边形，称为广 义托勒密定理。 d) 西姆松 (Simson)定理（西姆松线） 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 e) 其它定理 i. 内角平分线定理 如图，如果 1= 2，则有 BD ABDC AC 。 ii. 外角平分线定理 如果， AD 是 ABC 中 A 的外角平分线，交 BC 的延长线于 D，则有 BD ABDC AC 。 iii. 余弦定理推论 推论 1：平行四边形两对角的平方和等于四边平方和。 推论 2：设 ABC 三边长分别为 a， b， c，对应边上的中线分别为 ma， mb， mc，则： 2 2 21 222am b c a ； 2 2 21 222bm a c b ； 2 2 21 222cm a b c iv. 斯德瓦特定理 如图， ABC 的 BC 边上有一点 P，则可满足下列关系： 2 2 2A B P C A C B P A P B C B P P C B C v. 张角定理 由 P 点出发的三条射线 ,PAPBPC ，设 APC ， CPB ，180APB ，则 ,ABC 三 点 共 线 的 充 要 条 件 是 ：s in s in s in ( )P B P A P C 2. 三角形的心 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 13 页 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心 。 a) 外心 三角形中垂线的交点，三角形外接圆的圆心，简称外心 .与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理 。 b) 重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心 .掌握重心将每条中线都分成定比 2:1及中线长度公式，便于解题 。 c) 垂心 三角形三条高的交战，称为三角形的垂心 .由三角形的垂心造成的四个等 (外接 )圆三角形，给我们解题提供了极大的便利 。 d) 内心 三角形角平分线的交点，三角形内切圆的圆心，简称为内心 .对于内心，要掌握张角公式 。 e) 旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心 .旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切 。 3. 多点共圆问题 a) 利用圆的定义证明 即要证 A、 B、 C、 D 四点共圆，只需要找到一点 P，证得 PA=PB=PC=PD 即可 。 b) 利用圆内接四边形性质定理的逆定理 i. 若四边形的两个对角互补，则四点共圆 。 ii. 若四边形的一个外角等于它的内对角，则四点共圆 。 c) 利用圆周角定理的逆定理证明 即两三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，则四顶点共圆 。 d) 利用圆幂定理的逆定理证明 即 i. 若二线段 AB 和 CD 相交与 E，且 AE EB CE ED 则 A、 B、 C、 D 四点共圆。 ii. 若相交于 P 点的二线段 PB、 PD 上各有一点 A、 C，且 ,PA PB PC PD 则 A、B、 C、 D 四点共圆。 清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 14 页 e) 利用托勒密定理的逆定理证明 即 如果四边形 ABCD 的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积：,A B C D B C D A A C B D 则 A、 B、 C、 D 四点共圆 。 f) 多点（大于 4 点）共圆 i. 通常先证其中四点共圆，再证其余点中一一与共圆四点组中的三点共圆。 ii. 直接利用位似变换证明。 4. 面积问题 面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的 重要方法之一，它的特点是 利用间面积相等而进行相互转换证（解）题 。 面积法是一个很强大的工具，它可以让你在看不清应该如何去算的时候，提供一个有力的方法，尤其在处理线段比例上，它有着很强大的功能 .在后面很多地方都会用到面积的比例来转化边 的比例，这也正是面积法的真正作用所在 。 我们先来熟悉一下这些定理，比如先证明在右图 的图形中要证明 AH AFHB BF， 就 可 以 由 AGE AGEBGE ABESSAHHB S S，ABEBGES DG ACS BC CG得到：只要证明 1DG AC BFBD CG AF 即可，这即是以 ABG 关于直线 DCF 的梅氏定理 .于是我们要证明的东西就出来了，其中用到的只有共边定理，再加上梅氏定理作为一个辅助的工具 。 面积法决不是那种能独当一面的方法，它一定是作为配角来使用的，而在证明过程中起到一个过渡的作用 。 五、 数论基础 1. 整除问题 a) 整数与其进位制 ： 在集合观点下，整数是整数集合的简称，记为 Z ， =n|n=0, 1, 2, Z 。 整数对 “加、减、乘”三种运算封闭 ，对 “除、开方”运算不封闭 。 正整数有无穷多个，为了用有限的个数符号表示出无限个正整数，前人发明了进位制。 10 是十进制的基， 任何大于 1 的整数 r 均可作为 r 进位制的基 。 自然数 N 的 r 进制是把 N 表示成 r 的 n 次多项式的形式，即图 1 - 4GCA FEBDH清北学堂集中培训课程导学资料 北京清北学堂教育科技有限公司 第 15 页 11 1 0nnnnN a r a r a r a ，其中 0 , 1 , 2 , , 1 , 0 , 1 , 2 , . 0ina r i n a ，并记作1 1 0()n n rN a a a a 。 r 进制记数法的基本原则是“逢 r 进 1” 。 不同进位制的数可以相互转换，如 324 1 0(1 0 2 1 ) 1 4 0 4 2 4 1 ( 7 3 ) 。十进制数转换成 P进制数是“除 P取余”法，例如 4 3 21 3 7 1 3 + 2 3 + 0 3 + 0 3 + 2 ，故 3137 (12002) 。a 进制数转为 b 进制数，只需先把 a 进制数转换为十进制数，再由十进制数转换为b 进制数。 b) 整数的奇偶性 ： 将全体整数分为两类， 凡是 2 的倍数的数称为偶数，否则称为奇数 ，因此，任意偶数可表示成 2 ( )mm Z ，任意奇数可表示为 21m 的形式。奇数偶数具有如下性质： 奇数 奇数 =偶数；偶数 偶数 =偶数；奇数 偶数 =奇数；偶数 偶数 =偶数；奇数 偶数 =奇数；奇数 奇数 =奇数。 奇数的平方都可以表示为 81m 的形式，偶数的平方都可以表示为 8m 或 84m的形式。任何一个正整数 n，都可以写成 2mnl 的形式，其中 m 为非负整数， l 为奇数。 c) 质数与合数、算术基本定理 ： 大于 1 的整数按它具有因数的情况可以分为 质数 和 合数 两类。 一个大于 1 的整数，如果除了 1 和它自身外没有任何正因子，则称此数为质数或素数，否则，称为合数。 显然， 1 既不是质数也不是合数 ； 2 是最小的且是唯一的偶质数 。 算术基本定理 ：任何大于 1 的整数 A 都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数额次序，则这种质因子分解表达式是唯一的，进而 A 可以写成标准分解式：12 naaa nA p p p ，其中 12 np p p ， ip 为质数， ia 为非负整数， 1,2, ,in 。 合数的因子个数计算公式：若 12 naaa nA p p p 为标准分解式，则 A 的所有因子（包括 1 和 A 本身）的个数为1( 1)n ii a 。 2