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2.3n阶行列式的性质与计算,一、行列式的性质,性质1行列式与它的转置行列式相等.,行列式称为行列式的转置行列式.,记,性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.,说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,例如,推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,利用行列式的上述性质，往往可以使行列式的计算简化，但我们知道阶数越低的行列式越容易计算。比如二阶行列式比三阶行列式要容易计算得多。因此，我们自然地提出，能否把行列式转化为一些阶数较低的行列式来计算？为此先给出余子式和代数余子式的概念。,叫做元素的代数余子式,例如,二、余子式与代数余子式,引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即,例如,定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,三、行列式按行（列）展开法则,推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,例,四、行列式的计算,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2计算阶行列式,解,将第都加到第一列得,例3,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,例5计算行列式,解,五、行列式的乘法公式,定理,设A，B是两个n阶矩阵,则矩阵A，B乘积的行列式等于行列式的乘积,即,推论1,若A为分块对角矩阵,其中都是方阵则方阵A的行列式等于主对角线上各个子块的行列式的乘积,即,推论2,若A为分块三角矩阵,其中都是方阵则方阵A的行列式等于主对角线上各个子块的行列式的乘积,即,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)
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