矩阵的特征值与特征向量.ppt

1,第五章,矩阵的特征值与特征向量,2,本章先引出矩阵特征值与特征向量的概念，利用线性方程组的求解方法，提出矩阵的特征值与特征向量的有效计算方法，并给出矩阵对角化的条件，介绍实对称矩阵对角化的方法，是理论与应用相结合的重要的一章，内容丰富，综合性强，难度较大.,3,本章的主要内容,第一节矩阵的特征值与特征向量第二节相似矩阵与矩阵对角化第三节实对称矩阵的对角化,4,一.矩阵的特征值与特征向量的概念,三.矩阵的特征值与特征向量的性质,主要内容：,5.1矩阵的特征值与特征向量,二.矩阵的特征值与特征向量的计算,5,一.特征值与特征向量的定义,注1,是方阵;,（2）特征向量X是非零列向量;,（4）一个特征向量只能属于一个特征值.,（3）方阵的与特征值对应的特征向量不唯一;,5.1矩阵的特征值与特征向量,6,二.特征值与特征向量的求法,或,已知,所以齐次线性方程组有非零解,或,7,是关于的一个多项式，称为矩阵的特征多项式。,称为矩阵的特征方程。,8,求特征值、特征向量：,求出即为特征值;,把得到的特征值代入上式，,求齐次线性方程组,的非零解,即为所求特征向量。,例1,9,解,10,11,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,求非零解。,12,系数矩阵,自由未知量:,令得基础解系:,13,齐次线性方程组为,当时，,得基础解系,14,三.特征值和特征向量的性质,若可逆，则的特征值是,的特征值是,且仍然是矩阵,分别对应于的特征向量。,15,证明,再继续施行上述步骤m-2次，就得,为x的多项式，则的特征值为,16,17,性质2设阶方阵的个特征值为,则,称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）,18,例2,设为矩阵A的特征值，求A2+2A+E的特征值；,若A可逆，求的特征值。,例3设,求：（1）的特征值和特征向量。,（2）求可逆矩阵，使得为对角阵。,19,解：（1）,得,20,21,自由未知量:,得基础解系,22,取,23,存在,本题启示:,问题：可逆矩阵是否唯一？对角矩阵是否唯一？,2.提供了一种求的方法，即.,24,则,定理5.2设是方阵的个特征值，,依次是与之对应的特征向量。,如果各不相等，,则线性无关。,即，方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。,25,类推之，有,把上列各式合写成矩阵形式，得,等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，,当各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。,26,等号两边同时右乘它的逆矩阵，有,即,又因为为特征向量，,所以,线性无关。,27,线性无关。,由定理5.3，对于一个n阶矩阵A，求它的属于每个特征值的线性无关特征向量，把它们合在一起仍然是线性无关的。它们就是A的线性无关的特征向量。,28,例如，例4中属于2重特征值2的线性无关的特征向量的个数刚好为2个。,而例2中属于2重特征值1的线性无关的特征向量的个数刚好为1个；,例1则表明每个单根对应的线性无关的特征向量刚好是一个。,的线性无关的特征向量最多有k个。,29,注2,.属于不同特征值的特征向量是线性无关的,.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量