初探大学生数学建模竞赛的深入开展

初探大学生数学建模竞赛的深入开展北京理工大学 叶其孝1. 我们一直认为竞赛的深入命题和纪律是关键, 没有错. 但是, 怎样才能做到? 不仅需要大学生的理解和认同, 更需要科技界和社会的理解、认同和支持, 我们才会有更好的命题来源, 也需要各级教育行政领导的理解、认同和支持. 我们也需要更多更优秀的大学生的参加. 怎么做到? 竞赛不是孤立的, 从整体来看, 我们应该有一种良性循环: 中学生知道一点数学建模知识; 大学生(全体大学生!)知道更多, 特别是通过主干数学课程的教学初步了解数学建模的全过程和难点; 有兴趣的同学可以选修数学建模课(模型不在多, 要有更多的实践); 跃跃欲试者参加我国或美国的大学生数学建模竞赛或教师的研究课题. 2. 数学教育也是素质教育(李大潜文), 数学建模教育是其重要组成部分. 3. 国民素质的提高的标志之一是会“算”, 教育要不仅要教学生“know how(懂得怎么做)”, 还要教学生“know why(懂得为什么要怎么做)”: 为什么要诚信? 为什么不能随地吐痰? 为什么要遵守交通规则? 为什么不能污染江河? 为什么要讲卫生? 都要有定量的计算, 以理(令人信服的计算)服人. 4. 我国大、中学生的的数学水平很高吗? 对一则报道的不同解读. 我们应该反思什么?Americas slipping to second tierin science(美国科学水平正在下滑到第二位)By Cynthia TuckerOriginally published May 16, 2005 in The Baltimore SunATLANTA - We Americans have become quite comfortable with our relatively recent designation as the worlds only superpower. Thats a mistake, since we wont hold the top spot long. In a generation or so, the Chinese will probably be ranked as a superpower, too. Indeed, if the United States doesnt get a grip on science and math education, the Chinese will be standing alone astride the globe, while we have fallen to a second-tier standing. Its easy enough to see how that could happen. Chinese officials (and parents) take science and math seriously. High school and college students work hard to master chemistry, physics, biology, and engineering. For that matter, so do Indian students. American students, with precious few exceptions, dont. 5. 提高数学、数学教师的地位(说话的份量或者说发言权), 当然要靠自己的能力(教学效果、自己的科研成果和为人等), 教给学生真正有用, 而且会用的数学思想和方法是极其重要的.数学建模方面的教学成绩和科研成果是十分重要的. 6. 为此, 编写真正高质量的、可以不打乱(干扰)现有教学秩序, 又能有机地融如(插入)主干数学课程的数学建模和数学实验的教学单元在某种意义下是当务之急! 因为它是不影响当前教学秩序、充分利用大学生数学建模竞赛成果(包括我们已经培养了大批有能力来做这件事的教师)的深入的教学改革! 正如我们在开展大学生数学建模竞赛初期提出的“大学生数学建模竞赛是不影响正规教学秩序的教学改革”一样, 一定会取得很大的成功.最优化 导数的应用(极值问题)教学单元本教学单元试图通过饮料罐(易拉罐)用材料最省的数学建模的全过程使同学们了解：一、 了解数学建模和我们的生活密切相关，就在我们身边；二、 了解数学建模的主要步骤和难点，懂得好的数学建模只依靠数学知识是不够的，必须和实际工作者的经验紧密结合；三、 了解数学的极端重要性，为了真正做好数学建模必须学好数学，学习更多的数学；四、 了解数学软件的重要性以及明白坚实的数学理论基础是运用好数学软件的基础。五、 通过精心设计的习题，编写的阅读材料，提供的参考资料，不仅能引起学生的兴趣，吸引学生有亲自动手做某些实际问题的数学建模的全过程，刺激学生学习更多的数学思想和方法的积极性。六、 适应不同水平的学生的需要。估计用 1-2 学时讲课，2-4 学时做习题和阅读所附的阅读和参考材料。在讲述最优化(导数的应用 极值问题)的前一堂课结束前510分钟，先提出问题：可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的? 也可以要求同学在下一堂课前做(或预习)传统的微积分教材中的一道例题，例如“面向二十一世纪课程教材”中由王绵森、马知恩主编的工科数学分析基础(上册)，高等教育出版社，1998，pp. 154-155 的例 6.7 “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少? ”(我们略有修改)或者托马斯微积分第10版，高等教育出版社，2003，例2(pp.291-293).还可以要求同学们在下一堂课之前自己找一个可口可乐饮料罐具体测量一下:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高(约为6厘米和12厘米)，胖的部分的直径约为6.6厘米，胖的部分高约为10.2厘米。怎样测量比较简捷？(用一条窄的薄纸条，绕饮料罐相关部分一圈测得周长，再换算得半径和直径)。可口可乐饮料罐上标明净含量为 355 毫升(即 355 立方厘米)。下一堂课上课时，教师带一个用过的可口可乐饮料罐，给坐在前面的同学测量一下，告诉同学们有关的数据，要求同学和教师一起通过数学建模的方法来回答相关的问题。简化模型分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个正圆柱似乎是合理的。要求饮料罐内体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚，因为要使劲拉)，假设除易拉罐的顶盖外，罐的厚度相同，记作, 顶盖的厚度为 . 想象一下，硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过，顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的 3 倍)。因此，我们可以进行如下的数学建模。明确变量和参数：设饮料罐的半径为 r（因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内体积为 V. b 为除顶盖外的材料的厚度。其中 r, h 是自变量， 所用材料的体积 S 是因变量，而 b 和 V 是固定参数, 是待定参数。S 和 V 分别为，注意，饮料罐侧面的体积应为 因为 ，所以 可以忽略(极其重要的合理假设或简化)。记 . 于是我们可以建立以下的数学模型：其中 S 是目标函数，是约束条件，V 是已知的(即罐内体积一定)，即要在体积一定的条件下求表面积最小的 r, h 和 使得 r, h 和测量结果吻合。这是一个求条件极值的问题。模型的求解：一种解法(从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题)从 解出 ，代入 S，使原问题化为：求 d : h 使 S 最小，即，求 r 使最小。求临界点: 令其导数为零得解得临界点为 ，因此测量数据为 h/r=2, 即 ，即顶盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍。为验证这个 r 确实使 S 达到极小。计算 S的二阶导数因此，这个 r 确实使 S 达到局部极小，因为临界点只有一个，因此也是全局极小。求 的极小的初等方法是应用算术几何平均值不等式 ，当且仅当时等号成立.令 ，于是有，当且仅当 时等号成立，即，结果相同。模型另一种解法 Lagrange 乘子法 (增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题) 当然，这个问题在讲一元函数求极值问题时没有办法讲，但是可以作为以后讲多元函数极值问题的伏笔。在课堂上可以启发性地讲一点。在上述解法中，从解出 h 是关键的一步，但是常常不能从约束条件中解出一个变量为另一个变量的函数(或者虽然能解出来，但很复杂)，无助于问题的求解。但是，如果表示变量间的一种隐函数关系，并假设从中能确定隐函数(尽管没有解析表达式，或表达式很复杂)，那么，我们仍然可以写成 ，而且，由隐函数求导法则，我们有 因此，是 S 的临界点的必要条件为假设 是 S 的临界点，则有于是，在 处，因此，如果我们引入 ，那么，就有 把问题化为求三元函数 L 的无条件极值的问题。函数 L 称为 Lagrange 函数，这种方法成为 Lagrange 乘子法。具体到我们这个问题，有如下的结果。引入参数 ，令求临界点从第 2，3 式解得 ，代入第 1 式得.和前面的结果相同。同学们可能会觉得这个方法不如前一个方法简单，但是当你们做习题 时你们就会体会到 Lagrange 乘子法的优点，以及进一步体会到使用数学软件的重要性和必要性。 验证和进一步的分析：有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的 3 倍。体积为 ，即装不下那么多饮料，为什么？要给学生留下尽可能大的想象空间, 鼓励学生讨论、争论, 建立自己的数学模型, 等等.实际上，饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体。粗略的计算，可以把饮料罐的体积看成两部分，一是上底半径为 3 厘米，下底半径为 3.3 厘米，高为 1 厘米的锥台，二是半径为 3.3 厘米，高为 10.2 厘米的圆柱体。它们的体积分别为，31.2 立方厘米和 349 立方厘米总共为 380.2 立方厘米。然后我们再来通过测量重量或容积(怎么测量?)来验证。我们可以认为 1 立方厘米的水和饮料的重量都是 1 克。测量结果为：未打开罐时饮料罐的重量为 370 克，倒出来的可乐重 355 克，空的饮料罐重量为 15 克，装满水的饮料罐重量为 380 克。这和我们的近似计算 380.2 立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料，而是留有 10 立方厘米的空间余量。更有意思的是，计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为 6.6/10.2 = 0.647，非常接近黄金分割比 0.618. 这是巧合吗？还是这样的比例看起来最舒服，最美？ 此外，诸如底部的形状，上拱的底面，顶盖实际上也不是平面的，略有上拱，顶盖实际上是半径为 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料冲压而成的，从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压。所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求，必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定。因此，我们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程，只依靠数学知识是不够的，必须和实际工作者的经验紧密结合。一种细化模型(考虑实际所用材料) 实际上，顶盖的半径为r + 0.6厘米，而正圆柱的高为h + 0.6厘米。因此问题化为：当 V 固定时，求 d : h 使 S 最小。我们从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题，即 这时，我们发现尽管三次方程求根有公式，但是很繁琐，而且最终还是要数值求解。还不如直接把数值代入，用数学软件(例如，Mathematica)来求数值解。由于 V = 365 立方厘米。即，r 2.9，, 所以，h : d 2.4, 高是直径的 2.4倍! 还可以从其他角度来考虑各种各样罐的数学建模。可以参看：James Stewart,微积分(上册) , 白峰杉 主译, 高等教育出版社, 2004年7月第 1 版, pp. 353-354. 微积分(上册)(面向 21 世纪课程教材)，同济大学应用数学系 编，高等教育出版社, 1999年9月第 1 版, pp. 352-353.建议学生到市场(超市等)调查各种罐、杯的尺寸，回答它们的设计是否都用到了优化设计？实际上，这类问题是数学中著名的等周问题的推广或扩充的一些特例。学生可以阅读本教学单元所附的等周问题阅读材料，或其他参考资料。习题(任课教师可以自行配置习题)1. 如果正圆柱形饮料罐上底的厚度为其它部分厚度的 3 倍，饮料罐的总面积固定，求能够使其体积最大的饮料罐的直径和高之比。2. 试证明，周长相等的矩形中，正方形的面积最大。试证明，表面积相等的长方体中，正方体的体积最大。(提示: 一种证法可以是先证明：表面积相等长、宽、高互不相等的长方体的体积小于表面积相等长、宽、高中有两个相等的长方体的体积；然后再证明：表面积相等长、宽、高中有两个相等的长方体中，正方体的体积最大。)3, 假设饮料罐的剖面图如下图所示上半部分是一个圆锥台，下半部分是一个圆柱体。如果顶盖的厚度为其他部分厚度的倍。求罐内体积固定时，所用材料最省的罐的尺寸。4在正圆柱形饮料罐的最优设计中，你有没有发现什么规律性的事实？5正椭圆柱形状的饮料罐的设计。求长轴为短轴K倍的正椭圆柱体积一定时能使其表面积最小的短轴和高的比。(提示: 长轴为 a，短轴为 b (a b0)的椭圆的面积为，它的周长为 . 虽然它不能用初等函数表示，但是当给出 a 和 b 的具体数值时，可以用数学软件来计算它的值。若令 称为第二类不完全椭圆积分，或Legendre第二类椭圆积分，是一类重要的特殊函数。椭圆函数是椭圆积分的反函数。) 6 空船(航天飞机, Space Shuttle)里的水箱的外形是由半径为 r 的球放在一个正圆锥上形成的，形如我们通常吃的冰淇淋的样子。(其中心纵断面的图形见下图).圆锥体的底部直径等于球体的半径(见上图)。如果球体的半径限定为正好为6英尺，设计的水箱表面积为460平方英尺，请确定球拱高和圆锥体高的尺寸，使得水箱容积最大。试着从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题，手算容易吗？再用数学软件试试，体会数学软件的优势。什么情况下数学软件是可以信任的, 什么情况下会出问题.评估(自由结成小组来做)如图所示碗状容器. 若体积一定,表面积最小的尺寸是多少? (能否猜测一定是圆柱体?) 阅读材料等周问题(Isoperimetric Problem)经典等周问题 两曲线在它们的周长相等时称为等周。在给定长为L的Jordan曲线J中，求所围面积为最大的曲线，这就是经典等周问题，也称为特殊等周问题(Special Isoperimetric Problem)或Dido问题(Didos Problem)等。这个问题的解答是圆周。对应于三维空间，问题的解答是球面。也就是说，在具有给定的表面积的闭曲面中，球有最大的体积。把它推广为变分法问题：在积分值常数 的条件下，求使得泛函(函数的函数) 为最大的曲线y = y(x). 这一变分问题，有时也称为广义等周问题(Generalized Isoperimetric Problem)。求解经典等周问题的方法，除变分法外，也可以从图形的各种量之间的不等式来证明。例如，关于Jordan曲线J所围的面积F和它的周长L，恒有而等号则仅限于圆的情形。这就是经典的等周不等式(Isoperimetric Inequality).数学百科辞典，日本数学会编，科学出版社，1984，p. 767 - 768. (等周问题的)可以追溯到希腊以前的时代。有一个故事说：古代腓尼基的提尔城(也称为推罗国)的公主狄多(Dido)被迫离开自己的家园定居在北非的地中海沿岸。在那里她指望得到一块土地，并同意付给一笔固定的金额来换取用一张公牛皮能围起来的土地。精明的狄多把公牛皮切成非常细的条，把条与条的端点结起来，再去围出一个面积(一片土地)，起周长正好等于这些细牛皮条的总长。而且她选的土地都是靠海的，所以沿海岸不用牛皮条。根据传奇所说，狄多决定牛皮条的总长应围成一个半圆 围出最大面积的正确形状。古今数学思想，美 M克莱因 著，上海科学技术出版社，1979(2002)，第2册，p. 325. 思考题：你能不能给出上述问题的确切的数学描述？The Legend of Princess Dido. According to the epic Aeneid, Dido (pronounced “Dee Dough”) was a Phoenician princess from the city of Tyre (now part of Lebanon). Her treacherous brother, the king, murdered her husband, so she fled the city and sailed with some of her loyal subjects to Carthage, a city on the northern coast of Africa. She wished to purchases some land from the local ruler in order to begin a new life. However, he didnt like the idea of selling land to foreigner. In an attempt to be gracious and yet still spoil Princess Didos request, the ruler said, “You may purchase as much land as you can enclose with the skin of an ox.” Undaunted, Princess Dido and her subjects set about the task by slicing the ox skin into thin strips and then tying them together to form a long band of ox hide, and foiling the rulers malicious plan. (See, Hildebrand, Stefan and Thrombi, Anthony, Mathematics And Optimal Form, Scientific American Books, 1985.) The Classical Isoperimetric Problem. Two curves are called isoperimetric if their perimeters are equal. The term curve is used here to mean a Jordan curve. The classical isoperimetric problem is to find, among all curves J with a given parameter L, the curve enclosed the maximum area. This problem is also called the special isoperimetric problem or Dido problem. Its solution is a circle. The analogous problem in 3-dimensional space has a sphere as its solution; that is, among all closed surfaces with a given surface area, the sphere has the maximum volume. The following variational problem can be regarded as a generalization of the classical isoperimetric problem: To find the curve C: y = f (x) that gives the maximum value of the functional under the subsidiary condition This is sometimes called the generalized isoperimetric problem. The classical isoperimetric problem can be solved by variational methods. 亚历山大里亚城在公元前332年建于埃及。约在公元前290年修建了供学者从事研究和教学的学术中心艺术宫(Museum)亚历山大里亚希腊数学(从公元前约323年起)：Euclid 和Apollonius当然是亚历山大里亚人。亚历山大里亚的其他几位大数学家，如Archimedes, Eratisthenes, Hipparchus, Nicomedes, Heron, Menelaus, Ptolemy, Diophantus 和Pappus。亚历山大里亚的Theon(公元4世纪末)和Pappus都提到生活在公元前200年到100年之间的Zenodorus的工作。 据说他写过一本关于等周形(具有相等周边的一些图形)的书，其中证明了以下定理：1 周长相等的n边形中，正n边形的面积最大。2 周长相等的正多边形中，边数愈多的正多边形面积愈大。3 圆的面积比同样周长的正多边形的面积大。4 表面积相等的所有立体中，以球的体积为最大。古今数学思想，美 M克莱因 著，上海