高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第7讲 空间中角与距离的计算课件(理).ppt

第7讲空间中角与距离的计算,1.异面直线所成的角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a与b.那么直线a与b所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所,(0，90,成的角，其范围是_.,(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成,的角等于0.,90,(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.,2.直线与平面所成的角,从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是,直角的二面角叫做_.,直二面角,4.点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.求点到平面的距离通常运用等积法，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高.5.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.,3.二面角,1.若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为,平面的法向量的是(,),B,A.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(1，2,3)D.(3,6,8)解析：向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.,2.若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向,C,A.4C.8,B.6D.8,3.已知平面上的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面,的一个法向量为()A.(1，1,1)C.(2,1,1),B.(2，1,1)D.(1,1，1),C,4.如图871，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，,AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_.图8-7-1,考点1,线面所成角的计算,例1：(2014年福建)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图8-7-2.(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与,平面MBC所成角的正弦值.,图8-7-2,(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.,又CD平面BCD，ABCD.,(2)解：如图D55，过点B在平面BCD内作BEBD.,图D55,由(1)知，AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.,设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，,【规律方法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方,法：,传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.,空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点E的位置的选择是一般的三等分点，用传统的方法解决对于学生来说就比较有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.,【互动探究】,1.(2011年大纲)如图873，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形.ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值.,图873,解法一：(1)如图D58，取AB中点E，连接DE，则四边形,图D58又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE为直角.由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直.所以SD平面SAB.,解法二：以C为原点，射线CD为x轴的正半轴，射线CB为y轴正半轴，建立如图D59所示的空间直角坐标系Cxyz.图D59设D(1,0,0)，则A(2,2,0)，B(0,2,0).又设S(x，y，z)，则x0，y0，z0.,考点2,面面所成角的计算,图8-7-4,例2：(2014年湖南)如图874，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值.,(1)证明：如图D56，因为四边形ACC1A1为矩形，,图D56,所以CC1AC.同理DD1BD.因为CC1DD1，所以CC1BD.而ACBDO，因此CC1底面ABCD.由题设知，O1OC1C.故O1O底面ABCD.,(2)解：方法一：如图D56，过O1作O1HOB1于H，连接HC1.由(1)知，O1O底面ABCD，所以O1O底面A1B1C1D1，于是O1OA1C1.又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，则A1C1B1D1.从而A1C1平面BDD1B1，所以A1C1OB1.于是OB1平面O1HC1，则OB1C1H.故C1HO1是二面角C1OB1D的平面角.不妨设AB2.,方法二：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，,所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD.,又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直.如图D57，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设AB2.,图D57,【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法.,(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小,【互动探究】,2.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_.,图D60,难点突破,利用空间向量求空间距离,例题：如图8-7-5，S是ABC所在平面外一点，ABBC2a，ABC120，且SA平面ABC，SA3a，求点A到平面SBC的距离.,图8-7-5,解：方法一，如图8-7-6，作ADBC交BC延长线于D，,连接SD.,图8-7-6,SA平面ABC，SABC.,又SAADA，BC平面SAD.又BC平面SBC，平面SBC平面SAD，且平面SBC平面SADSD.,过点A作AHSD于H，由平面与平面垂直的性质定理可知，AH平面SBC.于是AH即为点A到平面SBC的距离.,方法二，设A到平面SBC的距离为h，,在SBC中，,方法三，如图8-7-7，以A为坐标原点，以AC，AS所在直线为y轴，z轴，以过A点且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系.,图8-7-7,ABC中，ABBC2a，ABC120，,【规律方法】求点到平面的距离通常有以下方法：(1)直接法，即直接确定点到平面的垂线，再求出点到垂足的距离，即为所求；(2)间接法，包括等体积法和转化法；(3)向量法，即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法向量方向上的射影长，此射影长即为所求，点P到平面的距,1.异面直线所