（教育学专业论文）apos理论下的高中平面向量教学研究.pdf

摘要 数学教学是数学活动的教学，是以学生为主体的学和教师为主导的教所组成 的双边统一活动当前上海二期课程改革将改善学生的学习方式和改变教师的教 学行为作为课程改革的重要任务和衡量课程改革成功与否的重要因素现行的学 科教学中，重视从激励学生“学 的角度思考教学问题，并着手改革片面的知识 教育，克服教学过分强调知识传承和技能训练的倾向，采用或加强探究教学，提 倡学生主动参与、探究发现、交流合作的学习方式a p o s 理论作为一种建构主 义的学习理论是为数不多的依据数学学科特点而建立起来的数学理论强调在学 习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现实背景，并要求学生开展各种各 样的数学活动，活动中学生在已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽 象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而达到建构数学概 念的目的因此，将a p o s 理论应用于数学概念教学具有重要的意义 向量是近代数学中的重要和基本的概念，是人们用来描述和刻画现实世界的 工具之一同时，它还是沟通代数、几何、三角的桥梁通过学习平面向量，学 生能加深对数学的认识，为他们的后继学习和发展打下基础数学教育的发展趋 势表明，平面向量在中学数学中的地位越来越重要同时，向量的概念又是学生 较难深刻理解的数学概念之一，本文在对传统教学观下的向量教学进行反思的基 础上，探讨应用a p o s 理论指导高中数学向量教学 本研究主要分为三部分：理论部分主要介绍a p o s 理论的理论基础、理论内 涵，理论模型，以及a p o s 理论特征等，a p o s 理论应用于向量教学的可行性与 必要性，a p o s 指导教学的操作模式；第二部分为a p o s 理论下平面向量的教学 案例的实验研究；总结与反思部分给出了本研究的结论，教学建议，本研究的不 足和今后研究方向 本研究在参考已有的研究基础上，采用的方法是文献分析法、问卷调查法， 并结合教学案例分析，主要从用a p o s 理论进行教学能提高教学效率入手，论证 a p o s 理论进行教学对学生理解向量的概念的影响 关键词a p o s 理论：平面向量；概念教学：教学研究 a b s t r a c t j 7 y 2 0 9 6 3 8 8 栅纱 t h et e a c h i n go fm a t h si st h et e a c h i n go fm a t h e m a t i ca c t i v i t i e s i t sa l l i n t e g r a t i o no fs t u d e n t sl e a r n i n ga c t i v i t ya n dt e a c h i n go nt h et e a c h e r sp a r t p r e s e n t l y , t oi m p r o v et h es t u d e n t s l e a r n i n gs t y l ea n dt h et e a c h e r st e a c h i n gm e t h o di ss e ta sa m a j o rt a s ki nt h es e c o n dp h a s eo fs h a n g h a ic u r r i c u l u mr e f o r m i n gp r o j e c t ，w h i c hi s a l s oa l li m p o r t a n tf a c t o ri na s s e s s i n gt h es u c c e s so ft h ec u r r i c u l u mr e f o r m p r e s e n t t e a c h i n gf o c m e so ne n c o u r a g i n gs t u d e n tl e a r n i n g a n ds t a r t st oa w a yf r o ma k n o w l e d g e b a s e dt e a c h i n gm e t h o di n o r d e rt oo v e r c o m et h et e n d e n c yo fo v e r e m p h a s i z i n gk n o w l e d g et e a c h i n ga n ds k i l lt r a i n i n g t h i st e a c h i n gp r i n c i p l ea d o p t s a n ds t r e s s e sa ni n q u i r yt e a c h i n gm e t h o d ，e n c o u r a g e st h es t u d e n t s i n i t i a t i v e ，i n q u i r y a n dc o o p e r a t i v el e a r n i n g a sac o n s t r u c t i v et h e o r y , a p o st h e o r yi so n eo ft h ef e w m a t h e m a t i ct h e o r i e sb a s e do nt h eu n i q u ef e a t u r e so ft h em a t h e m a t i cs u b j e c t i th o l d s t h a ti nl e a r n i n gm a t h e m a t i cc o n c e p t s ，f i r s to fa l lt h em a t h e m a t i cp r o b l e m si nq u e s t i o n s h o u l db er e l a t e dt os o c i a lr e a l i t y t h es t u d e n t sa r er e q u i r e dt ot a k ep a r ti nv a r i o u s m a t h e m a t i ca c t i v i t i e s ，i nw h i c ht h es t u d e n t sm a k en e c e s s a r yi n d u c t i o n sa b o u tt h e h a c k 掣o u n da n dd e f i n i t i o n o ft h er e l a t i v e c o n c e p to nt h eb a s i s o fh i s p r e v i o u s k n o w l e d g ea n de x p e r i e n c e ，c a r r y i n go u tc a l c u l a t i o na n da b s t r a c t i o ns oa st oc o n s t r u c t t h ec o n c e p t t h e r e f o r e ，i ti so fg r e a ti m p o r t a n c et oa p p l ya p o st h e o r yi nt e a c h i n g m a t h e m a t i cc o n c e p t s v e c t o ri sab a s i cm a j o rc o n c e p ti nm o d e r nm a t h e m a t i c s ，at o o lw h i c hp e o p l eu s e t od e s c r i b et h ew o r l d a tt h es a m et i m e ，i ts e l v e sa sab r i d g el i n k i n ga l g e b r a , g e o m e t r ya n dt r i g o n o m e t r y s t u d y i n gp l a n ev e c t o rd e e p e n ss t u d e n t s u n d e r s t a n d i n g o fm a t h e m a t i c sa n dl a y saf o u n d a t i o nf o rt h e i rf u r t h e rs t u d ya n dd e v e l o p m e n t t h e t r e n do fm a t h e m a t i c st e a c h i n gh a ss h o w nt h ei n c r e a s i n gs i g n i f i c a n c eo fp l a n ev e c t o r i nh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s y e tt h eu n d e r s t a n d i n go f t h ec o n c e p to f v e c t o rp r o v e sa c h a l l e n g ef o rt h es t u d e n t s i nv i e wo ft h ea b o v em e n t i o n e d ，t h i se s s a yi n t e n d st o d i s c u s st h ea p p l i c a t i o no fa p o st h e o r yi nt e a c h i n gs e n i o rh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s b a s e do n ar e f l e c t i o no f t r a d i t i o n a lt e a c h i n gp r i n c i p l e i n t h i se s s a yc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ：p a r to n ed e a l sw i t ht h et h e o r e t i c a lb a s i s ， i m p l i c a t i o n , m o d e l ，c h a r a c t e r i s t i c so fa p o st h e o r y , a n dd i s c u s s e st h ef e a s i b i l i t ya n d n e c e s s i t yo fa p p l y i n ga p o si nt h et e a c h i n go fv e c t o ra sw e l la st h ea c t u a lt e a c h i n g m o d e l p a r tt w oi sa l le m p i r i c a ls t u d yo ft e a c h i n gp l a n ev e c t o ri nt h ep e r s p e c t i v eo f a p o st h e o r y t h ec o n c l u s i o na n dr e f l e c t i o np a r ts t a t e st h ec o n c l u s i o n , s u g g e s t i o n f o rt e a c h i n g ，w e a k n e s sa n do r i e n t a t i o nf o rf u r t h e rs t u d y t h i sr e s e a r c hi sb a s e do np r e v i o u ss t u d y , t a k i n gt h em e t h o do fl i t e r a t u r er e v i e w , q u e s t i o n n a i r ea n dc a s ea n a l y s i s s t a r t i n gf r o mt h ei d e at h a ta d o p t i n ga p o st h e o r y i m p r o v e st e a c h i n ge f f i c i e n c y , t h i sr e s e a r c ht r i e st oe x p o u n do nt h ei n f l u e n c ew h i c h a p p l y i n ga p o st h e o r yi nt e a c h i n gh a so nt h es t u d e n t s c o m p r e h e n s i o no f t h ec o n c e p t o f v e c t o r k e yw o r d s ：a p o st h e o r y ；p l a n ev e c t o r ；t h et e a c h i n go fc o n c e p t s ；t e a c h i n g r e s e a r c h i v 上海师范大学硕士学位论文 第1 章问题的提出 第1 章问题的提出 1 1 研究背景 数学教学是数学活动的教学，是以学生为主体的学和教师为主导作用的教所 组成的统一的双边活动然而在基础教育阶段，数学教学中存在的问题和弊端不 断显现，课程实施过程中基本以“书本、课堂和教师为中心，上课主要以教师 主动讲授、学生被动接受为主，学生通过死记硬背公式定理，生硬机械模仿教师 解题来学习数学在高中数学教学过程中，由于长期以来被应试教育的观念所影 响，一味地追求升学率，教师中还存在这样的传统教学观念：把知识看成是定 论，重结果轻过程；把学习看成是知识从外到内的输入，重灌输轻引导：忽 视学习者的认知能力、知识经验及其差异性，重“教 轻“学 这些严重影响 了学生对数学的理解，也影响了学生的全面发展和综合素质的提高改变这种传 统教学观念，促成主动、开放、有效的教学，这是当代教学改革关注的核心问题 我国的新课程改革至今，一个重要的具体的目标就是改变长久以来存在的学 生被动接受、大量反复操练的普遍现象当前上海二期课程改革将改善学生的学 习方式和改变教师的教学行为作为课程改革的重要任务和衡量课程改革成功与 否的重要因素同时上海市教委制定的上海市中小学数学课程标准明确指出 数学课程应充分关注学习过程，引导学生探索求知数学课程不仅应重视教学的 内容和要求，更应充分关注课程中的学习过程，创设有利于学生发挥主体性和创 造性的条件要遵循学生认知心理发展的规律，合理组织教学内容；要展现知识 的发生、发展、形成和应用的过程，加强数学学习的活动，提供学生亲身感受、 体验的机会n 托不难发现在现行的学科教学中，重视从激励学生“学 的角度思 考教学问题，并着手改革片面的知识教育，克服教学过分强调知识传承和技能训 练的倾向，采用或加强探究教学，提倡学生主动参与、探究发现、交流合作的学 习方式，即教学必须谋求促进学生的全面发展，培养学生积极主动学习的愿望和 能力因此，寻找适合新形势的教学理论和教学方式是我们教育工作者面临的一 个重要课题 1 2 研究的意义 1 2 1 建构主义的数学学习观与教学观 上海师范大学硕士学位论文 第1 章问题的提出 用建构主义学习理论指导数学教学就形成了建构主义的数学学习观和数学 教学观 数学学习观是指对数学学习本质的认识，建构主义认为：数学是人类建构的 产物，因此，数学知识的学习便是典型建构学习的过程数学学习并非是一个被 动的接受过程，而是一个主动的建构过程，是主体在自己的头脑中建构与发展数 学认知结构的过程妇1 一个人的数学知识必须基于他对经验的操作、交流，通过 反省抽象来主动建构也就是说，教师所教的数学知识，必须经过学生主体感知、 消化、改造，使之适合他们自己的数学结构，才能被理解、掌握，并且经过反思， 与环境的交流，进一步改善自己的数学结构这就是建构主义的数学学习观数 学建构主义学习，是主体对客体进行思维构造的过程，是主体在以客体作为对象 的自主活动中，由于自身的智力参与而产生出个人体验的过程客体的意义正是 在这样的过程中建立起来的，“自主活动 、“智力参与”和“个人体验 ，就 是数学建构主义学习的主要特征口n 7 建构主义学习观体现了三个重心的转移， 从关注外部输入到关注内部生成，从“个体户”式学习到“社会化”的学习，从 “去情境”的学习到情境化的学习嘲建构主义的数学学习观强调数学知识的动 态性，强调数学学习的建构性、社会性和情境性，对于改变传统教学观念、实现 主动、有效的教学具有重要意义 数学教学观是对数学教学的本质以及学习数学的认知过程的一种认识建构 主义学习理论认为，数学教学是“数学认知结构建构的教学教师以学生的认 知结构特点及其变化规律为依据，对数学教学的过程进行精心的设计、组织、协 调、监控和评价，以确保建构目标的实现建构主义教学观认为学习是主体通过 对客体的思维构造，在心理上建构客体的意义所谓“思维构造 是指主体在多 方位地把新知识与多方面的各种因素建立联系的过程中，获得新知识意义 口 1 6 “建构同时是建立和构造关于新知识认识结构的过程“建立一般是指 从无到有的兴建；“构造”则是指对已有的材料、结构、框架加以调整、整合或 者重组主体对新知识的学习，同时包括建立和构造两个方面，既要建立对新知 识的理解，将新知识与己有的适当知识建立联系，又要将新知识与原有的认知结 构相互结合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构可见建构新知识的过 程，既建构了新知识的意义，又使原认知结构得到了重建 2 上海师范大学硕士学位论文 第1 章问题的提出 任何创造活动必须以一定的学习作为必要的基础，而学习实质上就是一种文 化继承的行为一般而言，人们不能自发地形成数学思维，因此，强调数学学习 是学生主动的建构过程，并不能否定数学教师在数学教学过程中的重要作用在 教学过程中，教师是教学的设计者、示范者、启发者、组织者、促进者、调控者 和评判者，教师应当发挥重要的“导向作用 1 2 2 a p o s 理论一种建构主义的学习理论 a p o s 分别是由英文a c t i o n ( 操作) 、p r o c e s s ( 过程) 、o b j e c t ( 对象) 和s c h e m e ( 图 式) 的第一个字母所组合而成这种理论认为，在数学学习中，如果引导个体经 过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上 把它们组成图式，从而理清问题情景，顺利解决问题，这就是a p o s 理论晦3 a p o s 理论是一种建构主义学习理论，该理论集中于对特定学习内容数学概念学习 过程的研究，它指出学生数学概念学习过程是建构的，并表明建构的层次强调 在学习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现实背景，并要求学生开展各 种各样的数学活动，活动中学生在已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省 抽象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而达到建构数学 概念的目的 1 2 3a p o s 理论下的高中向量教学研究的实际意义 向量在现代数学、物理学、工程学、空间物质结构中的广泛应用，向量进入 中学数学教材，是近年来我国教学改革的一个主要特征，因为它是一个具有几何 和代数双重身份的概念，具有特别广泛的教育价值高中课程标准中向量的内容 和要求较过去的教学大纲都发生了不少变化，面对新教材我们必须研究新教材中 向量内容的编写特点，研究新教材中如何体现新课程理念，只有这样我们才能用 好新教材，也才能更好地开展向量的教学广大教师在这几年的向量教学中积累 了一些好的教学经验和方法，我们要学习和借鉴，在新课程中向量教学还有哪些 方法和要求，如何在适合新形势的教育理论指导下，提高教学质量和效率，促进 学生的全面发展，加深学生对数学概念的理解，这是我们必须研究的 综上所述，在目前高中学生对平面向量概念的理解情况下，针对向量教学在 高中数学中的重要地位，本文拟应用a p o s 理论以高中学生为对象进行平面向量 概念的教学研究，希望能为高中数学教学提供有效的参考 上海师范大学硕士学位论文 第2 章a p o s 理论研究综述 第2 章a p o s 理论研究综述 2 1a p o s 理论的起源与发展 a p o s 理论是美国数学家杜宾斯基( e dd u b i n s k y ) 提出的，他直到上世纪8 0 年代末期才开始从事数学教育的研究，而他的关于a p o s 的文章最早出现在由韬 尔( d a v i dt a l l ) 主编的高等数学思维( t a l l ，1 9 9 1 ) 上杜宾斯基等人指出a p o s 理论起源于作者试图对皮亚杰的数学学习的“自反抽象 理论进行拓展的一种尝 试7 所谓“自反 ，就是返身、反思，自己作了实践性活动，然后“脱身 出 来，作为一个“旁观者来看待自己刚才做了些什么事情，将自己所做过程置于 被自己思考的地位上加以考虑，这时自己的活动变为思考的对象，并归结出某个 结论，就是“自反抽象 作为著名的心理学家、哲学家的皮亚杰的观点对西方 数学思维的研究可以说影响深远皮亚杰认为，数学抽象活动的基本性质是一种 “自反抽象 ，从而与通常所谓的“经验抽象有着重要的区别具体地说，按 照皮亚杰的观点所谓的“经验抽象 即是以真实的事物或现象作为直接的原型， 也即是由一类物质对象中抽象出共同的特性，与此相反，“自反抽象 却并非是 关于物质对象的，而只是涉及到了人类施加于物质对象之上的活动，或者说，这 即是对人类自身活动进行反思的直接结果皮亚杰的这一观点从一个侧面指明了 数学学习的一个重要特点，特别是数学抽象活动的间接性这就是说，数学抽象 未必是以真实事物或现象为原型的直接抽象，而可以是以己得到建构的数学对象 为原型的间接抽象，也即是在更高的层次上去对已有的东西重新进行建构显然， a p o s 理论就在于指明了这种建构的途径和方式无论是“经验抽象 ，还是“自 反抽象，在经过操作、过程、对象、图式等阶段后才能完成数学对象、数学思 维的建构和提升 自2 0 世纪8 0 年代以来，美国高校普遍进行课堂教学模式的改革，由“范例 教学 、“交互式教学 和“小组合作学习 等模型构成，通过学生与教师、学习 伙伴、以及学习资源之间的互动，帮助学生构建知识、发展能力实践证明，这 种以培养学生创新能力为目标的课程教学模式，满足了教学目标多元化、学习方 式多样化和学习过程个性化的需求，促进学生创造性地运用所学知识，培养团队 合作能力、自主学习能力和独立研究能力a p o s 理论就是在这种社会背景下产 生，由美国教育学家杜宾斯基8 0 年代提出的，在9 0 年代成熟，由美国个叫“大 4 上海师范大学硕士学位论文第2 章 a p o s 理论研究综述 学教育共同体”( u n d e r g r a n d u a t em a t h e m a t i c se d u c a t i o nc o m m u n i t y ) 的组织具体整 理数据加以研究，并在大学教学中迅速推广，在高校教学改革中取得很大成功 目前a p o s 理论在国外较为盛行，己经在很多方面得到了广泛的应用 6 1 1 s 如： 由m a r i l y nc a r l s o r n , d u b i n s k y , g u e r s h o nh a r e l 等人所做的函数概念方面的研究：由 d u b i n s k y , u r i l e r o n 以及由r u m c e 中部分成员所做的抽象代数问题的研究；离散数 学问题，如数学演绎、置换、对称以及表示存在和所有的量词；微积分问题；统 计学中的问题除了上述提及的研究之外，还有一些研究中也运用了a p o s 理论， 如加拿大s i m o nf r a c r 大学的r i n az a z k i s ，在检验数学实习教师对以n 位数为基础 的位值和小数点的转换这两个问题的理解时运用了这个理论他研究的目的之一 是想了解为高等数学思维而开发的a p o s 理论是否对研究学生理解基础数学同 样有帮助以色列h a i f a 大学的i l a n aa r n o n 在观察学生对分数的理解时发现，把 a p o s 理论、p e r l an e s h e r 的知识论和范例成分( 它结合了皮亚杰和维果茨基的理 论) 相结合起来很有效在美国及很多国家的论文和会议中都可以看到引用a p o s 理论的例子，例如芬兰的s e s k ur e p o o ，以及巴西和墨西哥许多学生的学术论文 2 2a p o s 理论模型 a p o s 理论是一种建构主义学习理论，集中于对特定的学习内容一学习数学 概念的过程进行研究杜宾斯基认为学生学习数学概念需要进行心理建构，这个 建构过程要经历以下4 个阶段( 以向量数量积的概念为例) ： 第一阶段操作( a c t i o n ) 阶段 学生进行数学学习时，和数学家们一样需要亲自投入实验，通过实际的经验 来获得知识，但这种实践性与物理、化学、生物等学科的观察实验行为有所不同， 数学活动还需要实际的操作演算( 数学认知的基础性行为) ，或者是头脑中的操作 思维实验，如果没有实际或思维的操作，数学概念就是无源之水，无本之 木具体来说，操作指的是个体对于感知的对象进行转换，这个对象实质是一种 外部刺激比如说向量数量积的物理背景学生在学习了向量的线性运算后知道 向量可以进行加减运算，一个很自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢? 通过 前面的教学，学生都知道向量概念的引入与物理学密切相关，那么能否在物理学 中找到类似的例子呢? 继而想到一个物体在力厂的作用下产生位移s 的例子，当 上海师范大学硕士学位论文 第2 章a p o s 理论研究综述 一个物体在力7 的作用下产生位移；时，那么力7 所做的功形= 阴冈c o s o ，其中 力7 和位移；都是向量，而功w 是一个数量，在这个运算中既涉及到“长度”， 也涉及到“角i p 9 9 且结果只和向量厂和s 有关，这就启发我们把上面的式子解释 为两个向量间的一种运算，这样使学生对向量的数量积的概念有一个感性认 识这个过程就是操作 第二阶段过程( p r o c e s s ) 阶段 不断重复这种操作，学生从中得到不断反思，于是就会在人脑中进行一种内 部的心理建构，即形成一种过程模式这种过程模式使得操作呈现出自动化的表 现形式，而不再借助于外部的不断刺激例如，将上面力做功的例子一般化，将 力7 和位移；，一般化为两个任意的向量三和云，向量三和舌的夹角为0 ，从而引 进向量的数量积的定义：如果两个非零向量a 、b 的夹角为0 ( o 0 l ) ，那么 把剐舌i c o s on q 做a ，云的数量积( 或内积) 记作：a o b ，即三云= 剐云l c 。s 0 将 概念在过程阶段表现为一系列的步骤，有操作性，相对直观，容易让学生认识两 个向量通过这种运算后，就有另一个数与之对应，他们就完成了过程模式的建 构概念在过程阶段表现为一系列的步骤，有操作性，相对直观，容易模仿学会， 学生可以经过操作从过程入手体会概念中相关信息的联系 第三阶段对象( o b j e c t ) 阶段 概念发展到对象阶段，已不再是历时的程序、算法步骤了，而是呈现一种共 时的形态，一种结构，一个抽象的整体当学生意识到可以把过程看作是一个整 体，并意识到可以对这个整体进行转换和操作的时候，其实已经把这个过程作为 一个一般的数学对象，形成一个“实体”这时不但可以具体的去指明它所具有 的各种性质，也可以此为对象具体的去实施各种特定的数学演算所以作为对象 的概念，在某个层次和更高一级层次间起着一种枢纽作用：它操作别的对象，又 被高层次的运算来操作当概念进入对象状态时，便呈现一种静态结构关系，成 为一个“实体”，易于整体把握性质，这时一个完整的理解才真正成型从过程 发展到对象，期间需要反省抽象的作用，需要的是思考，是认知和建构等高级的 智力活动其中，必须要有某种水平的反思和建构，以过程为对象，挖掘、提炼 6 上海师范大学硕士学位论文第2 章 a p o s 理论研究综述 出超越它的深层意义，特别是要将自动化的行为操作转化为自觉的思考，变无意 识为有意识例如，将向量的数量积a b 作为一个整体的数学对象，可以探究它 的几何意义、运算性质等，通过对问题的辨析，认识到数量积的概念的本质，并 作为一个实体对象，参与到向量的线性运算等各种特定的数学演算中概念由过 程到对象的形成是一种渐进的建构过程，是困难漫长的，需要多次的反复，循序 渐进，螺旋上升，直至学生真正理解 第四阶段图式( s c h e m a ) 阶段 当个体对操作、过程、对象以及自己头脑中的原有相关的问题图式进行整合 就产生了新的问题图式，这种图式的特点和作用就是可以决定某些问题或某类问 题是否属于这个图式，从而做出不同的反应在这种持续建构的过程中，个体的 思维和认识状况已经上升到更高的层次，即对相关概念进行了更高层次的加工和 心理表征如上述向量数量积的概念在这个阶段以一种综合的心理图式存在于大 脑中，在整个数学知识体系中占有特定的地位这个心理图式包含具体的数量积 实例、抽象的过程、完整的定义，甚至和其他概念的联系与区别( 如向量的概念、 向量的线性运算、实数的运算等) 图式阶段是认知发展的核心，通常要经过长期的数学活动不断完善和建 构杜宾斯基指出：经过反思、提炼和拓展，图式的形成要经历单个图式、多个 图式和图式的迁移三个阶段单个图式只是注意离散的操作、过程、对象，而把 具有类似性质的其他知识点隔离开来；整体图式是注意了各个图式中蕴含的知识 点之间的关系和衔接，这时个体就能把这些知识点组成一个整体；只有到了图式 的迁移阶段，个体才能洞悉相关知识点之间的相互关系，并建构这些知识点之间 的内部结构，形成一个新的整体图式，并且能判断哪些问题存在于这个图式，哪 些问题超出了这个图式的范围 6 3 1 7 在整个环节中，相应的操作为图式的形成提 供了必要的基础 在经历操作、过程、对象之后而形成的图式具有下列特点：( 1 ) 丰富性，这 不仅指个体所形成的图式往往包含多种不同的成分，如有关的性质和过程等，而 且也可能以多种不同的形式得到表现；( 2 ) 特殊性，从某种程度上讲，数学对象 的图式从属于各个具体建构的人；( 3 ) 发展性，个体所形成的图式并非某种先验 的、绝对不变的东西，而且是依赖于不断的经验和学习，并处于不断的变换、发 7 上海师范大学硕士学位论文 第2 章a p o s 理论研究综述 展之中嘲1 7 2 3a p o s 理论的特征 a p o s 理论是一种建构主义的学习理论，它指出学生学习数学概念的过程是 建构的，并表明建构的层次口1 建构的四个层次一般不能逾越，应当循序渐进同 时又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须升华、逐级反省抽象，最后 完成数学概念的建构 a p o s 理论强调在学习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现实背 景，并要求学生开展各种各样的数学活动，活动中学生在已有的知识和经验基础 上通过思维运算和反省抽象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综 合，从而达到建构数学概念的目的这与新的课程标准所提倡的学生主动建构是 相一致的，顺应了当前数学教育的改革要求 a p o s 理论揭示了数学概念学习的本质，充分体现了数学概念的二重性从 学习心理学角度分析，a p o s 理论的四个学习层次分析是合理的，反映了学生学 习数学概念过程中真实的思维过程其中的操作阶段是学生理解概念的一个必要 阶段，通过活动让学生亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的关系；过程阶 段是学生对活动进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进 行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；对象阶段是通过前面的抽象，认识到 了概念本质，对其赋予形式化的定义和符号，使其达到精致化，成为一个具体的 对象，在以后的学习中以此作为对象去进行新的活动；图式阶段的形成要经过长 期的学习活动来完善，起初仅仅包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号， 经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的心理图式 2 4a p o s 理论国内相关研究 在理论方面，张奠宙先生在数学教育概论中简要解释a p o s 理论，让我 们对这个理论有了一些初步认识；乔连生先生在全球教育展望中发表了 a p o s ，一种建构主义教学理论，使我们进一步认识了a p o s 理论的内涵；苏 州大学鲍建生等在数学学习的心理基础与过程一书中对a p o s 理论做了详细 的介绍渤海大学教育硕士研究中心张莹基于建构主义的数学学习理论介绍 了a p o s 理论的特点和发展趋势哺3 在教学方面，国内也做了许多研究在基础教育阶段，基于a p o s 理论的数 上海师范大学硕士学位论文 第2 章a p o s 理论研究综述 学概念教学研究已经涉及n d , 学、初中和高中各个学段例如西南财大唐艳的硕 士论文基于a p o s 理论概念教学设计，以“平面直角坐标系 为例应用a p o s 理论进行教学设计，并指出了应用a p o s 理论需要注意的问题3 福建师大郑秀 云硕士论文( ( a p o s 理论指导下的高中数学概念教学结合自己的教学经验，论 述a p o s 理论指导下的数学概念教学n 0 1 华东师大张伟平基于a p o s 理论的数 学概念教学探究，以抛物线的教学为例，进行与非实验班教学的比较研究得出 如下结论：无论是从时效还是从“活动”的“自动化生成的效度看，基于a p o s 理论设计概念探究教学是一个有效途径n 华南师大李柏华硕士论文基于 a p o s 理论的小学数学概念编排研究对人教版小学数学新教材中的概念编排进 行了详细、具体的分析，从a p o s 理论的视角找出人教版小学数学新教材中概念 编排的优势与不足，在此基础上提出了数学概念编排的一些建议n 羽咸阳师范学 院程华在操作中体验，从过程中感悟，在感悟种建构更加深入的分析了a p o s 理论对于概念教学的指导作用n 羽 许多方面的研究都集中于函数这一数学概念的认知分析和教学研究如华中 师大兰冲的硕士论文a p o s 理论下的函数概念认知及教学启示详细分析了 a p o s 理论下中学函数概念的建构层次，并提出了a p o s 理论下函数概念教学各 建构层次的具体目标，分析了学生在各建构层次中的典型问题，提出了可供中学 教学参考的教学建议n 钔广西师大周士民硕士论文基于a p o s 理论的高中函数 教学研究，以高一函数内容为例进行了对照教学实验研究n5 1 哈尔滨师大濮安 山，东北师大史宁中发表论文从a p o s 理论看高中生对函数概念的理解调查 了不同类型学校的不同年级的高中学生对函数概念的理解浙江师大徐玉蓉中 学生函数理解水平的调查与研究以a p o s 理论为基础，以函数概念为载体，分 别从操作、过程、对象、图式四个阶段研究了中学生函数概念的理解水平n 引苏 州大学周继云的硕士论文基于a p o s 理论的初中函数教学研究则以初中学生 为对象进行函数概念的教学研究，分别从操作、过程、对象、图式四个阶段研究 了不同年级的初中学生函数概念的理解水平，并提出教学建议 近年来，a p o s 理论下的教学研究也延伸到了数学的其他概念中如华中师 大任成竹的硕士论文a p o s 理论下的圆锥曲线教学探究从圆锥曲线的定义、 几何性质、直线和圆锥曲线的位置关系这三个方面进行了教学探究n 羽广西师大 9 上海师范大学硕士学位论文 第2 章a p o s 理论研究综述 莫韬的硕士论文基于a p o s 理论圆锥曲线概念教学实证研究进一步检验a p o s 理论概念教学模式应用于数学概念教学的实施效果n 引云南师大字文忠的硕士论 文基于a p o s 理论的极限概念教学改革实验研究在对极限概念教学重点系统 分析和对师范专科学生对极限概念认识层次调查分析基础之上，依据a p o s 理论 关于个体学习数学概念四个阶段的要求，从内容组织、教学方法和教学时间三个 方面进行了教学改革试验，并通过对试验结果分析，进一步完善教学方案啪1 华 东师大张中发硕士论文a p o s 理论下的数列教学研究结合教学案例分析，从 应用a p o s 理论进行教学能提高教学效率入手，论证对学生全面发展的影响心 然而，对于诸多的数学概念，目前应用a p o s 理论进行的教学研究的领域只 涉及n 4 , 部分，还有许多领域需要研究充实，例如向量的概念在高中阶段是一个 重要的数学概念，在新课改中向量这一内容愈加重要，高中生对向量概念的理解 也存在一定难度所以本文拟在对传统教学观下的向量教学进行反思的基础上， 探讨应用a p o s 理论指导高中数学向量教学 1 0 上海师范大学硕士学位论文 第3 章平面向量及其教学研究结综述 第3 章平面向量及其教学研究综述 3 1a p o s 理论应用的可行性 3 1 1 向量的形成与发展与a p o s 理论 ( 1 ) 向量概念的萌芽 向量又称为矢量，最初是被应用于物理学很多物理量如力、速度、位移以 及电场强度、磁感应强度等都是向量大约公元前3 5 0 年前，古希腊著名学者亚 力士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形 法则来得到 ( 2 ) 向量概念的形成 “向量”一词来自于力学、解析几何中的有向线段至1 7 世纪中叶，向量的 加法和数乘运算己经被人们广泛地运用于物理学等自然科学的研究当中最先使 用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿1 6 8 7 年，牛顿在其著作自然哲学 的数学原理一书中提到，物理中的几个概念：速度、动量和力，从其数学结构 上看它们是向量，即向量场的元素，并采用了有向线段来表示这些向量 ( 3 ) 向量概念的成熟 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起1 8 世纪末期， 挪威测量学家韦塞尔( c w e s s e l ) 首次利用坐标平面上的点来表示复数a + b i ，并 利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算把坐标平面上的点用向量表示 出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题人们逐步接受了复数， 也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样进入了数学 ( 4 ) 向量概念的发展与完善 但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上 的力作用于同一物体，则需要寻找三维“复数以及相应的运算体系但数学家 很快地认识到，不存在三元数组的运算来表示向量的运算1 9 世纪中期，英国数 学家哈密顿( w r h a m i l t o n ) 发明了四元数口+ 6 f + 巧+ 班( 包括数量部分和向量 部分) ，以代表空间的向量他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基 础随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量 部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析三维向量分析的开创， 上海师范大学硕士学位论文 第3 章平面向量及其教学研究结综述 以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于1 9 世纪8 0 年代各自独立 完成的他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元 数他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积，并把向量代数推广到变向 量的向量微积分从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善， 成为了一套优良的数学工具 从上面的叙述可以看到历史上向量概念的发展是分层次的，这与a p o s 理论下 向量概念建构的层次性具有相似之处起初，人们仅仅是根据某一具体的物理情 景归纳出向量，用有向线段表示向量，用平行四边形法则来解决力的合成，继而 解决向量的加法运算，具有较强的实际操作性，这与a p o s 理论的操作阶段对 应另外，从向量的发展来看，把向量的加法( 减法) 、数与向量的积和向量的数 量积看作新的运算，是以前所有“数的运算 的一个发展，在不断的比较、思考 的基础上在变化过程中寻找不变的东西，从动态到静态，抓住向量概念的本质特 征，达到对象阶段，形成向量概念相对稳定的认识，这个过程与a p o s 理论的对 象阶段对应在不断应用向量概念的实践过程中，将向量知识与所学知识相联系， 通过同化将其纳入已有的知识结构中，或者通过顺应建立新的知识结构；运用向 量的理论和方法，通过向量把空间图形的性质转化为向量的运算，继而研究空间 的直线和平面的各种有关问题，并且运用向量的理论和方法，又成为解决物理学 和工程技术的重要工具这样形成对向量结构稳定的认识，与a p o s 理论的图式 阶段对应因而，应用a p o s 理论指导向量概念教学具有可行性 3 1 2 向量概念的二重性 ( 1 ) 数学概念的两重性 在近几年的研究中，a n n as f a r d 等人的研究认为许多数学概念特别是代数概 念既表现为一种过程操作，又表现为对象、结构，具有二重性所谓过程指的是 具备可操作性的法则、公式、原理等，对象指的是数学定义中的结构关系比如： 向量的加法：。a + b 4 既表示两个集合中的元素合并或添加的过程，又表示合并或 添加后的结果 同一个数学概念常具有二重性：过程对象；算法一结果；操作行为一 一结构关系相应的就具有以下的特性：动态静态；细节整体；历时一 共时s f a r d 等人的研究进一步指出，概念的过程与对象这两个侧面有着紧密 1 2 上海师范大学硕士学位论文第3 章平面向量及其教学研究结综述 的依赖关系形成一个概念往往要经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程， 最终结果是两者在认知结构中共存，在适当的时机分别发挥作用陇1 ( 2 ) 代数、几何的两重性 向量，具有代数和几何的双重属性作为代数对象，向量可以