（管理科学与工程专业论文）奇异双线性系统非合作微分博弈理论研究及应用.pdf

摘要 摘要 奇异系统以其独有的特性，受到了诸多学者的重视，并已经取得了丰富的研 究成果。然而大多数研究都是针对线性系统模型进行的，但线性系统只是对现实 情况的一种理想化近似描述，在多数情况下，非线性特性、不确定扰动性才是真 实的自然现实，而双线性系统是一类特殊的非线性系统。 本文从博弈论的视角研究了奇异双线性系统非合作微分博弈的鞍点均衡、 n a s h 均衡，以及基于博弈方法的奇异双线性系统b 玑鲁棒控制理论与方法。主 要研究工作分为以下几个部分： 文章的第二章简要介绍了论文所涉及的基本知识，首先给出了矩阵分析的重 要定理及其推论；接着给出了最优控制的基本概念、基本思想、典型模型以及最 优控制的定理、推论和重要结论；最后给出了博弈理论的基本概念和模型，以及 纳什均衡、鞍点均衡等重要思想。这些基本知识为以后的分析奠定了理论基础。 第三章研究奇异双线性系统的鞍点均衡问题，首先给出了奇异双线性系统鞍点均 衡详细的理论推导过程，在此基础上得出了重要的结论。然后，通过数值算例和 计算机仿真验证了结论的正确性和算法的可行性。第四章研究奇异双线性系统的 n a s h 均衡。首先给出了奇异双线性系统n a s h 均衡详细的理论推导过程，并得出 了重要的结论，然后，通过数值算例和计算机仿真验证了结论的正确性和算法的 可行性。第五章研究基于博弈论思想的奇异双线性系统日：儿鲁棒控制策略的理 论与方法。首先给出了奇异双线性系统e 也鲁棒控制策略的详细的理论推导过 程，并得出了重要的结论，然后，给出了求解该策略的计算步骤，最后进行了小 结。第六章研究了奇异双线性系统在动态投入产出中的应用。首先介绍了动态投 入产出的基本理论，并给出了连续型动态投入产出方程；然后分析了列昂惕夫连 续型动态投入产出模型的不足之处，并对该模型进行了改进，给出了奇异双线性 系统的动态投入产出模型；然后，利用经济数据对模型进行验证，并给出仿真结 果。第七章，结论和展望。首先对奇异双线性系统算法的创新之处进行了分析； 然后指出了该算法存有的不足之处和今后努力地目标。 关键词：奇异双线性系统；微分博弈；鞍点均衡；n a s h 均衡；h ：h 。鲁棒控制 广东t 业大学硕。 j 学位论文 a b s t r a c t d u et ot h e i ru n i q u ec h a r a c t e r i s t i c s ，s i n g u l a rs y s t e m sh a v eb e e nv a l u e dh i g h l yb y m a n ys c h o l a r sa n dr i c hr e s e a r c hr e s u l t sh a v ea l r e a d yb e e no b t a i n e d h o w e v e r ，m o s t r e s e a r c hf o c u s e so nl i n e a rs y s t e m s ，w h i c hi s o n l ya na p p r o x i m a t ed e s c r i p t i o n i d e a l i z i n gt h er e a l i t i e s m o s t l y ，n o n l i n e a ra n du n c e r t a i np e r t u r b e df e a t u r e sa r en a t u r a l r e a l i t i e s a n db i l i n e a rs y s t e m sa r eak i n do fs p e c i a ln o n l i n e a rs y s t e m s t h i st h e s i ss t u d i e st h en a s he q u i l i b r i u ma n ds a d d l e p o i n t e q u i l i b r i u mo f n o n - c o o p e r a t i v ed i f f e r e n t i a lg a m ei ns i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m si nv i e wo fg a m et h e o r y a sw e l la st h e h 2 h 。r o b u s tc o n t r o lt h e o r ya n dm e t h o do fs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s b a s e do nt h eg a m et h e o r y t h em a i nr e s e a r c hw o r ki sd i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gp a r t s ： t h es e c o n dc h a p t e ro ft h et h e s i sb r i e f l yi n t r o d u c e ss o m ee l e m e n t a r yc o n c e p t s a f t e rg i v i n gt h ei m p o r t a n tt h e o r e ma n dc o r o l l a r yo fm a t r i xa n a l y s i s ，t h i sc h a p t e rt h e n i n t r o d u c e sb a s i cc o n c e p t s ，b a s i ci d e a s ，t y p i c a lm o d e l sa n dt h e o r e m s ，c o r o l l a r ya n d i m p o r t a n tc o n c l u s i o n so fo p t i m a lc o n t r o l ；f i n a l l y , t h eb a s i cc o n c e p t sa n dm o d e l so f g a m et h e o r y a r er e v i e w e d ，a sw e l la s i m p o r t a n tt h o u g h t s o fn a s he q u i l i b r i u m ， s a d d l e p o i n te q u i l i b r i u m ，e t c t h e s ee l e m e n t a r yc o n c e p t sh a v el a i dat h e o r e t i c a l f o u n d a t i o nf o r t h ef o l l o w i n ga n a l y s i s c h a p t e ri i is t u d i e st h ep r o b l e mo fs a d d l e p o i n t e q u i l i b r i u mi ns i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s b a s e do nt h ed e t a i l e dt h e o r e t i c a lp r o c e s s e s o fs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s s a d d l e - p o i n te q u i l i b r i u m ，t h i sc h a p t e rh a sd r a w ns o m e i m p o r t a n tc o n c l u s i o n s t h e n ，t h r o u g he x a m p l e s f o rn u m e r i c a lc a l c u l a t i o na n d c o m p u t e rs i m u l a t i o n ，w eh a v ev e r i f i e dt h ec o r r e c t n e s so ft h ec o n c l u s i o n sa n dt h e f e a s i b i l i t yo ft h ea l g o r i t h m s c h a p t e ri vs t u d i e sn a s he q u i l i b r i u mo fs i n g u l a rb i l i n e a r s y s t e m s f i r s t l y , d e t a i l e dt h e o r e t i c a lp r o c e s s e so fs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s n a s h e q u i l i b r i u ma r eg i v e n ，a n di m p o r t a n tc o n c l u s i o n sa r ea c h i e v e d ，a n dt h e n ，t h r o u g ht h e n u m e r i c a lc a l c u l a t i o ne x a m p l e sa n dc o m p u t e rs i m u l a t i o n ，t h ec h a p t e rv e r i f i e st h e c o r r e c t n e s so ft h ec o n c l u s i o n sa n dt h ef e a s i b i l i t yo fa l g o r i t h m s c h a p t e rvs t u d i e s h 2 风r o b u s tc o n t r o ls t r a t e g yt h e o r ya n dm e t h o do fs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m sb a s e d o nt h eg a m em e t h o d d e t a i l e dt h e o r e t i c a ld e r i v a t i o np r o c e s s e so fs i n g u l a rb i l i n e a r s y s t e m s h 2 以r o b u s tc o n t r o ls t r a t e g ya r eg i v e na tt h eb e g i n n i n g ，a n di m p o r t a n t h a b s t r a c t c o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d ，a n dt h e n ，t h i sc h a p t e rg i v e st h ec a l c u l a t i o ns t e p sf o rs o l v i n g t h es t r a t e g y ，a n df i n a l l ym a k e sas u m m a r y c h a p t e rv ii n v e s t i g a t e st h ea p p l i c a t i o no f s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m si n t h ed y n a m i ci n p u t o u t p u t f i r s ti n t r o d u c e st h eb a s i c t h e o r yo ft h ed y n a m i ci n p u t - - o u t p u ta n db u i l d sac o n t i n u o u sd y n a m i ci n p u t - o u t p u t e q u a t i o n ；t h e na n a l y z e si n a d e q u a c i e so fl e o n t i e fc o n t i n u o u sd y n a m i ci n p u t - o u t p u t m o d e l ，a n dm o d i f i e st h em o d e l ，p u t sf o r w a r dad y n a m i ci n p u t - o u t p u tm o d e lo f s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s ；t h e n ，a f t e rv e r i f y i n gt h em o d e lb yu s i n ge c o n o m i cd a t a ， s i m u l a t i o nr e s u l t sa r ea c h i e v e d c h a p t e rv i ii st h ec o n c l u s i o n sa n do u t l o o k f i r s to f a l l ，i n n o v a t i o n si na l g o r i t h mo fs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m sh a v eb e e na n a l y z e d ；a n d t h e nt h ec h a p t e rp o i n t so u ti n a d e q u a c i e si nt h i sa l g o r i t h ma n dt h ef u t u r et a r g e tw e s h o u l dm a k ee f f o r t st or e a c h k e yw o r d ：s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s ；d i f f e r e n t i a lg a m e ；s a d d l e p o i n te q u i l i b r i u m ； n a s he q u i l i b r i u m ；h 2 | h 。r o b u s tc o n t r o l 独创性声明 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方以外，论文中不包含其它人已经发表或撰写过的研究成果，不 包含本人或其它用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的，论 文成果归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。 5 9 指导教师签字： 法唧 论文作者签字： 元万眵 冲6 月多日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 选题背景与意义 1 9 7 4 年，r o s e n b r o c k 在研究复杂电网络系统中首次提出了奇异系统模型奇 异系统又称为描述系统、微分代数系统、广义状态空间系统或半状态系统等。奇 异系统是一类更为一般的系统并具有广泛的实际背景，在工业系统和社会经济系 统中均有重要的应用近年来，奇异系统的控制问题吸引了众多学者的关注和研 究，然而大多数研究都是针对线性系统模型进行的。但线性系统只是对现实情况 的一种理想近似描述，多数情况下，非线性特性、不确定扰动才是真实的自然现 实，而双线性系统又是一类特殊的非线性系统。本文在前人研究的基础上，并结 合对大量文献的研究分析，针对描述多部门投入产出分析模型、期权定价模型等 实际问题的奇异双线性系统的本质特征，构建各种类型的奇异双线性系统非合作 微分博弈模型以及基于博弈思想的奇异双线性系统鲁棒控制模型。主要模型如下： 用式( 1 1 ) 描述的连续奇异双线性系统( 或式( 1 2 ) 描述的离散形式奇异 双线性系统) 的博弈理论 e 圣( f ) = 彳o ) x o ) + b o ) “( f ) + c o ) 1 ，( f ) + f o ) x o ) ) “o ) + ( f ) z o ) ) v ( f ) ( 11 ) e x ( k + 1 ) = 彳( 后) x ( 尼) + b ( 尼) + 彳( 尼) x ( 尼) ) 】甜( 七) + c ( 七) + ( 七) 工( 七) ) 】1 ，( 七) ( 1 2 ) 其中e 是秩为， - - is i i 疋、s ：s ： 2 3 2 博弈论的典型模型 1 纳什均衡在非合作博弈论和经济分析里所应用的博弈论思想中，纳什均 衡都处于核心地位。纳什均衡刻画了人们理性选择的结果：利益冲突达到一种稳 态以至于无人会单方面加以改变。纳什均衡的定义一般是通过简单确定一个正常 形式的有限局中人和行动的博弈来给出的，在纯策略中，他是指这样一种策略分 布：假设其他策略人不改变策略，则任何一个局中人都不能以单方面变换自己的 策略来增加其效用。纳什证明，在一个有限局中人和行动的博弈中，至少总存在 一个纳什均衡。这一结论包含着一个人前提假定，即局中人对优秀结构有充分的 了解，也就是说具有完全信息，以便能够导出他们自己的预测。 纳什均衡的意义直到现在仍是探讨和争论的题目。一般认为，它是随不同情 况而变化的一种过程。例如，假设在某种博弈中，局中人通过某些非强制手段就 局中人的策略选择达成协议，这项协议具体确定了每个局中人选择的策略。由于 协议无强制力量，局中人如果能通过违背协议而获得利益，则该协议无效。所以， 为了保证协议有效，必须有一种局中人不可能因单方面违背协议而获益的机制， 即形成一种纳什均衡。也就是说，纳什均衡使得协议能够自我约束，无外力作用 下也能保证协议的生效。这里纳什均衡的意义在于保证协议的自我强制执行。 纳什均衡是完全信息静态博弈解的一般概念，构成纳什均衡战略一定是重复 剔除严格劣战略过程中不能被剔除的战略，就是说没有任何一个战略严格优于纳 什均衡战略。当然，逆定理不一定成立，更为重要的是，许多不存在占优战略均 衡和重复剔除占优战略均衡，却存在纳什均衡。 若一个协议是可以自动实施的( 没有任何参与人有积极性不遵守这一协议) ， 则这个协议就构成纳什均衡，否则，他就不是一个纳什均衡。 第二章基础理论知识介绍 定义( 2 - 9 ) ：有刀个参与人的战略式表述博弈g = “，s 。；，u 。) ，战略组合 s = ( 一+ ，暑，s n * ) 是一个纳什均衡，如果对于每一个i ，s i 是给定其他参与人选 择蔓，= ( ，s i _ i * 。，s n * ) 的情况下第i a 的最优战略，即： 珥s i + ，s 一，) ( ，s 一。) v ies ：，v f 或者另一种表述方式，是下述最大化问题的解： a r g m a x u i，墨+ l ，)f = 1 ，2 ，以；墨s 2 “l & ，墨一1 ，墨+ l ，j z2 l ，z ，以；墨6 2 鞍点均衡鞍点是经济学中一个非常重要的概念，鞍点均衡则是博弈论中 的一个基本模型，是n a s h 均衡均衡的特殊形式。 定义( 2 10 ) ：设f ( x ，y ) 为定义在x a 及y b 上的实值函数，如果存在x a ， y b ，使得对于一切工a 和y b ，有f ( x ，y ) 厂( x + ，y + ) 厂( 工+ ，y ) ，则称( x ，y + ) 为 函数厂的一个鞍点。 2 l 广东t 业大学硕l ：学位论文 第三章奇异双线性系统二次型微分博弈的鞍点均衡 3 1 引言 奇异系统以其独有的特性，受到了诸多学者的重视，并已经取得了丰富的成 果。然而大多数研究都是针对线性系统模型进行的，但多数情况下，非线性特性、 不确定扰动性才是真实的自然现实。而双线性系统是一类特殊的非线性系统。 目前正常系统的非合作博弈理论已经取得了丰富的研究成果，而且奇异线性 系统的非合作博弈理论也已经获得相应成果并成功用于分析奇异系统的鲁棒控制 问题。奇异双线性系统的非合作博弈理论在经济社会领域也有广泛的应用。例如， 多部门动态投入产出分析。因为各部门之间投入要素比例是随时间而变化的，我 们可以通过求解鞍点均衡，n a s h 均衡以及s t a c k e l b e r g 主从策略等来设计各部门 的最优均衡策略。因此研究奇异双线性系统的非合作博弈理论是必要的也是可行 的。为了更好地处理鲁棒控制问题，首先需要研究奇异双线性系统的微分博弈理 论，而鞍点均衡又是微分博弈中一个很特殊的搏弈均衡。 本章在总结已有研究成果的基础上，从博弈论的角度给出了奇异双线性系统 的鞍点均衡的求解算法，并用数值算例仿真验证了本算法的正确性。 3 2 问题描述 考虑具有如下形式的连续时不变线性二次型微分博弈： ，= 1 ( 。) e r q s e x ( t s ) + i 1f ，( x r + 材r 足- - v t 坞v 冲 s ：t 臌= 么z + b “+ 西+ x m ) “+ _ x _ ) ， e x ( o ) = e x o ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中x ( t ) r “为状态变量，u r 和v r 分别为博弈人p 1 和博弈人p 2 的控制 策略，e 是秩r a n k ( e ) = ， o 。设初始条件而在e 的正交补的部分对所有的决策者都是知道的， 第三章奇异双线件系统二次型微分博弈的鞍点均衡 每个决策者都拥有描述变量的完全信息，且在其选择策略时能够利用这些信息。只 的策略为乃r f ，( i = l ，2 ) ，其实现由“u ，v y 来表示，即u = 乃( x ，t ) ，v = 托( x ，t ) ， 其中t 为名允许策略集，甜、v 为只决策空间。，( 乃，托) 表示对允许策略组( 乃，携) 由 ( 3 1 ) 式所给出的，的值。 下面讨论乃，坎是具有如下形式的反馈策略： j 兀( 列) 一k i ( t , x 沁 ( 3 3 ) 【兄( 工，f ) = 一k 2 ( f ，x ) x 定义( 3 一1 ) ：如果闭环系统没有脉冲解，则线性反馈策略组 ( 乃r e ) r 。口r ：。cr 。r ：就称为系统的一个允许策略控制组。相应的， r ，“f ：口cr 。x f ：称为允许策略控制空间。 定义( 3 - 2 ) ：如果对于任意的( 乃托) 1 - l 口r 2 口，( ，y 2 ) 以( 乃，彪) ( 乃，儿) 均成立，则允许策略控制组( 乃，托+ ) r 。口xf ：。构成系统的一个鞍点均衡。 因r a n k e = ，故存在两个非奇异的矩阵日、丁，使得： 船丁：降ol ( 3 4 ) l oo j 再引入坐标变换 x ：丁h l t j ( 3 5 ) 瓦lj - 4 八l5 bj 苗孙刀系现削陴阱义挟，屺刀l 【- ，i fj 。4 _ - i = 此义茯i 、尔现l6 z ， 转变为： 0 。o 儿l r 岛* , 1 = 翌：4 a 2 2 2 x 2 + 复 甜+ 芝 y + 羔 麓 ) “+ 乏 麓 ) v c 3 q 肌 陵_ a e l 甜册树h c = 阻 日t 洲，= x 而i m m , ， ，日t _ ，= 三 麓 ) 。 为了书写的方便，特记 囊 = 瓮 + x 而i 吩m , ， 星 = 皂 + 乏 麓 ) 。 广东t 业人学硕l ：学位论文 i 毫= 4 1 五+ 4 2 而+ 骂“+ q v ( 3 7 口) 【0 = 4 l 五+ 4 2 x 2 + 垦甜4 - c 2 1 ， ( 3 7 b ) ，= 圭而r c 。，g 。，毛c 。，+ 三c ， 置r 而7 l l i 砀e ：r 星： 乏 + “r r ”一v 7 r v 卜c 3 8 ， 其中，q 丁= 耋：r 星i = 曼蠢：乏：乏 ，日叮q ，日= 耋r 星i 。 假设1 ：系统( 3 6 ) 是脉冲可控和脉冲可重构的。 下面给出闭环系统无脉冲解的充分必要条件和假设1 成立需满足的条件n 钉 【l 6 1 ： 引理( 3 1 ) ：对于系统( 3 6 ) ，如果存在反馈策略( 以托) f 。x f ：使得闭环系 统无脉冲解当且仅当系统( 3 6 ) 是脉冲可控的。 引理( 3 - 2 ) ：系统( 3 6 ) 是脉冲可控的当且仅当矩阵1 4 ：豆包 行满秩。 引理( 3 3 ) ：系统( 3 6 ) 是脉冲可重构的当且仅当矩阵 4 ：rq 2 t 行满秩。 设系统( 3 6 ) 存在一个开环的鞍点解( u ，d ，则( u ，v ) 是上述问题鞍点解的必 要条件是下述方程成立： 毫= 4 l 五+ 4 2 恐+ b , u + g 1 ，五( o ) = 五。 丑= 一q 。五一q 2 x 2 4 1 2 一4 1 7 五，丑0 ，) = q i l ，x l ( t s ) 0 = 4 i + 4 2 屯+ 岛“+ c 2 1 ， o = - q , f x , 一q 2 ：恐一4 ：r a 一4 ：r 五 0 = e 丑+ 色五+ 尺1 u 0 = c l a + c 2 五一坞v 由( 3 13 ) 、( 3 14 ) ，得 f “= 一墨。( 巨7 丑+ 豆r 五) 【，= 心1 ( 乞r a + e 2 r 五) 将( 3 15 ) 、( 3 16 ) 带回( 3 9 ) 得 ( 3 9 ) ( 3 1o ) ( 3 1 1 ) ( 3 12 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 第三章奇异双线性系统二次型微分博弈的鞍点均衡 毫= 4 。五+ 4 ：屯一骞r - 1 ( 巨7 + 度r 五) + 己恐。1 ( g r + 岛r 五) = 4 。五一( 蜃r - 1 云i e r - 1 g r ) 丑+ 4 ：x 2 一( 亘墨1 豆r g 心1 岛r ) 五 将( 3 15 ) 、( 3 16 ) 带回( 3 11 ) 得 ( 3 17 ) o = 4 ，五+ 4 z 恐一最墨卅( e 2 丑+ 最2 五) + c 2 r 。1 ( c 1 2a + c 2 2 五) ( 3 18 ) = 4 。五一( b r _ 1 口：一c 2 r 卅g r ) + 4 ：恐一( 岛墨- 1 岛2 一c 2 r _ 1 c 2 1 ) 五 记墨。= 巨墨1 雪i e 恐。1 g r ，墨：= 磊蜀。1 展r 一己恐一岛r ，是：= 息蜀一龟r 一岛恐- 1 岛r 。 则( 3 10 ) 、( 3 17 ) 式联立，有 乏。 ( 3 12 ) 、( 3 18 ) 式联立，有 为了记号的简便，特记 | - 4 。 2 【- 弧 一s 。 一4 。r j 二槲乏：- 刳s , 2 岗 。= b - - 1 吨- - 1 2 删t +【1 ：rj 【- a j 一一h一墨：r13 一【- 一q l ：r 一4 ：7 j 个f 4 ： 正2 l q ：- 划s , 2 ， - 4 ：一是： 2 l - 一q 2 ：一4 ：r j 。 怯2 二跏列2 。， 利用上述定义，( 3 1 8 ) 和( 3 2 0 ) 可简记为如下形式： 主 = 五 i + 正 芝 。= 互 i + 正 艺 若五可逆( 即l 五l 0 ) ，则由( 3 2 2 ) 式有 陆呐图 将( 3 2 3 ) 带入( 3 2 1 ) ，有 主 = c 石一互五- 1 乃， i 记 掰哥蚋 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 以也 。l 广东t 业大学硕十学位论文 ( 3 2 6 ) 则转变为非线性两点边值问 令a = p x , ，其中p 满足如下r i c c a t i 微分方程： 乡= 一矾一4 r p + p s o p q ，p ( t i ) = q l l ， ( 3 2 7 ) 将丑= p x , 代回到( 3 2 2 ) ，有 恐= 厶而，如= 厶 ( 3 2 8 ) 其中： 卧呐嘲 2 9 ， 于是，将 ，五，恐带hg , j ( 3 17 ) ，化简可得最优轨线五应满足的微分方程 形式： 毫= ( a o s o p ) x , ，五( 0 ) = o ( 3 3 0 ) 终上所述，反馈鞍点均衡的解可通过下述定理给出： 定理( 3 1 ) ：假设如下条件成立： ( 1 ) 系统( 3 6 ) 是脉冲可控的且是脉冲可重构的； ( 2 ) 瓦可逆即l 瓦i 0 ； ( 3 ) 在 0 ，f ， 内存在惟一的非负对称矩阵p 满足r i c c a t i 微分方程( 3 2 7 ) ； 那么，线性二次型微分博弈存在非线性反馈形式的鞍点均衡( “+ ， ，) ，且形式 e 为 “叫 巨q k 展 v + 划己叼 展 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 其中，舻 厶二厶小舻 磊厶斗鼻、e 是使得 4 ：一息弓。1 展r 鼻+ e r 2 。1 岛r e 】可逆的任意两个常数矩阵。 1一1 0稍刈m 。l 1j q u& 铲0喝“叫4 也 i l ( 1j： 知件条要 于 必 价 ， 等 算 式 一迢 ， 的 4 一一 驰 上 。 文 以盼 0 过叫 则 通仰 题 第三章奇异双线件系统二次型微分博弈的鞍点均衡 3 3 数值算例 考虑如下形式的微分博弈： ：毫 羔 = 毛： 羔 + ? “+ ： y + 五 毛 + 而 ? ) “+ ? + 砭 ) y c 3 3 3 ， ，= 乏1x 。2 ( 1 ) + 互1f _ 2 + 毪2 + u 2 _ v 2 d t ( 3 3 4 应用上面介绍的算法，矩阵五、互、互、五分别为 吼。+ ：- 2 互= 巴 0 ( 1 蝎) 2 一_ 。( 1 + x 2 ) 2 。 通过( 3 2 5 ) 式，我们计算可得 l + x 2 o j互= 3 爿 乏坍1 ( 1 + x 2 ) 2 - - x 1 2 1 。梦格卜 卜吲 厶二厶啦 i y = t + 而+ 五，p 巴厶三 羔 其中，互，e 是使得【4 ：一度墨。1 豆7 e + 岛恐。1 幺7 e 】可逆的任意两个常数矩阵。 p 的解由如下r i c c a t i 微分方程确定： 户= - 2 p + p 2 x 1 2 - - ( 1 + x 2 ) 2 一i f _ 三号j 一，p ( 1 ) = ， 2 7 广东i n 大学颤学位论女 控制率曲线 时j 司t 图3 1 控制律曲线 f i g u r e 3 1t h ec u r v eo f c o n t r o lr a t e 状态曲线 图32 状态曲线 f i g u r e 3 2t h ec u r v eo fs t a t e )懵)斟器轺 鼋孽。拍靠 第三章奇异双线性系统二次型微分博弈的鞍点均衡 3 4 结论 本文讨论了连续时不变奇异双线性系统二次型控制问题，针对所陈述问题的 特殊性，我们采用了降阶变换，将奇异双线性系统分解为快、慢两个子系统，使 得问题的求解得到简化，最后数值算例证明了该求解方法的有效性。对于本文中 得到的关于奇异双线性系统的有关结论，能够用来处理一些实