大学数学第一章12节.ppt

向量代数与空间解析几何,第一章,1向量的概念及向量的表示,一、向量的基本概念,1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量),2.向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.,以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.,(一)向量的概念,3.自由向量,大小相等且方向相同,特别:模为1的向量称为单位向量.,模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.,1.向量加法.,(1)平行四边形法则,设有(若起点不重合,可平移至重合).作以为邻边的平行四边形,对角线向量,称为的和,记作,(2)三角形法则,将之一平行移动,使的起点与的终点重合,则由的起点到的终点所引的向量为,(二)向量的加减法,2.向量加法的运算规律.,(1)交换律:,(2)结合律:,例如:,3.向量减法.,(2)向量减法.,规定:,平行四边形法则.,将之一平移,使起点重合,作以为邻边的平行四边形,对角线向量,为,三角形法则.,将之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为,1.定义,实数与向量的为一个向量.,其中:,当0时,当0时,当=0时,2.数与向量的乘积的运算规律:,(1)结合律:,(2)分配律:,(三)数与向量的乘法,结论:设表示与非零向量同向的单位向量.,则,或,(方向相同或相反),例1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=,试用表示向量MA,MB,MC和MD.,其中,M是平行四边形对角线的交点.,1.点在轴上投影,设有空间一点A及轴u,过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A叫做点A在轴u上的投影.,(四)向量在轴上的投影,2.向量在轴上的投影.,定义,如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，,显然,3.两向量的夹角,规定：,4.向量的投影性质.,定理3两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和。,推论:,即,即,定理4:实数与向量的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量在该轴上的投影。,二.空间直角坐标系与空间向量的坐标表示,1.空间直角坐标系的建立,o,z,x,y,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.,(一)空间直角坐标系,2.坐标面.,由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xy面.yz面、zx面,它们将空间分成八个卦限.,1.点在空间直角坐标系中的坐标表示.,R,Q,P,记:点M为M(x,y,z),(二)空间向量的表示,(1)若点M在yz面上,则x=0;在zx面上,则y=0;在xy面上,则z=0.,(2)若点M在x轴上,则y=z=0,在y轴上,则x=z=0,在z轴上,则x=y=0,特别:,2.空间向量的坐标表示,设点M(x,y,z),以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.,=xi+yj+zk,由于：,从而：,(2).起点不在原点O的任一向量a=M1M2,设点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),=(x2i+y2j+z2k)(x1i+y1j+z1k),=(x2x1)i+(y2y1)j+(z2z1)k,即a=(x2x1,y2y1,z2z1)为向量a的坐标表示式,记ax=x2x1,ay=y2y1,az=z2z1,分别为向量a在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.,a=M1M2=(x2x1,y2y1,z2z1),两点间距离公式：,由此得,(2),(3),(3).运算性质,设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且为常数,ab=(axbx,ayby,azbz),a=(ax,ay,az),证明:a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk),=(axi+bxi)+(ayj+byj)+(azk+bzk),=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz),(4)两向量平行的充要条件.,设非零向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),即ax=bx,ay=by,az=bz,于是,例如：(4,0,6)/(2,0,3),1.方向角:非零向量a与x,y,z轴正向夹角,称为a的方向角.,2.方向余弦:方向角的余弦cos,cos,cos称为方向余弦.,3.向量的模与方向余弦的坐标表达式,设a=(ax,ay,az,),(三)向量的模与方向余弦的坐标表示式,又：,(4),(5),由(5)式可得,cos2+cos2+cos2=1,(6),设ao是与a同向的单位向量,ao,=(cos,cos,cos),(7),例2.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1M2的模,方向余弦和方向角.,例3:在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.,解:设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB|.,即:,解得:,所求点为M(0,0,),例4证明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.,解:,由|M2M3|=|M3M1|,所以M1M2M3是等腰三角形.,2向量的数量积.向量积及混合积,一、向量的数量积,例如:设力F作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式.,解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是,W=|F|cos|S|=|F|S|cos,设有两个向量a、b,它们的夹角为,即:ab=|a|b|cos,1.定义1:,注1:当a0时,|b|cos=Prjab,当b0时,|a|cos=Prjba,于是ab=|a|Prjab=|b|Prjba,注2:aa=|a|2,例如:ii=jj=kk=1,ab=|a|b|cos,(1)交换律ab=ba,(2)分配律(a+b)c=ac+bc,(3)数量积满足如下结合律:(a)b=a(b)=(ab),为实数,2.数量积的性质,ab=|a|b|cos,ab=|a|Prjab=|b|Prjba,证:必要性:设ab,充分性:设ab=|a|b|cos=0;,由a0,b0,得:cos=0,即ab,例如:i、j、k互相垂直,所以,ij=jk=ik=0,如图,利用数量积证明三角形的余弦定理,|c|2=|a|2+|b|22|a|b|cos,证:,|c|2=|ab|2=(ab)(ab),=aa+bb2ab,=|a|2+|b|22|a|b|cos,|c|2=|a|2+|b|22|a|b|cos,故:,a,b,c,例1.,由于c=ab,于是,3.数量积的坐标表示式,设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则,ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk),=axi(bxi+byj+bzk)+ayj(bxi+byj+bzk)+azk(bxi+byj+bzk),=axbxii+axbyij+axbzik+aybxji+aybyjj+aybzjk+azbxki+azbykj+azbzkk,=axbx+ayby+azbz,得公式:,ab=axbx+ayby+azbz,(1),推论:两个非零向量,a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)垂直,axbx+ayby+azbz=0,4.数量积在几何中的应用,设a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),(1)求a在b上的投影.,Prjba=|a|,由|a|b|=ab,得,(2),已知:,(2)求两向量a,b的夹角,由|a|b|cos=ab,知,(3),已知三点M(1,1,1),A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.,得:,所以,例2,解:,由力学规定:力F对支点O的力矩是一个向量M.,其中:,二、两向量的向量积,(1)|c|=|a|b|sin,(2)c与a、b所在的平面垂直,(即ca且cb).,c的指向按右手规则从a转向b来确定.,则将向量c称为a与b的向量积,记作:ab.,即:c=ab,注:向量积的模的几何意义.,1.定义1:,向量积的性质,(b+c)a=ba+ca,(a)b=a(b)=(ab),为实数,|c|=|a|b|sin,必要性:设a、b平行,则=0或=.于是,|ab|=|a|b|sin=0,所以ab=0,充分性:设ab=0,则|ab|=|a|b|sin=0,由|a|0,|b|0,得,=0或=.所以a与b平行,证:,例如:,ii=jj=kk=0,ij=k,ji=kkj=iik=j,ki=j,jk=i,2、向量积的坐标表示式,设a=(ax,ay,az)b=(bx,by,bz)则,ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk),=axi(bxi+byj+bzk)+ayj(bxi+byj+bzk)+azk(bxi+byj+bzk),=axbx(ii)+axby(ij)+axbz(ik)+aybx(ji)+ayby(jj)+aybz(jk)+azbx(ki)+azby(kj)+azbz(kk),=axbyk+axbz(j)+aybx(k)+aybzi+azbxj+azby(i),=(aybzazby)i+(azbxaxbz)j+(axbyaybx)k,得公式:,ab=(aybzazby)i+(azbxaxbz)j+(axbyaybx)k,求垂直于向量a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的向量c.,ab同时垂直于a、b,=6i+4j+10k8k6j5i,=i2j+2k,取c=ab=(1,2,2).,显然,对于任意0R,c=(,2,2)也与a、b垂直.,例3:,解:,而,已知ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求ABC的面积.,由向量积的定义.,所以,=4i6j+2k,于是,例4:,解:,三、两向量的混和积,1.定义2,称与的向量积再与向量的数量积为向量,的混合积，记作,设有三个向量,则有,2.混合积的坐标表示式,混合积性质：,事实上，若,在同一个平面上，则垂直于它们所在的平面，故垂直于,即,()=0,(2