（概率论与数理统计专业论文）cdar在投资组合理论中的应用研究.pdf

摘要 c d a r ( c o n d i t i o nd r a w d o w n - a t - r i s k ) ，或称条件d a r ，是在v a r 风险测量方法的基础上产生的。早在2 0 0 0 年由r o c k f e l l a t 首次提出， 其含义是组合损失超过d a r 部分的平均损失。它反映了超额损失水 平，较v a r 测量方法更能体现投资组合的潜在风险。 本文重点研究了c d a r 在投资组合理论上的运用，在研究过程中 力求用系统理论、归纳、演绎、比较与实证分析的研究方法。首先从 总体e 介绍了投资组合理论的发展过程，包括经典的均值一方差、均 值一v a r 方法、均值- c v a r 方法，并分析了它们的缺陷，然后对c d a r 风险测量方法进行了深入的研究，对其概念、参数选择、计算、性质 等方面作了详细的探讨，得出的结论是c d a r 风险测量方法比传统的 风险测量方法拥有更多的优点。 其次，对c d a r 在投资组合理论中的运用进行了深入的研究。主 要考虑了摩擦市场和无摩擦市场两种情形，其中摩擦市场主要考虑税 收、交易费用对投资组合的影响，首次考虑交易费用呈分段形式的投 资组合优化模型，并引入0 - i 变量，将该问题转化为运用o - l 变量的 非线性规划问题。对于摩擦市场和无摩擦市场两种情形我们分别研究 了基于c d a r 的单期投资组合优化模型，对于长期投资者我们提出基 于c d a r 的两阶段组合优化模型，该模型充分考虑了市场的短期行为 和市场的长期行为，为长期投资者投资决策提出了一个更科学合理的 的新思路。同时本文对模型进行了实证分析，验证了模型的有效性。 最后对本文进行了小结并提出自己的研究展望。 关键词：风险测量方法；c d a r ：投资组合；优化模型 a b s t r a c t t h er i s km e a s u r em e t h o do fc d a r ( c o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ) i s d e v e l o p e do nb a s i so ft h ev a r ( v a l u e - a t - r i s k ) m e t h o d ，w h i c hi sr a i s e db y r o c k a f e r l i a ra t2 0 0 0 t h ei m p l i c a t i o no fc d a ri st h ec o n d i t i o n a ll o s so v e r d a r o f p o r t f o l i o ，w h i c hr e f l e c t st h ea v e r a g ee x c e e dq u o t a c d a rm e t h o d r e f l e c t su n d e r l y i n gl o s sb e t t e rt h a nc v a rm e t h o d t l l i sp a p e rf o c u s e so nt h ea p p l i c a t i o no fc d a ri nt h ep r o t f o l i o t h e o r y i nt h ec o u r s eo fr e s e a r c h i n g ，id om yb e s tt ou s et h em e t h o do f s y s t e mt h e o r y ，i n d u c t i o na n dd e d u c t i o n 。c o m p a r i s o na n de m p i r i c a l a n a l y s i sa n ds oo n f i r s t l y ，t h ep a p e rt o t a l l yi n t r o d u c e saf e wk i n d so ft r a d i t i o n a l p o r t f o l i ot h e o r y ，i n c l u d i n gt h ec l a s s i c a lm e a n v a r i a n c et h e o r y ，m e a n - v a r t h e o r y ，m e a n c v a rt h e o r ya n dt h e i rd e f e c t t h e np u tf o r w a r d c d a rr i s km e a s a r em c t h o d ，i n 仃o d u c ea n da n a l y s et h ed e f i n i t i o n ，t h e p a r a m e t e rs e l e c t i n g ，t h ec a l c u l a t i o n ，t h ep r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n sa n d s oo n t h ec o n c l u s i o ni st h a tc d a ri sb e t t e rt h a nt h et r a d i t i o n a lo n e t h e nw es t u d yt h ea p p l i c a t i o no fc d a ri np o r t f o l i ot h e o r y ，c o n s i d e r m a i n l yt h ep r a c t i c a lm a r k e tw i t hf r i a i o na n dt l l eo n ew i t h o u tf f i c t i o n w e c o n s i d e rt h ep r a c t i c a lm a r k e t ，a f f e c t e db yt a xa n dt h et r a n s a c t i o nc o s t w e l l s ev a r i a b l e so fz e r oa n do n ea n dt u r nt h e p o r t f o l i om o d e lw i t hc e n t s e g m e n tt r a n s a c t i o nc o s ti n t oan o n l i n e a rp r o g r a m s i ne v e r ym a r k e tw e c o n s i d e rt h em e a n c d a rm o d e l t h e nw ep u tf o r w a r dat w op 嘶o d c o n s t r a i n e dp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o nb yc d a r ，w h i c hc o n s i d e r st h es h o r t a c h o ua n dt h el o n go n eo ft h em a r k e ta n dp r o v i d e san e wi d e af o ral o n g t e r mi n v e s t o rt oe s t a b l i s har a t i o n a lp o r t f o l i o w ea n a l y s i se v e r ym o d e l w i t he x a m p l e sa n df i n dt h em o d e l sa r ev a l i d 1 a s t l y ，w ec o n c l u d et h i sp a p e ra n dp u tf o r w a r ds o m ev i e wo no u r s t u d y k e y w o r d ：r i s km e a s u r e m e n t ；c d a r ：p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 拉携词年 月”日 j q 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密回。 2( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：孓电v 3日期：砷年 月抽目 导师签名：惫唧艚 日期：加7 年万月r d 日 c d a r 在投资组合理论中的应用研究 第一章导言 1 1 选题背景 近二十年来，由于受经济全球化和金融一体化、现代金融理论及 信息技术、金融创新等因素的影响，一方面全球金融市场迅猛发展， 越来越多的国家和地区享受经济一体化与创新所带来的好处，另一方 面一体化与创新业把原先局限于一国一地的风险带到世界经济这一 更为广阔的舞台，全球范围内汇率、利率、股票价格以及商品价格呈 现出前所未有的波动，金融市场呈现出前所未有的波动。工商企业、 金融机构面临着日趋严重的金融风险，频频发生的金融危机不仅严重 影响金融机构的正常运行，而且对一国的金融与经济的稳定发展构成 严重影响。如1 9 9 7 年亚洲金融危机，1 9 9 8 年英国长期资产管理基金 ( l o n gt e r mc a p i t a lm u t u a lf u n d ) 事件，2 0 0 4 年的中航油事件等， 其造成的损失都在数百亿美元以上，此为本文选题背景之一。 我国自十一届三中全会以来，市场经济不断得到发展与深化，国 内的金融市场呈现出前所未有的波动，随着中国的入世。充满生机和 活力的中国证券市场同样充满着困惑与风险。如何接受并学习新的法 则、概念、方法，如何加快金融与投资领域的研究步伐，如何为资本 市场的发展与完善和为投资者的投资活动提供理论支持，探索适合中 国社会主义市场经济相关的金融投资体系、运行机制，无论对投资者 还是监管者显得尤为重要，此为本文选题背景之二。 1 2 选题的意义 自1 9 5 2 年m a r k w i t z 用方差来量化股票收益的风险，提出了投资 组合的选择为均值一方差分析方法，首次对风险数量化研究。从而揭 开了现代股市的序幕，开辟了风险管理的新思路。可以说，投资组合 选择的研究带动了现代金融学的发展。本文投资组合选择的研究是现 代金融理论研究的起源和动力之一。 随着中国的入世，市场经济的完善以及资本市场的发展，金融市 硕士学位论文 场进一步开放，风险投资已成为生活中的重要选择。金融风险引起全 球工商企业金融机构、政策当局以及学术界的密切关注，研究这一课 题对投资者而言，会起到更好地发现风险、管理风险以及规避风险的 作用，防患于未然，把风险扼杀在摇篮中。对金融市场监管者而言提 供了一种评价金融机构总风险的机制，有利于金融机构加强内部风险 评价、风险管理、风险控制。可以说金融风险管理成为工商企业和金 融机构、经营管理者的核心能力之一，这也是选择投资组合理论进行 研究的原因之一。 在v a r 基础上改进的一种新的风险度量方法c d a r ，与v a r 相比 有其优越性，c d a r 函数具有次可加性，而且是凸的，特别是在投资 组合优化决策时，以c d a r 为优化目标可采用线性规划方法进行求解， 对金融机构和投资者有重要意义。基于c d a r 的投资组合优化研究在 国外刚刚起步，国内只有一篇文章对此进行介绍，且不系统全面，因 此对这一前沿课题进行系统研究，使我国学术界与世界学术接轨，会 起到一个很好的桥梁作用，具有重要的现实意义。 1 3 现代投资组合选择模型的国内外研究概况 现代投资组合理论( m o r d e r np o r t f o l i ot h e o r y ) 研究的是各种 互相关联的、确定的、特别是不确定的条件下，理性的投资者应该怎 样做出最佳投资选择从而决定把一定数量的资金按合适的比例，分散 投资于各种不同的证券上，以实现效用最大化目标。 下面我们需要回顾和分析各种具有代表意义的投资组合选择理 论模型。 1 9 5 2 年，哈里马柯威茨( h a r r ym a r k o w it z ) “刈的均值一方差模 型，该模型实际上是一个以投资组合的期望收益( 均值) 和风险( 方差) 为目标的双目标决策模型，模型中阐明了确定投资组合有效前沿的方 法。为了减少模型参数( 协方差) 估计的计算量，s h a p e “1 给出了投资 组合选择的单因子( 单指数) 模型。使现代投资理论能够应用于大量证 券存在时的投资实践中。 均值一方差模型与指数模型都是建立在收益率的方差度量风险的 c d a r 在投资组合理论中的应用研究 基础上，而方差有影响资产的收益率，相对于期望值的偏高程度，它 将收益率高于或低于期望值都看作存在的风险，这与投资者的心理不 合。 此后人们进行了许多研究，使用了不同的风险度量指数建立相关 模型。马柯威茨d j ( m a r k o w t z ) 和捌等讨论了均值一下半方差模型； k o n n o 和s u z n k i 旧1 给出了均值一方差一偏度模型；k o n n o 和y a m a z a k i ”1 用期望绝对偏差来刻画风险，给出了一个投资组合选择的线性规划模 型，称为均值一绝对偏差模型，在收益服从正态分布条件下。期望绝 对偏差与方差相一致( 只差一个常系数) ，该模型后来如同均值一下半 方差模型那样发展成均值一下半绝对偏差模型iy o u n g 叫利用极小极大 规则建立了一个投资组合选择的线性规划模型，该模型实际上是以投 资组合收益的最小顺序统计量作为风险度量；c a i 叫等用投资组合各 项资产收益中的最大期望绝对偏差来刻画风险，也给出了一个投资组 合选择的线性规划模型，同时各出了解析的投资组合策略。其他组合 选择模型包括：r o y ( 1 9 5 2 ) “们提出了安全一首要模型，随机占优模型等。 不同的风险度量及组合选择模型从不同角度反映投资者的投资 行为与偏好关系，所得到的最优组合中资产的分配也可能不同。近年 来，以v a r 为代表的新型风险管理方法的采用，使得研究者对在这些 风险度量下投资组合优化的理论与实际问题做出了大量的工作。国外 学者对其研究已经十分成熟了。如j o r i o n “、d o w d “、b e s t “3 1 都有 关于v a r 的专著，还有很多学者在世界知名刊物上发表了大量关于 v a r 的论文。1 9 9 6 年巴塞尔委员会还推出了一个关于市场风险模型扩 展的建议，“钔允许银行使用它们自己的v a r 模型来决定其资本要求， 2 0 0 1 年1 月巴塞尔银行监管委员会利用v a r 指标作出了3 项资本充 足性规定“，国内学者对v a r 的研究也日渐成熟，最具代表性的就是 天津大学管理学院的王春峰教授的专著金融市场风险管理“副，另 外还有很多研究者利用v a r 对上证指数和深指进行了实证研究，见参 考文献 1 7 2 0 。还有很多研究者对v a r 的应用及内部性质进行了较 深的研究，如参考文献 2 l 2 4 。 并非每一种风险测量方法都是正确的，v a r 的流行也并非意味着 硕士学位论文 v a r 无缺陷。a r t z n e r 乜5 。6 1 f r i t t e r 乜7 1 g i o r g i o 汹1 等学者提出一致性风 险度量，b e d e r 啪1 提出了v a r 的两点缺陷，a r t z e r a l 乜6 1 通过实证研究 认为，v a r 在非正态条件下不满足次可加性，即v a r 不是一个一致性 风险度量。m e c k a y 啪1 认为v a r 不能表示为各种组合资产头寸的函数。 至今无法对其进行直接优化。 对c v a r 风险测量方法国外是从1 9 9 9 年开始的，到目前为止已经 较为成熟。最早提出c v a r 风险测量方法的是r o c k a f e l l a t 和u r y a s - e v ，( 他们早在1 9 9 9 年就已经提出并公布于网上) b “，在文中讨论了 c v a r 的等价定义、性质、计算及样本逼近等，并部分地解决了资产 收益服从正态分布条件下组合的优化问题：r f l u n g 1 于2 0 0 0 从定 义、性质及计算等方面对v a r 和c v a r 之间进行了比较分析。a n d e r s o n ( 2 0 0 0 ) 口”利用c v a r 对信用风险进行了检测分析；n i k o l a s ( 2 0 0 2 ) m 利用c v a r 对资本配置进行了分析与实证研究，同时还与m a d ( m e a n a b s o l u t ed e v i a t i o n ) 进行了比较：r o c k a f e l l a r ( 2 0 0 0 ) ”“蚓等对c v a r 的优化算法和应用作了较详细的综述r o c k a f e l l a r ( 2 0 0 2 ) 啪1 对于损失 服从一般分布的c v a r 模型进行了研究；p a l m q u i s t ( 1 9 9 9 ) b 7 1 对均值一 c v a r 有效前沿进行了研究。国内有几篇论文 3 8 4 1 对c v a r 的概念 及优化进行了简单的介绍和研究。至于c d a r ，是a l e x e ic l e k h l o v 等人在2 0 0 0 年的研究报告中首次提出的一种新方法。国内对于c d a r 的研究刚刚起步，目前只有一篇相关的论文m 1 。 综上文献所述所得结论如下： ( 1 ) 均值一方差模型和v a r 在现代投资组合和风险管理的理论研 究都已成熟，其应用已得到广泛的认可，但实际上v a r 方差存在严重 的缺陷，它不满足一致性风险度量的标准。 ( 2 ) 国内外对新近发展起来的c v a r 研究日趋成熟，已经有了许多 成熟的理论。对c d a r 的研究刚刚起步，国内研究几乎一片空白，怎 样对c d a r 进行系统研究，并结合中国的证券市场实际情况研究适合 中国市场的证券组合选择问题还有待我们进一步探讨。 c d a r 在投资组合理论中的应用研究 4 本文的技术路线及内容框架 本文对c d a r 风险测量方法及其在投资组合理论中的运用的研究 过程中力求运用系统理论、归纳演绎、比较分析和实证分析等方法， 在实证过程中主要用到m a t l a b 优化工具箱。 全文的技术路线如图卜1 所示。 全文共分四章，基本内容为：第章中提出研究背景及意义，对 国内外的研究概况进行总体的综述：第二章首先介绍常见的投资组合 优化模型，主要对经典的均值一方差模型、均值一v a r 模型、均值一c v a r 模型进行了概述，并简要分析了传统投资组合优化模型的缺陷。然后 详细介绍了c d a r 的概念、参数选择、计算及其性质；第三章重点研 究c d a r 在投资组合中的应用，重点讨论了四种基于c d a r 的投资组 合优化模型，分别是无摩擦市场基于c d a r 单期优化模型、无摩擦市 场基于c d a r 的两阶段优化模型、摩擦市场基于c d a r 的单期优化模型， 摩擦市场基于c d a r 的两阶段的优化模型；第四章简要对本文进行了 总结并提出了自己的研究展望。 本文的创新主要体现在以下几个方面： ( 1 ) 首次对c d a r 的概念、性质、应用等进行系统全面的介绍； ( 2 ) 首次提出基于c d a r 的两阶段优化方法，为长期投资者提供一 个新思路。 ( 3 ) 结合中国的证券市场提出了摩擦市场下基于c d a r 的优化模 型，并把交易费用呈分段形式的最优投资组合模型转化为0 - 1 变量的 非线性问题。 ( 4 ) 利用中国证券市场的1 5 只股票进行实证分析，验证模型的有 效性。 硕士学位论文 图1 1 技术路线图 c d a r 在投资组合理论中的应用研究 第二章常见的投资组合优化模型 2 1 均值一方差模型 现代投资组合理论( m o r d e r np o r t f o l i ot h e o r y ) ，也有人将其称为 证券投资组合理论或投资分散理论，由m a r k o w i t z 教授首先提出。 1 9 5 2 年，m a r k o w i t z 在( j o u r n a lo ff i n a n c e ) ) 上发表了一篇题为 p o r t f o l i os e l e c t i o n 的论文，创立了一套完整的“均值方差”分析框架， 最早采用风险资产的期望收益和以方差( 或以标准差) 表示的风险来研 究资产的选择和组合问题。他假设投资者已选择n 种有价证券进行 投资，r , 0 = l ，2 ， r ) 为第i 种有价证券持有期的收益，令r = e “) ， c r p 2 = 哑w i i ) = 嵋w ，其中，气= 砘一r ) q 一吩) ，这样， m a r k o w i 盖模型可表示为如下的线性规划： r a i n ：乃2 = w j 1 = 1 = 1 足m - n o i = 1 嵋= l o m l o = l 2 ，册 l = l 其中，r 是投资者所要求的最低收益。 应该说1 9 5 2 年m a r k o w i t z 提出的均值方差的投资组合理论不仅 是现代投资组合选择理论的先驱工作，也是现代金融学的基石之一。 该模型提出投资决策最基本也是最完整的框架，采用的是当今投资理 论和投资实践的主流方法。特别是首次对风险进行量化分析，开辟了 风险管理的新思路。 当然，m a r k o w i t z 的均值方差模型的假设条件很多，注定该理论 有一定的局限性。该模型中采用资产组合收益的方差来测量风险，其 存在的缺陷是( 1 ) 方差描述的风险既包括损失的不确定性，也包括收益 的不确定性，但投资者的风险感受在期望的收益两侧事实上是不对称 的。( 2 1 另外均值方差准则隐含着一组相对强的假设：证券投资者是 硕士学位论文 风险规避者，( 有着凹效用函数) ，并且收益分布服从正态分布，这两 点在实际应用中是很难满足的。风险依赖于效用，不同偏好的投资者 可能具有不同的衡量标准，其效用函数也有不同，m a r k o w i t z 均值 方差模型仅仅是效用函数的特例。k e n d a l ( 1 9 5 3 ) m o o r e ( 1 9 6 2 ) 对股票数 据进行分析，发现股票收益序列数据较正态分布呈现尖峰厚尾的特 征。另许多实证【4 3 张4 5 壕溯资产市场收益率并不一定服从正态分布。 但据研究只有证券收益率服从正态分布的条件下，方差才是风险的有 效测度。 2 2 基于v a r 约束的投资组合优化模型 2 2 1v a r 定义及一般计算“枷 v a r 英文为v a l u e a t - r i s k ，通常称为风险价值，或”处于风险中的 价值”，其含义是指在市场正常波动下，某一金融资产或证券组合的 最大可能损失，更为精确的讲就是：在一定的概率水平下( 置信度) ， 某一金融资产或证券组合在来来特定的一段时间内的最大可能损失， 用数学表达式可表示为： p r o b ( a p v a r ) = l - k( 2 一1 ) a p 为证券组合在持有期t 内的损失v a r 为在置信度k 下处于 风险中的价值。如假定基金开元2 0 0 3 年7 月2 3 日置信度为9 5 的 日v a r 值为5 0 0 万元，根据v a r 的含义可知：该基金以9 5 的可 能性保证，2 0 0 3 年7 月2 3 日的由于市场价格变动而带来的损失不 会超过5 0 0 万元。 此外v a r 的定义中还涉及到两个参数选择，其一是持有期，其 二是置信度，任何v a r 的计算只有在给定这两个参数的情况下才有 意义。 2 2 2 基于v a r 约束的投资决策模型 本节主要考虑基于v a r 的证券组合选择和v a r 约束下的均值 方差投资模型两种。 c d a r 在投资组合理论中的应用研究 ( 1 ) 基于v a r 的证券组合选择( 均值v a r 模型) 考虑n 种资产构成的资产集合，这些资产可以是股票、债券、期 权等金融资产。一个投资组合x 由其在这些资产中的头寸决定： 市场风险因子v 包括利率、汇率、股指、商品价格等： ，= “，v ) 投资组合x 在给定的风险因子v 下的价值为，( 毛帕，它是关于x 和v 的一个复杂的非线性函数( 甚至是不连续的) 。实际中的尸化v ) 可 以表示为： 烈t v ) = 只瓴，d ，- i 在某些情况下可以表示为相应头寸与其价值的线性组合： 烈墨= t b j = l 当组合中的资产都是股票时，可以进一步简化为头寸与风险因子 的线性组合形式： 烈，) = x , v ( 2 - 2 ) 用碥表示t - - o 时风险因子的价值，t = l 时风险因子的行为可由概 率密度函数为f 【v ) 的分布描述，则在t = - i 时投资组合的价值可由概率 密度函数为。似j ，) 的分布表示： 尸 p ( x ，) p ) = j 。鼬，y ) a y 用风险因子的概率密度函数坟v ) 和投资组合的价值函数尸以j ，) 表 示，就是： 妖t 力= j ，( v ) d v ，( 1 f v ) - ， 在实际中寻找这一分布函数极为困难，特别是当投资组合包含数 以百计的资产或p ( _ j ，) 为非线性形式时。【4 9 5 2 】这些文献研究了关 于该分布函数的逼近过程。 硕士学位论文 用而表示户l 时刻投资组合的期望价值： 丽= e p 化v ) = f p ( x ，v v ( v 沙 选择置信水平c 。p 表示组合的最小价值： 羹妖x ，弼匆= c 由相对v a r 的定义： v a r ( x ) = 尸( x ) 一p ( x ) 通常，v a r 定义中的期望值由投资组合的当前价值代替，即： r a g ( x ) = p ( x , v o ) - p ( 力 于是v a r 约束下的投资组合选择问题转化为寻找使期望收益 p ( x , v ) f ( v ) d v 达到最大的投资组合x ，它满足v a r 约束条件： f p ( x ，形( 咖如一p 矿( 2 - 3 ) 薯= l ( 毛o ) ( 2 4 ) 其中，p ( x ) 是关于p + 的下列方程的解： e f ( v w v a y = c ( 2 5 ) ，( p 砷 求解问题i 的困难在于由式( 2 - 3 ) 、( 2 - 4 ) 构成的可行解的结构非常 复杂，即使在最简单的情况下如不相交的非凸集也是如此。 变换问题l 为问题2 ： 寻找使v a r p ( 五彬o ) d v p f p v v ( v 沙一p ( x ) 达到最小的投资组合x ，它满足下列条件： f p 似v v ( v x 加w( 2 - 6 ) = l “o ) ( 2 - 7 ) i = l 其中，矿( 曲是关于p 。的式( 2 - 5 ) 的解，w 为给定的预期收益。 c d a r 在投资组合理论中的应用研究 问题2 的可行解通常是凸的，即投资组合的价值函数是凸函数， 因此难度比问题1 要小。当投资组合的价值函数是式( 2 - 2 ) 的线性函数 时，问题2 的可行解的结构就变得特别简单，此时( 2 - 6 ) 、( 2 7 ) 可转 化为线性约束，问题2 就变为如下简单的形式： m i n 叶薯一矿( 功 ( 2 - 8 ) f 2 - 9 ) 尽管2 - 8 和2 - 9 比问题l 大为简化，但p ( 功是式2 - 5 的隐式解， 通常是一个多重极值函数，且该闯题是一类随机优化闯题，因此其求 解也相当困难。f 5 3 对其求解的典型算法是梯度法，详细过程见【5 4 】。 ( 2 ) v a r 约束下的均值方差模型 r a i n a ；2 = x 以 m a x 盹) = x 7 r j j p r o b ( r p o 为常数。此条件实际上是次可加性 的特例，它反映了没有分散风险的效应。 单调性：x j ，则p ( z ) p ( y ) 。若一个投资组合占优于另一个 投资组合，即前者随机回报的各分量大干或等于后者随机回报所对应 的分量，则前者的风险至少不大于后者。 传递不变性：p o + 6 ( 1 + ，) ) = p ( x ) 一b ，其中，为无风险利率， b 0 。若增加无风险的头寸到组合中，组合风险将随着无风险头寸的 增加而减少。一致性公理表达的是金融风险最基本的常识，通过这些 常识将检验风险计量工具对投资组合部分与整体的风险测度是否矛 盾。首先。公理的四大条件中，次可加性是最重要的。违反次可加性 可能会误导投资者；其次若v a r 不满足次可加性，则它不是凸性 的风险计量，就无法通过优化求得最小风险的组合，就不能在投资组 合中应用；最后，违反次可加性导致投资组合的v a r 大于组合中各 部分的v 报之和，这将产生一个荒谬的风险规避策略：一个包含多 个部门的金融机构只要将其资产分别划给其下的各个部门。由各个部 c d a r 在投资组合理论中的应用研究 门分别计算v a r 后求和，就可以使整个金融机构的风险下降。可见， 违背次可加性还将导致金融监管上的漏洞。 ( 2 ) v a r 尾部损失测量的非充分性。根据j o r i o n 给出的定义，v a l l 是指在给定的置信水平和持有期内投资组合可能遭受的最大损失。可 见，v a r 本质上只是某个置信水平下的分位点，故又称为分位点 v a r ( q u a n t i l ev a r ) 。因此它无法考察超过分位点的下方风险( 左尾) 信息，这就是v a r 尾部损失测量的非充分性。它使人们忽略了小概 率发生的巨额损失情形甚至是金融危机事件，而这些恰恰是风险管理 所必须关注的。为了形象地对此加以说明可以假设投资组合a 和b 侧 z ； 、 吖参。 、 l 辎嫩，建徽7 图2 1 ：组合a 、b 的损益分布图 的损益如图2 1 所示，显然这两个投资组合是不同的，组合b 发生极 端损失的概率远大于组合a ，即组合b 风险更大。然而若用9 5 的 置信水平下的v a r 来测量它们的风险，二者是相同的，这就给投资 者一个错误的风险信息，并由此可能误导投资者选择高风险的投资 ( b a s a n k ，2 0 0 1 ) 。 尾部损失测量的非充分性，本质上是v a r 以一个单一的分位点 来描述整个尾部损失分布造成的，这是“以点代面”的手法，由此不 可避免地要漏掉部分风险的信息，从而就难以全面反映投资组合内部 各个头寸之间的关系，甚至包括组合内部的风险对冲效应。有人通过 硕士学位论文 提高置信水平，观测组合的极端损失，发现组合小概率发生的巨大风 险。避免违背次可加性的错误。然而不幸的是，并不是所有的损失分 布靠提高v a r 的置信水平就能避免类似的错误，因为在某个分位点 后仍可能有难以预料的更大的极端损失，y a m a i 等( 2 0 0 2 ) 的研究表明， 若组合回报是非正态分布，仅仅靠提高置信度得到更高置信水平的 氓无法解决次可加性的问题。因为瓜尾部风险测量的非充分性 是固有的缺点，本质上是其测量风险概念简单所付出的代价。 2 3 基于g = a r 的投资组合优化模型 2 3 1w a r 的定义及一般计算 v a r 是由u r y a s e v t 5 5 】于2 0 0 0 年提出一种全新的测量方法，也称 一致性风险价值( c v a r ：c o h e r e n tv a l u ea tr i s k ) 它是指在一定时间 t 内置信度为口的情况下，投资者对收益分布尾部l d 部分的期望 值。其数学表达式为【5 5 】： c v a r ( y ) = e ( r iy v a r y , ( y ) ) 对任意( o ，1 ) ，一c v a r 的定义如下： 西民x ) = e ( 以ej ，) i ( x ，j ，) a 咿( x ) ) = ( 1 一声) 。l ，( j ，) a 岁( x ) f ( x , y ) d f o , ) 上述定义在计算c v a r 之前必须先求出v a r 的值，在求解时很不 方便，为此，我们引出如下的等价定义： c v 破p ( r ) = i n f ( r 一夕目j ，一盯】+ 盯r 式中： 【y 一仃r = m a x 0 一盯，o ) c v a r 具有如下性质5 6 1 ； ( 1 ) 平移不变性c v a r , , ( y + c ) = c v a r 。, ( y ) + c ( 2 ) 正齐性c v a n 。( c y ) = c c v a n ( v ) c o ( 3 ) 凸性对任意的随机变量y l ，y 2 ，当0 d a r 】 ( 2 ) c d a r 的性质 命题l 。 ) 满足下列性质： ( 1 ) 平移不变性。m 十c ) = 。 ) ( 2 ) 正齐性a 。( 加) = 越。( 叻 ( 3 ) 凸性 若芭= 五己+ ( 1 一a 蚝，则。( w a 弘。( 比) + ( 1 一五) a 。( ) 证明： ( 1 ) 。( 叻= 中( d d ( 1 ，+ c ) ) = m ( d d ( w ”= 。( ，) ( 2 )a 。( 五w ) = 西( d d ( 五w ) ) = 西( z z ) d ( w ) ) = 弘。( w ) a 。( w a = o ( d d ( a w 。+ ( 1 一1 ) w d z 巾( d d ( w 。) + ( 1 一五) m ( 倒) = 他。( “0 ) + ( 1 一五) 。( w d c d a r 所具备的次可加性( 即凸性) ，意味着投资组合的风险损失 不会超过其各组成部分的风险损失之和，只有当各个部分的风险完全 正相关时，整体风险才等于各个部分的风险之和；反之，由于分散化 效应，整体风险将小于部分风险之和。因此，采用c d a r 度量金融风 险，可通过计算各分支机构的c d a r 来推导整个金融机构的风险损 失。更重要的是，基于c d a r 对证券组合进行优化时，凸性的存在意 昧着局部极小值就是全局最小值，大大简化了投资组合优化问题的求 解过程。 命题2m d ( w ) = a 。) 4 d ( 矿) = a o ( 矽) 证明：设f ( 1 ) 瑾，j ，= f ) ， 死( f 位) ) = 口，y 【f 似) ，f + 0 ) 】 证明： 设= j ，+ 百去两善睃一玎，其中喙一j ，r = m 驭( 磊一只。) ， 下证： 乱( w ) = r a i n h ( y ) 对i l ( y ) 求导数得 号= i - 南善k ， 斗南驴k y ( 3 1 ) = 卜万二一( 一疋o ，) ) n a ) n 、 ：圣垒! 二! l 一口 除y = 峨，k = 1 ，n ) ，导j l 对所有的y 都是连续的。当h ( y ) 取得 。 鲫 极值时，要坶) o i d 坶) 鲫鲫 2 1 ( 3 2 ) 碘士学位论文 其中： 万d - 抄) = f l _ ( 乃o ，一o ) 一口) 参+ j i i = 击( o ，+ 0 ) 训 对所有的y 除了j ，= 敝，k = l ，) ，由( 3 1 ) 、( 3 2 ) 式最优解，满足 乃。广一o ) 口乃。广+ o ) ，t 詹1 6 0 1 ，如果乃( f 位) ) 口则存在唯一解 ，= f 位) ， 最i k = l ，n ) ，如果乃位”= 口，存在j ，k ) ，f + o ) 】， 便h ( y ) 达到檄僵。 对任意固定的j ，有盔一j ，+ + = 虢一，乍矿j 2 曦一j ，。l 于是： m i n h o , ) = h o , 、 = j ，+ + 而1 睡一y * y j ( 卜a ) n 智 = y + + 百兰丽薹磊，( 靠吒) - 石芝丽薹y + ， 缸厶 = 篙( 一专嗽磁) ) + 上( 1 - c o n 兰, = 。磊伥墙) = 兰( 1 一州l 一墨晚) ) + 瓦l 丽否n 磊嗽喝) = 辈1 竽一赤a ) n 丕磊 一岱7 ( 卜乒“ 当砭以) ) 口时，垒兽立兰广：垒竖立兰f ) l 一口1 一盯 当覆g 位) ) ：口时，至兽立兰j ，：o l 一口 这恰好与，( w ) 的定义一致。 注意到运用这个定理我们将可以将c d a r 函数计算问题转化为 h ( y ) 函数最小化问题，基于c d a r 对证券组合进行优化时，我们对h 6 ，) 函数中的【邑一j ，搴r 部分，我们可以通过引入适当的辅助变量，将原 = l c d a r 在投资组合理论中的应用研究 问题转化为标准的线性规划问题，可以辅助计算机方便解决。用离散 的方法对未来可能出现的n 中情况。可用历史模拟法取过去m 种证 券的n 个交易日的收益率来近似计算，从而具有很好的理论价值和 实用价值。 2 4 ，30 0 a r 的参数选择 尽管在a ) a r 的定义中，有三个重要参数持有期、置信水平与 d a r 。但是对于任何一个组合，在持有期和置信水平给定的情况下， 其d a r 值是一定的，所以d a r 是内生的。任何c d a r 只有在给定持 有期和置信水平这两个参数的情况下才有意义。下面分析影响这两个 参数确定的重要因素。 ( 1 ) 置信水平的选择 置信水平的选择依赖于对c d a r 验证的需要、内部风险资本的需 求、监管要求以及在不同机构之闻进行比较的需要，周肘，正态分布 或其它一些具有较好性质分布特征或分布形式( 如t - 分布) 也会影响到 置信水平的选择。置信水平选择中要注意几个问题：第一，有效性验 证，如果嚣常关心c d a r 实际计算结果的有效性，则置信水乎不应该 选择太高。因为当置信水平越高，则实际