高考理科数学二轮复习课件：数列的通项与求和.ppt

,2012届高考理科数学二轮复习课件：数列的通项与求和,热点考向1等差与等比数列的综合问题【例1】(2011浙江高考)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(aR)且成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)对nN*，试比较的大小.【解题指导】解答本题(1)关键是利用数列an的通项公式及已知条件建立关于首项a1,公差d的关系求解；解答(2)关键是表示出=2na，以此来求和，进而比较大小.,【规范解答】(1)设等差数列an的公差为d,由得(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2.因为d0,所以d=a1=a,故通项公式an=na(nN*).(2)记因为=2na，所以,所以，当a0时，当a0时，,求解等差与等比数列的交汇问题的方法利用等差(比)数列的相关公式或性质，构造方程(组)，逐步求解.记清公式，认真运算是必须的.,已知等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，又S6=60,a6为a1和a21的等比中项.(1)求an,Sn；(2)若数列bn满足bn+1-bn=an,b1=3.求的前n项和Tn.,【解析】an=2n+3,(2)当n2时，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1Sn-1+b1=(n-1)(n+3)+3=n(n+2),bn=n2+2n(n2,nN*)对n=1也适合,即,热点考向2构造新等差(比)数列求数列通项公式问题【例2】(2011大庆模拟)已知数列an，其前n项和Sn满足Sn+1=2Sn+1(是大于0的常数)，且a1=1，a3=4.(1)求的值；(2)求数列an的通项公式an.【解题指导】(1)利用a3=S3-S2构造关于的方程求解；(2)由(1)的结论，通过Sn+1=2Sn+1构造新数列将问题转化为等比数列问题，进而求出数列an的通项.,【规范解答】(1)由Sn+1=2Sn+1得S2=2S1+1=2a1+1=2+1,S3=2S2+1=42+2+1,a3=S3-S2=42,a3=4,0,=1.(2)由Sn+1=2Sn+1整理得Sn+1+1=2(Sn+1)，数列Sn+1是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，,Sn+1=22n-1，Sn=2n-1，an=Sn-Sn-1=2n-1(n2).当n=1时，a1=1满足an=2n-1，an=2n-1(nN*).,【互动探究】本例中，若将前n项和Sn满足的关系式变为“Sn+1=Sn+”,其他条件不变，则结果又如何？【解析】(1)由Sn+1Sn+得S2=S1+=a1+=1+,S3=S2+=1+=1+2,a3=S3-S2=4,即4.,(2)由(1)知Sn+1=Sn+4,Sn+1-Sn=4,即数列Sn是以S1=a1=1为首项，以4为公差的等差数列，Sn=1+4(n-1)=4n-3,当n=1时，a1=1;当n2时，an=Sn-Sn-1=4,构造新数列求通项公式问题的类型(1)由递推公式a1=a,当n2时，an=pan-1+q(a,p,q都是常数)，求通项公式.如果p=1，则数列为等差数列；如果q=0,则数列为等比数列或常数列；当p1,0且q0时，则有于是转化为等比数列.,(2)已知数列an满足a1=a,当n2时，an=pan-1+qn(a,p,q都是常数，p1,0且q0),求其通项公式.由an=pan-1+qn两边同除以qn，得于是转化为1中的问题.解决此类问题时，要注意对n的取值的要求，即n2时成立的等式，要检验对n=1时是否成立.,已知数列an满足如图所示的程序框图.(1)写出数列an的一个递推关系式；(2)证明：an+1-2an是等比数列；(3)证明是等差数列，并求an的通项公式.,【解析】(1)由程序框图可知,数列an的一个递推关系式:a1=1,a2=1,an+2=4an+14an,(nN*).(2)an+22an+1=2(an+12an),且a22a1=1，数列an+12an是以1为首项,2为公比的等比数列.(3)由(2)可知an+12an=2n1,数列是以为首项,为公差的等差数列.,热点考向3数列求和问题【例3】(12分)(2011新课标全国卷)等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列的前n项和.【解题指导】解答本题(1)利用两个已知条件直接求公比及首项a1,确定通项公式.对于(2)，首先利用对数运算性质求出bn,进而得再利用裂项相消求和法求解.,【规范解答】(1)设数列an的公比为q.由a32=9a2a6得a32=9a42,所以2分由条件可知q0,故3分由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,得5分故数列an的通项公式为6分(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=8分故9分,11分所以数列的前n项和为12分,数列求和方法集锦(1)直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列中q1的讨论.(2)错位相减法：主要用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.,(3)裂项相消求和法：把数列每一项分裂成两项的和，通过正、负项相消求和.(4)分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和.若公比是参数(字母)，则应先对参数进行讨论.,已知等比数列an是递增数列，且满足a1+a2+a3=39，a2+6是a1和a3的等差中项.(1)求数列an的通项公式；(2)若记数列bn的前n项和为Sn(nN*)，求使Sn120成立的最小值n.,【解析】(1)设等比数列an的公比为q，由题意知q1.由已知条件有2(a2+6)=a1+a3，从而a2+2(a2+6)=39,所以a2=9,(舍去)，所以an=3n.(2)bn=an-1log3an=3n-1n(n2)，所以Sn=1+231+332+n3n-1(nN*)3Sn=31+232+333+n3n-得：,所以当n=1时，S1=1满足上式，由所以n4(nN*)，即n的最小值为4.,分类讨论思想数列中讨论问题盘点数列中的讨论问题常见类型：(1)求和分段讨论：知道数列an的前n项和Sn，求数列|an|的前n项和.(2)对等比数列的公比讨论：求等比数列前n项和问题中对公比q=1和q1进行讨论.(3)对项数的奇偶讨论：与数列有关的求通项或求前n项和问题中对项数n的奇偶进行讨论.,求解时注意的问题：(1)树立分类讨论的意识.遇到数列求和特别是等比数列求和问题时要有分类讨论的意识.(2)运用公式求和时注意公式成立的条件，运用错位相减求和时，相减后，若两边需除以代数式，则需要讨论代数式是否为零的情况.,【典例】在等比数列an中,设前n项和为Sn,x=Sn2+S2n2,y=Sn(S2n+S3n),试比较x与y的大小.【