（学前教育学专业论文）46岁幼儿对数学加减逆反原则理解和运用的发展研究.pdf

论文摘要 本研究的目的是考查4 6 岁学前儿童的加减逆反原则理解和运用的发展水 平和年龄特点以及加减运算技能与其加减逆反原则理解和运用之间的关系。被试 是从上海市三所普通幼儿园的6 个班级中随机选取的1 2 2 名学前儿童。研究采用 的工具为自编的两个数加减运算任务和根据巴鲁迪和赖梦龙的部分具体加减逆 反任务修改而成的。测查主要采用个别面试并结合观察记录儿童在答题过程中的 行为来研究儿童对加减逆反原则理解和运用情况，并对加减运算技能和加减逆反 原则理解和运用的得分进行聚类分析，得出这两项任务关系的四类不同子集，即 “高能力子集”、“低能力子集、“高概念理解低运算技能子集”和“低概念理解 高运算技能子集”。 本研究的结果表明：1 ) 4 6 岁幼儿在理解和运用加减逆反原则时并不存在 性别差异。幼儿至少在4 岁的时候已经开始萌发部分或者不稳定的对加减逆反概 念的理解，并开始初步尝试在问题解决中运用这种理解，但是要到5 岁甚至更晚 才能够达到较为一致而稳定的程度。5 岁幼儿理解和运用加减逆反原则的水平与 4 岁幼儿的水平相比有了较为明显的提高。2 ) 幼儿加减运算技能和对加减逆反 概念理解和运用之间存在着较为复杂的关系，两者之间的发展水平有可能是一致 的，也可能呈现相反的趋势。3 ) 不同问题情境控制问题( 在一定数量的初 始集合上加减不同数量的物体) 和逆反问题( 在一定数量的初始集合上加减相同 数量的物体) 对于幼儿加减逆反理解和运用有一定的影响。4 ) 呈现加减的 实物的同时是否辅助呈现数字符号这一因素总体上并不对4 6 岁幼儿的加减逆 反理解和运用的水平产生影响，但是也存在很大的个体差异。 关键词：学前儿童加减逆反原则理解和运用 加减运算技能 a b s t r a c t t h em l 叩o s eo ft h i s s t u d yw 嬲t 0i n v e s t i g a t em ed e 、r e l o p m e n t a ll e v e i sa j l d c h a r a c t 谢s t i c si ny o u n gc h i l d r 铋su 1 1 d e f s t a l l d i n g 锄du s eo f 1 ea d d i t i o n _ s u b 缸a c t i o n m v e r s ep r i n c i p l e ，锄dt h er e l a t i o n s h i p b 咖e 锄m eu n d e r s t 锄d i n go f t h j sp r i n c i p l ea n d m e i r 耐t e t i cs k i l l s as 锄p l eo fl2 2c h i l d r 锄a g e d 和6w a s 瑚d o m l ys e l e c t e d 舶m 6d 嬲s e si 1 1t l l 】陀e o r d i n a 巧p r e s c h o o l si i ls h a n g h a i 1 1 1 et e s t “s i m p l e 铆。一t e n l l 撕m m e t i cp r o b l 锄s ”t o 笛s e s sy o u n gc 1 1 i l d 【r 饥s 撕恤n e t i cs l 【i l l si i lm i ss t u d yw 嬲 d e v e l o p e db yt l l ei i e s t i g a t o r ，锄d l eo t h e ft e s t st 0e x 肌i n a t ey o u l l gc m l d r e n s u 1 1 d e r s t 锄d i n ga n du s eo ft h ea d d i t i o n 峭u b 仃a 嘶o ni n v e r s e 砸n c i p l ew a sa d a p t e d 舶m b a r o o d y 锄dm e n g - l u n gl a i ss t u d y ( b a r o o d y & m e i l g - l u l l gl a i ，2 0 0 7 ) 1 1 1 d i 讥d u a l i n t e r v i e ww a s l em a i nm e t l l o dl l s e di nt h i ss n j d y ， a n dm e 锄w 1 1 i l eo b s e r v a t i o no f y o u i l gc h i l 出e n sr e s p o n s e 洫l ew h o l et e s tp c 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1中大班幼儿完成“半具体加减逆反任务”的成功人数及百分比2 2 表4 1 - 2中大班幼儿逆反任务各项目对年龄、性别和园所的多元方差分析表2 3 表4 1 3中大班幼儿“半具体加减逆反问题”的平均得分和标准差2 4 表4 1 4中大班男女幼儿在“半具体加减逆反任务”中的得分情况2 4 表4 1 5三所幼儿园“半具体加减逆反任务”各项目得分的平均值2 5 表4 1 - 6幼儿在“半具体加减逆反任务”中的倾向性错误类型2 7 表4 1 - 7 各年龄段幼儿在逆反和控制问题上所犯的系统性错误的频次2 8 表4 1 8中大班幼儿在有无数字辅助呈现下任务二的平均值和标准差2 8 表4 1 9幼儿在控制问题四种类型题目上所得的平均分2 9 表4 1 1 0 逆反问题中幼儿回答加减不同数量题目的平均值2 9 表4 2 1中大班幼儿“两个数加减运算”中加法和减法的平均得分和标准差3 0 表4 2 2中大班正确完成加减运算题目数量的人数及百分比3 0 表4 - 2 3“半具体加减逆反任务”各项得分与两个数加减运算得分的相关3 l 表4 _ 2 _ 4“半具体加减逆反任务”各项之间得分的相关3 l 表4 2 5加减运算能力和逆反原则理解和运用关系各子集的人数和百分比3 1 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：至篮也 日期：2 7 荭：当t2 。 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：7 壬彬学吮 撇名：噼 日期：印岔文7 第一章引言 第一节研究的背景和意义 一、研究的理论意义 在中国，加减乘除这些数学运算能力在低年龄儿童的数学学习中一向占据着 非常重要的地位。特别是在学前期和学龄初期，许多家长和教师往往将儿童能够 熟练地进行加减运算视为数学水平高低的最重要甚至是唯一的评价标准。他们希 望看到立竿见影的儿童数学学习效果，如经过一段时间的数学学习以后，儿童会 认多少个数字，掌握了几以内的点数和加减等。在这种急功近利的心态影响下， 他们只关注到显而易见的数学程序性知识( 即关于“怎么样”、“如何做 的知识) 的学习结果，而往往忽略了儿童究竟如何理解加减等概念的本质、如何理解数学 运算中存在的各种关系这些问题。而这些被忽略的问题却又是评价儿童数学发展 水平不可忽视的重要方面。因为数学学习不仅只包括学习准确地完成诸如加减这 类的程序性知识，而且还包括理解这些程序涉及的概念和原则。而从本质上讲， 后者更能真正地反映儿童抽象思维发展的水平，因为对于数学的理解归根结底是 对事物与事物之间关系的理解。而各种数学运算之间的关系就是儿章需要理解的 事物与事物之间关系的重要方面。 皮亚杰( p i a g e t ，1 9 5 2 ) 曾提出：“儿童只有在理解加减运算之间的逆反关系 以后才能真正理解加减的本质。”1 所谓理解加减运算之间的逆反关系，亦即在 一定的初始集合上先加一定数量然后减掉相同数量后( 反之亦然) 能迅速判断初 始集合数量保持不变( 日e i i l b i s a n z ，2 0 0 0 ) 。这种迅速判断是将加减视为相关 的运算，是建立在逻辑思维的基础上的。它不同于将加减看作两个独立的不相关 操作的经验性逆反( 锄p i r i c a li n v e r s i o n ) ，经验性逆反则是通过从左到右先加后 减或先减后加这样两个步骤进行的。比如1 + 1 1 ，运用加减逆反关系进行理解是 将加l 和减l 视为一个整体，在这个整体中加减相同数量的操作是相互抵消的， 因而对初始量1 并未产生影响。而运用经验性逆反则是先进行1 + 1 得到一个中间 量2 ，再进行2 1 然后得到l 。可见，基于逆反关系理解做出的判断不同于经验 性逆反基础上的问题解决，前者对思维的要求更高，才能真正衡量幼儿对加减本 质的理解水平。所以对于年幼儿童来说，加减之间的逆反关系是其数学学习伊始 必须获得的关键的概念关系之一。不是建立在加减关系理解基础上的加减运算学 习，有可能仅是一种死记硬背的产物或口头的活动。只有理解了加减逆反原则， 儿童才能将所学的知识融会贯通，才能在面临较难或者新问题时通过联系已有的 知识，自己建构解决策略，增加所学知识的灵活性和迁移性。帮助儿童学习数 学( 飚l p a t r i c k & s w a 舫r d ，2 0 0 2 ) 一书也指出：“理解和运算是数学精通程度 ( m a t l l 锄a t i c a lp r 0 6 c i e n c y ) 的两个重要方面，理解是指理解数学概念、运算和 关系，即知道数学符号、图表和程序的含义，运算是指执行数学程序，如灵活、 准确、有效和适当地进行加、减、乘、除。2 这本书同时提到，美国一些全国 性的研究表明，过去只注重让学生掌握运算程序，结果导致学生对运算程序所蕴 含的数学概念并没表现出多深的理解。可见，数学运算和数学理解两者在数学学 习中缺一不可，不可偏废。而美国这些全国性的研究也说明了这样一个问题，那 就是数学运算技能的发展并不一定会带来相应的对数学概念的理解，不能简单地 根据儿童数学运算能力的强弱判断其对数学概念的理解也呈现相应的水平。在这 个问题上，皮亚杰也得出过类似的结论，他曾指出：会做和理解不是一 回事，我们可能会做乘法题而并不理解其中的过程，就是说，会把正确的数 字根据某种规则写在适当的位置上。们在现实生活中，当教师问六岁的孩子4 + 2 等于多少时，他们已有了必要的感知运动调节而“会做出”反应或会写出6 来， 但他们并不“理解 其中所涉及的包含和可逆的关系( c o p e l a n d ，1 9 7 9 ) 。因而 要正确地评价一个儿童的数学加减发展水平，离不开对其加减逆反关系理解的考 查。 帮助儿童学习数学一书还提到：“数学精通程度有五个标准，即理解、 运算、应用、推理和e 1 1 9 a 百n g ( 在使用数学时将之视为合理的、有用的和可行的， 并愿意去使用它) 。”4 对加减逆反关系知识的获得属于理解这一标准的范畴，它 可促进数学精通程度的三个重要方面运算熟练性、问题解决( 应用) 和推理。 首先，幼儿在理解了加减逆反关系的基础上，运用加减逆反原则可以省去繁 琐的运算步骤，提高答题速度和准确率。特别是当加减运算涉及的加数或减数的 数量相对较大时，这种优势就更为明显。虽然对于年幼儿童来说，数量较大的加 减运算是一种很大的挑战，但是只要他们理解了加减逆反原则，就完全可以运用 这样一种运算捷径( c o m p u t a t i o n 胡s h o r t c u t ) 来解决很多诸如2 4 3 “7 0 1 7 0 这类加 数和减数相等或者2 4 3 + 1 8 0 1 7 0 之类加数和减数不等但是比较接近的运算题。而 且，对加减逆反关系的理解也可以帮助儿童获得一种有效的验证减法是否运算正 确的方法，那就是将差与减数相加即“往回加看所得结果是否等于被减数。儿 童在熟练地掌握这一方法基础上，还可以在今后相对较难的乘除法的学习中，将 之迁移到学习和掌握除法的验证方法上。 其次，对加减逆反关系理解的建构是儿童数概念发展的一个里程碑，是一种 初级的推理能力。只有理解了加减的可逆性，知道加法和减法是可以相互抵消的， 儿童才能建构相对完整的数的可加性组成关系( 即任何自然数可以分成更小的 数，也可以与其他的数组合成更大的数) 的知识，也才能更好地对部分和整体之 间的关系进行思考，从而运用这种部分与整体的关系进行更为灵活的运算和推 2 理。对加减逆反关系的理解甚至被视为儿童能够进行心理动作可逆( 可逆性) 的 证据，而可逆性是运算( 真正的逻辑) 思维的定义性特征( p i a g e t & m o r e a u ，1 9 7 7 ， 转引自l e t t e ，2 0 0 2 ) 。 综上所述，加减逆反关系的理解和运用在正确评价儿童的数学加减发展水平 和促进儿童数学加减能力发展中都有着不容置疑的作用。但是究竟儿童什么时候 开始能理解和运用这种关系? 对于这个问题的看法目前尚存在着争议。皮亚杰假 设儿童在6 或7 岁达到运算思维及作为其标志能力的可逆思维之前是不能建构对 逆反原则的真正理解的( p i a g e t & m o r e a u ，1 9 7 7 ，转引自l e t t e ，2 0 0 2 ) 。随后又有 很多学者通过自己的研究证明对加减逆反关系的理解可能出现得更早一点。不 过，基本形成共识的是在学前后期学龄初期，年幼儿童已经或多或少地能理解和 运用这种关系。目前，国外已经有众多研究者将儿童对加减逆反关系的理解和运 用情况作为其主要的研究兴趣，也做了大量的实证研究，为认识和研究年幼儿童 的数学认知发展提供了丰富的实证性资料。相对而言，中国对数学加减的研究集 中在加减策略等方面，而很少关注对加减逆反关系理解这一领域，因而，国内相 关方面的研究少之又少。在中国大陆，家长和教师普遍重视对幼儿加减运算技能 的培养，因而幼儿园5 岁甚至4 岁幼儿普遍能进行加减运算。但是加减运算技能 的熟练究竟会不会提升幼儿对加减逆反关系的理解和运用? 幼儿对于加减运算 的理解和运用与其加减运算技能之间的关系究竟如何? 这些都是本研究拟解决 的问题。希望本研究能起到抛砖引玉的作用，引起国内研究者对相关研究开展的 重视，以期为国内这一领域的实证资料的积累略尽绵薄之力。 二、研究的现实意义 巴鲁迪和赖梦龙( b a r o o d y & m 肌争l u n gl a i ，2 0 0 7 ) 进行了4 6 岁台湾儿童 加减逆反原则理解的研究，通过对研究结果定性和定量的分析，他们认为对逆反 原则的理解是逐步出现的，并且对这一原则的理解至少是在5 岁儿童的最近发展 区内。如果本研究也能得出相似的结论，证实理解和运用加减逆反原则是在学前 儿童的最近发展区范围内，这有助于我们去理解这些概念性知识是如何出现的， 以及它们如何和包括加法、减法在内的数学程序性知识的发展发生相互作用。如 果逆反原则来自于儿童日常生活中和同伴及成人所玩的“给和拿”游戏，这种联 系的建立一旦成立，那么将儿童的早期数学发展和社会经验相联系就变得十分重 要，相应的一些活动也可以被投放到幼儿园的教学中来，有助于儿童获得更多的 这方面的具体直观的感性经验，从而在此基础上帮助学前儿童更早地建立加减逆 反原则的初步概念，进一步理解和掌握加减运算，提升其整体的数学能力。而且 尽早帮助儿童理解逆反原则有助于幼儿建立这样一种信念，即数学的核心是寻找 3 模式和关系，它也可以加深儿童将加减视为相关运算的数感。 另外，有研究者认为加减运算技能熟练以后，就会自然而然地理解相应的加 减概念和加减之间的逆反关系，也即儿童对概念、关系的理解是数学运算技能发 展的结果( g i n s b u r g ，1 9 8 9 ) 。这种观念可能在家长和教师中更为普遍，或者他 们根本就把加减运算技能等同于儿童数学加减学习方面的全部能力。因而，教师 在教学时将主要的精力都放在对加减运算这些程序性知识的教授上，而忽略了帮 助儿童理解加减逆反原则这些概念性知识。如果本研究能够揭示加减运算技能和 加减逆反概念之间的关系，证明加减运算技能熟练并不必然带来幼儿对加减逆反 概念的理解，则教师只关注加减运算技能的教学这样一种实践就值得我们深思。 因而，对儿童加减逆反原则的理解和使用的研究有利于教师更好地对自己的教学 实践进行反思，合理分配自己在加减运算程序性知识和加减逆反原则等概念性知 识的教授上所花的时间。 再者，目前评价一个年幼儿童数学加减发展水平的方式基本局限于测查其加 减运算技能的熟练性，很少考察其对于加减逆反关系的概念理解。但是数学加减 运算技能和加减逆反关系理解之间的关系究竟如何也尚无定论。如果上述评价方 式所依据的理论基础即加减逆反关系理解是基于加减运算技能熟练而来的 是不成立的，那么这种评价势必会造成一部分儿童面临着被错误贴上数学加 减能力不良的标签的危险。因为假如儿童加减逆反关系理解和加减运算技能之间 不是互为发展因果，特别是加减运算技能并不能衍生出对加减逆反关系的理解， 而是两者各自沿着自己的发展轨迹独立发展的，至少在一部分儿童身上是如此， 那么就不能运用这种单一的评价方式来评价儿童的数学加减运算能力。否则，就 算儿童能很好理解加减之间的逆反关系，却无法熟练而准确地进行运算，在目前 的评价体系中，也难免被归为低数学成就者的一类，而实际上，这类儿童的水平 明显优于加减运算和加减关系理解上都表现不佳的儿童，也有别于那些加减运算 技能很好，但是加减逆反关系理解不佳的儿童。这就要求教师在正确评价儿童加 减水平的基础上加以区别对待，在对那部分拥有较高概念理解而运算技能不佳的 儿童的教育上，可以充分利用他们良好的对加减关系的理解来促进他们加减运算 能力的发展。因而，本研究试图以理论研究为契机，给予教育实践一定的现实启 示。 第二节研究的问题 本研究拟解决的问题主要包括： 1 和6 岁幼儿对加减逆反原则的理解和运用有怎样的年龄特点? 是否存在性 别差异? 4 2 4 6 岁幼儿对加减逆反的理解和运用与加减运算技能之间有无关系? 3 不同问题情境类型控制问题( 在一定数量的初始集合上加减不同数 量的物体) 和逆反问题( 在一定数量的初始集合上加减相同数量的物体) 对 于4 6 岁幼儿加减逆反理解和运用的影响? 4 在呈现加减实物的同时辅助呈现相应数量的书面数字符号是否有助于提 升倘岁幼儿对加减逆反关系的理解和运用? 第三节论文的结构 本论文共分为六个部分： 第一部分引言：主要阐述了本研究的研究背景和意义、研究的主要问题以及 论文结构。 第二部分文献综述：概述了国内外关于加减逆反原则理解和运用以及逆反原 则理解和使用与加减运算技能之间关系研究的进展情况，并分析了已有研究中存 在的不足，进而提出了本研究的研究课题。 第三部分研究方法：介绍了研究对象的选取情况、测查工具的修改和选用情 况，数据的收集和处理方法以及测查的信度问题。 第四部分研究结果和分析：通过运用统计软件，对获得的如下几个方面的数 据进行客观呈现和描述，即4 6 岁幼儿总体逆反理解和运用能力、幼儿理解和运 用加减逆反原则的年龄差异、性别差异和园所差异、幼儿对加减逆反原则的学习 潜力、错误分析，数字辅助呈现对于幼儿加减逆反原则理解和运用的影响以及幼 儿加减运算技能和加减逆反原则理解和运用之间的关系等。 第五部分讨论：主要是结合已有的实证和研究成果，对照测查结果进行分析 对比，提出自己的观点。 第六部分结论、教育建议和不足之处：总结本研究的主要结论，在此基础上 提出教育上的建议并对研究进行反思。 5 第二章文献综述 第一节加减逆反原则理解和运用的研究 皮亚杰最早提及了逆反的重要性，并在著作中将逆反置于其理论的中心地 位，他认为逆反是可逆性的一种基本类型，是认知结构的一个重要特征( p i a g e t ， 1 9 5 2 ) 。之后，在皮亚杰和莫罗( p i a g e t & m o r e a u ，1 9 7 7 ，转引自g i l m o r e & b r y a n t ， 2 0 0 6 ) 的研究中，他们让每一个被试将一堆砖形物放在一起，并且不让主试看到 具体数量有多少。然后主试要求被试在此数量基础上加减一定数量的砖形物，最 后让被试说出加减后还有多少砖形物。根据这一数字主试计算出被试原来的砖形 物数量，然后让被试解释为什么主试能在没见过初始集合的情况下知道该集合数 量的多少。只有在儿童能解释因为a + b = c ，那么c 扣a 的情况下才认为他们理解 了逆反。研究结果表明，年幼的儿童不能给出任何解释，而更年长一点的儿童( 1 0 岁及以上) 则能运用逆反原则来解释主试的推理。 虽然这一研究“因为给年幼儿童制造了诸多严苛的难点而被人质疑无法说明 年幼儿童不理解加减逆反原则5 ，比如儿童要完成这一任务，不仅要自己理解 逆反原则，而且还要意识到别人是运用这一原则来解决数学问题的。但是它开启 了对儿童理解加减逆反原则研究的先河，自此至今的几十年中，很多研究者纷纷 将自己的研究视野投放到这一问题的探讨上。归结起来，国外对加减逆反关系理 解和运用的研究主要有以下三种类型： 一、基于运算捷径( c o m p u t a t i o 蚰ls h o r t c u t ) 任务的研究： 基于运算捷径任务的研究主要是通过比较儿童在诸如a + b c ( b c ) 之类的控 制问题和a + b b 之类的逆反问题上回答的准确率、速度，以此来判断其是否运用 加减逆反原则来解决问题。这一类型研究假设的前提是儿童在控制问题上运用加 减运算技能进行运算，如果相对于控制问题，儿童能更快更准确地解决逆反问题， 则可推论出其理解并运用了加减逆反原则，而如果儿童在控制问题和逆反问题上 回答的准确率和速度相差不显著，则其没有运用加减逆反原则。 斯达克和吉尔曼( s t a r k e y & g e l m a i l ，1 9 8 2 ，转引自b r y a n t ，1 9 9 9 ) 向3 5 岁儿童呈现定数量的硬币( 1 到4 枚) ，然后每次先加一定数量的硬币( 1 到2 枚) ，再减掉相同数量的硬币。测查总共涉及七个问题，其中有六个问题是加数 和减数相等的逆反问题。六个逆反问题中有四个的加数和减数都是1 ，而另外两 个问题中加数和减数都是2 。剩下一个问题是加数和减数不相等的控制问题。结 果表明，儿童正确解答问题的百分比十分高，但是在控制问题和逆反问题上的差 异并不显著，因而无法从这一研究得出儿童确实运用逆反原则来解决逆反问题的 6 结论。 以上研究中涉及的加数和减数都过小，这造成了测查问题过于简单，幼儿运 用加减运算技能也能很好地解决全部的控制问题和逆反问题，因而无法判断被 试究竟是通过运算还是通过逆反原则来解决问题的，针对上述不足，以下研究 分别对实验进行了修改完善。 比安茨、李费佛和吉尔兰德( b i s a n z ，l e f e v r e ，& g i l l i l a n d ，1 9 8 9 ，转引自 b 哪m t ，1 9 9 9 ) 引入了反应时这一主要的独立变量来考察年幼儿童对于加减逆反 原则的理解程度。他们给6 、7 、9 岁儿童和一组青少年呈现有加有减的问题， 其中既有逆反问题也有非逆反问题。每一种类型的题目都涉及相对小的数量和 相对大的数量。在各年龄组中，一些被试解决逆反问题比标准问题要快的多。 那些运用了逆反原则的儿童以同等速度解决数量较大和数量较小的问题。相反， 那些没有运用这一原则的被试在解决数量较大的标准问题时的速度则比解决数 量较小的标准问题慢很多。在6 到9 岁之间运用这一原则的儿童人数很少，而 且没有随年龄呈现增长趋势，但是9 岁以后，使用这一原则的人数急剧增加。 在比安茨和李费佛( b i s a i l z & l e f e v r e ，1 9 9 0 ，转引自e i n ，1 9 9 9 ) 使用的 任务中，用增大加数和减数的方法来减少儿童利用运算而非逆反捷径来解答的可 能性。结果发现，2 0 的6 岁儿童表现出使用逆反捷径的证据。但研究也发现了 很大的个体差异性，同时另外一些证据则表明有些儿童能够稳定而前后一致地使 用这一原则。 布赖恩特等( b r y a l l t ，c m s t i e ，& r e n d u ，1 9 9 9 ) 则认为，在涉及实物以及使 用像手指这样的具体表征物来表征加数和减数的情况下，必须区分低水平的特征 ( i d e n t i t y ) 逆反以及更为抽象的数量逆反。低水平的特征逆反是指儿童只是因为 加减的是相同的物体，而并没有考虑到数量问题，从而作出加减以后初始数量不 变的判断。而抽象的数量逆反是指儿童意识到即使两次加减操作的物体是不一样 的，但是只要数量相等，则初始量还是保持不变。因而布莱恩特等在其研究中加 入了增加和拿走相同或不同的物体这两种实验条件，并比较被试的反应，同时， 为了防止被试点数初始量，部分的初始量用布盖住。整个研究又分为两个研究， 研究一测查5 6 岁儿童是否理解加减是相互抵消的以及这种理解是基于加数和 减数是相同的物体还是基于加数和减数的数量关系。主试用六种不同的方式向儿 童出示题目，包括( 1 ) 实物( 增加和拿走相同实物) ：( 2 ) 实物( 增加和拿走不 同的实物) ；( 3 ) 想象( 增加和拿走相同东西) ；( 4 ) 想象( 增加和拿走不同东西) ； ( 5 ) 应用题；( 6 ) 心算题。结果表明，六种方式下儿童在逆反问题上的表现都 比在控制问题上好很多，即使在加数和减数涉及不同物体但数量相等的情况下， 此年龄阶段的儿童也能运用这一原则。研究二以向6 8 岁儿童呈现a + b ( b + 1 ) 7 或者a + b ( b 1 ) 的形式考察其把加减逆反原则和数的分解结合运用的能力，主 试以三种形式呈现题目，( 1 ) 先加后减的逆反问题和控制问题；( 2 ) 先减后加的 逆反问题和控制问题；( 3 ) 逆反分解问题。研究一结果表明在涉及积木的实物 条件下，儿童使用加减逆反原则的证据最为明显，在不完全具体的条件( 初始集 合未知，仅加减的实物可以看到) 、抽象条件( 应用题) 和高度抽象的条件( 心 算题) 下，被试也能获得成功。而研究二的结果则表明5 岁的儿童能在真正数量 的水平上来运用加减逆反原则，并且这种运用表现出灵活性，而且加减技能与加 减逆反原则的理解不成正相关。 但布赖恩特等( b r y 锄t ，c 埘s t i e ，r e n d u ，1 9 9 9 ) 的研究都需要被试用言语 来回答，而这对此年龄阶段的儿童可能是比较困难的，也容易低估儿童的非正 式能力( 即基于日常生活经验和情境下解决问题的能力，区别于在由符号和惯例 组成的书面数学情境下的正式数学能力) 。因而克莱恩( e i n ，1 9 9 9 ) 以及克莱 恩和比安茨( e i n & b i s a i l z ，2 0 0 0 ) 分别采用相同的实验程序，通过非言语形式 向4 岁的学前儿童呈现三个数加减( a + b - b ) 的逆反问题和标准问题( a + b c ，b c ) 各6 题。实验者先在垫子上放一初始集合a ( 以列的形式呈现) ，儿童则匹 配出相同数量的另一集合，然后实验者用一个盒子把他自己面前的初始列盖住， 再在藏起来的初始列中加入b 数量的筹码，然后减掉c 或b 数量的筹码，最后要 求被试摆出实验者盒子里剩余的筹码数。实验者记录下被试的解答方法、所需反 应时以及答案的准确率，以此判断他们在解决新问题时是否表现出对运算原则的 理解和使用。两个研究结果都表明这一年龄的儿童在解决逆反问题和标准问题时 平均反应时或准确率上并无显著差异，可见儿童没有运用运算捷径。 拉丝姆森等( r a s m u s s e i l & b i s a n z ，2 0 0 3 ) 认为在布赖恩特等( b w a n t ，c h d s t i e ， & r 饥d u ，1 9 9 9 ) 的研究中，无论增加或拿走的是相同的还是不同的实物，如果实 物长度相等，则儿童仅需依靠长度线索就能解决两种条件下的逆反问题，而不需 要真正的数量逆反。因而拉丝姆森等在自己的实验中设计了一种增加和拿走的实 物数量相同但长度不等的条件，以进一步探讨4 岁和一年级儿童对逆反原则的理 解以及这种理解是基于问题的数量特征还是非数量特征，该实验还测查了儿童对 加减逆反原则的理解与其他数学或认知能力的关系，比如数数、简单加减运算和 工作记忆。结果表明，大多数4 岁儿童和几乎所有的6 岁儿童都在一定程度上使 用了逆反原则，并且儿童在接受正式教学前就能够完全基于数量特征来理解逆 反。在加减逆反原则理解和其他数学能力的关系上，研究发现，视觉一空间工作 记忆的个体差异可能和4 岁儿童的逆反原则运用情况有关，而一年级儿童两个数 的加减运算技能则与其在控制问题和逆反问题上的回答呈现相关。 上述研究儿童对逆反问题的理解都需要被试解决诸如1 5 + 7 7 = ? 这样的规范 问题( c a n 0 i l i c a lp r o b l 锄s ) ，而如? + 7 7 = 1 5 ；7 + ? 一7 = 1 5 ；1 5 + 7 ? = 1 5 这样的非 规范问题( n o n c a i l o m c a lp r o b l 锄s ) 其实也会影响儿童对加减逆反问题的理解和 运用水平。因而，吉尔莫等( g i l m o r c & b 叫a n t ，2 0 0 6 ) 研究了三种问题情境下 ( 数字、图片和文字应用题) 6 7 岁和8 9 岁两个年龄段儿童对于以规范问题和 非规范问题形式呈现的逆反原则的理解病同时考查了他们的逆反概念理解与运 算技能之间的关系。结果发现：儿童在逆反问题上的表现普遍比在控制问题上好， 这表明这两个年龄阶段的儿童已经能够使用逆反原则。结果同时表明，问题情境 也影响了被试的表现：在呈现图片的情境下，儿童可以灵活地运用他们的概念理 解，而文字应用题的问题情境则限制了他们使用概念知识的能力。 二、基于可能与不可能事件( p o s s i b l ea n dh p o s s i b i ee v e n t s ) 任务( 惊奇任务) 的研究 基于可能与不可能事件任务的研究是指在一开始看到但后面藏起来的集合 上进行一次或多次数量变化( 加减) ，要求儿童对这种变化对于初始集合的影响 进行推理。 格尔曼和加利斯特尔( g e l m 锄& g a l l i t e l ，1 9 7 8 ) 的“惊奇范式 ( m a 百c p a r a d i 舯) 是用来判断年幼儿童是否将加减视为与数量变化相关的操作以及是否 将物体的空间转移作为与数量变化无关的操作。实验者采取了两个步骤的程序， 第一步先建立被试对数量的预期值：第二步记录儿童对于在预期的集合上秘密进 行的操作的反应。被试必须在两个盖住的器皿中做出选择。如果被试选择了“赢 的一方”( 如有三个物体的器皿) ，他们赢得了比赛。如果儿童挑选的不是赢的一 方( 如有两个物体的器皿) ，再给他们另一次机会来选择。游戏进行足够长时间， 直到儿童在一个器皿上期待两个物体，在另一个器皿上期待三个物体为止，然后 从盖住的赢的一个器皿中秘密地拿走一个物体。测查儿童是否对在预期之外的结 果感到惊奇以及他们是否知道如何抵消秘密进行的变化。结果发现，比如，当三 个是赢的一方而两个是输的一方时，儿童看到第一个拿掉遮盖的盘子里有两个物 体并不感到惊奇，而只对第二个器皿只有两个物体感到惊奇。很多儿童抱怨说一 个物体不见了，同时补充说可以通过增加另一个物体来抵消这种变化。这些结果 似乎表明学前儿童能理解逆反原则运用到从小数量的集合上加减1 的情形。 与此类似的还有维莱特( l e 饿，2 0 0 2 ) 的实验。他使用了威恩( 帅，1 9 9 2 b ) 可能事件与不可能事件的程序测查2 5 岁的儿童对加减运算以及加减逆反问题 的理解。主试呈现给每个被试三个问题，( 1 ) 加法问题“2 + l = 3 ”，同时呈现不 可能事件问题“2 + 1 - 2 ；( 2 ) 减法问题“3 1 - 2 ”，同时呈现不可能事件问题 “3 1 = 3 ”；以及( 3 ) 逆反问题“2 + l l = 2 ”，同时呈现不可能事件问题“2 + 1 - 1 = 3 ”。 9 在进行逆反问题测查时，主试向被试呈现数量为2 的初始集合，然后用屏幕遮住 它。接着，在被遮住的初始量中加入一个物体，最后再从它里面拿走一个物体 ( 2 + l 一1 ) 。可能事件是当把屏幕拉起来时台上出现两个物体；而不可能事件是屏 幕拉起时台上还有三个物体。结果表明，较年幼的两组( 2 5 岁到3 5 岁) 中， 大多数儿童在逆反问题上都没有获得成功。而大多数4 5 岁组的儿童都能成功地 解决逆反问题。他们的研究支持了这样一个观点，即学前儿童至少要到4 或5 岁 才能将加减理解为互逆的运算。 三、基于代数推理的任务的研究 基于代数推理的任务研究不需要被试回答出确切的数量结果，而只是让其比 较变化后最终所得的集合与初始集合的数量多少关系。由于初始集合的数量是未 知的，因而在这种类型的研究中不需要比较被试在控制问题和逆反问题上的准确 率和速度，而只是看其在两种问题情境类型下( 加减相同数量的逆反问题和加减 不同数量的控制问题) 的推理方向是否正确。 史密斯兰德( s m c d s l u n d ，1 9 6 4 ) 对5 8 岁儿童进行了多项具体推理( c o n c r e t e r e a s o m n g ) 的测查，其中一项涉及数量守恒的任务，其实质就是对加减逆反问题 的测查。在任务开始时，主试先通过提问确保被试明确了初始的两个集合中的物 体数量是相等的( 但具体数量未知) ，然后将这两个集合遮盖住，对其中一个或 者两个集合进行一系列操作。逆反问题表现为每次从一组物体的一侧添加一个物 体然后再从同侧减去相等数量的物体，或者是一侧先拿走一个物体再在同侧添加 一个物体，每种情况下都保持集合的数量不变。主试边操作边辅以语言提示，如 “现在我在这组放一个物体”或“现在我从这组拿走一个物体”。最后要求被试 回答两组物体是否仍然相等还是一个集合现在多了。结果表明7 5 的5 8 岁儿 童在逆反问题上获得成功。 布莱什( b m s h ，1 9 7 8 ) 采用了类似于史密斯兰德( s m e 吲u n d ，1 9 6 4 ) 的实 验程序，对2 6 名4 6 岁的儿童进行9 项涉及加减运算任务的测查，其中2 、4 项任务分别是先加1 后减l 和先减l 后加1 的加减逆反任务。结果发现，5 3 8 的被试在先加后减的逆反任务上获得了成