（管理科学与工程专业论文）极值统计模型族的参数估计及其应用研究.pdf

中文摘要 在人们的认知范围内，极值事件较少出现，然而一旦发生影响重大极值统 计理论的产生与发展，为这类随机事件的统计分析提供了理论依据本文主要 对极值统计模型族的特性、参数估计及其应用进行了研究论文在深入研究极 值统计理论的基础上，对极值统计模型族的适用范围进行了剖析；阐述了极值 分布的b a y e s 参数估计方法；构建了基于极值分布理论和c o p u l a 函数的随机向 量的相关模型，并对极值数据的尾部相关性进行了分析论文的主要工作如下： 1 数理统计的核心内容是统计推断，其中参数估计是统计推断的主要内容 之一论文从b a y e s 参数估计入手，采用m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ( m c m c ) 方 法，构建了极值分布的b a y e s 参数估计框架在此基础上对黄浦江某水文观测 站t 年一遇的最高水位进行了估计实例研究表明，用b a y e s 方法估计的最高水 位稍高于用极大似然估计得到的结果 2 相关性分析是金融资产风险投资的一个重要问题论文把极值统计分布 与c o p u l a 函数相结合，构建了相关模型- - m - c o p u l a - g p d 模型探讨了此模型 的参数估计及假设检验问题，并运用此模型对上海、深圳两股票指数之间的相 关结构进行了研究结果表明，两市场之间是一种非对称的相关模式 3 。极值事件是随机小概率事件，位于概率分布图形的左右尾部区域，极值 理论恰是着眼于对随机变量分布的尾部区域的研究论文在讨论了两个尾部相 关性度量指标，以及与其有关的尾部相关系数等尾部指标应用特点的基础上， 对上海股票市场收益率与成交量之间的极值相关性进行了探讨结果表明：收 益率与成交量之间具有一定的相关性 4 作为有效的金融风险度量工具，v a r 已经被广泛接受，其计算方法也 得到了不断的改进论文对目前存在的几种计算v l r 方法进行了分析和比 较，提出了g a r c h g p d 模型，并对深圳股市指数进行了实证研究结果表 明，g a r c h g p d 模型能有效捕捉金融收益序列的尖峰厚尾、波动聚集等特 性，在较高的置信水平下，g a r c h g p d 模型显示的结果更加安全进一步地， 对c v l r 进行了研究 关键词：极值理论；广义帕累托分布；贝叶斯分析；马尔科夫链蒙特卡洛方法； 极大似然估计；相关结构函数；相关性度量；风险价值 a b s t r a c t e x t r e m ev a l u ee v e n t sa r er a r e rt h a nt h o s ea l r e a d yr e c o r d e d ，b u tp r o f o u n d i n f l u e n c e sa r ep r o d u c e dw h e nt h e yo c c u r t h ep r o d u c t i o na n dd e v e l o p m e n to f e x t r e m ev a l u et h e o r yp r o v i d et h e o r e t i c a lb a s e sf o rt h e s er a n d o me v e n t s i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，t h ep r o p e r t i e sa n dp a r a m e t r i ce s t i m a t i o n so fe x t r e m ev a l u em o d e l s a n dt h e i ra p p l i c a t i o n sa r es t u d i e di n t e n s i v e l y a sar e s u l to ft h e s er e s e a r c h e s ， s e v e r a le x t r e m ev a l u em o d e l sb a s e do ne x t r e m ev a l u et h e o r ya r ea n a l y z e d t h e b a y e sm e t h o d o l o g yt ob eu s e dw i t h i ne x t r e m ev a l u ea n a l y s i si sa l s op r o p o s e d a n dd e p e n d e n c em o d e l sb a s e do ne x t r e m ev a l u et h e o r ya n dc o p u l af u n c t i o na r e a l s oi n v e s t i g a t e ds y s t e m a t i c a l l y s o m ed i s c u s s i o n sa r ed o n ef o rt a i ld e p e n d e n c eo f e x t r e m eo b s e r v a t i o n s t h em a i na c h i e v e m e n t so ft h i sw o r ka r el i s t e da sf o l l o w s ： 1 。t 1 1 ek e yp o i n to ft h em a t h e m a t i c ss t a t i s t i c si si n f e r e n c e a n dt h ep a r a r m e t r i ce s t i m a t i o ni so n eo ft h em a i nc o n t e n t si ni n f e r e n c e i nt h i sp a p e ra f r a m e w o r k - - t h eb a y e sm e t h o d o l o g yi sp r o p o s e da n dt h em a r k o vc h a i nm o n t e c a r l ot e c h n i q u e sa r eu s e dt om a k er a n d o mo b s e r v a t i o n sw h i c hh a v ep o s t e r i o r d i s t r i b u t i o n a n n u a ld a t ar e c o r d e do fh i g h e s tw a t e rl e v e li ns u r v e ys t a t i o n so f h u a n g p ur i v e ra x ea n a l y z e d a n ds o m er e s u l t sa r es l i g h t l yh i g hc o m p a r e dw i t h t h o s eo ft h ec o r r e s p o n d i n gl i k e l i h o o dm e t h o d 2 d e p e n d e n c ea n a l y s i si sac e n t r a li s s u ei np o r t f o l i oc o n s t r u c t i o n c o m b i n e w i t he x t r e m ev a l u em o d e l sa n dc o p u l af t m c t i o n st o g e t h e r ，m - c o p u l a - g p dm o d e l i se s t a b l i s h e d e s t i m a t i o na n dt e s tm e t h o d so fm - c o p u l a - g p da x es t u d i e dt o o t h i sm o d e li su s e dt os t u d yt h ed e g r e ea n dp a t t e r n so fd e p e n d e n c eb e t w e e n s h a n g h a ia n ds h e n z h e ns t o c km a r k e t s t h ee m p i r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tn o n s y m m e t r i cp a t t e r ne x i s t sb e t w e e nt h et w om a r k e t s 3 e x t r e m ee v e n t sw h i c hl o c a t ea tt h et w os i d e so ft h ed i s t r i b u t i o na r e s m a l lr a t ea f f a i r sf r o mt h em e a n i n go fs t a t i s t i c s a n de x t r e m ev a l u et h e o r yf o c u s o nt h e s et y p e so fe v e n t sb yl u c k t w od e p e n d e n c em e a s u r e sa n da s s o c i a t e d w i t ht h ec o e m c i e n to ft a i ld e p e n d e n c ea r ep r o v i d e di nt h i sp a p e r b a s e do i l t h e s ed i s c u s s i o n s ，n o v e ld i a g n o s t i cm e a s u r e sf o rd e p e n d e n c ea b o u tr e t u r n sa n d t r a n s a c t i o nv o l u m e so fs h a n g h a is t o c ki n d e xa r es t u d i e d t 1 1 ec o n c l u s i o n sd r a w n a r ea sf o l l o w s ：w e a ke x t r e m a ld e p e n d e n c ef o rt h es t o c kd a t a 4 a sav a l i df i n a n c i a lr i s kt o o l 7 废h a sa l r e a d yb e e na c c e p t e de x t e n s i v e l y ， a n di t sc a l c u l a t i o nm e t h o da l s og o tac o n t i n u o u si m p r o v e m e n t s e v e r a lm e t h o d s e x i s t e dc u r r e n t l yt oe s t i m a t e 眙田a r ea n a l y z e da n dc o m p r i s e d 。g a r c h g p d m o d e la r ep o i n t e da n du s e dt os h e n z h e ns t o c ki n d e x t h ee m p i r i c a lr e s u l t ss h o w t h a tt h eg a r c h - g p dm o d e lc a nt h o r o u g h l yc a p t u r et h ev o l a t i l i t yw h e nf a t t a i l e dd e n s i t i e sa r et a k e ni n t oa c c o u n t a n di t sc o n c l u s i o ni sm o r es e c u r et h a n o t h e rm o d e l s m o r e o v e r ，c v a ri sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r k e yw o r d s ： e x t r e m ev a l u et h e o r y ；g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n ；b a y e s a n a l y s i s ；m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l om e t h o d ；m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n ； c o p u l a ；d e p e n d e n c em e a s u r e ；啪 l u 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：勘匀久签字日期：知7 年 占月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 镌敏 签字日期：渺、7 年6 月j 7 日 导师签名： 拗 f 签字日期：知夕年6 月 7 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 论文研究的背景 1 1 1 极值统计理论的产生与发展 从统计学意义上讲，极值事件是小概率事件然而，这类事件一旦发生，影 响巨大回顾统计学的发展历史，统计学家首先注意到的是变量分布的主体，但 随着极端变异事件对社会的冲击，以及对人类生活带来的影响，如几十年一遇 甚至百年一遇的旱涝自然灾害，经济金融领域中股市价格出现与连续平滑波动 不成比例的“崩盘”现象等等，都引起了统计学家的注意 为了更好地探索自然规律，规避风险，许多学者对极值事件进行了研究 1 9 2 2 年，l v o i lb o r t k i e w i c z 研究了正态分布的样本极差，指出了来自正态分布的 样本最大值是一个新的随机变量，具有新的分布1 9 2 3 年，r y o nm i s e s 研究了正 态样本最大值的期望同年，e l d o d d 研究了一般分布的样本最大值，这是极 值统计理论真正意义上的发展1 9 2 5 年，l h c t i p p e t 给出了正态总体各种样本 量的最大值及相应概率表，样本平均极差表1 9 2 7 年，m f r c h e t 发表了一篇关于 最大值的渐近分布的文章，1 9 2 8 年，r a f i s h e r 与l h c t i p p e t 共同发表了关于 极值分布类型定理可以说，r a f i s h e r ，l 。h c t i p p e t 和m f r d c h e t 为极值理论 的发展奠定了基础这之后，b g n e d e n k o 于1 9 4 3 年给出了极值类型定理的严格 证明1 9 3 6 年，r - v o nm i s e s 提出了最大次序统计量收敛于极值分布的充分条件 d eh a a n 进一步研究了g n e d e n k o 的工作，针对吸引场问题给出了完整的结论 上世纪2 0 年代与3 0 年代中期，极值统计在气象、人类寿命、材料强度、洪 水、地震等问题中得到了广泛应用w w e i b u l l 最先强调了极值概念对描述材 料强度的重要性，e j g u m b e l 系统地归纳了一元极值理论，对极值统计在实际 工作中的应用提供了较好的建模工具8 0 年代后期，极值理论得到了进一步发 展，s i - r e s n i c k 【1 1 研究了独立同分布的随机变量，给出了极端次序统计量的联 合分布，这本书还第一次提到了多元极值分布r k i n n i s o n p l 介绍了极值理论在 工程领域中的应用，较新的关于极值的渐近理论与它们的应用的著作是文献3 】 国内最早出版的有关著作是 4 1 ，最新著作是【5 1 由于极值统计理论在统计学中的独特性质，使其逐渐成为各国统计学家关 注的热点问题之一1 9 8 3 年、1 9 8 7 年和1 9 9 3 年先后于西班牙、德国和美国举行 了“极值理论及其应用”的国际会议另外，1 9 9 5 年和1 9 9 7 年分别在北京、伊斯 第一章绪论 坦布尔召开的第5 0 、5 l 届国际统计年会也将“极值统计”作为了特邀论文 目前，一元极值理论日渐成熟，并在许多领域得到了成功的应用，许多新问 题集中在多元极值理论方面多元极值的经典定义是各个独立分量极值的联合 分布这个定义限制了它在实际中的应用因此，人们希望从不同途径导出多元 极值分布c o l e s 和t a w n 惮1 用极值点过程理论，s m i t h 卜1 用“多元阈值法 分别定 义了多元极值分布这些定义既克服了经典定义的不足，又充分利用了观测数 据提供的信息在此基础上，c o l e s 和t a w n 提出了一些参数模型然而，对多元 极值理论的研究大都还停留在分布的建模上，只是对部分极值模型如l o g i s t i c 模 型，嵌套- l o g i s t i c 模型等睁1 0 1 进行了研究因此，对多元极值分布的统计推断问 题以及模型参数的实际意义还需做大量细致的研究 1 1 2 极值统计理论在工程设计领域中的重要地位 由于极值事件对社会发展、人们生活带来的重要影响，统计学家及学者试 图从统计学观点定量地描述极值事件，找出其分布规律，用数学模型精确刻画 并进行预测在工程设计领域尤其是大型工程的设计中，需要对一些带有严重 破坏性的自然灾害的强度进行估计例如，在建造桥梁时，为了防止洪水冲塌 桥梁这类事故的发生，设计时，必须事先考虑工程保用期该河流可能爆发的最 高水位此外，在建造高大建筑时，也要考虑到若干年内的最大风压设计载 荷较小，可能会产生结构塌陷、损坏；反之，设计载荷过大，盲目加大安全系 数，又可能会导致人力、物力和财力资源的浪费在海洋气候环境中，各项海 洋工程项目也要面临海浪的波高波期与风速载荷的共同作用设计过程中，要 考虑工程保用期内多元变量的共同作用历史上，有不少专家学者为此付出 了努力，做出了贡献z a c h a r y h l j 等在多元变量极值应用方面给出了参数的估 计方法c o l e s 和t a w n 纠在研究防洪大坝工程设计领域给出了极值理论的应 用，s m i t h l l 3 1 利用点过程方法分析了来h o u s t o n ，t e x a s 臭氧数据的极值变化规 律t a w n p 卅以英国东海岸三个水文观测站数据为背景，对带有趋势项的时间序 列的极值数据进行了分析c o l e s 等h 纠分析了英格兰西南部地区的降雨量数据 国内学者【1 6 】【l n 【1 驯提出了复合极值分布，并成功地应用于波高统计分析，陈培善 等9 】给出了极值理论在地震预报中的应用，仇学艳等p 叫把极值理论中的阈值法 应用到了河海工程设计中，王超等弘佯冽对我国南海某站波浪进行了分析预测， 罗纯等f 2 驯分析了g u m b e l 分布参数估计问题，并应用到对黄浦江水域某观测站 观测数据的极值分析等等。这一切说明，极值统计理论具有广阔的现实应用价 第一章绪论 值，并且在“技术层面”的研究工作越来越得到广泛的认可和高度的重视 1 1 3 极值统计理论与金融风险管理 自2 0 世纪8 0 年代后期以来，国际金融市场发展迅速，全球一体化趋势明 显，以衍生工具为核心的金融创新使金融市场的不确定性和波动性增加，金 融风险和金融危机的国际联动越来越强，其间先后发生了1 9 8 7 年1 0 月纽约股 灾，1 9 9 2 年英镑危机，1 9 9 4 年墨西哥金融危机，1 9 9 7 年东南亚金融危机，1 9 9 8 年 美国长期资本管理公司倒闭等重大金融危机我国金融市场自2 0 世纪9 0 年代初 产生以来，发展十分迅速，但也经历了几次大的波折，如“3 2 7 国债期货事件， 国有股减持，非典冲击等，给投资者造成了不少损失这一切促使金融风险管理 逐步成为金融机构和工商企业管理的核心内容 1 9 5 2 年，马克维茨( m a r k o w i t z ) 提出了将投资收益的不确定性视为投资风 险在此假设下，用统计学中的方差或标准差度量风险1 9 6 3 年，马克维茨的学 生威廉夏普提出了一个比较简单的计算方法，使得证券投资组合理论应用于实 际成为可能，马克维茨及夏普等提出的风险度量模型得到了广泛应用然而，有 两个问题引起了人们的注意：第一，用收益率的方差度量风险不太合适，因为 有关方差的统计意义是描述收益率波动大小，而风险管理者更加关心损失率的 波动幅度第二，在计算投资风险( 方差) 时，假设条件是收益率间具有线性相 关关系，这种假设与金融投资现状的非线性特征相去甚远 现代统计学的发展为金融风险度量提供了理论依据，也为人们观察、认识 和研究金融问题提供了理论基础和指导，使有关金融交易的决策更为简洁和精 确2 0 世纪9 0 年代提出的v a r ( v a l u ea tr i s k ) 方法1 就是其中之一 v a r 是一个统计概念，是对金融资产组合价值波动的统计测量它表示在 一定的置信水平下，某一证券( 或组合) 在未来一定时间内的最大可能损失其 优点是对风险测量的综合考虑，它将不同的市场因素以及不同的市场风险集成 一个数，较准确地测量了不同风险来源以及相互作用而产生的潜在损失，适应 了金融市场发展的动态性由于这些优点，v l r 方法在风险测量，风险监管领域 得到了广泛应用，并且日益成为金融市场风险测量的主流方法 极值理论用于金融学领域的研究源于1 9 8 8 年，文献 2 5 1 利用极值理论研究了 拉美汇率分布特征，f 2 6 1 利用尾部指数估计了汇率回报的厚尾性，f 2 7 】在一个较 完整的框架内研究了股市高收益的频率分布特性，探讨了股市收益的尾部特征， 投资者可以根据个股尾部特征，选择风险较小的投资组合， 2 8 】给予极值理论中 第一章绪论 尾部指数非参数估计，实证研究了东欧七国汇率收益的经验分布，发现汇率收 益存在有限二阶矩，1 2 9 】在样本数据相依情况下，根据尾部指数常用于考虑随机 变量分布的大方差特性，对金融时间序列进行了研究由于保险领域巨额索赔 事件的发生，人们开始利用极值理论进行保险索赔定价，例如利用一元极值理 论中的p o t 方法拟合保险损失分布，并把极值理论与g a r c h 模型结合起来用 于计算市场风险，3 0 】利用极值理论对股指收益市场风险进行了研究，指出了极 值与股市崩溃之间的内在联系f 3 1 1 1 3 2 综述了极值理论在金融风险管理中的重 要性并对极值理论的优点与缺点及适用范围进行了评析近几年来，国外利用 极值理论度量金融风险的方法更加丰富p 驯俐p 引国内学者在这方面也作出了较 大贡献【3 6 】利用次指数分布拟合了股票收益率的变化规律， 3 7 】给出了相关风 险函数v a r 的界，【3 8 】用极值理论对v a r 的计算进行了实证分析与比较，更多的 研究见文献f 3 9 【4 0 】f 4 1 】可见极值统计模型的提出和不断完善为研究日益复杂 的金融问题提供了一定的理论基础随着金融全球化，金融创新步伐的加快，金 融市场之间的联系也日益紧密，金融市场间的相关性分析，投资组合分析以及 波动溢出资产定价等许多金融问题都需要运用多变量金融模型解决，于是一些 新的理论如多元极值相关结构，相关结构c o p u l a i t 里论等被引入到多变量特别是 二元变量的极值相关性分析中，4 2 4 3 4 4 利c o p u l a 与极值理论对金融市场 的相关性进行了分析，1 4 5 】f 4 6 指出了理论模型及参数的估计方法可以说，极值 相关性理论为我们构建一种全新的多变量金融时间序列模型提供了理论依据 1 2 问题的提出 1 2 1 关于极值分布模型族的研究 极值分布包括一元和多元极值分布对于多元极值分布，本文重点讨论二 元情况由于极值分布统计模型主要是极值数据的统计分析，是对观测到的基 于某个样本量的极值建立统计模型因此，它在水文、气象、地震、工程、金融 和保险等领域有着广泛应用，并为政府等部门制定政策、采取行动提供一定的 参考、依据和建议极值分布模型的建立，主要有三种方法：区组分块最大值 法、超阈值法和点过程法建立一个极值模型时，如果已知观测数据所服从的分 布( 称之为底分布) ，就可以得到最大值和最小值的精确模型，但在大多数应用 中，观测数据所服从的分布是未知的，因此只能得到极值的渐近分布，而不是 精确分布在应用中，需要有较大规模的数据实践证明，多数情况下极值的渐 近分布提供了一个简单、满意的模型，建立在此基础上的统计分析方法也已得 第一章绪论 到肯定极值统计理论的建模特点得到广泛重视，尤其是对于重大决策所提供 。的理论支持事实上，要预测也就是要推断某种从未发生过的极端事件在未来 发生的可能性，在已掌握的资料中没有记录到如此严重的极端现象，就可用极 值理论提供的可以外推的模型解决由于极值统计理论的这些特点和优点，使 得其理论日臻完善但是极值统计理论是近十几年来迅速发展起来的统计学中 的一个独立分支，许多人还不了解，其相关理论还不是十分成熟，所以本文第 二章力图对基础理论部分的某些性质定理之间的关系进行评析，并给出相关理 论在实际中的应用这些分析和结果将为以后各章使用 1 2 2 广义极值分布参数的b a y e s 估计问题 统计学中的b a y e s 学派在近几十年来有较大发展，如今已成为与经典学 派( 即频率学派) 并列的两大学派之一经典统计的出发点是根据样本分布，在 一定的统计模型下做出统计推断而b a y e s 学派认为，在取得样本观测值x 前，往 往对参数统计模型中的参数0 有某些先验知识在数学上，关于0 的先验知识的 数学描述就是先验分布b a y e s 统计的主要特点是使用先验分布，在得到样本观 测值z 后，由x 与先验分布共同提供的信息得到后验分布这一后验分布综合了 样本与先验信息，组成了较完整的后验信息这一后验分布就是b a y e s 统计推断 的基础 对于极值分布，使用b a y e s 方法进行参数估计显得尤为必要首先，极值统 计是对极端变异数据进行分析，建立统计模型这样的数据一般较少，如果能够 知道待估参数的某些信息，再综合样本信息，无疑会得到比较精确的判断其 次，一般认为极大似然估计法是比较优良的参数估计方法之一，然而用极大似 然估计法对极值分布中的参数进行估计时，有时不满足正则条件| 4 7 1 ，其应用范 围受到限制使用b a y e s 方法进行参数估计，可能是一个较好的选择最后，极值 模型的一个重要应用是通过对模型外推，得到高分位数的估计如果把参数0 看 成随机变量，说明考虑了参数的随机性，得到的高分位数的后验分布会比经典 的统计方法得到的高分位数估计包含更多的信息基于以上考虑，论文对黄浦 江某水文观测站的年最大值数据进行- f b a y e s 分析，并与极大似然估计的结果进 行了比较 1 2 3 线性相关系数与相关性度量 相关性是多变量之间相依关系的一种度量，这个问题在金融风险研究中有 着广泛应用一般而言，线性相关系数是常用的度量变量间线性相关性的一个 第一章绪论 指标但随着金融市场的发展，金融产品的快速创新，金融交易的范围和层次更 具多样性金融产品的交易价格( 称之为变量) 更具不确定性，变量之间呈现较 强的非线性特征如何更加精确地量化风险，摆在了人们的面前 1 9 5 2 年，马克维茨( m a r k o w i t z ) 将投资收益的不确定性视为投资风险，在 此假设下，提出了用统计学的方差或标准差来度量风险近几十年来，这方面 的研究实际上都是与如何刻画单个资产方差有关，如a r c h 模型，g a r c h 模型 等随着v a r 方法的广泛应用，使得对风险的研究转向了如何估计与模拟资产 组合的损失分布函数因为多变量之间的关系最完备的刻画就是它们的联合分 布然而，多资产的联合分布函数解析式比较复杂，实证分析中几乎不可能进行 相关估计并利用它们进行风险模拟在传统的风险管理中，通常假设资产收益 服从多元正态分布，并用p e a r s o n 线性相关系数作为资产相关性的度量指标可 是，众多的研究结果表明，金融资产收益往往具有明显的厚尾性，方差不存在 且资产之间表现出较强的非线性特征，这一切与正态分布的假设相去甚远 相关结构c o p u l a i 函数为解决这一问题提供了新的思路c o p u l a 理论的提出 可以追溯到1 9 5 9 年s k l a r 的一篇论文1 4 驯他指出，随机变量的边缘分布和变量之 间相关结构能够共同刻画随机变量的联合分布c o p u l a 函数的引入，使得单个 资产风险与资产组合的市场风险分离开来，这样既可以灵活地选择单个资产收 益的分布函数，又可以用一种非线性的相关模式刻画多资产之间的相关关系 本文结合c o p u l a 函数和极值理论，对沪深股市的相关结构进行分析 1 2 4 极值事件的尾部相关性 极值统计是对极值事件进行统计分析的理论和方法极值事件一般很少发 生，然而一旦发生，其后果非同一般极值事件作为小概率事件，从概率分布上 看，属于分布的尾部区域研究极值事件的相关性，从某种意义上说，就是研究 事件的尾部相关性也就是说，当一个变量的极端情况发生时，它对另外变量 出现极端情况产生的影响从概率意义上说，这是一个条件概率尾部相关性 的大小反映了观测变量同时出现极值的可能性大小研究表明m 儿则挣，金融 数据通常是厚尾分布，而一般我们对金融数据进行建摸时，假设其服从正态分 布显然，如果市场是平稳的，这种假设还算合理，问题是分布的厚尾性不得 不引起注意如果假设分布的中心区域服从正态分布，那么其尾部就应该区别 于正态分布通常，对尾部正态分布的假设是一个近似该假设的优点在于便 于建立模型，而且一般可以得到模型的显解典型的金融风险分析方法，如j p 第一章绪论 m o r g a n 的r i s k m e t r i c s 就是以序列的正态分布假设为基础的然而，现代电脑技 术的发展，使复杂的无显解模型计算已不成问题，加上现代金融产品与交易日 趋复杂，金融界的极端事件，如金融危机，会给正常的经济活动造成巨大损失， 所以对金融序列尾部相关性的精确描述显得尤为重要论文基于变量的渐近相 关与渐近独立指标，对上海股票市场的收益率与成交量的相关程度进行探讨 1 2 5 关于v a r 的研究 自从2 0 世纪9 0 年代以来，风险价值( v a r ) 逐渐成为金融市场风险测量的主 流方法从统计学意义上讲，v a r 表示在一定的置信水平下，某一证券组合在 未来一定时期内的最大可能损失v a r 是一个分位数，它完全依赖于损失变量 的概率分布把v a r 作为金融市场风险度量，是有一定优点的首先，v a r 概括 了各种资产组合、金融工具以及金融机构总体在市场上所面临的风险，把各种 市场风险具体化为一个数，便于不同金融机构风险值的比较和衡量同时有利 于管理部门随时掌握本机构的整体风险状况，有利于高级管理层对金融风险的 统一管理其次，通过调节置信水平，可以得到不同置信水平上的v a r 值，不仅 使管理者能够清楚地了解金融机构在不同可能程度上的风险状况，也方便了不 同的管理需要最后，v a r 的计算建立在严格的概率统计理论基础之上，与其它 主观性较强的风险管理方法相比较，能够更加准确地反映市场风险，增强了风 险管理系统的科学性然而，使用r 度量风险也有一定的局限性由于v a r 是 损失分布意义下的一个分位数，因此，这与分布模型有较大关系，目前国际 上普遍使用的是1 9 9 4 年j p m o r g a n 投资银行推出的能测评全世界1 3 0 多个国家 的4 0 多种金融工具的市场风险的风险度量系统r i s k m e t f i c s ，其假设条件是损失 分布为正态分布事实证明，假设金融数据服从正态分布不尽合理为此，许多 研究工作已经展开5 司删叫5 5 1 5 6 1 因此，作为度量金融市场风险工具v a r ，还应 该充分考虑金融序列的随机波动性、条件异方差性和尖峰厚尾性本文正是基 于这样的考虑，把自回归条件异方差g a r c h 模型与极值分布模型相结合，提 出g a r c h - g p d 方法，作为计算v a r 的出发点 1 3 论文的结构与创新 1 3 1 论文的结构 论文的主要工作集中在第二、三、四、五、六章，这五章分别对极值统计理 论，极值分布模型的参数估计、相关模型的构建、极值尾部的相关性度量和极 第一章绪论 值理论在金融风险管理上的应用等问题进行了研究并运用极值统计模型，对 中国股市进行了较多的实证研究，以论证所提模型的可行性 第二章主要讨论极值统计理论的基本模型及其适用特点首先介绍了一元 及多元极值分布的定义，分析了极值分布的特性，并对部分定理进行了证明 然后，分析了底分布属于极值分布的最大值吸引场问题，指出了广义极值分 布、p o i s s o n 分布和广义p a r e t o 分布三者之间的关系最后，对区组分块法、超阈 值法和点过程法在建立极值模型过程中之间的关系进行了分析 第三章主要研究基于b a y e s 方法的极值分布的参数估计问题首先介 绍b a y e s 学派的基本思想，讨论b a y e s 统计推断准则，先验分布的b a y e s 假设问 题，分析选取先验分布的方法在此基础上，对上海黄浦江某水文站的观测数 据，使用b a y e s 方法与极大似然估计方法进行了实证比较结果表明：用b a y e s 方法预测的5 0 年一遇、1 0 0 年一遇、2 0 0 年一遇的防洪堤坝高度略大于由极大似 然估计法得到的结果 第四章主要研究基于极值理论及相关结构c o p u l a 的多变量金融时间序列模 型的构建、参数估计以及模型的检验等问题首先给出c o p u l a 的定义及几种常 用c o p u l a 函数，特别介绍极值c o p u l a ，分析它们在相关性分析上的应用特点，提 出基于c o p u l a 理论的多变量金融时间序列模型框架，构建t m - c o p u l a - g p d 模 型进一步讨论了此模型的参数估计及其检验问题并运用该模型对上海、深圳 两股市之间的相关模式进行了实证研究结果表明：m c o p u l a - g p d 模型能较好 地描述序列之间的相关性变化，与单- - c o p u l a 相比，m c o p u l a - g p d 模型对于 描述金融市场的相关性更灵活，更能全面地反映市场之间非对称变化的相关程 度和相关模式 第五章主要研究随机变量序列的尾部相关性问题首先给出刻画序列 尾部相关性两个指标和趸，指出尾部相关系数7 7 与x 和更的关系，对一些常用 的c o p u l a 函数的尾部相关系数进行了分析讨论阈值的三种估计方法，q q 图 法、平均超出量函数法和h i l l 估计法，给出了h i l l 估计的参数表达式最后探讨 了x 和更的参数估计与非参数估计问题在此基础上，对上海股票市场收益率与 成交量之间的尾部相关性进行了实证研究结果表明：两序列具有一定的相关 性，但是相关程度不太大 第六章主要研究v a r 的计算问题首先给出v r 的定义，以及计算v a r 的 常用方法：历史模拟法、蒙特卡洛模拟法、分析法和极值分布法，在分析了这 些计算方法各自的长处与不足之后，提出基于极值理论的g a r c h - g p d 模型 第一章绪论 讨论了此模型的参数估计问题，并运用该模型对深圳股票指数进行了风险分 析，并用历史模拟法、极值分布法和g a r c h ( i ，1 ) 模型的计算结果比较后，发 现g a r c h g p d 模型显示的结果比较安全最后进一步讨论风险度量的另一种 方法c v a r 问题，并对上海股指进行了实证分析c v a r 从另一个角度揭示了风 险度量的含义，指出了超过一定阈值的平均风险的概念 第七章对全文进行总结，指出了进一步研究的问题 1 3 2 论文的创新点 论文的创新主要有以下三点： 1 对广义极值分布参数估计方法的重新认识和发展参数估计是统计推断 理论三个主要内容之一，一般认为极大似然估计法是应用最为广泛的然而，由 于极值数据的缺乏，以及极大似然估计在广义极值分布参数估计中的不足，本 文用b a y e s 方法，用m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ( m c m c ) 模拟产生服从后验分布 的随机样本，并在分析先验分布选取原则的基础上，探索了广义极值分布参数 的b a y e s 估计理论框架，进一步对我国黄浦江某水文站观测数据进行实证研究， 给出了能抵御5 0 年、i 0 0 年、2 0 0 年和5 0 0 年一遇的防洪堤坝高度，并与用极大似 然估计法的估计结果进行了比较，为管理部门进行决策提供了参考依据 2 对随机变量问相关关系的研究与构建在金融资产风险投资中，变量 间相关关系的研究占有比较重要的地位由于传统的线性相关系数的度量标 准日显不足，使得变量间相关关系研究受到了人们的普遍关注本文在研究 了c o p u l a 函数及其相关性理论的基础上，把c o p u l a 函数和极值理论相结合，构 建了混合c o p u l a 极值模型( m c o p u l a - g p d ) ，这一模型突出了变量间相关模式 的思想，强调了极值数据对相关模式的影响，并用这一模型对上海、深圳两股 票市场的相关结构进行了实证分析实例结果表明，两市场之间是一种非对称 的相关模式 3 对变量分布的尾部相关程度的度量与分析极值统计的研究对象是随机 现象的极端表现，关注的是当一个变量出现极值时，对其它变量产生影响的尾 部性质如果两变量序列是渐近相关而不是渐近独立，那么按照渐近独立情况 分析问题，比如进行金融风险分析，势必会低估风险因此，本文在分析了尾部 相关性度量指标x 、定、刀等参数估计问题的基础上，用经验估计法、h i l l 估计法 以及极值分布参数估计法，系统地研究了上海股票市场收益率与成交量之间的 极值相关性，得到了变量序列是相关的，但相关性较弱的结论 第二章极值统计模型族及其特性 第二章极值统计模型族及其特性 2 1 一元极值分布 一元极值分布包括g u m b e l 分布、n 邑c h e t 分布和w e i b u l l 分布，这三类极 值分布经过适当变换后统一形式为广义极值分布( g e n e r a l i s e de x t r e m ev a l u e d i s t r i b u t i o n s ) 这里考虑的极值是样本中的最大值或最小值，极值分布就是要 找出最大值或最小值统计量的分布然而，这两个统计量要么依赖于总体分布， 要么是退化分布概率论中的中心极限定理为寻找这两个统计量的分布提供了 新的思路这一节首先回顾中心极限定理；然后讨论极值分布与次序统计量的 关系；最后讨论的三个问题是根据极值分布建立的三个统计模型：区组分块最 大值模型、超闽值模型和点过程模型，给出这三个极值模型的适用特点，并比 较它们的优点与不足 2 1 1中心极限定理 中心极限定理在概率论中占有相当重要的地位它考虑了n 个随机变量和 的极限分布 定理2 1侮明设x 1 ，x 2 ，是独立同分布的随机变量序列，且具有数 学期望和方差：e ( 甄) = p ，v a r ( x k ) = 矿 0 ，( k = 1 ，2 ，佗