泊松积分的几种简便证明.pdf

第2 4 卷第4 期 2 0 1 0 年1 2 月 西昌学院学报自然科学版 J o u r n a lo fX i e h a n gC o l l e g e N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n V 0 1 2 4 N O 4 D e c 。2 0 1 0 泊松积分的几种简便证明 钱学明 ( 无锡科技职业学院基础部，江苏无锡2 1 4 0 2 8 ) 【摘要】在一般的高等数学教材中对于泊松积分的计算少有涉及，而在实际问题中，例如在研究热传导或是概率问题 的时候，都会遇到泊松积分。但由于其被积函数的原函数不是初等函数，因此，不能用牛顿一莱布尼茨公式来计算其积分值。 而一般证明方法比较繁锁，笔者在此给出泊松积分的几种较为简便的证明方法。 【关键词】泊松积分；拉普拉斯变换；广义二重积分；F 函数 【中图分类号 0 2 4 1 【文献标识码】A 【文章编号】1 6 7 3 1 8 9 1 ( 2 0 1 0 ) 0 4 - 0 0 2 5 - 0 2 在研究热传导或是概率问题的时候，通常会遇 到泊松积分。但南于其被积函数的原函数不是初 等函数，因此不能用牛顿一莱布尼茨公式来确定它 的积分值。利用D A l e m b e r t 判别法分析泊松积分 1 P ”d x 后发现，它是收敛的，进一步计算可知泊 松积分收敛于每。一般的教材中计算泊松积分比 较繁琐，笔者在此给出泊松积分的几种较为简便的 证明方法。 1 利用坐标变换证明 由于1 2 = ( r 出) = fe - ，d x r 妙 = IIP ( ，d x d y 利用极坐标来计算上述二重积分，则口】得 ，2 = f d 口f e - r 2 r d r = 量 一 P 一一 _ = 詈 而e _ 也巩娜 邮肌E e - 曲= 括= 孚 2 利用r 函数证明 设x 2 = t 删x = 以m = 六d f ， 于是，r f e - 缸= p 南出= 圭舢 由F 函数的定义，可知r ( 争2 上72 P d t 。 并且根据余元公式F ( 仅) F ( 1 - o r ) = i 毒万， I R a = 圭，得到r ( 争= 石， 因此，r P ”3 缸= 丢r ( 争= 孚 3 利用B 函数证明 由B 函数的定义可知丑( J p ，鼋) = x - 0 一工) 一出 若令肛击，卜肟南。d x - - 南， 贝。占( p ，g ) = j ：+ 。可j ；j ；百d z 取p 2 三1 ，9 2 j 1 ，则 曰( 三寺= f 鲁如= 2 玳t a n 压e ”= ，r m 荆= 韶等 瓤8 ( 簪鼬于r ( 1 ) - l ， 巾争卜c 挣 所以，r 9 = 扣当，i I ) = 厉。 因此，r 沁圭r ( 争= 圭曰( ，争- 办5 - 4 利用W a l l i s 公式证明 由于矿，21 鳃【1 + 等j ， 所以f e 。出= r 舰( - + 鲁r 以 取u ，钔稃P 肿，= ( 1 + 玎一( - 吾r ( n _ 2 3 ) 胪，( 工) 。 不难验证，可以交换求和与积分运算的次序， 粤以P 拈恕r 南 垆鼬f 南妊町南 对于B e t a 函数艿( p ，g ) 2J l 而d z ， + 曲_ 叮 令鼋= 吾，p ：掣，z - t 2 ，则d z ：2 t d t 。 收稿日期：2 0 1 0 - 0 2 1 1 作者简介：钱学明( 1 9 8 1 一) ，男，江苏无锡人，讲师，硕士，主要从事高等数学、积分变换教学研究。 万方数据 些_ 二 西昌学院学报自然科学版第2 4 g 所刚c 孕，扣f 赤2 t d t = 2 F 斋 而 埘d t = 芝1 反训，l ：2 l ! = 嬲麓2 瓤f 高扣如嬲号 又由于石嬲= 丽锗。丽2 r n 根据w 出s 公式：三= 1 i 。r a 洲l - - - L L I 器r 即冉= 舰击嚣可得 。l i + m n ( ( 2 2 打n - 一2 ) ! 1 3 ) ! ! = 磐扬+ 翟荔”商：乞。= 艺五= 去 眦! 鳃f 南。抒孚。 眠p k 孚。 5 利用拉普拉斯变换的方法证明 对于泊松积分【F 。d x ，显然，这是一个实变 如 一 量的广义积分，因此可以引进参变量t ，使其成为t 的 函数。 设厂( ，) = f e 。，如，取拉普拉斯变换并交换积 分次序，得 尸p ) = L if(O=rf(t)e-fifof ( t ) e - “d t = r 。( r 。P ”一d x ) e - d t 尸p ) = L = “ = I 1l P ”一 、，u， = r 血r e 。a ，= f 出r g 咱协出= f 专出 。去r 赢d 寺r c t 锄小罨 由于L f f - ；】：辈：宰， 。，- - I ，l ， 11 譬登r 【匆2 忑。西。 因此， V j、，窟、，f 朋乩_ c 删乱1 c 砧= ”扣臻三= 戈 即r 8 q 一出= 孚z 1 。取t = l ，则f P 。2 出= 譬。 6 利用高斯分布的结论证明 考虑密度函数p O ) 2 了云i 孑P 2 r ，一 0 。在工程技术中讨论不规则信号( 噪声信号) 时将 会遇到它。 根据傅里叶变换的定义式，可得 F 【舻胪】= 肛d t 由于钟形脉、冲函数肇傅里叶变换为 F 【加邓勺= 捂舭一 所以仁扩2P 抽协括以诌 庙a a = l ，p = 1 ，t o = 0 ，则j 。e - t zd t = 4 , r 所以，f P l 2 出= 孚朋p 一粤= 孚。 8 利用数学物理方程的解证明 已知一根无限长细杆，其初始温度为u ( x 。0 ) = f ( X ) ，则细杆卜的温度分布u ( x ，t ) 满足下述热传导方 程： j 掣跏2 学。娟 x 州圳 心) 2 赤j = ：雕a d 古 一 一I ， ， 假设细杆上的初始温度为u ( x ，0 ) = f ( x ) = 1 ，则 嘶= 赤仁，1 讲- 0 飞：= 击p ? d 孝 取x ：0 ，口= 毒，l _ I ，则甜( ，) = 睾f 7 P d e 上 q 霄O o 于是，击j = P 吖2 峥t 脚f e 吖沁= 孚。 亦即re - ：d x = 塑2 。 万方数据 第4 期 曹莉，李宗学：高等数学中的邻域简介 2 9 T h eA p p l i c a t i o no fN e i g h b o r h o o di nH i g h e rM a t h e m a t i c s C A OL i ，L IZ o n g x u e ( D e p a r t m e n to M a t h e m a t i c s ，I n n e rM o n g o l i aC o l l e g e ，H o h h o t ，I n n e rM o n g o l i aO l O ll O ) A b s t r a c t ：I nt h i s p a p e r ，w ei n t r o d u c et h en e i g h b o r h o o df i r s t ，t h e n w es u m m a r ys o m ea p p l i c a t i o n so f N e i g h b o r h o o di nH i g h e rM a t h e m a t i c st os h o wt h ei m p o r t a n c eo fn e i g h b o r h o o d ，a n dW eh o p et h a t i ti sh e l p f u lt o u n d e r s t a n ds o m eb a s i cc o n c e p t so fH i g h e rM a t h e m a t i c s K e yw o r d s ：N e i g h b o r h o o d ；L i m i t ；C o n t i n u i t y ；B o u n d e d ；F i n i t ec o v e r i n gt h e o r e m 旺蛙妞l E 地址S E 旺旺旺蟛旺旺 配 瞰曲连厶 曲4 E I d 蹦瞰蛐蛐自由E 删甜缄瞰瞰蹦蹦蛐蛐蹦蹦蹦酗蹦E 寰蹦蹦鲥蹦鲥鲥鲥m 瞰瞰瞰蹦蛐撤 ( 上接2 6 页) 注释及参考文献： I I 张T L C s 积分变换( g 四崩t ) M 1 北京：高等教育出版社，2 0 0 3 5 1 2 1 白艳萍，雷英杰，扬明复变函数与积分变换【M 】北京：国防工业出版社，2 0 0 4 8 1 3 】华东师范大学数学系数学分析( 第二版) 【M 】北京：高等教育出版社，1 9 9 1 1 0 S e v e r a lS i m p l eM e t h o d si nP r o v i n gP o i s s o nI n t e g r a l Q I A NX u e M i n g ( W u x iP r o f e s s i o n a lC o l l e g eo f S c i e n c ea n dT e c h n o l o g y ，W u x i ，J i a n g s u2 1 4 0 2 8 ) A b s t r a c t ：I ng e n e r a l l yt e x t b o o k so fA d v a n c e dM a t h e m a t i c s ，t h em e t h o d so fs o l v i n gP o i s s o ni n t e g r a lw a sl e s s m e n t i o n e d I te n c o u n t e r e dP o i s s o ni n t e g r a li np r a c t i c a lp r o b l e mu s u a l l y ，s u c ha sh e a tc o n d u c t i o np r o b l e mo r p r o b a b i l i t yp r o b l e m I tc o u l d n ts o l v ei n t e g r a lv a l u ew i t hN e w l e i b n i zf o r m u l a ，b e c a u s et h ep r i m i t i v ef u n c t i o no f i n t e g r a n dw a s n te l e m e n t a r yf u n c t i o n T h i sp a p e ri n t r o d u c e ss e v e r a ls i m p l em e t h o d so fs