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硕士论文 多元稳健设计方法及其应用研究 摘要 稳健设计是一种有效的改进产品过程的质量设计方法。大多数传统的稳健设计模 型只关注于一种质量特性，但顾客对于产品的需求是多元的，因此如何对多元稳健设计 问题进行优化，成为质量工程领域亟待解决的问题之一。 本文回顾了多元稳健设计国内外的研究现状，在此基础上总结了现有多元稳健设计 方法的缺陷和不足，并简要介绍了稳健设计的基本原理。基于已有的方法和原理，本文 将提出一种多元稳健设计的参数规划方法。首先，对望大、望小、望目质量特性，提出 不同的标准化方法，使其量纲一致；接着，针对多质量特性的整体波动度量存在的难点， 使用质量特性的协方差矩阵的行列式来度量整体波动；然后，将参数规划法作为优化方 法，从而能够灵活权衡降低波动和减少偏差的相对重要性；最后，针对参数无法确定的 情况，提出了一种基于实验数据的几何方法来选定参数。 为了证明该方法的有效性，本文利用该方法对一个手机外壳的注塑过程实例进行了 研究。结果表明，使用本文提出的参数规划法，不仅将质量特性的整体波动降低到最小， 也使得质量特性的均值满足了质量规格的要求。最后，本文对优化求解方案进行了灵敏 度分析。 关键词：参数规划法，响应曲面法，稳健设计，质量特性 a b s t r a c t r o b u s td e s i g ni sa ne f f i c i e n tm e t h o d o l o g yf o rp r o c e s si m p r o v e m e n t m o s tt r a d i t i o n a l r o b u s td e s i g nm o d e l sc o n s i d e ro n l yas i n g l eq u a l i t yc h a r a c t e r i s t i c ，y e tc u s t o m e r s r e q u i r e m e n t i sm u l t i d i m e n s i o n a l ，h e n c eh o wt oo p t i m i z em u l t i v a r i a t er o b u s td e s i g np r o b l e m sb e c o m e so n e o ft h ei s s u e st ob ea d d r e s s e d , i nt h ea r e ao f q u a l i t ye n g i n e e r i n g 。 i nt l l i st h e s i s ，t h er e s e a r c hs t a t u so fm u l t i v a r i a t er o b u s td e s i g na th o m ea n da b r o a di s r e v i e w e d ，s o m ed r a w b a c k so fm u l t i v a r i a t er o b u s td e s i g nm o d e l si ne x i s t e n c ea r es u m m a r i z e d o nt h eb a s i so ft h es y s t e m i cr e t r o s p e c t i o n t h e nt h eb a s i cp r i n c i p l e so fr o b u s t d e s i g na r e i n t r o d u c e d a c c o r d i n g t ot h ee x i s tm e t h o d sa n dt h e o r i e s ，ap a r a m e t r i cp r o g r a m m i n ga p p r o a c h t om u l t i v a r i a t er o b u s td e s i g ni ss u g g e s t e d f i r s to fa 1 1 d i f f e r e n tw a y sf o rs t a n d a r d i z a t i o na r e s h o w e df o rl t b ，s t ba n dn t bc h a r a c t e r i s t i c s ；s e c o n d ，t h ec o v a r i a n c e v a r i a n c em a t r i xi s u s e dt om e a s u r et h eo v e r a l l v a r i a b i l i t yo ft h e m u k i p l eq u a l i t yc h a r a c t e r i s t i c ；t h i r d ，p a r a m e t r i c p r o g r a m m i n gi sa p p l i e da st h ef r a m eo fo p t i m i z a t i o n , i no r d e rt ob a l a n c et h ev a r i a t i o na n d b i a sf l e x i b l y ；f i n a l l y ，ad a t a - b a s e dg e o m e t r i cm e t h o dt od e t e r m i n et h ep a r a m e t e rh a sb e e n s u g g e s t e df o rt h ec i r c u m s t a n c e st h a tt h ep a r a m e t e ri su n c e r t a i n m u l t i v a r i a t er o b u s td e s i g nf o rap r o c e s so fi n je c t i o r ro ft h es h e l lo fc e l l p h o n eh a sb e e n m a d eb yt h em e t h o de s t a b l i s h e da b o v et op r o v ei t sf e a s i b i l i t y t h er e s u l ts u g g e s t e dt h a tt h e s o l u t i o nn o t o n l ym a k e st h eo v e r a l l v a r i a t i o nm i n i m i z e d ，b u ta l s o k e e p st h eq u a l i t y c h a r a c t e r i s t i c sw i t h i nt h es p e c i f i c a t i o n s a tt h ee n d ，s e n s i t i v i t ya n a l y s i si sc o n d u c t e do nt h e s o l t a t i o n k e yw o r d ：p a r a m e t r i cp r o g r a m m i n g ，r e s p o n s es u r f a c em e t h o d o l o g y , r o b u s td e s i g n ， q u a l i t yc h a r a c t e r i s t i c s 声明 本学位论文是我在导师的部分外，不包含其他人已经发表或公布过 的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的 材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了 明确的说明。 研究生签名：w 呵年6 月哆日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 盘掣 卅年月哆e l 硕士论文多元稳健设计方法及其应用研究 1 绪论 1 1 多元稳健设计方法的研究意义 产品过程的质量管理，主要是通过质量设计、质量控制和抽样检验来实现的。质 量控制和抽样检验主要是对生产过程或产品已经发生的问题进行识别。而只有质量设计 能从源头上避免问题，从根本上改进质量。稳健设计( r o b u s td e s i g n ) 【l 】是一种关注于产 品质量波动的质量设计方法，它已经有效地运用于机械、电子、化工、航空航天等行业。 其核心思想就是通过选定可控因素的水平，将噪声因素对产品过程的影响降到最低， 来减小产品过程的质量特性的波动。 以往的研究大多关注于一元稳健设计问题，然而顾客对产品功能的需求往往是多方 面的，所以产品的质量特性相应地也会是多元的。因此多元稳健设计具有一定的应用意 义和研究价值。 在多元稳健设计问题中，各个质量特性一般都具有不同的量纲，而且要达到的要求 可能不同：有的可能是望大特性、有的可能是望小特性、也有可能是望目特性。这就导 致了在一个多元稳健设计问题中可能同时包含了三种不同目标的情况。此外，各个质量 特性之间也可能存在着相关关系。因此要建立统一的度量方法来同时考量多个质量特 性，并能够体现他们的相关关系，往往是比较困难的。 解决多元稳健设计的方法有很多，比如：满意度函数法【2 】、马氏距离法 3 j 、多元质 量损失函数法【4 】等。但这些方法都或多或少地存在一些不足，因此需要对现有的多元稳 健设计方法进行改进，建立更加合适的权衡方法。 1 2 多元稳健设计研究现状 稳健设计是由日本的田口玄一博士提出的，传统的稳健设计的研究多是针对单个质 量特性。然而随着稳健设计研究的深入，研究对象的质量特性往往是多指标的。我们用 下图来说明。 l 绪论硕士论文 输入 可控因子 x i ，x 2 ，x g 不可控因子( 噪声) x e输出 图1 2 1 多质量特性过程控制图 其中五，而艺表示对于质量特性有显著影响的、在生产过程中可以控制的因素，称 为可控因素。z ，z ：，z ，为噪声因素，他们在实际生产过程中难以控制，但在试验过 程中可以对其进行调整。，z ，艺，y 。表示输出的质量特性。要研究的问题是确定合适的可 控因素的水平，使得输出的多个质量特性得到优化。从国内外的研究情况来看，能够同 时解决多元稳健设计存在的问题，提出一套完整的解决方案的并不多见。现有的方法， 具有代表性有满意度函数法i 射、马氏距离法【讣、概率法【5 l 和质量损失函数法1 4 1 。 1 2 1 满意度函数法 满意度函数法( d e s i r a b i l i t yf u n c t i o n ) 最初是由h a r r i n g t o n 提出的，并由d e r r i n g 和 s u i c h 【2 1 做了进一步的修改。这种方法将多个质量特性值转化为无量纲的满意度( 在0 到l 之间取值) 。此方法计算简单，容易理解，但它并没有对质量特性的波动进行考察，而 且忽略了各质量特性之间的相互关系，尤其当这些质量特性高度相关时，用这种方法得 到的结果并不可靠。 随后，l e e 用过程能力指数构造了新的满意度函数【6 1 ，该方法考虑了质量特性方差 的影响，但仍然没有考虑质量特性的相关关系。针对满意度函数方法存在的这些问题， 何桢等人提出了改进的满意度函数法【7 l 。该方法考虑到了质量特性方差一协方差结构和 预测方差，使优化解对参数估计的不确定性具有稳健性，但该方法忽略了系统波动的对 优化方案的影响，所以不能探测出可控因素对系统波动的影响。 1 2 2 马氏距离法 马氏距离法是由k h u r i 和c o n l o n l 3 】提出的。该方法考虑了质量特性的协方差矩阵结 构的影响但没有考虑过程的经济性以及各个质量特性间的相对重要程度。何桢融和了质 量损失函数法的思想，考虑了各个质量特性的经济意义，提出了改进的马氏距离的优化 2 硕士论文 多元稳健设计方法及其应用研究 方法【引，但是这种马氏距离法和k h u r i c o n l o n 的方法一样，并没有把系统波动作为优化 对象。 1 2 3 概率法 c h i a o 和h a m a d a 提出了一种基于多元正态概率分布的方法，即将多元稳健设计问 题转化成由质量特性组成的向量在规格域中的概率最大化的问题【5 1 。该方法并没有考虑 各质量特性的相对重要性，而且只是暗含着质量特性的方差和均值，因而不能够权衡均 值偏差和系统波动。 1 2 4 质量损失函数法 有一些学者用不同的方式将田口的一元质量损失函数推广为多元质量损失函数，并 将其最小化，来解决多元稳健设计问题。我们将这些不同的多元损失函数大致分为两类： 类马氏距离法和累和法。 一 ( 1 ) 距离法 p i g n a t i l l o 等人依据田1 2 1t a g u c h i 质量损失的概念提出了多元质量损失函数【4 】： 三( y ) = ( y f ) 7 c ( y f )( 1 1 ) 其中c 为正定系数矩阵，其元素取值与产品的维修和废弃成本有关。如果y 服从多 元正态分布，则期望质量损失为：。 e l ( y ) 】= e 【( y f ) c ( y f ) 】= t r a c e ( c , ) + 【e ( y ) 一f 】7 c 阻( y ) 一f 】( 1 2 ) 该方法考虑了质量特性的经济意义以及质量特性之间的相关性，但只适用于望目特 性。t s u i 将p i g n a t i e l l o 的方法推广到了望小特性和望大特性的优化问题中【1 0 】。对于系数 矩阵的确定方法，k u h n t 和e r d b r u g g e 提出了j o p 法( j o i n to p t i m i z a t i o nh o o t l l l ，即用图示 的方法选定候选系数矩阵。v i n i n g 在1 9 9 8 年提出的多元损失函数与p i g n a t i e l l o 的相似， 不同之处在于v i n i n g 在期望质量损失函数中使用t r a c e ( c - t , 奇( x ) ) 代替p i g n a t i e l l o 的 t r a c e ( c , ) 1 2 】。这样是为了考虑估计质量所带来的损失。k o 等人结合了v i n i n g 和 p i g n a t i e l l o 的方法，同时考虑了质量特性的协方差和方差以及估计的质量，提出了一种 新的质量损失函数1 3 1 ，如式( 1 5 ) ： e 【( y ( x ) ) 】= 厶+ 三。+ = 【e ( 多( x ) ) 一f 】7 c 【e ( 多( x ) ) 一f 】+ t r a c e ( c ，( x ) ) + t r a c e ( c e , ，( x ) ) ( 1 3 ) 其中厶为均质偏差所带来的损失，厶是预测质量所带来的损失，为稳健性损失。 ( 2 ) 累和法 a r t i l e s - l e o n 在1 9 9 6 年提出了无量纲的二次质量损失函数1 4 1 ： 3 1 绪论 硕士论文 l ( y ) - 4 薹1 ( 碰羞) 2 ( 1 4 ) 1 2t ， i 一l l ，l 虽然这种无量纲的二次质量损失函数具有的优点在于，它将各种质量特性标准化后 结合在了一起。但是该方法存在一定的局限性：它只适用于望目特性。马义中等人基 于a r t i l e s l e o n 的方法针对望大和望小特性，提出了解决方案【1 5 i ；这种方法只是简单 的求和计算，并没有考虑各个质量特性的相对重要性。针对如何确定各个质量特性的权 重这一问题，魏世振等人采用信噪比衡量各质量指标的波动，从而确定各质量指标在产 品损失中的权重【1 6 j 。此方法忽略了质量特性之间的相关性。 此外，还有一种累和形式的多元质量损失函数【1 7 1 ： ， ( y ) = q ( 肼一) 2 + 砰l + e 【q 2 ，+ ( 以一t ) ( ，- t ) 】 ( 1 5 ) 此函数是通过求三( y ) 在y = f 处的t a y l o r 展开式得来的。该方法的实施有一大难点： 权重系数c i 和c ，是很难精确计算的。 1 2 5 其他方法 除上面四种方法之外，还有一些其它的方法，如：t o n g 以及钟晓芳等利用主成 分分析优化田口方法中的多元稳健设计问题，是将原有的质量特性转换成一系列不相关 的主成分，因而减少了多元稳健设计问题中参数优化冲突的问题【1 8 l 【1 9 l 。q u e s a d a 和 c a s t i l l o 通过复杂的矩阵运算，将多个质量特性的协方差矩阵的函数作为优化目标，将 均值约束作为约束条件，提出了基于双响应面的多元稳健设计方法【2 叭。k o v a c h 和c h o 使用了非线性目标规划方法来优化多元稳健设计问题【2 1 1 i 1 3 本文的研究方法 多目标决策的一个显著问题在于各个指标( 如：时间数量) 的量纲不同，没有统一的 标准难于比较，因而在优化之前将各质量特性值进行无量纲化，将其统一变换到 o ，l 】 范围内。 多元稳健设计问题因为各种质量特性的目标不同，优化时易发生冲突；而且减少波 动和偏差这两个目标也需要决策者根据实际情形进行权衡，因此本文使用参数规划模 型，以实现多质量特性的优化目标，并权衡减少波动和偏差这两个目标。 在参数规划模型中，当约束条件中的参数无法确定时，使用图形的方法，根据实验 数据来确定参数。 1 4 文章结构 第一章是绪论，叙述多元稳健设计方法的研究背景和意义，以及本文的研究方法及 4 硕士论文 多元稳健设计方法及其应用研究 内容； 由于多元稳健设计是在单变量稳健设计的基础上展开的，因此在第二章，将会重点 介绍单变量稳健设计的相关理论和方法。 在第二章所阐述的理论基础上，在第三章中，将会建立多元稳健设计的参数规划模 型，并对计算参数的方法加以说明； 第四章以某型号手机的前面板支架注塑成型过程的参数设计为例子，运用第三章中 提出的多元稳健设计的参数规划法，计算其最佳的参数设计水平； 第五章结论与展望，针对研究结果做出结论，并探讨未来多元稳健设计可能的发展 方向。 2 稳稳健设计的基本原理 硕士论文 2 稳健设计的基本原理 2 i 概述 田口提出的稳健设计分三个阶段，即系统设计、参数设计和容差设计f 2 甜。本文所指 的稳健设计实际上是田口稳健设计方法的第二阶段，即稳健参数设计。稳健参数设计是 在正交试验设计基础上发展起来的一种高效率的优化设计方法，其主要目的是为选择最 优的条件( 参数) ，使设计出来的产品对输入因素的波动不敏感。这些输入因素可能是 原材料、制造环境因素或是使用环境因素。稳健设计适用于产品的研发，它使得设计出 的产品过程甚至能够在极端的环境下正常发挥功效。 稳健设计的意义在于：当产品的质量变得稳定时，顾客的满意度和忠诚度就会提高； 此外，当产品过程对一些环境因素的波动变得不敏感时，生产成本就会相应降低( 可以 使用相对便宜的材料或放宽环境因素限制) 。 本文将要探讨的多元稳健设计问题，是稳健设计( 田口稳健设计方法的第二阶段) 的一种特殊情况，即质量特性不只是一个而是多个。它的理论和方法是建立在单变量稳 健设计的基础上的，因此在对多元稳健设计问题展开讨论之前，首先对单变量稳健设计 的理论基础进行介绍和说明是十分必要的。 2 2 质量损失函数 田口将质量定义为产品对社会造成的损失，用二次质量损失函数进行量化。传统的 思想认为，只要质量特性值在质量规格限内，就不会对生产者或顾客造成损失。而田口 则认为，只要质量特性值偏离目标值，就会对社会造成损失。而进行稳健设计的目标， 就是为了降低产品过程的质量损失。 假设产品质量的目标值为丁，质量特性值为变量y ，二次质量损失函数为： 三( y ) = k ( y - t ) 2( y 为望目质量特性)( 2 1 ) 三( y ) = 砂2 ( y 为望小质量特性，且y 0 ) ( 2 2 ) ) ：后去( y 为望小质量特性，且y o ) ( 2 3 ) 1 ，。 其中k 为质量损失系数，它表示每平方质量偏差所带来的经济损失，与修理、报废、 返工等成本相关。 质量损失的期望值为( 以望目特性为例) ： 6 硕士论文多元稳健设计方法及其应用研究 e ( l ( y ) ) - e ( 七【( 一r ) + ( y 一川) ( 2 4 ) = 研( - t ) 2 + 仃2 】 其中为随机变量y 的均值，仃2 为j ，的方差。 由此可知，产品过程的质量损失由两部分组成：质量特性y 的均值与目标值的偏差 圈一力2 和j ，的方差k a 2 。要想降低质量损失，实现稳健设计的目标，可以降低偏差或 是减少方差。 2 3 基于响应曲面法的稳健设计方法 2 3 1 响应曲面法概要 响应曲面法( r e s p o n s es u r f a c em e t h o d o l o g y r s m ) ，是数学方法和统计方法相结合的 产物，是用来对所感兴趣的响应受到多个变量影响的问题进行建模和分析的，其目的是 优化这个响应1 2 2 1 。例如，设一位化学工程师向求出温度毛和压强吃的水平以使得过程的 产率】，达到最大值，产率是温度和压强的水平的函数： y = 讹，x 2 ) + 8 ( 2 5 ) 其中g 代表响应y 的观察误差。如果记期望响应为e t y ) ，则 e c v ) = 八五，屯) ( 2 6 ) 鼢) = 厂“，而) 表示的曲面就叫做响应曲面。 在大多数响应曲面问题中，响应和自变量之间的关系形式是未知的。这样一来，响 应曲面法的第一个步骤就是寻求y 和自变量之间的真实函数关系的一个逼近式。通常， 在自变量的某一区域内，一个低阶的多项式是可用的【2 2 1 。一般，最常用的拟合模型为二 阶响应模型，二阶响应面的基本形式为： 夕= p o + 屈t + 孱# + 岛墨 ( 2 7 ) i = li = li = l j i 式中，薯( f = l ，2 ，刀) 是自变量，y 为响应，刀是自变量的个数，p o 、屈、层，为系 数。用矩阵的形式表示( 2 1 5 ) ，即得到： 】，= p o + x b + x b x ( 2 8 ) 式中，x = 毛，吃，吒】， 6 和矗为通过样本点用最小二乘法得到的拟合模型的系 数。其中6 为一次项系数组成的向量，螽为二次项系数和混合二次项系数组成的矩阵。 7 2 稳稳健设计的基本原理硕士论文 b = 届 屐 ： 9 ， ，b = 届。 届：2 届。2 屐，2屈：及。2 b nl 2 9 n 2 8 m 2 3 2 基于响应曲面法的稳健设计方法 由2 2 节对质量损失的分析可知，要想达到降低质量损失的目标，可以通过对质量 特性均值和方差的调整来实现。将质量特性的均值和方差看作是响应曲面法中的响应， 输入因素( 可控因素、噪声因素) 看作为自变量。那么使用响应曲面法，便是实施稳健设 计的一条可行路径。 基于响应面的稳健设计通常使用的是双响应曲面方法( d u a lr s m ) 。双响应曲面法有 两种主要方法：一是基于重复试验( r e p l i c a t i o n ) ，分别对质量特性的均值和标准差分别建 立响应曲面模型；另一种方法基于混合表试验( c o m b i n e da r r a y ) ，基于混合表的试验数据， 先建立质量特性的响应曲面模型，再分别推导出均值和方差的响应曲面模型。 ( 1 ) 双响应面模型法( d u a lr s l v o 基于田口方法在统计方面的缺陷，统计学界的一些学者提出稳健性思想应该与响应 曲面方法结合起来考虑【2 4 1 f 2 孔。1 9 9 0 年v i n i n g 和m y e r s , 提出了稳健设计的双响应曲面法 1 2 4 1 ，分别对质量特性的均值和标准差建立二阶响应面模型： 七i七 , u r = , a 0 + 屋薯+ 尾# + 岛_ + 占， ：1；1：7 ( 2 9 ) i七七 、 o - r = y o + 乃薯+ 以，# + 巧薯t + 8 s i - - - ii = i f j 对于每一组可控因素的水平组合，都进行一定次数的重复试验，以估计在该试验点 上质量特性的样本平均值和样本方差，即： 1量l七 只= 妻善均，2 吉荟饥一只y 其中k 表示在每个式样点上重复试验的次数，剪为样本平均值，5 7 为样本方差。根 据试验数据，使用最小二乘法便可以求得两个响应曲面模型的所有系数。 ( 2 ) 含可控与噪声因素的双响应面模型 为了减少重复试验以及内外表试验所需要的试验次数，一些学者提出将可控因素和 噪声因素放在一个试验设计表中，即混合表试验( c o m b i n e da r r a y ) t 3 1 】【3 2 1 。这样可以对质 量特性建立关于可控因素和噪声因素的响应曲面模型。假设x = ，吃，矗】是由七个可 控因素组成的向量，z = 【毛，z ：，z ，】是由，个噪声因素组成的向量。假设噪声因素不存 在二次项和交叉项，对质量特性可以建立二阶响应面模型如下： 8 硕士论文 多元稳健设计方法及其应用研究 y = b o + x ，b + x 7 b x + z ，丫+ x ，z + g ( 2 1 0 ) 通过对混合表试验数据的拟合，根据最d - - 乘法，可以得到质量特性的的二次响应 曲面： 多( x ，z ) = b o + x ，b + x 嘧x + z + x ，左z( 2 1 1 ) 根据上面的二次响应曲面模型，m y e r s 等人在1 9 9 2 年提出了包含噪声因子的双响 应面模型【3 3 】： 向= 研夕伍z ) 】_ b o + x ，b + x f i x( 2 1 2 ) 嘭= 髟伽 夕( i z ) 】= ( 9 + x 峦) f ，z 矿( z ) ( 9 7 + x 心) ( 2 1 3 ) 在本论文中，将采用此响应曲面方法，对多个质量特性建立关于可控因素和噪声因 素的响应模型。 2 3 3 双响应曲面稳健设计的优化方法 如何实现这两个响应曲面模型优化，已经有不少学者对这个问题提出了自己的解决 方法。 对于望目特性，v i n i n g ；g l m y e r s 将方差作为主响应( p r i m a r yr e s p o n s e ) ，均值作为次 响应( s e c o n d a r yr e s p o n s e ) ，在一定的次响应约束下，对主响应进行优化【2 4 1 ，即： m i n 彦2 s t 厨：丁 ( 2 1 4 ) l i n 和t u 认为这种优化方法并不现实的，因为均值已被确定在了一个固定值上。他 们提出了一种m s e 优化模型f 2 7 1 ，将均值和偏差结合在一个优化目标内： m i n 二d 2 + 仃2 ( 2 1 5 ) s t x q 但是这种方法忽略了优化均值和方差的相对重要性。为此，t a n g 彝i x u 2 8 1 提出了一 种双响应曲面法，构造了一个目标规划模型，设计者可以按照其对于波动和偏差的偏好 设定约束条件中的权重： m i n + s l 胪吼一( 2 1 6 ) 仃一国盯露= 0 、。 吼，国盯分别是和仃的权重 此外，d i n g 等人提出了加权m s e 法【3 0 1 ，并提出一种基于帕累托解集的选定权重的方法： 9 2 稳稳健设计的基本原理硕士论文 m i n 旯似一f ) 2 + ( 1 一兄) 仃2 a 是权重系数 2 4 基于响应曲面法的稳健设计的一般步骤 1 0 一般来说，基于响应曲面法的稳健设计分为以下步骤： 第一步，定义产品的关键质量特性以及对其有显著影响的因素； 第二步，进行试验设计，采集试验数据； 第三步，建立响应曲面拟合模型； 第四步，建立和求解优化模型，确定相应的可控因素水平； 第五步，实施确认试验。 图2 4 1基于响应曲面法的稳健设计流程图 ( 2 1 7 ) 硕士论文 多元稳健设计方法及其应用研究 3 多元稳健设计的参数规划方法 3 1 质量特性值的无量纲化处理 产品过程的质量特性多种多样、量纲也不一定相同，所以首先需要统一这些质量 特性的量纲。若质量特性】，为望目特性，其目标值为丁，上下规格分别为u s l 和l 钇， 将】，进行无量纲化处理： 2 i 】，一列 y 2 赢磊壶 o j ) 7 泌已一厶咒 、 若质量特性】，为望小特性，其目标值为丁，最大可接受值或上规格为艺，其无量纲 处理公式为： y = 等 ( 3 2 ) y 2 西 对于望大特性i ，其目标值为丁，最小可接受值或下规格为z ，对其进行无量纲处 理： r 一】， y 2 两 不管是望目特性、望小特性还是望大特性， 且目标值都为0 ，上规格限为1 。 3 2 基本模型 ( 3 3 ) 经过这样处理之后，质量特性y o ， 假设一个过程产品有p 个质量特性，i g y = m ，y 2 i t oo l t y ，】7 是由p 个无量纲化处理后 的质量特性值组成的向量。假定考虑该过程产品受到k 种可控因素毛，x 2 ，x k 和厂种噪声 变量互，z 2 ，- - z ，的影响，建立y 的响应面模型如下： y = o x ”) + a z ”+ ( 3 4 ) 其中： 一x ( ”是一个g 1 阶的向量，它由常数项、可控因素的一阶项、交叉项、二阶项甚 至三阶项构成： 3 多元稳健设计的参数规划方法 硕士论文 一。是一个g p 阶的系数矩阵； 0 = x ( ”) 2 气。 瓯毛 巳 ； 气唯 1 五 艺 黾 茸 毛吃 五黾 吃 芬一一一磊椭 ；! i 巳鼍h 铁而吨而黾 ：i i 乃耽呓 o 一叠 ： o y l x 2 x ko y 2 x 。x k o o y p x 2 x t ： ( 3 5 ) ( 3 6 ) 其中，巳，为第j 个响应t 屯项的系数； 一z ”是一个r ( k + 1 ) l 阶的向量，它包含所有的噪声因子以及噪声因子和可控因子 的交叉项： 1 2 咖； 一 一 ； 硕士论文 多元稳健设计方法及其应用研究 z ( ”) = ( 3 7 ) 一a 是一个，( 后+ 1 ) p 的系数矩阵，它包含一阶噪声因子的系数以及噪声因子和可 控因子交叉项的系数： a = 8 m8 y a 色毛t & 电气& a 毛 以a 屹毛 = a c 叫z ”) a + 置。 其中c 州z ”) 是一个【( 后+ 1 ) 厂k + 0 r 阶的矩阵： ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 0| ； 弓j 鬈5丐哆5 名一鬈；弓名一 丐。 丐l j ； 毒巧 毛芝_ l 弓z t 毛弓z ，辱之，弓丐z ， ；。iji。； 222 名丐 露。弓焉嘎， 。，弓巧， ， 鬈5名再 名5气| ； 。嘎。 乞。 2 j ；巴弓丐巴弓 l s丐焉气 丐曩丐气。 丐巴。 ；i。；i； i i ： x t o 铲l x i oz f l x i o z f t蔫k o 气x x i d h x i o l l x t o x 、x t o ￥?x t 口 222 o 。x dz x p 。j 。鬈5丐巧5 5仃? x r ?x e ? 22 1f # ， = t 丐吒。丐。 丐。5吒5 弓曩。 j；!； 222222 x 夕i | x 夕v ?x t o v ?j ；巴55 名。 x t oz ? x k o z ? x i o | ? 其中o = l zj c o v ( z ”) ( 3 i i ) 为毛和乃间的协方差，口i 为z f 的方差。 可以被简化表示为： c o v ( z ”) = ： 【x ，) x ，) 】= ：。 ( 3 1 2 ) 其中x 7 = 【1 ，五，艺，五】，：是噪声因子的方差一协方差矩阵。因此： 硕士论文 多元稳健设计方法及其应用研究 v a k y ) = a z ? a + x 。 3 3 均值和方差协方差矩阵的估计 ( 3 1 3 ) 通常我们使用最小二乘法对式( 3 1 ) 中的系数进行估计，因： e ( o 7 x ( 耐) = o ，x ( ”) = e ( y )( 3 1 4 ) 从而可以得到质量特性均值向量的无偏估计如下： 应( y ) = 6 ，x ( _ ( 3 1 5 ) k o 在文献【1 3 】中提出： ，一= y + ， ( 3 1 6 ) - ，。一_ yt - ， u ， 其中，金，为y 的方差一协方差矩阵的估计，即： y = v a r ( y ) ( 3 1 7 ) 其中，氩是一个反映o 预测质量的无偏估计量： 杰叠= x ( m ( x ，x ) 一1 x 伽) v a t ( y ) 0 i s ) 式( 3 1 3 ) 中，为试验次数，x 是关于x ”的n x q 阶的设计矩阵。因此， 杰，一= ( 1 + x m ( x x ) 一1 x m ) 金y ( 3 1 9 ) 根据文献【2 0 】中的结论，可知，的无偏估计为： 金y 。，西协= 电呱y ) 。蛐= 左芑? 左+ ( 1 一驴卯p ( ? ( x ：x a ) 一1 ) ) 金。 ( 3 2 0 ) 其中，x a 是关于z ”的n xr ( k + 1 ) 阶的设计矩阵，舭肼( ? ( x x a ) 一1 ) 这一项可以被 看作是由a 的估计误差产生的方差成分，如果考虑a 的估计质量，则： 金，= v a t ( y ) = 公，? 左+ ( 1 一慨e ( ( x ：x a ) 一1 ) ) 宝。+ 咖口c p ( ? ( x ：x a ) 一1 ) 宝。= 左? 左+ 金。 f 3 2 1 ) 即： 金多一= ( 1 + x m ( x x ) 一1x m ) ( 左，? 公+ 金。) ( 3 2 2 ) 其中宝。可以根据实验数据算得。 3 4 多元稳健设计中整体波动的度量 解决多元稳健设计问题的一个关键点和难点就是如何确定多元质量特性整体波 动的度量，这种度量应当能够全面地反映多元质量特性整体波动的大小。在单变量稳健 1 s 3 多元稳健设计的参数规划方法 硕士论文 设计的情形下，质量特性y 的波动通常用方差d ( y ) = t y 2 进行度量，或者用田口建议的 s n 比来度量。对于多元问题，作为单变量d ( y ) = 盯2 的推广，我们考虑随机向量y 的方 差一协方差矩阵，。然而，方差一协方差矩阵反映的是单个质量特性的波动以及两两指 标之间的相关性，它并不是一个度量向量y 整体波动的数量值。 田口提出了综合s n 比法【3 射，这种方法将各个质量特性的s n 比分别计算出，相加 得到综合s n 比。t o n g 考虑到各质量特型的权重，提出多元s n 比( m r s m 【3 5 1 。但这些 度量方式都没有考虑质量特性的之间可能存在的相关关系，所以不能作为度量整体波动 的最佳方法。 在文献f l o 】f 1l 】中，都使用了t r a c e ( c ，( x ) ) 来度量系统波动造成质量损失，将其展 开后可以发现，这种度量其实和文献【1 7 】相同，都是各方差、协方差的加权和： 三( y ) = q 砰+ 勺西 ( 3 2 3 ) i = ii = li j 这种方法存在的问题在于，大多数情况下权重矩阵c 是对角线矩阵，即： 咯= o ( i = l ，2 ，m ，j = l ，2 ，mf ，且l ，l 0 时，y 的熵 为l o g ( 2 刀 e ) zi ，lz 。此时，y 的熵恰为其方差一协方差矩阵行列式的单调可逆函数。因此， 可用该行列式作为y 波动的度量【3 6 】。当我们使用双响应面模型对y 的期望值和方差一协方 差矩阵建模时，可以获得度量y 的波动的估计： l 奎，( x ) i = ( 1 + x m ( x 7 x ) 。1x ) ( 左? 左+ 宝。) ( 3 2 6 ) 3 5 多元稳健设计的参数规划方法 1 6 为了实现多元稳健设计的目标，我们将多个质量特性的整体波动作为优化的目标。 硕士论文 多元稳健设计方法及其应用研究 在减小系统整体波动的同时，也需要对个质量特性的均值与其目标制之间的偏差进行控 制。 在这里，我们使用参数规划的方法，将减小波动作为优化目标，把对偏差的控制作 为约束条件。在约束条件中，我们引入参数元( o a 1 ) ，决策者可以选择不同的参数名， 来设定对均值进行控制的严格度。式( 3 2 6 ) 为需要优化的目标函数，我们建立参数规 划模型如下： m i n z - - - - l 姗( x ) i sr 其中q 为向量x 的联合取值空间，0 见1 。该模型即为： m i n z = l ( 1 + x 地x ，) 【) 一lx ( m ) ( 左霉左+ 宝。) i st n x q 6 ，x ( m ( 3 2 7 ) ( 3 2 s ) 对于所有的名可能的取值，若模型存在可行解，则可以求其相应的最优解x ：，并 且最终可以得到上述参数规划模型的p a r e t o 最优解集。 3 6 基于数据确定彳取值的方法 当决策者缺少相关的工程知识或先验信息时，旯的取值是难以确定的。因此需要一 种方法，可以客观的选择相对合理的五的取值。 由参数规划模型的p a r a t o 最优解集，我们可以求得解集中每一个最优解相应的 e “( y ( x ) ) 和l 宝姗( x ) l ，记： 其中，o 属( x + ) ，p ：( x + ) ，p ，( x ) 1 。 应( y ( x + ) ) = 矗( x + ) 应( x + ) 忽( x + ) ( 3 2 9 ) 1 7 v | y e 、 p 。( x + ) 的取值在空间中描点。以p = 2 为例，这个点集在三维空间中可以组成一个平滑 的曲面。已知z 、a ( x ) ，忽( x + ) p ，( x ) 最理想的取值都为0 。因此我们在这个曲面上找 一点d ( z d ，矗( x + ) d ，及( x + ) d ) ，这一点距离原点o ( o , o ，o ) 的距离比曲面上其它所有的点 都近。随后与d 点相应的名的取值也可以算出，记为厶，那么相应的可控因素取值即 最优解决方案就可以求得了。 将上述求解过程进行梳理，得到多元稳健设计参数规划法的实施步骤，如图3 6 1 ： 1 8 硕士论文 多元稳健设计方法及其应用研究 图3 6 1多元稳健设计参数规划法的流程图 1 9 4 多元稳健设计模型的验证和分析硕士论文 4 多元稳健设计模型的验证和分析 第三章分析了多元稳健设计问题的特点，提出了建立模型的方法和流程并讨论了求 解模型的方法。本章将通过实际的例子来说明上一章提出的多元稳健设计方法的应用。 同时对结果进行分析。 4 1 某型号手机壳的注塑过程介绍 手机壳一直以来是注塑行业的重要组成部分，除了极少部分手机壳采用金属壳之 外，绝大部分都采用注塑的塑料壳。一般而言，一幅完整的手机壳至少有两个注塑件， 随着手机式样以及品种的增加，构成一幅手机壳的组件有增加的趋势。图4 1 1 时某型 号的手机的前面板支架的平面造型。 图重1 1 某型号手机的前面板支架 该型号手机外壳的原料与配方：通常，用来成型手机壳零部件的热塑性塑料主要有 改性p c ( 聚碳酸酯) 、p a t ( 聚苯并噻唑) 、p o m ( 聚甲醛) 以及改性a a s ( 丙烯腈丁二烯苯 乙烯) 等。该型号手机的前面板支架所采用的原料是通用阻燃a b s 与普通p c 的共混物， 具体比例为6 5 ：3 5 ，本色。 4 2 确定研究的质量特性 大部分塑料加热后会膨胀，冷却后会收缩，加压后体积也将缩小。在注塑成型过程 中，首先将熔融塑料注射入模具型腔内，填充结束后熔料冷却固化，从模具中取出塑料 件时会出现收缩，该收缩成为成型收缩。目前确定各种塑料收缩率的方法，一般使用德 国国家标准中d i n l 6 9 0 1 的规定。收缩率s 由下式表示【3 9 j ： s = 1 d - 厂a i l 。 ( 4 1 ) d 、7 其中d 为模具尺寸( 单位为m m ) ：m 为塑料件的尺寸( 单位为m m ) 。材料收缩率越小越好， 即最小值和目标值都为o ，最大不可以超过0 4 。 硕士论文 多元稳健设计方法及其应用研究 沉降斑是注塑成型制品的重要表面缺陷之一，由保压过程的热收缩引起。在注塑成 型中，热熔体充入模腔，与冷模壁接触后迅速冷却。就会在表面形成薄的凝固层包围着 热熔体，随后芯部热熔体冷却并产生收缩，如果收缩熔体没有得到足够的补偿，外部皮 层就会下沉形成沉降斑。在制品厚壁部分和壁厚突变处容易产生沉降斑。由于沉降斑的 深度在实际中很难测量，因此本文采用数值模拟来获取沉降斑指数的数据。在成型过程 中，应尽量使沉降斑指数到最小，最大不能超过0 6 。 因此确定注塑成型过程