自动控制理论4-1ppt课件.ppt

第四章根轨迹法,主要内容：,4.1根轨迹的基本概念,4.2常规根轨迹绘制规则,4.4利用根轨迹分析系统性能,4.3广义根轨迹的绘制,闭环零、极点与开环零、极点的关系,开环、闭环零、极点的关系：(1)闭环根轨迹增益等于前向通路根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环根轨迹增益等于开环根轨迹增益。(2）闭环零点由前向通路零点和反馈通路极点组成；单位反馈系统，闭环零点等于开环零点。(3）闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益均有关。,根轨迹方程,闭环特征方程,根轨迹方程,根轨迹方程也可表示成：,相角方程,模值方程,（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件；（2）由模值条件决定根轨迹上各点相应的值。,结论,相角条件,模值条件,常规根轨迹绘制规则,规则1根轨迹的分支数,根轨迹的分支数等于闭环系统特征方程的阶数。,闭环系统特征方程式为,特征方程式的阶数或特征根的个数等于Max(m.n),规则2根轨迹的连续性和对称性,根轨迹是连续的并且对称于实轴。,（m是开环零点的个数,n是开环极点的个数）,根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点。,规则3根轨迹的起点、终点,当n=m时，系统的n条根轨迹从n个开环极点出发，终止于m个开环零点。,当nm时，从n个开环极点出发的根轨迹，有m条终止于开环零点，另外n-m条根轨迹终止于无穷远（此时认为系统在无穷远处有n-m个开环零点，称其为无限零点）。,当nm时，则有n条根轨迹起始于开环极点，m-n条根轨迹起始于无穷远，它们分别终止于m个开环零点（此时认为系统在无穷远处有m-n个开环极点，称其为无限极点）。,若把位于无穷远处开环极点或开环零点包括在内，系统开环零点和开环极点的个数总是相等的。因此根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,证明：由相角方程（1）开环复数零、极点都成对出现，相角等值反号，在相角条件中相互抵消；（2）位于闭环极点s1左边的开环实数零、极点到s1的向量相角为0；（3）位于闭环极点s1右边的开环实数零、极点到s1的向量相角为。只有右边零、极点是奇数时，总相角才是。,规则4实轴上的根轨迹,实轴上某线段右边的开环实数零点数和极点数之和为奇数时，该线段就是根轨迹上的一段。,规则5根轨迹的渐近线,渐近线与正实轴夹角,渐近线与实轴的交点,当mn时，有（n-m）条根轨迹趋向无穷远，它们趋向无穷远的方位由（n-m）条渐近线决定。,两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。,分离点的坐标d是下列方程的解,规则6根轨迹的分离点坐标,求分离点坐标的第一种方法：,证明,求分离点坐标的第二种方法：,则分离点的坐标是下列方程的解,设系统开环传递函数为,上式习惯上表示成,证明,劈因法,规则7根轨迹的起始角与终止角,根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角。,起始角与终止角的计算公式（可由相角方程证明）：,例,规则8根轨迹的分离角,根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角称为分离角。,分离角的计算公式,为分离点处根轨迹的分支数。,若根轨迹与虚轴相交，说明闭环特征方程存在虚根。则交点处的值和值可用以下两种方法求出：,规则9根轨迹与虚轴的交点,令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零而求得。,方法1,应用劳斯判据确定。,方法2,当时，有,规则10闭环特征根之和,为闭环极点,为开环极点,证明,结束,规则6方法1证明：,由根轨迹方程,返回,从左式解出s后，舍去不在根轨迹上的值，即为分离点d。,可得,规则6方法2证明：,根轨迹的分离点就是闭环特征方程出现重根之处，因此在分离点处有下式成立,推得,考虑到,上式习惯上表示成,返回,规则10证明：,当时，特征方程中项系数与无关，因此，无论为何值，都有,系统的闭环特征方程为,返回,劈因法解高次方程,类似方法：采用“头部二次因子式”求根；采用“尾部一次因子式”求根；采用“头部一次因子式”求根。,返回,例,单位反馈系统的开环传递函数为,试画出该系统的根轨迹。,1.有4条根轨迹。根轨迹的起点是开环极点：,根轨迹终点是开环零点，包括有限零点：,和一个无