（数学专业论文）不确定时滞关联大系统的分散鲁棒性能分析与设计.pdf

摘要 本文研究了不确定大系统的分散鲁棒控制问题。首先对鲁棒控制理论和线性矩阵不 等式方法的发展现状进行了综述，然后针对几种不同类型的不确定时滞系统，研究了这 些系统的鲁棒稳定性条件和鲁棒控制器的设计方法。具体成果如下： 1 针对一类不确定关联时滞大系统，考虑系统的不确定性及时变时滞的特点，并引 入了时滞相关度因子，讨论了系统具有鲁棒稳定性的充分条件，并设计系统的无记忆状 态反馈控制器，给出相应的证明，并在一定程度上保证了系统的状态反馈控制器具有较 小的反馈增益，最后通过仿真实验验证了设计方法的有效性。 2 考虑一类不确定项具有数值界的变时滞不确定关联系统的分散鲁棒可靠保性能 问题，设计线性无记忆状态反馈控制器，使得相应的闭环系统对任意容许的不确定性和 给定执行器集合的执行器故障保证系统稳定性和可靠性性能。 3 考虑一类不确定线性时变时滞系统的鲁棒稳定性问题，通过p a r k 不等式和 l y a p u n o v k r s a s o v s k i i 泛函方法，得出系统时滞相关与时滞导数相关的鲁棒稳定条件， 并基于此提出了一种时滞状态反馈控制器的设计方法。 关键词：不确定性，状态反馈，分散控制，时变时滞，保性能控制，线性矩阵不等 式 d e c e n t r a l i z e dr o b u s ts t a b i l i z a t i o nf o r t h el a r g e s c a l es y s t e m s o fu n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e dt i m ed e l a y w u x i a o d o n g ( m a t h e m a t i c ) d i r e c t e db yp r o f z h a n gg a o m i n a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e dt h er o b u s td e c e n w a l i z e dc o n t r o lp r o b l e mf o rl a r g e - s c a l es y s t e mo f u n c e r t a i n t y f i r s t ，t h ed e v e l o p m e n t o fr o b u s tc o n t r o l t h e o r y a n dl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m i ) m e t h o da r er e v i e w e d ；a n dt h e ns e v e r a ld i f f e r e r n tt y p e so fu n c e r t a i ns y s t e m s w i t ht i m e d e l a ya r es t u d i e d ，w i t ht h e i rr o b u s ts t a b i l i t yc o n d i t i o n sa n dt h ed e s i g nm e t h o do f r o b u s tc o n t r o o l e r s p e c i f i cr e s u l t sa r ea sf o l l o w ： f i r s t l y , f o r ac l a s so f l a r g e - s c a l es y s t e m s o fu n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e dt i m e d e l a y , c o n s i d e r i n gt h ef e a t u r eo ft h es y s t e m s ：u n c e r t a i n t ya n dt i m ev a r y i n gd e l a y t h e n d i s c u s s e s i n gt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h er o b u s ts t a b i l i t yo ft h es y s t e m s , a n dt h er o b u s t m e m o r y l e s ss t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r eg i v e nb yp r o v e d ，a n dc o r r e s p o n d i n gp r o o fi n c e r t a i nd e g r e eg u a r a n t e e st h es y s t e ms t a t e - f e e d b a c kc o n t r o l l e rw i t hs m a l l e rf e e d b a c kg a i n f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h eo b t m n e dr e s u l t s e c o n d l y ，t h ed e c e n t r a l i z e df a u l t - t o l e r a n tr o b u s ts t a b i l i z a t i o na n dg u a r a n t e e dc o s t p r o b l e mf o rl a r g e s c a l eu n c e r t a i ni n t e r c o n n e c t e ds y s t e m sw i t ht i m ev a r y i n g d e l a y si ss t u d i e d ， t h ed e s i g no fl i n e a rm e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e r i v e d ，s ot h ec l o s e d 1 0 0 p s y s t e m sf o ra l la d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e sa n dg i v e na c t u a t o rc o l l e c t i o na c t u a t o rf a u l tg u a r a n t e e t h es t a b i l i t ya n dr e l i a b i l i t yo ft h es y s t e m s an e wm e t h o dc a l l e d i n t e g r a li n e q u a l i t ym e t h o d ( i m ) i sp r o r o s e d t o s t u d y t h e d e l a y d e p e n d e n t r o b u s t s t a b i l i t y a n ds t a b i l i z a t i o nf o rl i n e a r s y s t e m s w i t hm u l t i p l e t i m e v a r y i n gd e l a y sa n dn o r m b o u n d e du n c e r t a i n t i e s an e wr o b u s tc r i t e r i o no fd e l a ya n di t s d e r i v a t i o nd e p e n d e n tf o rd e t e r mi nt h es t a b i l i t yo fs y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y si s o b t a i n e d k e yw o r d s ：u n c e r t a i n ，s t a t ef e e d b a c k ，d e c e n t r a l i z e d c o n t r o l ，t i m e - v a r y i n gd e l a y , g u a r a n t e e dc o n t r o l ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y 关于学位论文的独创i 生声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其它人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 研究所做的任何贡献均已在论文中做出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 黝兹 日期：7 1 7 年6 月1 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷 版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构1 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其它复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名： 指导教师签名：邋查至鲨 日期：切了年g 月7 f 4 自期：少，驴年7 月1 日 中国石油大学硕士学位论文 1 1 大系统概述 第一章前言 所谓大系统，即将一个系统分解为相互连接的子系统，若能由各个子系统的性质综 合得到整体的性质就视为大系统。如工业系统中的电力系统，社会经济中的国家行政系 统、自然保护区等。大系统具有规模庞大、结构复杂、功能综合、因素众多等共同特点。 现代管理信息系统的发展趋向是网络化、分布处理和智能化，因而系统也变得越来越庞 大复杂。当面对一个庞大的管理信息系统时，它涉及到复杂多变的管理问题，这时运用 传统的方法就显得乏力了，因为这类信息系统的目标一般很难确切地转化成技术指标形 式，系统的功能也不容易从复杂的组织管理活动中分离出来，因此，必须寻找解决这类 大型管理信息系统的方法。 大系统的主要特征包括：【1 】 1 ) 规模庞大，构成大系统的各个要素( 子系统) 本身就是一个完整系统，如：大型钢铁 联合企业往往由炼铁厂、炼钢厂、轧钢厂等要素组成，而这些工厂本身就自成一个系统。 2 ) 结构复杂，各要素之间存在多级递阶的复杂结构。 3 ) 影响因素众多。大系统一般都是多目标、多输入、多输出、多变量、多干扰的复 杂系统，因此大系统往往具有不确定性( 如模糊性、随机性等) ，并且由于信息不足，从 而造成不确知性。同时，正因为对大系统的影响因素众多，所以大系统的数学模型往往 是高维的、高阶的、系统分析和设计的工作量随维数增大即迅速增长，导致“维数灾难”。 大系统理论是系统科学与计算机科学相结合的产物，其在系统分析、结构设计和模型化 方面提出了信息结构能通性、多级递阶控制及大系统广义模型化方法、多层状态空间等 新的技术和方法。根据各种不同领域的大系统的结构特征，有集中控制理论，递阶控制 理论和分散控制理论三种。 在实际的工业控制中，各种工业生产过程，生产设备以及其它众多的被控对象，其 动态特性一般都难以用精确的数学模型来描述。有时即使能获得被控对象的精确数学模 型，但由于其过于复杂，也难以对其进行有效的性能分析和综合，因此必须进行适当的 简化。另一方面，随着生产过程中工作条件和环境的变化，控制系统中元器件的老化或 损坏，被控对象本身的特性也会随之发生变化，所有这些因素使得描述被控对象的数学 1 第一章前言 模型和实际对象之间不可避免的存在一定的误差。同时，在实际工业控制系统中，时滞 现象大量存在，如长管道进料或皮带传输，缓慢的化学反应过程，网络控制系统信号的 传输以及复杂的在线分析仪等，均会导致时滞现象。不确定性和时滞的存在，造成了系 统控制无论在理论分析上还是工程实际中都有特殊的困难，并且实践证明系统中时滞的 存在常常是系统性能变差和系统失稳的主要原因，同时具有时滞和不确定性的动态系 统，我们称之为不确定时滞系统。研究不确定时滞系统的鲁棒稳定性和鲁棒控制，己经 成为动态系统分析的重要内容之一。 大系统的研究之所以得到广泛的重视，其原因在于，如果复杂大系统运行状态好、 效益高、稳定、可靠、优化、协调，将有利于国计民生，造福于人类社会；反之，复杂 大系统运行状态差、效益低、失稳、故障、劣化、失控，将危害人民的生命财产，破坏 社会环境、国家安定乃至世界和平。9 7 年的亚洲金融危机所给的教训充分说明了这一点。 因此，如何对复杂大系统进行控制和管理? 如何进行复杂系统分析、预测、规划、设计 以改善系统的运行状态，提高运行效益，这是人们面临的重大课题。 1 2 研究现状 大型电力系统、人体系统、通信系统、大工业复杂的生产过程、计算机集成制造 系统、空间飞行器中的各种复杂设旌和柔性机器人系统等系统是复杂控制大系统的典型 例子。对这类系统的研究，涉及不确定性、非线性、分散控制、鲁棒控制、耗散控制、 保成本控制和自适应控制等问题。 以状态空间形式发展起来的现代控制理论，从6 0 年代到7 0 年代，一直集中在线性系 统的研究范围内。到了7 0 年代末，线性控制理论已臻于成熟。但随着科学技术的发展， 被控对象的种类越来越多，被控装置也更加复杂，同时对控制系统的精确性也提出了各 种更高的要求，线性系统模型就不适用了。因此，非线性系统的研究就具有越来越重要 的理论和实际研究价值。 实际系统经常伴随着不确定性因素，所谓鲁棒性是指系统中存在不确定性因素时系 统能保持正常工作性能的一种属性。在鲁棒性问题中，研究得较多的是鲁棒稳定性问题， 即系统存在不确定性时仍能保持渐近稳定。但是迄今为止这一问题的研究结果仍然有 限。就参数空间中的鲁棒稳定性而言，导致研究困难的一个主要问题是参数空间中稳定 中国石油大学硕士学位论文 区域是非凸的，即两个参数点对应的系统为稳定时不能保证连结这两点的直线段上的每 一个参数点均对应于稳定的系统。鲁棒稳定性研究的两个重要进展是，1 9 7 8 年提出的哈 列托诺夫定理和1 9 8 6 年给出的关于多项式凸多面体的棱边定理。在控制科学研究的对象 一控制系统中，由于种种原因存在不确定性或者摄动。用一个数学模型，例如用一个微 分方程组来描述它，总与实际运转的系统存在着某些差别。这种差异表明用单一的数学 模型来刻画系统是不完善的。无论是代数方法还是l y a p u n o v 方法，所判断的渐近稳定性 通常具有开集的性质，也就是当无摄动系统是渐近稳定时，摄动系统总能保证在一个领 域，当不确定性发生在该领域时，对应的渐近稳定就能得到保证。然而，在实际系统中， 情况并非如此。这样，只在微摄动假定下研究系统的渐近稳定而得出的结论，不仅可能 与实际情况差之甚远，而且其本身也变得意义不大【2 ，3 】。 十几年来，针对不确定非线性系统所发展起来的鲁棒控制技术是多种多样的。例如， 首先设计标称系统的l y a p u n o v 函数，再基于这- - l y a p u n o v 函数来设计不确定系统的鲁棒 控制l y a p u i l o v 函数。但这种方法需要系统满足严格的匹配条件。而在逆向递推基础上发 展起来的鲁棒镇定技术则克服了这一不足【4 】。m a r i n o 和t o m e i 用此方法研究了一类非线 性系统的鲁棒控制 5 1 。x i e 以及l i u 、g u 与z h o u 将这类结果推广到了一类更广泛的系统【5 1 。 鲁棒性对于复杂控制系统是一项十分重要的基础研究课题。 玩控制理论是鲁棒控制领域内的另一重要课题。这类问题的实质是优化问题，通 过使系统由扰动至偏差的传递函数矩阵的玩范数取极小，而来综合相应的控制律。玩 控制问题的求解，以及系统存在不确定性时的稳定设计，最终可归结为求解控制理论中 常见的l y a p u n o v 方程和代数r i c c a t i 方程。如何解决综合计算上的困难，如何降低控制器 过高的阶等，都是富于吸引力的课题。对于复杂大系统，或者由于复杂的工作环境，或 者由于建模的复杂性，其中的不确定性问题将要更为突出。8 0 年代中期出现了时滞系统 的以控制研究【6 】，最初的研究在频域上进行，方法是算子理论。9 0 年代后，状态空间 方法成为研究的主要方法。研究的内容有状态反馈控制器设计问题1 7 j 和输出反馈控制器 设计问题【8 。】。研究的方法有r i c c a t i 方程方法和线性矩阵不等式( l m i ) 方法。9 0 年代初 提出了不确定系统的鲁棒以控制问题。这个问题是设计个控制器使得对于一定范围 内的任意不确定性，闭环系统渐近稳定且从干扰输入到控制输出的玑范数小于指定的 1 第一章前言 正数，这个玩范数是指控制输出信号的l ：范数与输入信号的l ：范数比值的上确界。当 不确定性为时不变时，这个玩范数与传递函数矩阵的玩范数相一致。对于具有范数有 界不确定性的线性系统，x i e 1 0 ，1 1 】利用融c c a t i 方程给出了状态反馈以控制器设计方法， x i e 1 2 】、g u | 1 3 1 把动态输出反馈以控制器问题转化成相应的时不变系统的以控制问题来 求解。对于具有仿射参数不确定性的线性系统，z h o u t l 4 1 和j a b b 撕【1 5 】分别给出了鲁棒状态 反馈和输出反馈玩控制器设计的线性矩阵不等式方法。 9 0 年代中期，b e c k e r 1 6 1 、a p k a r i a n l l 7 1 利用线性矩阵不等式方法研究了线性参数变化 系统的玩控制器问题，给出了依赖于参数的时变也控制器设计方法。线性参数变化系 统是时变系统，其状态空间矩阵是一些时变参数的固定函数，而这些参数可以随时测得 作为反馈信息。b e c k e r 16 1 、a p k a r i a n 1 7 1 中的状态空间矩阵是参数的仿射矩阵函数或线性 分式函数。因此鲁棒性和鲁棒控制研究更是一个很有挑战性的课题。 在复杂大系统的控制策略中，普遍采用分散控制方法，这主要是因为由于大系统非 常复杂，如果采用集中控制策略，则往往会由于控制系统回路过多、信息分散等原因而 难于实现，即使能够实现，也存在设计复杂，成本过高、调试维护困难等问题。而且由 于整个系统紧密结合，任一部分的故障都可能对整个控制系统的性能带来严重的影响。 而采用分散控制策略，由于分散控制的特点是：在特定的传感器和执行器之间存在着信息 交流，分散控制系统由多个子系统组成，每个子系统的控制器只观测本地输出和控制本 地输入，因此相对而言，控制器的设计更加方便、容易。也有效避免和降低了集中控制 带来的的各种问题。因此，分散控制成为了大系统控制中优先选择的控制策略。 胥布工等【l8 】针对具有未知常时滞的关联大系统，在一定关联分解情况下，建立了可 由线性矩阵不等式表示的分散镇定条件。余昭旭等【1 9 】基于l y a p u n o v 理论，针对关联矩阵 的不同分解，建立了变时滞线性关联大系统分散镇定的充分条件。同时，还给出了一种 局部无记忆状态反馈控制律的设计方法。s u ha n db i e n l ( 2 0 】利用向量l y a p u n o v 函数和拟对 角占优性，得到线性滞后大系统稳定性的充分条件。刘永清和胥布工【2 h2 2 1 利用a z u m i k h i n 条件研究了时滞控制大系统的分散镇定：年晓红【2 3 】研究了区间时滞系统和时滞大系统的 鲁棒稳定性。g u n d e s 等f 2 4 】设计了一种具有容错能力的分散控制器。s c o r l e t t i 等【2 5 1 利用耗 4 中国石油大学硕士学位论文 散理论对线性时滞系统设计了一种使局部系统和大系统同时镇定的分散h 。控制器。胥 布工等【2 6 】针对线性连续时滞大系统，建立了在一定关联矩阵分解情形下的镇定条件，同 时，给出了分散局部无记忆状态反馈控制器的设计方法。俞立弘7 j 用一组线性矩阵不等式 给出一类线性离散时滞大系统分散能镇定的一个充分条件，进而，通过建立和求解一个 凸优化问题，提出了具有较小反馈增益参数的分散稳定化状态反馈控制律的设计方法。 所得到的控制器不仅使得闭环系统是稳定的，而且还可以使得闭环系统状态具有给定的 衰减度。钟守铭等【2 8 】研究了由非线性扰动子系统组成的时滞大系统的鲁棒稳定化问题， 对每个子系统应用稳定的局部状态反馈、利用李雅普洛夫稳定性准则，结合矩阵r i c c a t i 方程，每一个子系统不确定参数界e h m 矩阵给出，导出了不确定时滞大系统指数稳定的 结果，文中还给出了系统b i b o 稳定的条件。钟守铭等1 2 9 】考虑了由非线性扰动子系统组 成的时滞大系统的鲁棒稳定性问题，利用l y a p u n o v 稳定性准则，对角占优矩阵的方法和 结合矩阵r i c c a t i 方程，获得了系统指数稳定的充分判据。 1 3 本文工作 本文主要研究不确定时变时滞大系统的分析与综合问题。文章前两章首先对鲁棒控 制理论和线性矩阵不等式方法的发展现状进行了综述。采用分散控制方法对大系统进行 研究分析，分散控制是指利用组成大系统的各部子系统信息构成的若干局部控制器，以 实现对整个大系统的控制。第三章其中结合l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式 ( l m i ) 方法，对不确定大系统的分散鲁棒稳定性问题和鲁棒控制器设计问题进行了研 究，引入了一些新的方法，从而使得对不确定时滞系统的应用变得更加方便、精确。第 四章考虑一类不确定项具有数值界的变时滞不确定关联系统的分散鲁棒可靠保性能问 题，设计线性无记忆状态反馈控制器，使得相应的闭环系统对任意容许的不确定性和给 定执行器集合的执行器故障保证系统稳定性和可靠性性能。第五章针对不确定线性时变 时滞系统的鲁棒稳定性问题，利用p a r k 不等式和l a y p u n o v k r s a s o v s k i i 泛函方法，得出系 统时滞相关与时滞导数相关的鲁棒稳定条件，并基于此提出了一种时滞状态反馈控制器 的设计方法。所得出的结论均以线性矩阵不等式的形式给出，应用m a t l a b 中的l m i i 具箱可以方便求解，最后给出了数值实例，验证了设计方法的有效性。 第二章系统稳定性和鲁棒控制理论的研究方法 第二章系统稳定性和鲁棒控制理论的研究方法 2 1 系统的不确定性描述 在实际工程中，控制系统的不确定性是总会存在的。这些不确定性主要分为两类： 一是外部的不确定性；二是系统内部的不确定性，如测量误差、参数估计误差等。因此 难以用精确的数学模型来描述实际的工程系统。本节主要介绍系统的不确定性的基本描 述方法和鲁棒控制的基本方法和概念。 如果系统中存在的不确定性能够引起系统结构或参数的变化，则被控对象实际上是 一个非单一固定不变的系统。如果把这种不确定性理解成取自某一个集合，那么可以把 实际被控对象描述成一个系统集( 。，) 。是模型的精确已知部分，我们把 它称为标称系统；y 表示的可描述集是由系统的不确定性因素构成。那么实际系统 就可以理解为由标称系统。和不确定性因素的集合中的元素构成的。 系统的鲁棒性，指的是标称系统。具有的某种性能指标对于具有不确定性的系 统集( 。，) 的所有成员都成立。如果所研究的是系统的稳定性，那么就称该系统 是鲁棒稳定性；如果所研究的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述品质，那么就 称该系统是具有鲁棒性能准则。 因此，鲁棒控制理论包含两大类问题，即鲁棒性能分析和鲁棒综合问题。鲁棒性分 析指由给定的标称系统。和不确定性集合，推出可以保证系统鲁棒性需要的条 件；而鲁棒性综合就是由给定的标称系统。和不确定性集合的某一描述，基于 鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器c ，使得( 。，) 与c 构成的系统可以满 足期望的性能指标。 无论是鲁棒性分析还是鲁棒控制器设计，必须首先建立关于被控对象集的数学模 型，即标称模型。和不确定性集合。标称模型是由数学模型辨识理论或机理推 导获得，而不确定性系统模型的描述方法主要有可参数化不确定性模型与非参数化不确 定性模型两种类型。 6 中国石油大学硕士学位论文 2 1 1 可参数化不确定性模型 可参数化的不确定性又可称为参数不确定性，即用被控对象模型的参数摄动来表示 的不确定性。这类不确定性通常并不改变模型的结构，如对象模型动态的阶次。实际工 程系统中的各类参数如向量、摩擦系数、电网参数、转动惯量等由测量误差或老化等因 素而引起的变化等，都可以由参数的摄动描述。 如果用状态空间模型来描述系统，可以将参数不确定性描述如下： 瞄yh ( x 黧二d 烈( x 器o ) u 口， 【 = ，p ) +， 、7 这里面，工月”，, 尺”和y 尺，分别表示状态、控制和输入，f ，g ，五和d 则为适当维数 的函数，而 0 = 【q ，岛，幺】7 为未知的参数向量，2 ( f = 1 ，2 ，s ) 是表示未知摄动等不确定因素或误差的参数。 而相对应的线性系统，表示为： 量y 三彳c ( 秒b ) x x + + b d ( 护o ) 材u ( 2 2 ) 【 = 、 其中，a ( o ) r “”，b ( 9 ) i u x m , c ( p ) 尺舢和d ( o ) 月”是未知向量0 r 3 的矩阵函数。 对彳( 秒) ，b ( 秒) ，通常表示为标称值与摄动部分之和的形式，即 a ( o ) = 4 + z m ( o ) 刀( 目) = 玩+ b ( 秒) 而且，将创( 9 ) 和衄( 护) 中己知的成分尽可能地分离出来，表示为如下形式： f 鲋( 口) = e ( 口圪 【衄( 口) = 毛( 秒塬 实际上，这种分离形式不是唯一的。选择分离形式的将会影响到鲁棒控制系统设计 的保守性。 2 1 2 非参数化的不确定性模型 如果仅仅用参数摄动不能表示不确定性的影响时，就可以用未知的动态方程或未知 第二章系统稳定性和鲁棒控制理论的研究方法 的撮动函数来表示。我们把系统的这类不确定性称为非参数不确定性。如果用关于状态 的函数摄动来描述不确定性，则非线性系统的非参数化不确定性可以表示如下： 岳y 翟二忽：鬻麓a d ( x ) u “ ， 【= 办( x ) + ( x ) + 【d ( x ) + 。 其中，g ，办和d 为已知矩阵或函数向量，矽( x ) ，a s ( x ) ，五( x ) 和a d ( x ) 为未知矩阵或函 数向量。 在式( 2 3 ) 中，当标称系统是线性系统时，则可以表示为： j 戈= 血+ 厂( x ) + 召+ g ( x ) m ( 2 - 4 ) 【y = c x + 办( x ) + d + d ( x ) 甜 其中，a ，b ，c ，d 为具有适当维数的已知矩阵。进一步，如果摄动函数 a f ( x ) ，9 0 ) ，幽( x ) ，a d ( x ) 也是线性函数，则上述系统可以表示为 l 戈= a x + a a x + ( b + a a ) u 【y = c x + a c x + ( d + a o ) u 、7 、 f 2 5 ) 其中，a a ，a b ，a c ，a d 为未知矩阵。 类似于参数的不确定性，在建立如上的数学模型时，为了尽可能减少鲁棒系统设计 时的保守性，需要把摄动函数中已知部分分离出来。譬如，将( x ) 分离成 a f ( x ) = e ( x ) ( x ) ( 2 6 ) 其中，e ( x ) 为n xs 维的已知函数矩阵，( x ) 为s 维的未知函数向量。或将鲋表示为 如下形式： 削= e f ( 2 - 7 ) 其中，e ，f 为具有适当维数的已知矩阵，为未知矩阵。 静态函数摄动所描述的不确定性是不会改变系统的维数，也就是说，系统状态变量 的数量不会由不确定性增加。但是，实际系统中，对其自身具有动态的不确定性因素， 必须通过独立的状态变量描述。对于一些非线性系统，如： 中国石油大学硕士学位论文 摩鞘怊 刃弦 ， 其中，f r 。描述的是不确定性的未知状态，q ：r ”r 3 _ r 5 和尸：r 5 寸r 是未知的向 2 2 系统的稳定性问题 稳定性判别问题【2 9 1 。 其中x ( f ) 为r l 维状态向量，厂 x ( f ) ，f 】是刀维函数向量，每一分量，都是状态x ( t ) 和时 又设在给定初始条件f = t 0x ( t o ) = x o 时，式( 2 - 9 ) 有唯一解，用( f ，托，t o ) 表示其 式( 2 1 0 ) 表示从初始时刻乇开始，由初始状态x o 为起点在聆维状态空间的运动轨线。很 如果在方程( 2 9 ) 中，存在着鼍，使得对所有的，都满足 第二章系统稳定性和鲁棒控制理论的研究方法 x ( o = 厂【x e ，f 】= 0 ( 2 1 1 ) 则称置为系统的平衡状态。若系统为线性定常的，即f x ，r 】- a x ，则当d 为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态以= 0 ；如果彳为奇异矩阵，则系统有无穷多个平衡状态。 对于非线性系统，可以有一个或多个平衡状态，这些平衡状态都是满足式( 2 一1 1 ) 的解。 对系统的任意一个平衡状态，都可以通过坐标变换移到坐标原点。而研究系统的稳 定性，就是研究系统在平衡状态的稳定性问题。因此，一般地就是研究系统在原点处的 稳定性。而对于非线性系统，有多个平衡状态，就必须分别研究系统各个平衡状态。 2 稳定性 如果对于任一给定实数s 0 ，都存在另一个与占取值有关的实数万( s ，t o ) 0 ，使得 下列不等式成立，即 l i k 一以0 万( 2 - 1 2 ) 就一定有 i i x 一五0 g t _ t o ( 2 1 3 ) 则称系统( 2 9 ) 的平衡状态五在李亚普诺夫意义下是稳定的。通常艿的取值与占和f 0 有 关。如果万t o 无关，则称五为系统( 2 9 ) 的一致稳定的平衡态。 平衡状态稳定的物理意义就是，从平衡态置距离小于等于万的某邻域s ( 8 ) 出发的 初始状态k ，其状态转移轨线x ( f ) 与平衡态置的距离小于给定的任意实数1 5 。 3 渐进稳定性 如果系统的平衡状态以在李亚普诺夫意义下是稳定的而且从与平衡态五的距离 小于等于万的邻域s ( 8 ) 出发的任意一个状态转移轨线x ( t ) ，当，趋于无穷大时，都趋近 于x e ，则称平衡态置是渐进稳定的。邻域s ( 万) 就是平衡态置的渐进稳定域，从邻域 s ( 万) 外出发的状态转移轨线x ( o 将不随f 的增大趋于托，但是仍可为稳定的，即x ( ，) 与 五的距离小于某一占数。 i o 中国石油大学硕士学位论文 4 大范围渐进稳定性 如果从平衡态五周围所有状态出发的状态转移轨线都满足渐进稳定性，即随f 趋于 无穷大，x ( f ) 都无限趋近于五，则五就称为大范围渐近稳定的。 5 不稳定性 如果对于某个实数占 0 ，不管实数万取多么小，在五的邻域s ( 万) 内总存在最少一 个初始状态x o ，使得从这一状态出发的状态转移轨线x ( f ) 与置的距离超过给定的s ， 那么平衡态鼍就称为不平衡的。 2 2 2 l y a p u n o v 稳定性理论 李亚普诺夫第二方法是从能量观点出发而得出的一个判别系统稳定性的理论。当时 间f 趋于无穷时，系统积蓄的能量必达到一个极小值。那么设法用一个辅助函数来衡量 系统的储能，判别系统平衡点附近的稳定性问题转化为判别储能辅助函数及其变化规 律。 对于复杂的系统，不一定具有明显的物理意义，但是其思想是一致的。基于这种能 量观点，得出李亚普诺夫稳定性定理如下： 定理2 - l 如果系统( 2 9 ) 在平衡态置的某个邻域内存在一个正定的具有连续一阶偏 导数的标量函数v ( x ，) ，其导数矿( x ，f ) 是负半定的，则平衡状态置是一致渐进稳定的。 如果当0 x 0 专o o 时， v ( x ，f ) 专，则该平衡状态是大范围内一致渐进稳定的。 定理2 - 2 如果系统( 2 - 9 ) 在平衡状态t 的某个邻域内存在一个正定的具有连续一 阶偏导数的标量函数矿( x ，f ) ，其导数矿( x ，f ) 是负半定的，而且叫( f ，x o ，f o ) 】对任意的岛 和x o 0 ，在f t o 时不恒等于零，则平衡状态z 是大范围渐进稳定的。其中( f ，x o ，t o ) 表示从气，k 出发的状态轨迹。 定理2 3 如果系统( 2 9 ) 在平衡状态z 的某邻域内存在一个正定的具有连续一阶偏 导数的标量函数v ( x ，f ) ，其导数矿( 五，) 在同样的领域内是正定的，则平衡状态置是不 第二章系统稳定性和鲁棒控制理论的研究方法 稳定的。 上述定理中的标量函数矿( x ，f ) 称为李亚普诺夫函数。只要找到适当形式的李亚普 诺夫函数，它满足上述定理之一则可判定该系统为稳定的或不稳定的。如果一时找不到 合适的李亚普诺夫函数，则不能判定系统的稳定性如何。因此，李亚普诺夫稳定性定理 是判定系统稳定的充分条件。而且，李亚普诺夫函数对某一个系统而言并不一定是唯一 的。 2 2 3l y a p u n o v 函数的构造 应m l y a p u n o v 第二方法的关键在于能否找到一个合 i 拘l y a p u n o v i g l 数。到目前为 止，尚未寻求到一个统一的寻求l y a p u n o v i 函数的一般方法。一般地，对于线性系统或近 似线性系统，通常v ( x ，f ) 可以取为x 的二次型，而对于非线性系统来说，第二方法只给 出了充分条件。在大多数情况下，往往因为找不到满足稳定性条件的l y a p u n o v i g l 数，而 不能对系统的稳定性做出判断，这样促使人们从两种途径去研究非线性系统的稳定性条 件，即选择某种特殊的函数作为l y a p u n o v i g l 数，以及研究某些特殊的非线性问题。为此 产生了一系列方法，有针对特殊函数的变量梯度法、j a c o b i 矩阵法( 也n k r a s s o v s k y 方法) ， 有针对特殊非线性的线性近似法( 也叫阿依捷尔曼法) 、鲁立叶法等【3 l l 。 l y a p u n o v i 函数的构造思路主要有下面几种： ( 1 ) 原则性的方法是先试探构造出一个正定的l y a p u n o v i 函数，然后求解沿方程组解的 导数v ( x ，) ，看方程组的右端已给的条件能否保证矿( x ，) 负定，或半负定。如果能保证， 则可断定渐近稳定性、稳定性。如果不能保证矿( x ，t ) 负定、半负定，那么任何稳定性结 论也无法获得，只得重新寻找别的方法。这种方法是几乎所有稳定性专著中普遍采用的 方法，成功的例子很多，例如，二次型、平方和、线性加权型、绝对值加权型、二次型 加非线性积分项型等。 ( 2 ) 先令旷( x ，f ) 满足负定( 或半负定) 条件，然后通过积分求得v ( x ，) ，看是否能由方 程组右端的条件保证v 是正定的，如果能保证，则可以断定渐近稳定性、稳定性，否则， 任何结论也得不到，只能另找方法，沿第二种方法的方向有所谓的梯度方法，以及构造 梯度的选取不同而派生出来的所谓变梯度法、积分法、能量度量法等。 中国石油大学硕士学位论文 ( 3 ) 所谓的微分矩阵法，即同时构造v ( x ，r ) 和f r ( x ，f ) 这两个函数。 2 3 线性矩阵不等式( l m ) 方法 l m i 最早出现于1 8 9 0 年，其本身仅是个不等式，原先也没有给予充分的重视，由 于受手工计算的限制，人们只能解决低阶的l m i 问题，l u r i e 发现了l m i 和r i c c a t i 方 程的重要联系，还指出l m i 在计算上可能有某些优于r i c c a t i 的地方。1 9 8 2 年p y a t n i t s k i i 和s k o r o d i s k i i 最先指出了l m i 可能转化为易于计算机计算求解的凸优化问题。至1 9 8 8 年，可用于直接求解l m i 的内点法程序被开发出来，在算法上较r i c a t t i 的优越性非常 明显，且在鲁棒控制分析和综合方面，l m i 公式能有更多的自由度和潜在的应用【3 们。 到这时l m i 作为工具在控制理论方面才引起了人们的重视。 所谓的l m i 是指一个具有如下形式的矩阵不等式： f ( x ) = f o + x i f ， 0 其中x 是一个其元素为( f _ 1 ，2 m ) 的未知向量，鼻是给定的对称矩阵。显然，上 述矩阵不等式表明f ( x ) 是负定的。由于f ( 工) 0 ，向量x 的集合是凸的，这样任何具有 这类约束和凸指标的鲁棒控制问题都可以简化为一个凸优化问题。凸优化问题的特点 是，其最优解是全局的，而且存在着求最优解的有效算法。 因为集合缸i f ( x ) o ) 是一个凸集，线性矩阵不等式的求解从而可以转化为凸优化 问题的求解。内点法、椭球法等是求解线性矩阵不等式的有效方法【3 1 1 。 三类标准的线性矩阵不等式问题的求解方法。 ( 1 ) f e a s p 函数 对如下的线性矩阵不等式： 彳( x ) b ( x ) + 力， f e a s p 将在上面的约束下搜索决策变量工，使得满足上式的五最小化，显然，最终如果 九；。 o ，则线性矩阵不等式a ( x ) b ( x ) 有解，且对应的x 即为一组可行解。 f 2 ) m i n c x 函数 在线性矩阵不等式 1 3 第二章系统稳定性和鲁棒控制理论的研究方法 彳( x ) b ( x ) 约束下，最小化c r x ，其中，c 是决策系数，x 是决策变量。 ( 3 ) g e v p 函数 求解如下的广义特征值最小化问题 m i n2 j s ：t c ( x ) d ( x ) 0 圆( x ) 彳( x ) 见b ( x ) 控制理论研究中经常遇到复杂的矩阵不等式，通过下面的s c h u r 引理可以转化为线 性矩阵不等式，这也是线性矩阵不等式在控制理论研究中能够得到广泛应用的主要原因 之一。 线性矩阵不等式处理方法可以克服r i c c a t i 方程处理方法中的很多不足。线性矩阵 不等式方法给出了问题求解的一个凸约束条件，因此，可以应用求解凸优化问题的有效 方法来进行求解。正是这种凸约束条件，使得在控制器设计时。得到的不仅仅是一个满 足设计要求的控制器，正是从凸约束条件的任意一个可行解都可以得到一个控制器，即 可以得到满足设计要求的一般控制器。这一性能在求解系统的多目标控制问题时是特别 有用的。 1 4 中国石油大学硕士学位论文 第三章一类不确定关联时滞大系统的分散鲁棒镇定 时滞现象广泛存在于各个实际控制系统中，在大系统模型中又存在着关联时滞，时 滞是许多物理系统不稳定的原因，因此对不确定时滞系统的研究受到越来越多学者的研 究。由于实现的可靠性、实时性与经济性，分散控制成为大系统理论中的一个重要分支 3 5 - 3 7 1 o 在对系统不确定项的处理上，由开始的满足其匹配条件，到目前的对不确定项表示 为范数有界的形式【3 8 4 1 1 ，由于这种范数有界形式不需要满足匹配条件，因此更具有实际 意义。文章【4 2 】对带有时变时滞的大系统，通过对关联矩阵分解，采用r i c c a t i 方程方法 进行研究，得到了分散镇定的条件，但是其研究的系统中不含有不确定项。文【4 3 1 使用 l m i 方法，对变时滞不确定关联系的分散鲁棒容错控制问题进行了研究，其中的不确定 项由数值界表示。文【删对不确定时滞大系统的鲁棒镇定进行了研究，但是没有考虑关联 项的时滞。本文在【4 5 4 6 】的基础上，把一种新的时滞依赖型鲁棒镇定问题的设计方法推广 到大系统的研究分析中去，得到了相应的结果。 3 1 问题描述 考虑一类由n 个子系统构成的，有数值界且可不满足匹配条件的关联时滞大系统， 其子系统方程： x l ( f ) = 【4 + m 】薯( f ) - i - 【e + 蝎】甜，( f ) + j 【鸣+ a a # x j ( t - r # ) ( 3 一1 ) i = l 其中，薯( f ) r 一是第f 个系统的状态向量，( f ) r 一是第f 个系统的输入控制向量，标 称系统4 和e 具有适当的维数，( 4 ，e ) 是可控的，4 为第个子系统对第f 个子系统的 关联作用矩阵，乃为关联项中时滞，m ，丝和鸭为时变不确定项，有如下数值界： m l _ 口，a s , - 巨 卜崛，i ，y - - 1 ，2 ，n ( 3 - 2 ) 其中：口，e 和见为实常数矩阵，其元素非负，并分别与a 4 ，够和弛维数相同。i a i _ 五 1 5 第三章一类不确定关联时滞大系统的分散鲁棒镇定 表示的是：l i _ 0 ，有 r7 】，+ j ，r x a x7 x + 口一1 】，7 】， 成立。 引理2 设么，b r n x n ，a b ，则有c ，a c c 7 b c ，v c r “成立。 引理3 1 2 1 若刀聊阶矩阵鲋满足l 鲋i d ，则有 q ( d ) 鲋鲋tf ( d ) 鲋幽7 。 其中： q ( d ) = 朋d d 7 陋7 10 ， n * d i a