日晷投影原理及其应用.pdf

文章编号: 10045570( 2003) 03-00109-04 日晷投影原理及其应用 刘 群 ( 贵州师范大学 数学与计算机科学系, 贵州 贵阳 550001) 摘要 : 应用日晷投影原理, 可推导出日晷上确定投影点直角坐标的一般公式, 以及 5 类有代表性的日晷的时线方 程。它们的时线皆为直线。 其中 3 类为常见的日晷, 其余 2 类日晷新类型 。 文中的实例说明新型日晷的安装, 并提出附加观测 24 节气的装置。 关键词: 日晷; 日晷投影; 节气 中图分类号: P111. 41 文献标识码: A The theory of gnomonic projection and its application LIU Qun ( Department of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University , Guiyang , Guizhou 550001, China ) Abstract: With the application of the theory of gnomonic projection , the general equation of the right angle coordinate on the exact point of gnomonic projection and five kindsof typical equations of denoting prjective lines of the gnomonic projection can be deduced. Their projective lines for denot- ing time are straight . Three of them are usual gnomons and two of them are new types of gnomons. Examples for installing new typesof gnomons with the observing devices of the twenty-four divisions of the solar terms are given in the article . Key words: gnomon ; gnomonic projection ; solar terms 0 引言 日晷是中国古代在测时仪器方面的一项发明 。 利用它测定观测点上的真太阳时( 地方视时) 。在 现代 ,日晷是天文学 、 地球概论 ,农业气象等课程教 学中的一个直观教具 。它的基本构件是晷盘和晷 标。晷盘一般为一平面, 在其表面刻注白昼各时刻 分划 ,称为时线 。晷标选用一根细针,或一条边线 , 或一个视点。由于地球自转, 晷标的日影位置不停 地东移而划分出时间 。 根据晷盘空间位置的不同, 区分为赤道式 、 地 平式 、垂直式及指极式日晷。上世纪 50 年代南明 公园大门口曾设置过铜铸赤道式日晷 ,晷盘平行于 天赤道平面。地平式日晷的晷盘安置成水平位置 。 垂直式日晷的晷盘垂直于天子午圈平面 , 同时 , 平 行于铅垂线( 重力线) 方向。指极式日晷的时线为 一组平行直线 , 它连同晷盘和晷标皆平行于地轴 ( 天轴) , 包括 2 个亚类, 其一为子午式日晷 ,晷盘平 行于子午圈平面; 其二为大距式日晷 ,晷盘垂直于 天子午圈平面同时平行于地轴方向。 节气是中国传统文化中人类认识自然的一项 经验总结和重要创举。它是依照一年内气候变化 109 收稿日期: 2003-04-10 作者简介: 刘群( 1960- ), 女, 副教授, 研究方向: 高等数学教学研究及应用。 第 21卷 第 3期 2003 年 8 月 贵州师范大学学报( 自然科学版) Journal of Guizhou Normal University ( Natural Sciences) Vol. 21. No . 3 Aug . 2003 而有序地排出的 24 个日期 ; 对应于地球在公转轨 道上依次到达的 24 个位置; 反应为黄道上 24 个等 分点及太阳视运动经过这些点的时刻 。每 1 个月 有 2 个节气,分别根据中国季风区四季 、 气温 、 降水 和农事活动的季节特征而命名。对适时耕作起着 指导作用 。由于地轴与公转轨道平面不垂直 ,反映 为一年内日光直射点来回于南北回归线之间移动 。 在日晷上可增设节气观测装置 ,一年内日影有规律 地对应于夏至与冬至分划之间来回移动。 在校园、 公园或旅游地设置节气日晷观测台 , 既观测时刻又观测节气 ,在绿色环境中增添一道人 文景观风景线, 既具有高雅的文化鉴赏品味, 增强 园林的观赏性, 增加科技含量 , 又便于用它宣传有 关地球运动的科学知识 ,有关节气和时间的科学知 识, 树立正确的时空观念 。 图 1 日晷投影原理图 1 日晷投影原理 1. 1 一般公式 太阳在每一天内赤纬的平均值取为 。略去 太阳赤纬在一天内的变化 ,近似地认为太阳在同一 日内视运动路线和相应的平均赤纬圈重合。图 1 中 O 为天球中心, POP 为天轴, 垂直于天轴同时 过天球中心的平面在天球上交出大圆弧 Q 为天赤 道。PQP 为天子午圈 。过天球中心的铅垂线与天 球交于天顶 O2及天底 O1。设太阳沿赤纬圈 M0M1运行 。当太阳经过时圈 PQMP 时设时角 为t0; 经过时圈 PM1P 时时角为 t 。设晷盘平面 ( 投影平面) 与时角为( t0+12h) 的时圈相切于 O1, 和天轴交于点 C, 交角设为 0。以天球中心 O 作 为晷标( 视点) , 每一天此晷标的日影投落于晷盘上 描出太阳视运动路线 。 由于各赤纬圈皆以天轴为共同的轴 ,组成同轴 圆,又以视点为共同的顶 ,组成圆锥面, 所以它们在 平面上投影为圆锥截线 ,称为赤纬线。时圈皆为大 圆弧, 在平面上投影皆为直线, 称为时线。日晷的 基本特征之一是时线为直线 。 又取天顶 O2为地平坐标系起算原点 。O2的 赤纬为 0。当太阳位于 M1时,它对于 O2的位置 由方位角 及天顶距Z( 大圆孤 O2M1) 确定 。 同时在晷面建立直角坐标系。取 O2的投影 点 O1( 投影中心) 为原点,时角为 t0的时圈的投影 NC( 中央时线) 为 X 轴 ,某时刻 M1的投影为 m1, 其位置由直角坐标( x , y) 确定 。设半径 OO1=d , 点 m1对于投影中心 O1的向径为 ,得 x = cos =dtanzcos y = sin =dtanzsin ( 1) 为了从太阳的赤道坐标推求地平坐标 ,引用球 面三角常用公式: cosz =sin sin0+ cos cos0cos( t -t0) sinzsin = cos sin( t -t0) sinzcos =-sin cos0+ cos sin0cos( t -t0) ( 2) 110 贵州师范大学学报( 自然科学版) 第 21卷 式( 2) 代入式( 1) ,得 x =d - sin cos 0+cos0cos( t -t0) sin sin0+ cos cos0cos( t -t0) y = dcos sin( t -t0) sin sin0+ cos cos0cos( t -t0) ( 3) 这是确定晷面投影点直角坐标的一般公式 。 由式( 3) 消去 , 得一般时线方程 。 xsin0-ycot( t -t0) =-dcos0( 4) 1. 2 地平式日晷的时线 取 0= , 为观测点纬度, 此条件下式( 4) 写 成: xsin -ycot( t -t0) =-dcos( 5) 当 y =0 时 x =-dcot , 说明时线共交于距原点为 -dcot 的一个点 。 若 x =0,则 y =dcos tan( t -t0) , 这是任一时线和 y 轴交点距原点距离, 设任 一时线( m1c) 与 x 轴夹角为 , tan =sin tan( t -t0) 说明各时线间夹角不均匀。( t -t0)=6h的 时线和y 轴相平行。以上所述为地平式日晷时线 结构特征 。 1. 3 垂直式日晷的时线 取 0=90 - , 由式( 4) , 得垂直式日晷时线 方程 xcos -ycot( t -t0) =-dsin( 6) 1. 4 赤道式日晷的时线 取 0=90 , 由式( 4) 得 y x =dtan( t -t0)( 7) 说明赤道式日晷的时线与 x 轴交角 =t -t0。 1. 5 指极式日晷的时线 当 0=0 ,晷盘与天轴方向平行 ,由式( 4) y =dtan( t -t0)( 8) 时线为一组平行直线 。这是指极式日晷时线 特征 ,它们与天轴平行。 这类日晷包括 2个亚类 。其一为 t0=0h,晷盘 和天子午圈平面相垂直 ,称为大距式日晷 ; 其二为 t0= 6h或 t0= 18h, 晷盘与天子午圈平面相平行, 称 为子午式日晷。这两个亚类是过去少见的日晷新 类型 。 在地球表面赤道上安装日晷进行观测,由于 = 0 ,赤道式和垂直式日晷相同 ,合为同一类型 ; 同 时,地平式和大距式日晷相同 。如果在地极上观 测, = 90 , 垂直式和指极式日晷相同, 地平式和 赤道式日晷相同。 1. 6 节气线 根据相应于一定节气的太阳赤纬值( ) 在晷 盘上可作出相应于各节气的赤纬线, 称为节气线 。 由式( 3) 可计算节气线和时线交点的直角尘标。在 指极式日晷上二分线( 春分及秋分) 为直线( Y 轴) ,其它节气线为双曲线。由式( 3) , x =-dtan sec( t -t0)( 9) 对于赤道式日晷, 取 0=90 代入( 3) , 消去( t -t0) ,得赤纬线方程 x 2 +y2=d2cot 2 ( 10) 这说明节气线为一组同心圆 。 2 节气日晷的设置 2. 1 观测台墩的建立 选择有阳光直接照射的地方, 建高 1. 5m 左右 的混凝土台墩 ,用于支撑顶部的观测装置。台面参 考尺寸可选用东西宽 1m ,南北长 2m 。用罗盘仪测 定磁南北线位置,在贵阳附近 ,磁针偏西 1 18 。夜 间用经纬仪瞄准北极星 ,检测真南北线位置 。 2. 2 上部组装 台墩上部为北高南低及东西二侧呈三角形剖 面的混凝土装置。顶部斜面宽1 m , 长2. 232 m ; 对 应的水平底面长保持为 2 m ,宽 1 m 。对应的剖面 三角形直角边( 正北方) 为 0. 991 m ,使顶面保持倾 角等于 26. 59 ( 贵阳观测点纬度) , 适用于贵阳( 图 3) 。此倾角( ) 底边的水平位置要用水准仪从东 西二侧进行检校。 顶面南半部面积为 1 m 1. 116 m 的范围内 东西二边缘构筑长 1. 116 m 、 高 10 cm 、 宽 20 cm 的 矩形人造石边框 , 此边框内边缘为晷标( 利于露天 保存) 。内边缘高度( d) 须准确检定。南半部为指 时盘 。 顶面北半部为节气盘。刻划出中线( 南北线) 位置 。取盘面南北线中点为半圆盘圆心。安装半 径为 0. 5 m 、 厚 10 cm 的半圆盘, 严格垂直于顶部 斜面 ,同时垂直于南北线 。利用半圆边缘的日影投 落在南北线上位置而观测节气。 2. 3 指时盘上时线 顶面南半部刻划出上午及下午 2 组平行时线 及注字。根据贵阳观测点经度( 106. 718 1 ) , 算出 111 第 3 期 刘 群: 日晷投影原理及其应用 本地平太阳时和东经 120 经线上平太阳时之差为 53. 127 6 min。在东西 2 边框的正下方选择为( 12 点+ 53. 127 6 分) 的时线位置 ,将对应的各时线注 字统一改为北京时间( 钟表时刻) 。设某时线与内 边框间距为 L , L =htant( 11) t 为从天子午圈起算的时角, h =d 为内边框 高度 。这是新型的大距式日晷装置 ,时线为一组指 向天北极的平行线。 2. 4 节气盘上分划与注记 顶面北半部沿南北线上各节气线通过点与半 圆盘外边缘间距设为 L1, L1=R tan( 12) R 为所选用的半圆盘半径, 为对应于各节气 的太阳赤纬。 L1值用于沿南北线上刻划相应的分 划与注记。同一天内半圆盘边缘的日影落在南北 线上位置保持不变, 因此, 可依据南北线上日影位 置确定当天已经到达哪个节气。 由太阳黄经( ) 及黄赤交角( ) 推算太阳赤纬 ( ) 的公式为 tan = sin sin 1- sin2 sin2 ( 13) 注: 东经 120 地方平时( 钟表时刻) 与日晷观 测所得地方视时之间除经度差外, 还存在时差。2 月份时差负值达到最大 ,为 - 14min; 7、 8 月之间时 差正值达到最大,为 16mi