计算机中数据信息的表示及运算.ppt

计算机中数据信息的表示及运算,第二章,本章基本要求：1.掌握计算机中各常用计数制间的转换方法；2.掌握计算机机内信息的主要编码形式；带符号数的编码：原码、反码、补码、移码；无符号数的编码；其它编码：BCD码、ASCII码、汉字编码；3.掌握定点数及浮点数的表示及定点数的加、减运算。,2.1数制,2.1.1进位计数制的几个基本概念进位计数制：用少量的数字符号（也称数码），按先后次序把它们排成数位，由低到高进行计数，计满进位，这样的方法称为进位计数制基数：进位制的基本特征数，即所用到的数字符号个数。例如十进制：用09十个数码表示，基数为10权：进位制中各位“1”所表示的值为该位的权常用的进位制：2，8，10，16进制。,1）十进制计数制(Decimal),基数:10;符号:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；计算规律:“逢十进一”或“借一当十”；并列表示:N10=dn-1dn-2d1d0d-1d-2d-m多项式展开:N10=dn-110n-1+d1101+d0100+d-110-1+.d-m10-mm,n为正整数,其中n为整数位数；m为小数位数。Di表示第i位的系数,10i称为该位的权.,2）二进制(Binary),基数:2符号:0,1计算规律:逢二进一或借一当二二进制的多项式表示:N2=dn-12n-1+dn-22n-2+d121+d020+d-12-1+d-22-2+d-m2-m其中n为整数位数；m为小数位数。Di表示第i位的系数,2i称为该位的权.例如:一个二进制数(1101.01)2的多项式表示：(1101.01)2=123+122+021+120+02-1+12-2=(13.25)10,二进制数的性质,移位性质：小数点左移一位，数值减小一半小数点右移一位，数值扩大一倍奇偶性质：最低位为0，偶数最低位为1，奇数,二进制数的特点,优点：只有0，1两个数码，易于用物理器件表示。运算规则简单；0，1与逻辑命题中的真假相对应，为计算机中实现逻辑运算和逻辑判断提供有利条件。缺点：书写冗长，不易识别，不易发现错误,3）十六进制(Hexadecimal),基数:16符号:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F计算规律:逢十六进一或借一当十六十六进制的多项式表示:N16=dn-116n-1+dn-216n-2+.d1161+d0160+d-116-1+d-216-2+.d-m16-m其中n为整数位数；m为小数位数。Di表示第i位的系数,16i称为该位的权.例如：十六进制数(2C7.1F)16的表示：(2C7.1F)16=2162+12161+7160+116-1+1516-24）八进制(Octal)其定义与十六进制相似，请自习掌握。,2.1.2进位计数制之间的转换,1）R进制转换成十进制的方法按权展开法:先写成多项式,然后计算十进制结果.N=dn-1dn-2.d1d0d-1d-2.d-m=dn-1Rn-1+.d1R1+d0R0+d-1R-1.d-mR-m例如:写出(1101.01)2,(237)8,(10D)16的十进制数(1101.01)2=123+122+021+120+02-1+12-2=8+4+1+0.25=13.25(237)8=282+381+780=128+24+7=159(10D)16=1162+13160=256+13=269,2）十进制转换成二进制方法,一般分为两个步骤：整数部分的转换除2取余法（基数除法）减权定位法小数部分的转换乘2取整法（基数乘法）,除基取余法：把给定的除以基数,取余数作为最低位的系数,然后继续将商部分除以基数,余数作为次低位系数,重复操作直至商为0例如：用基数除法将(327)10转换成二进制数,2327余数,21631,2811,2401,2200,2100,250,221,210,201,(327)10=(101000111)2,减权定位法,将十进制数依次从二进制的最高位权值进行比较，若够减则对应位置1，减去该权值后再往下比较，若不够减则对应位为0，重复操作直至差数为0。例如：将(327)10转换成二进制数327-256=71171128071-64=7173207X-2(n-1),完成下列数的真值到补码的转换X1=+01011011X2=-01011011,X1补=01011011,X2补=10100101,补码的表示范围:,N位纯整数:2n-1-1-2n-1N位纯小数:1-2-(n-1)-1均能表示2n个数在补码系统中,由于0有唯一的编码,因此n位二进制能表示个2n补码数。,原码与补码之间的转换,原码求补码正数X补=X原负数符号除外，各位取反，末位加1例：X=-01001001X原=11001001，X补=10110110+1=10110111X补=28+X=100000000-1001001=10110111100000000-100100110110111,由X补求-X补（求机器负数从原码求补码）,运算过程是连同符号位一起将各位取反，末位再加1。设字长N=8位例：X=+1001001X补=01001001-X补=10110110+1-X补=10110111,最大的优点将减法运算转换成加法运算。,X补-Y补=X补+-Y补例如X=(11)10=(1011)2;Y=(5)10=(0101)2已知字长n=5位X补-Y补=X补+-Y补=01011+11011=100110=00110=(6)10注：最高1位已经超过字长故应丢掉,3）反码表示法,正数的表示与原、补码相同；负数的反码符号位为1，数值位是将原码的数值按位取反，就得到该数的反码表示。纯小数:X1X0X反=(2-2-(n-1)+X0X-(1-2-(n-1)X1=+0.1011011,X1反=0.1011011X2=-0.1011011,X2反=1.01001001.1111111-0.10110111.0100100,纯整数:,X2n-1X0X反=(2n-1)+X0X-2n-1X3=+1011011,X3反=01011011X4=-1011011,X4反=1010010011111111-101101110100100零的反码不唯一!+0反=00000000;-0反=11111111,4）移码（增码）表示法,X移=2n-1+X2n-1-1X-2n-1,X1=01010101X1补=01010101X1移=11010101X2=-01010101X2补=10101011X2移=00101011,2.2.2无符号数的表示,在数据处理的过程中，如不需要设置符号位时:可用全部字长来表示数值大小。如8位无符号数的取值范围是0255（2）。由此可见:同样位数的数据在机器中,采用无符号表示或有符号表示其取值范围是不同的!,码制表示法小结,X原、X反、X补用“0”表示正号，用“1”表示负号；X移用“1”表示正号，用“0”表示负号。如果X为正数，则X原=X反=X补。如果X为0，则X补、X移有唯一编码，X原、X反则有两种编码。移码与补码的形式相同，只是符号位相反。,2.2.3计算机中数的表示形式,数值范围：一种数据类型所能表示的最大值和最小值。数据精度：实数所能表示的有效数字位数。数值范围和数据精度：均与使用多少位二进制位数以及编码方式有关。计算机用数字表示正负，隐含规定小数点。采用“定点”、“浮点”两种表示形式。,一、数的定点表示方法,1.定点整数小数点位置固定在数的最低位之后。如：Dn-1Dn-2D1D0.范围：2n-1-1-2n-1(采用字长n=16位补码时其值为32767-32768)2.定点小数小数点位置固定在数的符号位之后、数值最高位之前。如：D0.D-1D-(n-2)D-(n-1)范围：1-2-(n-1)-1(采用字长n=16位时其值为：32767/32768-1)其中n表示字长位数。,1、浮点数的表示：把字长分成阶码E和尾数D两部分。根据：阶码E表示数据范围、尾数D表示数据精度。(1)JEm-2.E0SD-1D-(n-1)阶符阶码值数符.尾数值(2)SJEm-2.E0D-1D-(n-1)数符阶符阶码值.尾数值通常，阶码为补码或移码定点整数形式；尾数为补码或原码定点小数。,二、数的浮点（实数）表示方法,2、浮点数的规格化,在有限字长的情况下如何解决精度和数据的表示范围这样一对矛盾，是这里要讨论的主要问题。目的：将阶码和尾数所占的位数协调好。规格化方法：调整阶码使尾数满足下列关系：尾数为原码表示时：无论正负应满足1/2|d|d-1，即1.0 x.x,例题：设某机器用32位表示一个实数，阶码部分8位（含1位阶符），用定点整数补码表示；尾数部分24位（含数符1位），用规格化定点小数补码表示，基数为2。写出X=256.5、Y=-256.5浮点表示格式。,1.X=(256.5)10=+(100000000.1)2=(+0.1000000001)2x2+98位阶码为：(+9)补=0000100124位尾数为：(+0.1000000001)补=0.10000000010000000000000所以X的浮点表示格式为：00001001010000000010000000000000用16进制表示此结果则为：(09402000)162.Y=-(256.5)10=-(100000000.1)2=(-0.1000000001)2x2+98位阶码为：(+9)补=0000100124位尾数为：(-0.1000000001)补=1.01111111110000000000000所以Y的浮点表示格式为：00001001101111111110000000000000用16进制表示此结果则为：(09BFE000)16,3、溢出问题,定点数的溢出根据数值本身判断；浮点数的溢出根据规格化后的阶码判断。上溢浮点数阶码大于机器最大阶码中断下溢浮点数阶码小于机器最小阶码零处理溢出的具体判断方法将结合实例在后续课程中介绍。,三、微机中所能表示的数值类型（FPU协处理器浮点数据处理单元）,1、无符号二进制数（字节、字和双字，受CPU支持）2、带符号的二进制定点整数形式（参见表1-2p12）（16、32、64位补码表示)和18位BCD码整数形式(80bit)。3、浮点数（IEEE754标准）包括数符S、阶码E和尾数D三个字段。(-1)S2E(D0.D-1D-(P-1)最高是数符S占1位，0表示正、1表示负；指数项E，基数是2，E是一个带有一定偏移量的无符号整数；尾数部分D，它是一个带有一位整数位的二进制小数真值形式。其规格化形式应调整阶码使其尾数整数位D0为1且与小数点一起隐含掉。（具体形式详见表1-3。详教材第12页）,例2：将下面PC机中的单精度浮点数3F580000H换算成十进制的真值是多少？,解：3F580000H=0011,1111,0101,1000,0000,0000,0000,0000B数符:S=(-1)0=1（正号）阶码:E=(01111110)2-127=126-127=-1尾数:D=(1.1011)2X=(0.11011)2=0.84375,例1：将十进制数178.125表示成微机中的单精度浮点数。,解:178.125=10110010.001B=+1.0110010001*27指数E=7+127=134=10000110B（127是单精度浮点数应加的指数偏移量）其完整的浮点数形式为：010000110_01100100010000000000000=43322000H,2.3数字化信息的编码及表示,计算机进行数据处理和运算，自然界中各种需要计算机处理的物理量，就必须首先实现数字化表达。另外由于计算机除了可以进行数据处理和运算外，还要进行各种文字(特别是中文)的处理与编辑。因此，所有由计算机处理的信息也要用数字进行编码。这样在物理机制上可以以数字信号表示。,2.3.1信息的数字化表示形式,数字信号:是一种在时间上或空间上离散的信号,单个信号是以常用的二值逻辑(0或1)来表示,依靠多位信号组合表示广泛的信息。,1.用一串脉冲信号表示数字代码（先发低位后发高位以串行方式为例）,0,t,U,2.用一组电平信号表示数字代码,3.用一组数字代码表示字符（如ASCII码）4.用若干点的组合表示图像（如图形点阵码）5.用数字信号表示声音（如VCDDVD光盘）6.用数字代码表示命令与状态（如打印机的操作、控制信息）,数字化方法表示信息的优点:,抗干扰能力强,可靠性高;位数增多则数的表示范围可扩大;物理上容易实现,并可存储;表示信息的范围与类型极其广泛;能用逻辑代数等数字逻辑技术进行处理。,2.3.2十进制数的编码,BCD码8421码2421码余3码8421码为有权代码，0000000000011数值为N=8d3+4d2+2d1+1d01000100010100十进制数63.29的BCD码为:200100010010101100011.00101001300110011011040100010001112421码为有权代码，5010110111000数值为N=2d3+4d2+2d1+1d06011011001001十进制数63.29的BCD码为:701111101101011000011.001011118100011101011余3码为无权代码，对应8421码加3而得。9100111111100,除上述三种BCD码之外，还有5421码、格雷码等。在存放形式上有：压缩码和非压缩码两种。,2.3.3西文信息在机内的表示,ASCII码(AmericanStandardCodeForInformationInterchange,美国国家信息交换标准字符码)，每字符用一个字节表示，共有128个字符(最高位为0)。其中95个字符供显示、打印使用，余下33个为控制字符。扩展ASCII码可表示256个编码(EBCDIC码),2.3.4中文信息在机内的表示,1.GB2312-80国标码国标码：我国在1981年颁布了通讯用汉字字符集（基本集）及其交换码标准GB2312-80方案，简称国标码，共7445字，各用两字节表示，分为94个行区、94个列位。19区（图形字母）各种字母、数字、符号等682个；1655区（一级汉字）一级3755个汉字，按拼音排序；5687区（二级汉字）二级3008个汉字，按部首排序；1015、8894区为保留区，做扩充用。,区位码：将国标码中的字符按其位置划分成94个区，每个区中94个字符。19419区1015区空1655区5687区8894区空区位码是国标码的变形：国标码=区位码+2020H国标码、区位码均用4位数字进行一个汉字编码。,字母、数字、各种符号等682个,一级汉字3755个,二级汉字3008个,2.汉字的输入（编码方法、方案）,特点:易学习;易记忆;效率高;重码少;容量大，易被接受。分类:数字编码,字音编码,字形编码,形音编码。,3.汉字的输出,过程：输入编码转换为机内码（存放），用字型码检索字库得到点阵、轮廓字型，送显示器、打印机。,4.汉字在计算机内的表示,机内码是指机器内部处理和存储汉字的一种代码常用的机内码在国标码基础上每个字节最高位置1机内码=国标码+8080H=区位码+A0A0H“京”字国标码为3E29H，其机内码为BEA9H，其区位码为1E09H。,2.3.5图形信息在计算机内的表示,计算机中图形的两种数字化的表示方法:几何图形或矢量图形（轮廓字形法）根据画图或场景中包含的内容,分别用集合要素(点、线、面、体）和物体表面的材质以及环境的光照条件、用户的观察位置等进行描述。点阵图象或位图图象把原始图划分为由MN个像素点所组成的大矩阵参数:图像尺寸、最大颜色数（色浓度）、图像数据量。图形与图象法各有其优缺点，但它们可相互补充、转换。,2.4.1定点数的运算1、定点数的加减法运算,计算机中，常采用补码进行加减运算补码可将减法变加法进行运算补码运算特点：符号位数值位一同参加运算定点补码运算在加法运算时的基本规则：X补+Y补=X+Y补（两个补码的和等于和的补码）定点补码运算在减法运算时的基本规则:X补-Y补=X补+-Y补=X-Y补,2.4数值的运算方法,例如：已知机器字长n=8,X=44,Y=53.求X+Y=？,解：X原=00101100，Y原=00110101,X补=00101100，Y补=00110101,X补=00101100+Y补=00110101,1,0,0,0,0,1,1,0,X+Y=+97,例：已知机器字长n=8，X=-44，Y=-53，求X+Y=？,解：44补=00101100,53补=00110101X补=-44补=11010011+1=11010100,Y补=-53补=11001010+1=11001011,X补=11010100+Y补=11001011X+Y补=110011111超出8位，舍弃模值X+Y=-01100001，X+Y=（-97）,例：已知机器字长n=8，X=44，Y=53，求X-Y=？,解：X补=00101100，Y补=00110101,-Y补=11001011X补=00101100+-Y补=1100101111110111X-Y补=11110111，X-Y=-0001001=（-9）,例:已知机器字长n=8,X=-44,Y=-53,求X-Y=？,解：X补=11010100，Y补=11001011,-Y补=00110101X补=11010100+-Y补=00110101100001001超出8位（模值），舍弃X-Y补=00001001，X-Y=+0001001=(+9),例题：机器字长n=8，X=120，Y=10，求X+Y=？解：X补=01111000，Y补=00001010,X补=01111000+Y补=0000101010000010X+Y补=10000010，X+Y=11111110X+Y的真值=-1111110=(-126)10运算结果超出机器数值范围发生溢出错误。8位计算机数值表达范围：-128+127,溢出问题：运算的结果超出数值所能表示的范围,溢出判断规则与判断方法,两个相同符号数相加，其运算结果符号与被加数相同，若相反则产生溢出；两个相异符号数相减，其运算结果符号与被减数相同，否则产生溢出。相同符号数相减，相异符号数相加不会产生溢出。溢出判断方法：1.双符号法，2.进位判断法,.双符号位溢出判断法Sf1Sf2（也被称为变形补码）,双符号含义：00表示运算结果为正数；01表示运算结果正向溢出；10表示运算结果负向溢出；11表示运算结果为负数。亦即：OVR=Sf1Sf2=1有溢出OVR=Sf1Sf2=0无溢出第一位符号位为运算结果的真正符号位。,例：X=0.1001,Y=0.0101,求X+Y,解:X补=00.1001+Y补=00.0101X+Y补=00.1110两个符号位相同，运算结果无溢出X+Y=+0.1110,例：X=-0.1001，Y=-0.0101，求X+Y=？,解:X补=11.0110+1=11.0111+Y补=11.1010+1=11.1011X+Y补=111.0010最高为1丢掉两个符号位相同,运算结果无溢出X+Y=-0.1110,例：X=0.1011，Y=0.0111，求X+Y=？,解:X补=00.1011+Y补=00.0111X+Y补=01.0010两个符号位为01,运算结果正向溢出,例：X=-0.1011，Y=0.0111，求X-Y=？,解:X补=11.0100+1=11.0101Y补=00.0111；-Y补=11.1001X补=11.0101+-Y补=11.1001X+Y补=110.1110两个符号位10不同,运算结果负向溢出,.进位溢出判断法SC,两单符号位的补码进行加减运算时，若最高数值位向符号位的进位值C与符号位产生