最优扁担及最佳使用方式.doc

关于“最优扁担及最佳使用方式”的探究摘要“扁担”是一种简单实用且省力的运输工具，但其本身的固有属性，使用者的行进方式等都将对省力的程度造成影响。本文即针对扁担的参数及使用者的舒适程度等建立相应的数学模型，进而讨论分别在平地行走与上楼时，扁担行进的最佳方式。文中首先根据简化的扁担示意图进行受力分析，以建立扁担的数学模型为基础，进而考虑“扁担重物系统的固有频率”、“挑担者的步频、步伐”“扁担设计”等因素对挑担者肩部产生的压强及舒适程度的影响，得出当挑夫的行进频率与扁担的固有频率一致、扁担实现等强度梁、当挑夫的步伐频率为系统固有频率的1.21.5倍时，挑夫可以走得既轻快又省力等结论。其次，通过对数学模型的进一步分析和求解，分别得出了在平地上与上楼时扁担的最优参数及挑夫的最佳行进方式。当行走在平地上时，当扁担的固有频率在1823Hz之间，扁担的厚度按照某一公式变化，步伐频率为“扁担重物”系统固有频率的1.21.5倍，且手臂自然下垂摆动时，舒适度最高。当需要上楼梯时，除了保证平地行走扁担的最优参数外，还应按照与水平面一定的偏角选取路线，才能保证挑夫的轻松与安全。最后，根据对数学模型求最优与分析的结果，我们针对不同的实际情况给出了相应的建议或方案，并根据实际生活情况对模型进行检验，证明模型具有一定的可行性，有应用发展前景。关键词：固有频率； 等强度梁；受迫振动； 行进频率；舒适度一、问题重述“最好的扁担和最佳的使用方式”探究扁担是勤劳朴实的中国人民几千年来留下的一种简单而实用的工具。扁担可以由不同的原材料制作，常见的有桑木、竹子等。根据制作材料的不同，扁担有“硬”和“弹”两种不同类性，在担货物的时候，“硬”扁担不会变形，而“弹”扁担的两端则会随着走动而上下抖动。本题目以探究“最好的扁担和最佳的使用方式”为目标，建立和求解数学模型。为了简化问题，我们将扁担转化为如下理想简化模型：一根质量不计的、宽度固定、长度 1.6 米的理想硬杆，其与肩部的接触面积固定为 S，长杆的两个最远端分别固定着相同的弹簧，弹簧的长度和劲度系数均可由同学们选定，弹簧下面挂货物。1. 请建立担扁担的数学模型，建立一个衡量担扁担者舒适程度的数学标准；2. 请尝试给出一个平地担扁担行进的最佳情况，至少包括扁担应有的参数和人的理想行进方式；3. 请尝试给出上楼梯情况下，担扁担行进的最佳情况，至少包括扁担应有的参数和人的行进方式。二、问题分析本题是一个探究最好的扁担固有参数以及使用者最佳行进方式，能让使用者最省力、最舒适的现实数学问题，即需要根据题意和生活经验提炼出影响使用者受力的因素，用数学模型对其进行综合描述，进而根据数学模型在理论上分析出减小使用者所受的压强与舒适度的量化关系。探寻所受压强最小，舒适度最高时扁担的参数与使用者的行进方式，给出实际建议。另外，在挑担上楼梯时为避免受伤，挑夫一般不能直上直下，转而采取“之”字型的路线，但是路线会因此变长，时间也将花费更多。因此，面临不同坡度且不同高度的楼梯时，应选取怎样的上楼方式（比如：一个周期的路线包括多少级台阶），扁担是否要做调整等，都是要重点关注与解决的问题。三、模型假设（1）一根质量不计的、宽度固定、长度 1.6 米的理想硬杆，其与肩部的接触面积固定为 S，长杆的两个最远端分别固定着相同的弹簧，弹簧下面挂货物。（2）由于挂钩的摩擦力、空气阻力等外力影响的因素很小，我们假设“扁担重物”系统的摩擦系数为0，并且忽略空气阻力。（3）由于当担扁担者不同时，即因为人的体质差异，如：身高，腿长，臂展，气力大小和身体强健程度的，会对我们建立的数学模型产生影响，由于这些因素具有随机性和不可控性，为方便起见，我们忽略这种体质差异，即将人的体质参数设为定值，不影响结果。（4）挑担者右手腕轻松地搭搁在扁担上，左手自然摆动，不对“扁担重物”系统施加力的作用。因为根据生活经验，若挑担者尝试缩短或抓紧悬绳，乃至直接拉住重物或非自然地去辅助支撑扁担，一段时间后将引起手臂以及肩肘关节的疲劳，因此会大大降低挑担者的舒适程度。四、符号说明l0: 弹簧的固有长度k : 弹簧的劲度系数（模拟扁担的刚度系数）m: 扁担两端分别挂的重物的质量P : 扁担两端分别挂的重物的重力w0:“扁担重物”系统无阻尼固有角频率w: 挑担者行走的固有角频率: 重物的振幅F: 重物对挑担者的附加作用力t : 挑担的时间h: 扁担横截面的厚度b : 扁担的宽度: 梁上的正应力d ：肩部的振幅2d：挑担者抬脚的高度h：台阶高度d：一步的步长c：阻尼比r：粘性阻尼系数F0：重物对肩膀动反作用力的幅值F1：重物对肩膀动作用力的幅值S：w/w0：人上楼梯时走“之”字型的行进偏角a1：人上楼梯加速阶段的加速度a2：人上楼梯减速阶段的加速度t1：人上楼梯加速阶段所用时间t2：人上楼梯减速阶段所用时间：楼梯的坡度五、模型的建立与求解5.1扁担的数学模型5.1.1理论基础挑着扁担静止不动时，其肩膀所受的总作用力大致为两端所悬挂重物的重量之和，方向竖直向下。当挑担者行进在平地上时，由于重物的上下振动，挑担者所受到的作用力并不总等于重物的总重力，在某些条件下，其受到的作用力会小于悬挂物的总重力，挑担者会因此感受到“省力”的舒适。具体针对可能 “省力”的条件分析如下：（1）肩部垂直激励引起的振动由于双腿支撑时人体重心较低，摆动腿越过直立的支撑腿时重心较高，使得肩部高度产生相应的变化，对扁担提供垂直方向的震荡激励1。主要的研究对象“扁担重物”系统受迫振动的频率与挑夫在行进过程中重心起伏变化的频率一致。基于对称性，扁担前后部分可同时绕支撑点即与肩部最初接触的点振动。（2）扁担近似为等强度梁扁担和肩膀的接触处位于扁担的中部，扁担对于其与肩膀的接触线是左右对称的。扁担一半的力学模型是材料力学中的悬臂梁，整根扁担相当于左右两根在固支端并在一起的两根悬臂梁。把扁担做成中间厚两端薄的近似等强度梁的形状,减轻了扁担的重量,但这受益不是很大,因为扁担本身重量不大,减轻重量也减轻不了多少。节省材料对制作扁担也没有实质的意义,因为节省下来的木料成了废品,还要花费额外的劳动。它的实质意义在于,在保证强度要求的前提下减小了扁担的刚度,增加了其柔度,降低了“扁担重物”系统的固有频率,这使得挑夫的步伐频率比较容易大于“扁担重物”系统的固有频率。这样,在挑行的过程中,挑夫就可以既走得快,又省力。5.1.2数学模型及量化分析（1）重物的上下振动对挑担者的影响设扁担为E，E的上下运动相当于人重心的运动，扁担E驱动着弹簧和其下悬挂的物体在竖直方向的投影为简谐振动。当E上下振动时，物体M受到向上的弹性力F。扁担重物系统无阻尼固有角频率为：w0=km，人行走的角频率为w,（由于扁担做成中间宽两端窄、中间厚两端薄的近似等强度梁的形状，扁担的重量被大大减轻了，且与重物的质量相比甚微，故这里忽略不计），则重物的受迫振动：y=w02w0 2-w2hsinwt=sinwt为重物的振幅，当w0w,那么重物振动与肩部激励具有相同的相位，且振动幅度增大，引起的对肩部的附加作用力为：F=2w2w02-w2khsinwt=2mw2sinwt由此可知，双腿支撑时肩部达到低位，扁担对肩部向下作用力达到最大，双腿左右摆动时扁担对肩部载荷较小。当重物质量较轻时，扁担系统的固有频率比较大, 挑夫要加快步伐, 才能使其行进频率与固有频率相等, 即重物越轻, 要求挑夫频率越快才越省力。但是，当过于轻载, 挑夫行进频率无法达到固有频率时, 挑夫只有降低频率行走, 此时省力不太明显。不过由于扁担有一些颤悠, 作用在肩上的力按周期性变化, 这样与没有颤悠的担子比较起来还是觉得省力。如果载重超过额定值, 但未达到扁担的最大载重量值时, 其固有频率比较小, 挑夫只能放慢脚步行进。在生活中不同长度、不同厚度以及不同材质的扁担制作, 在工艺上结合一定的额定载重量, 将其按等强度梁进行设计, 使其额定固有频率在18 23Hz 之间为最佳。（2）关于扁担设计成等强度梁与舒适度的关系假设一：扁担两端所挑重物质量一样，重力均为P,此时可取一半长度看做悬臂梁，即：l=l2=0.8m ；假设二：扁担横截面为高(厚)h， 宽b的矩形截面，且由题意知b固定为常数；悬臂梁变力分析如图： 梁上x处所受弯矩为：Mx=-pl-x=px-pl据先画出弯矩图为： 设梁上最大正应力为max，抗弯截面系数为wx，则可知： max=Mxwx (1)其中wx=bh26，且h随着x的变化而变化，带入公式(1)中有：px-plbh26也即：px-plbh26=可得：h=6px-plbh=6p(x-0.8)b扁担厚度按此变化可最大节省材料，同时实现等强度梁，但x0.8 , 即在扁担边缘时存在极端情况，理想情况厚度可为0，但易知实际情况不可能，故存在实际误差。（3）挑担者步伐对其省力程度的影响当抬脚高度为2d, 肩部振幅为d。肩膀运动为：Beit e=2.718欧拉常数；i=-1为虚数单位，t是时间；重物对肩膀的动反作用为2mBw2eit, 振幅：F0=2mBw2; 因为扁担是有一定刚度的，两侧弹簧可使重物在行进时做受迫振动时，重物施加给肩膀的力时变化的，有时大，有时小，我们假设重物上下振动的振幅为H，则H与h存在关系：Hh=1+(2cs)21-s2+(2cs)2s=ww0 c=r2km假设重物对肩膀的作用力为F1, 则有F1F0=Hh=; 因为F0已经确定，所以当增大时，F1会随之增大，以当减小时，F1会随之减小。又知F1是重物作用在肩膀上的力，希望越小越好，因此越小越好。然而又因为的值受S与c的影响，所以分析如图1.1：（代码段见附录图1.1分析图1.1我们可以得到以下结论：（1）当r较小（认为r的值不大于0.1为较小）时，随着S的增大，的值在s1.2时，会逐渐降低。（4）当r0.3，见下图1.2，后面会有缓慢的上升，但是仍然不能认为S的值越大越好。因为F1=F0,且F0=2mBw2,所以F1=2mBs2w02, 令= s2,可知当取最小时，F1取最小，又2mB为常数，因此仅讨论s2即可。图1.2图1.3由图1.3（代码段见附录）可得以下结论：（1）与c、S的关系在02之间时，其图形中数据变化情况与和c、S的关系相差不大。（2）但当挑夫的步伐频率不断增大时，的值几乎成了一个指数函数，但是不管是什么函数，的值都是不断增加的。（3）不论c的值如何影响，总是在S=（1.2,1.5）内能取得一个最优值（最小值）。因此，当我们仅考虑扁担因素所影响的舒适度时（忽略人的因素，每个人的脚长不同，每一步的合适步长也不同；人因体质差异使步伐频率受限；以及人的气力大小等不可控因素），可得出如下结论：当挑夫的步伐频率为扁担重物系统固有频率的1.21.5倍（具体数值因 r与k决定）时。挑夫可以走得既轻快又省力。5.2衡量挑扁担者舒适程度的数学标准及模型分析以5.1的各数学模型为基础，挑担者的舒适程度取决于其所受到的压强的大小。以下分析货物单摆运动时对肩膀产生的压强及舒服度。扁担重物系统无阻尼固有角频率为0=t设重物对扁担产生向下的力为F2 则F2=mgcosF2=mgcos(t)扁担两端受力情况一样，故：F3=2F2=2mgcos(t)从伸开腿迈步到腿达到最大张角过程中每一时刻肩膀所受由货物做前后单摆运动引起的压强大小为：P=F3/S=2mgcos(t)/S可知当t=tmax，即=max时存在P=Pmin,此时肩膀所受摆动造成的压强最小，最舒服。5.2在平地时挑夫担扁担行进的最佳情况5.2.1 平地行进时扁担的最佳参数(1)扁担的额定固有频率重物的上下振动会使得挑夫肩膀上所受到的向下的作用力发生改变。并且当挑夫处于双腿支撑的状态时，其肩部收到的向下的作用力达到最大。同时，货物的质量和扁担的材质等对挑夫的步伐频率也有一定的影响。而通过5.1.2中(1)的不断分析研究我们可以得到，应使扁担的额定固有频率在1823Hz之间为最佳。（2）扁担的厚度设计扁担的薄厚对担扁担者肩部舒适度有之间的关系，扁担设计的太薄，不易于挑起重物，且会使担扁担者肩部感到不适。扁担设计的太厚，则显得过于笨重，使担扁担者难以掌控，既浪费材料又不能起到提高舒适度的作用。于是我们在5.1.2的（2）中利用将扁担理想化成等强度梁的方法研究扁担厚度对舒适度及合理设计扁担的影响，最终我们得到：当扁担的厚度按照h=6p(x-0.8)b变化时，可以最大节省材料，同时实现等强度梁。值得注意的是，由于x s= 0:0.1:10; c=0.05:0.01:0.3; y1 = (1+(2*c(1).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(1).*s).2).(1/2); y2 = (1+(2*c(2).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(2).*s).2).(1/2); y3 = (1+(2*c(3).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(3).*s).2).(1/2); y4 = (1+(2*c(4).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(4).*s).2).(1/2); y5 = (1+(2*c(5).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(5).*s).2).(1/2); y10 = (1+(2*c(10).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(10).*s).2).(1/2); y11 = (1+(2*c(11).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(11).*s).2).(1/2); y12 = (1+(2*c(12).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(12).*s).2).(1/2); y13 = (1+(2*c(13).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(13).*s).2).(1/2); y14 = (1+(2*c(14).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(15).*s).2).(1/2); y14 = (1+(2*c(14).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(14).*s).2).(1/2); y15 = (1+(2*c(15).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(15).*s).2).(1/2); y20 = (1+(2*c(20).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(20).*s).2).(1/2); y25 = (1+(2*c(25).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(25).*s).2).(1/2); plot(s,y1,s,y2,s,y3,s,y4,s,y5,s,y10,s,y11,s,y12,s,y13,s,y14,s,y15,s,y20,s,y25) text(1.27,5.32,c=0.3); text(1.18,1.63,c=0.25); text(1.07,9.93,c=0.05); text(0.614,2.82,c=0.15); text(0.694,5.32,c=0.10-); text(0.956,7.34,c=0.08); text(0.614,2.82,c=0.15-);图1.2对应代码： s= 0:0.1:10; c=0.05:0.01:0.3; y1 = (1+(2*c(1).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(1).*s).2).(1/2); y2 = (1+(2*c(2).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(2).*s).2).(1/2); y3 = (1+(2*c(3).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(3).*s).2).(1/2); y4 = (1+(2*c(4).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(4).*s).2).(1/2); y5 = (1+(2*c(5).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(5).*s).2).(1/2); y10 = (1+(2*c(10).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(10).*s).2).(1/2); y11 = (1+(2*c(11).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(11).*s).2).(1/2); y12 = (1+(2*c(12).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(12).*s).2).(1/2); y13 = (1+(2*c(13).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(13).*s).2).(1/2); y14 = (1+(2*c(14).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(15).*s).2).(1/2); y14 = (1+(2*c(14).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(14).*s).2).(1/2); y15 = (1+(2*c(15).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(15).*s).2).(1/2); y20 = (1+(2*c(20).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(20).*s).2).(1/2); y25 = (1+(2*c(25).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(25).*s).2).(1/2); y30 = (1+(2*0.35.*s).2)./(1-s.2)+(2*0.35.*s).2).(1/2).*s.2; y40 = (1+(2*0.40.*s).2)./(1-s.2)+(2*0.40.*s).2).(1/2).*s.2; y45 = (1+(2*0.45.*s).2)./(1-s.2)+(2*0.45.*s).2).(1/2).*s.2; y50 = (1+(2*0.50.*s).2)./(1-s.2)+(2*0.50.*s).2).(1/2).*s.2; y55 = (1+(2*0.55.*s).2)./(1-s.2)+(2*0.55.*s).2).(1/2).*s.2; y60 = (1+(2*0.60.*s).2)./(1-s.2)+(2*0.60.*s).2).(1/2).*s.2;plot(s,y1,s,y2,s,y3,s,y4,s,y5,s,y10,s,y11,s,y12,s,y13,s,y14,s,y15,s,y20,s,y25,s,y30,s,y40,s,y45,s,y50,s,y55,s,y60)图1.3对应代码段： s= 0:0.1:10; c=0.05:0.01:0.3; y1 = (1+(2*c(1).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(1).*s).2).(1/2); y2 = (1+(2*c(2).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(2).*s).2).(1/2); y3 = (1+(2*c(3).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(3).*s).2).(1/2); y4 = (1+(2*c(4).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(4).*s).2).(1/2); y5 = (1+(2*c(5).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(5).*s).2).(1/2); y10 = (1+(2*c(10).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(10).*s).2).(1/2); y11 = (1+(2*c(11).*s).2)./(1-s.2)+(2*c(11).*s).2