11.3格林公式(最终)ppt课件.ppt

2019/12/4,1,第三节格林公式及其应用,一问题的提出,二区域的连通性及分类,三格林（Green）公式,四格林（Green）公式的简单应用,五曲线积分与路径无关的等价条件,六小结与思考判断题,(ApplicationofGreenformula),2019/12/4,2,一问题的提出,在一元函数的微积分中我们通过Newton-lebiniz公式可以把定积分和原函数联系起来.在曲线积分中，我们是否有相似的联系呢？下面的Green公式告诉我们，在曲线积分中，也有相似的联系。即二重积分与曲线积分的联系，这就是我们所要讲授的Green公式。,2019/12/4,3,二区域连通性的分类,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为多连通区域.,多连通区域,单连通区域,2019/12/4,4,区域D分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),机动目录上页下页返回结束,2019/12/4,5,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,曲线L的正向,2019/12/4,6,三格林公式(Greenformula),定理1,(Greenformula),2019/12/4,7,几点说明,其中L为D的边界曲线，取正向,(3)格林公式用于封闭曲线不是封闭线要添加直线或曲线成为封闭线,2019/12/4,8,应用格林公式求曲线积分,步骤：1.先作图并检查是否封闭曲线；,2.找P(x,y)及Q(x,y),并检查是否满足定理的条件;,3.根据格林公式化为二重积分并求出其值;,4.若有添加直线或曲线，则要求出该直线或曲线积分，再求题目要求的值。,2019/12/4,9,2019/12/4,10,2019/12/4,11,L,1）简化曲线积分,四应用(Application),2019/12/4,12,2019/12/4,13,2）简化二重积分,2019/12/4,14,2019/12/4,15,解,2019/12/4,16,2019/12/4,17,(注意格林公式的条件),2019/12/4,18,练习.,设L是一条分段光滑的闭曲线,证明,证:令,则,利用格林公式,得,机动目录上页下页返回结束,2019/12/4,19,3）计算平面面积,2019/12/4,20,五平面上曲线积分与路径无关的等价条件,B,A,如果在区域G内有,2019/12/4,21,定理2,曲线积分与路径无关的条件,2019/12/4,22,两条件缺一不可,有关定理的说明：,2019/12/4,23,曲线积分与路径无关的等价条件,定理3.设D是单连通域,在D内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在D内是某一函数,的全微分,即,机动目录上页下页返回结束,2019/12/4,24,说明:,根据定理3,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,定理2目录上页下页返回结束,2019/12/4,25,2019/12/4,26,解,2019/12/4,27,解,2019/12/4,28,2019/12/4,29,例8.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理3可知,存在函数u(x,y)使,。,。,机动目录上页下页返回结束,2019/12/4,30,六小结与思考判断题,1）连通区域的概念;,2）二重积分与曲线积分的关系,3）格林公式的应用.,格林公式;,2019/12/4,31,4）.等价条件,在D内与路径无关.,在D内有,对D内任意闭曲线L有,在D内有,设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有,机动目录上页下页返回结束,2019/12/4,32,与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,2019/12/4,33,若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考判断题,