（概率论与数理统计专业论文）一类相依风险模型的若干结果.pdf

曲昏师范大学硕l ：学 蔓沦艾 摘要 b o u d r c a u l t ，c ta 1 ( 2 0 0 6 ) 中曾经提过一个索赔额与索赔间隔相依的风险模型，本文将 对其进行推广，将这种相依关系推广为更一般的c o p u l a 相依，并运用了边界分红策珞， 得到了如下结果：一是g e r b e r s h i u 罚金函数所满足的积分微分方程，二足折现分红函数 所满足的积分微分方程，三是分红量的炬母函数所满足的积分微分方程及分红量各阶炬 之间的关系 根据内容本文分为以下四章： 第一章主要介绍了分红风险模型从独立模璎到棚依模型的发展过程，并引进了随机变量 之间的c o p u l a 相依，接着介绍了一些关于c o p u l a 函数理论的知识在c o p u l a 卤数理 论中本文毛要应用了s k l a r 定理，将随机变量的边际分布彳联合分布联系在一起。 第j 二章第一节中我们通过对初始索赔时刻与索赔额取条件而推导出了g e l 1 ) f 卜s h i u 趼金 函数所满足的积分微分方程，在第二节中我们选用了几个特殊的c o p u l a 函数的例了：，推 导出了特殊c o p u l a 函数所满足的g e r b e r s h i u 罚金函数，并将此结果与参考文献进行了 对照，进一步证实本文是对一些相依模氆的推广。 第一三章第一节中我们采用无穷小元法推导出折现分红函数所满足的积分微分力程，任第 二节中我们选用了几个特殊的c o p u l a 函数的例。f ，推导f ；特殊情况f 的折现分红函数所 满足的积分微分方程，并将此结果与参考文献进行了对照，进一步证实了本文对榭依风险 模型的推广 第四章第一节中运用无穷小元法得到折现分红函数的炬母函数所满足的积分微分力程， 在第二节中运用炬母函数与各阶炬的关系推导出分红畦各阶炬之间所满足的关系。 关键词：c o p u l a 函数；相依风险模型；积分微分方程；g e i b c r s h i u 折现 罚金函数；期望折现分红函数；分红量的炬母函数；分红量的各阶炬 曲啦师范人学硕 ：学位论文 a b s t r a c t ad c ，p e n & 、n tr i s km o d e lb e t ，w e c nc l a i m , s i z e sa n di n t o 、r c l a i ma l r i 、，a l sw a s1 ) r o t o s a tb y b o m r c 、a u l t e ta 1 i n2 0 0 6 i nt h i sp a p e rw ( 、g e n e r a l i z et h i sc o r r ( 、l a t i o nt o ( 0 1 ) u a s a l i ( tw u s et h eb a r r i e i ld i v i d e n ds t r a t e g yi nt h i sp a p e r t h ea i mo ft h i st h e s i si st og ( 、tt h el ( 、s u i t s a sf o l l o w s ：o n ei si t si n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f i e db yt h eg e r b e r s h i ud i s c o u n t e d p e n a l t yf u n c t i o n a n o t h e ri si t si n t e g r o d i f f e r e u t i a le q u a ti o n ss a ti s f i e db yth ed k c u ：l te d d i v i d e n df u n c t i o n f i n a l l yw eg e tt h e i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f i e d1 ) 、，t h ei i ! ) i x ：i l t g e n a r a t i n gf u n c t i o n so ft h ed i v i d e n d sa n dt h er e l a ti o no ft h em o l i l e l l t s o fd i v i d e 、n d s t h i sp a p e ri sd i v i d e n di n t of o u rc h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： c h a p t e r1i sm a i n l yt oi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so fr i s km o d e 1f l o i i lt h ei n d o - p e n d e n tm o d e lt ot h ed e p e n d e n tm o d e l ，a n dw ei n tr e d u c et h ec o p u l ac o r l e l at i o n o fth e r a d o mv a r i a b l e s t h ew ci n t r o d u c es o m ek n o w l e d g eo fth ( 、c o p u l af u n c t i o n s i nth i , - , 1 ) 。l t ) e r w e m a i n l yu s et h es k l a rt h e o r e mt oc o n n e c tt h ed i s t r i t m t i o n so i r a m o mv a i i a b i ，sw i t h t h e i rj o i n td i s t r i b u t i o n i n ( t i a l ) tt 一1 2 w eg e tt l l ，i n te g i 0 一d i f l e l 。e n li a l e q u a l i o ns a ti s t i e dl j 、 l l t ，g ，1 + t ) e l s l m j 、l i s c o u l i ! e d 弦n a l t yf u n c t i o nb yt l i ei i l e a l i so fe o n d i lt o n i n g 幽、矗l s tc l a i mf l i n t 、h n ( jt h ed a i m a l i l o u l l | i nl , t i c 、f i r s ts e c t i o n 。i ns e c t i o nt w o w cu s es o i i i cs p e c i a lc o p u l af u n c t i o n sa so x - a m p l e st oc o n d u c ts e i n es p e c i a li n t c g l o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f i e db y1 l ! gc ib e ：一：g h i u d i s c o u n t e dp e n a l t yf l m c t i o nw h i c ha r ei d e n t i c a lw i t hr e f e r e n c e s ：w h i c hp r o x c st h i sp a p e r g ( 、n ( 、r a l i z e ss o m ec o r r e l a t ，i o nr i s km o d e l s h id i a l m 、i 。：；w e , m a i n l y ( 1 ( r i 、( ，t t i c 、ir i t ( ，g l o d i f l i ，r 、n t i a l ，f l l i i l i o ns a t i s f i ( ，t l1 ) i l 、 t i s 0 ) 第一章引言及预备知识 我们假设双变量随机变量 ，玛) o n + ) 相互独立，但 ) 和 1 1 0 ) 不独立， 具体说，索赔额及索赔时间间隔的联合分布函数为f x n j ( z ，) 再进一步假设随机变量 x ，) 独立同分布且为连续硪随机变量，其共同的分布函数为r ( z ) 分布密度为 ( z ) ： 随机变量 7 ，) 独立同分布且为连续型随机变量，其共同得分布函数为r ，一( ) 分布密 度为0 ( ，) w ，x ， ( j n + ) 相互独立且同分布，分布函数为氏i ，一( zf ) 分布密度为 爪l i ，( ，f ) 由c o p u l a 函数理论知，唯一存在一c o p u l a 函数c ，使得 从而， f x ，w ( x ，) = c ( 氏( z ) ，f w ( t ) ) n 2 f x w ( e ) 。丽u - c 陬( - 7 ) ，蜥( 删m ) ，( f ) 为方便书写，我们记 c ( s ，c ) = 罴c ( s , t )s ( ，r 则， a ( t ，f ) = c ( 氏( ，) ，t u t ( f ) ) ( ，) j i ir ( f ) 本文将在模型( 1 1 ) 中推导g e r b e r s h i u 罚金函数及折现分红函数所满足的积分微分 方程 2 预备知识 由于我们将用到c o p u l a 函数理论，因此我们首先给出一些有关c o p u l a 函数的预备 知识 定义1 2 0 l ：c o p u l a 函数c 是一个定义域为，2 ( 其中i 一 o 1 1 ) 值域为，的一个满足以 下性质得函数： 1 对任意s ，t ，有c ( s ，0 ) = 0 = c ( 0 ，t ) 及c ( s ，1 ) = s ，c ( 1 ，) = t 2 对任意8 1 ，s 2 ，t 1 ，t 2 j ，只要s l 8 2 ，t l 2 就有 c ( s 2 ，t 2 ) 一c ( s 2 ，1 ) c ( s t ，t 2 ) - rc ( , s 1 t 1 ) 0 基于该定义我们可以得到如下性质： 2 曲馨厢范大学硕一 二学位论文 性质1 1 2 0 i ：对任一c o p u l a 函数c 及任意( t ) ，2 有 w ( s ，t ) c ( s ，t ) m ( s ，t ) 其中w ( s ，t ) = z a x ( 8 + t l ，0 ) j ，( s ，t ) = m m ( s ，t ) 性质2 1 2 0 j ：假设c 是一个c o p u l a 函数，则对任意( s 1 t s 2 ) ( t 1 ，t 2 ) j r 2 有， c ( s 2 ，t 2 ) 一c ( s l ，1 ) i 1 8 2 一s l l + l t 2 一t l 因此，c 在j r 2 上一致连续 性质3 1 2 0 】：假设c 为一c o p u l a 函数，对任意f j 对几乎所有s ，基c ( s ，f ) 存在，则 对这样得s , t 有 0 昙c ( s ，t ) 1 d s 同样地，对任意s i 对几乎所有t ，暑( ：r ( s ，f ) 存在，则对这样得s t 有 0 羡c ( 叫) 1 进一步来说，函数s 一基c ( s ，) 和t 一旦o t r v ? r s ，) 都足已定义的，并h 在i 上足几孑处 处单调不减的 性质4 1 2 0j ：假设c 足一c o p u l a 函数，如果番c ) 和：蒜在，2 上连续并h 差f ，) 对：r 所有s ( o ，1 ) 当f = 0 时存在，则兰r ( 一，f ) 及蔫( 1 ，) 在( ( ) 1 ) 2 上存在，并 丽0 2c ( s ，) = 弧0 2 e ( s ， 下面介绍关于c o p u l a 的一条重要定理一s k i m 定理 s k l a r 定理 2 0 1 ：假设t t 为联合分布函数，其边际分布函数分别为f 和c 则存在一 c o p u l a 函数c 使得对任意z ，! ，月有 h ( x ，y ) = c ( f ( z ) ，g ( 妙) )( 木) 进一步，如果f 和g 都足连续函数，则c 是唯一存在的；其它情况下，c 在r a f r a n g 上是唯一确定的相反的，如果c 是一c o p u l a 函数，f 和g 足分布函数则由( 卡) 式 确定得函数h 是一个边际分布为f 和g 联合分布函数 3 第一章引苫及预备知识 基于该定理本文对模型( 1 1 ) 推导出一系列结果为便于书写我们记连续猁随机 变量x 和y 的分布函数分别为f ( x ) ，f ( y ) ，由该定理r 可知其联合分布函数可莰，示为 ( 7 y 。，( 2 秒) = f ：y ，( 丁y ) ，记n ( x ，y ) ：= f k ( z ) - ( ) ，我f i ji ，r 以稚 至0 匆lf 定理 引理i 2 0 】：假设x 和y 为连续型随机变量，则x 和y 独立的充要条件为r _ 、，。n 以下介绍几种常用的c o p u l a 函数： 1 m ( s ，) = m i n ( s ，) w ( s ，t ) = r r z a x ( s - 4 - t 一1 ，o ) ，丌，) = s t 均为c o p u l a 函数 2 假设f y ，j j r 且( t + 房1 令 g ，肛( s ，t ) = a m ( s ，t ) + ( 1 一( 一房) n ( s ，f ) + p l r ( s ，t ) 则g 一( s t ) 为一c o p u l a 函数 3 假设目【一1 ，l 】，令 c e ( s , t ) = 华州刈卜1 1 f ) + 掣 则g 为一c o p u l a 函数 4 今 蝶= 一圳1 1 + ( c ”+ 1 ) 则为一c o p u l a 函数 5 令 c f g 川( s ，) = s t + o s l ( 1 一s ) ( 1 一t ) ，一1 0 1 则凹甜为一c o p u l a 函数 6 令 g ( s ，t ) = 8 + t 一1 + ( 1 一s ) ( 1 一) p 一8 1 “( 1 5 ) ( 1 - t 1 则。为一c o p u l a 函数 4 菡尊i f 币范大学硕 ：学位论文 第二章g e r b e r s h i l l 函数 本章将推导出g e r b e r s h i u 罚金函数所满足的积分微分方程，根据内容本章分为两 部分： 2 1g e r b e r s h i u 函数所满足的积分微分方程 在风险理论中破产问题为人们研究的热点，本节将推导出模礤( 1 1 ) 的gc 、r b c r s h i u 折现罚金函数所满足的积分一微分方程。用死表示破产n , t l 百l ，即死：= i n f t 0 ：【以( ) 0 ，为此我们先给出g e r b e r s h i u 折现罚金函数的定义。 定义2 i i o lg ( 、r b e r s h i u 期望折现罚金函数，n 。( 簿称( ；( 、r ) ( 1 r - s h i l l 函数) 定义如f ： 仇6 d ( u ) = e p 卅。i u ( u ( 死一) 【，( 兀) ) ，( 死 0 ，( z ，可月! ) 我们对初始索赔发生的时刻和索赔额取条件，来推导用g c r b e l s h i l 1 期望折现参j 食函 数所满足的积分一微分方程 定理2 1g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数 b 6 ( “) 满足得积分微分方程为： 当0 i t b 时 其中 且满足条件 = z _ h - u 扩m 铲0 “u 4 - c t , t 肭 口6 ，6 ( h ，) ：t i i b j ( 狂一。) ( ：( f i ( z ) ，反t - ( t ) ) ，y ( 丁) 矗丁 j 0 厂。 + u ( “，z u ) r ( ( r ) 1 i i ( f ) ) 厶( z ) d a ! i mm 6 6 ( 札) = 7 n 6 d ( 6 ) l b 7 7 1 ：6 ( u ) k 6 = 0 5 第一二章g e t h e r s h i u 函数 m i ! ( 钉) b = 一i a 瓦oc r 6 施。) 证明：当0 u b 时，我i f i x , j - 初始索赔发生时刻和索赔额取条件。我们将其分 为以下两种情况： 第一一种情况是首次索赔时刻发生在盈余到达b 之前； 第二种情况是首次索赔时刻发生在盈余超过b 时； 并且每绅情况都含有两种可能，即导致破产或不能导致破产。从而有： r n 6 6 ( 让) = e ( e “瓦u ( 现( 万) ，l 仉( 死) 1 ) ，( n 酬l 乩( o ) = u ) = e “( e - 6 i , u ( ( ，6 ( 万) ，l 乩( 瓦) ) ，( n 。) ) = e “( r ，一埘何) 1 既( 驯) ，( n 。( n _ b - 1 1 ) ) = a 1 】+ ax 2 其中，乱- 表示首次索赔时刻发生在盈余到达1 ) 之前，我f f j 再对前次索赔额取条件t ，胛 a 1 l = e e “( e “n u ( 既( 矾i u b ( t b ) 1 ) i ( r 。舢7 l 竿) ) l x ，w l j = z ”z o 。e “( e - 6 t g ( 觇( 玎) | 仉( 瓦) d h 。) ，( 啊 了b - t l _ ) ) | x l = 上m 一州氏i ( 丁，) = 宰d tz u + c te 础小( u + c t - , r 胁如妇 + z _ b - - ud z 。e 一船u ( i tq - c t , x - - ( “+ f ，) ) a u ，( z t ) r f 丁 = - - ：a e - ( a + a ) t d t 【，。u + c tm j ( l t - a - c 7 ：, - 2 ) r ( 氏( 丁) 州 ( j ) 出 ，。 + u ( 札，z 一乱) c ( 声k ( z ) ，f k ( ，) ) a ( z ) d z 】 其中a ，2 表示首次索赔时刻发生在盈余超过b 时，我们再对首次索赔额取条件可得 6 4 1 2 当t t = b 时 曲t 师范人学颈i ：学位沦丈 = e e “( e - 6 t b w ( 巩( 瓦) ，1 ( 死) 1 ) ，( n b - fu ) l x l 仉一i ) 】 + d f o bc - 5 t 7 n a ，a ( 6 一z ) 厂y ，( z ) 出 z e 础u ( b , x - b 胍枷 = 仨a e - ( a + 6 ) t d t 【卜鼬叫m 刹眦渊打 ， + u ( 6 ，t 一6 ) r 。( f v ( a ) 氏t ( f ) ) ，y ( ) d j j b m l , d ( 6 ) = e 6 ( e 鲋i u ( 己_ ( 瓦一) ，i ( 死) 1 ) ，( 死 。) ) = e 【伊( p 一6 u ( 阮( 万) ，l 既( 瓦) 1 ) ，( 7 i b 时，由于常数分红边界b 的存在，所以此时 为书写方便我们引进以下记号，令 ，n b ，6 ( “) = m d 6 ( 1 ) ) d ( u t ) = 7 n ( u 一上) r ( f ：、j 只i ，( ) ) 人( r ) d ，o ，。c + u ( u ，z 札) c ( 如( z ) ，只t 心) ) a ( 2 。) 出 综上所述， m “a ( “) 满足以下积分方程： 7 尹，压， 7 h b d ( f ，) = 第：章 g t 、r h 弘s h i ，：蛹数 也 a e - ( a + 6 ) 盯6 j ( u + c t ，z ) d ，+ j f o v 。、o - a + 5 ) t c l b 5 ( 6 ，f ) 珊 由( 2 1 ) 式知： j 二 a p 一( 1 + 研g r 6 6 ( 6 ，t ) d t0 “ 0 表示折现因子 令( ? t ) = e f d 。6 l 则y ( u ) 表示折现累积分红函数 定理3 1 期望折现累积分红函数? b ( u ) 满足以f 积分微分方程： 与0st ，时 ，u c w ( 乱) = ( a + ，y ) k ( “) 一a l ，i ( “一z ) c ( 声i ( z ) ，o ) ，x ( z ) d 。 当“= b 时 当u b 时 且满足条件： ( a + 1 ) 郴) = c + 久叭一班( d 【) ) 人( 州j ， ( u ) = i t b + ( 6 ) ( u ) b = l ，w ( o + ) = _ x4 - t r ( o + ) 证明：对于任意小量( 0 ，考虑区闯( 0 f 】并对第一次索赔发生的时间和索赔量 取条件得： 当0 u b 时： k ( 让) = e o 。6 】 = e d 。，b l ( t l 。) 】+ e 【d 。，b i ( ns 。j ( n ) o ) 1 = i + j + k 1 4 其中： 因此。 曲尊师范大学硕j ：学位论文 j = e d 扎b l ( t ：川 = e e ( d 也b t ( t l 。) ) 乃- ，】 e ，( n 。) e ( d 玑6 l 万j ) j = e ( ，( n ，) e 一1 v d u + c z ) ) = e 一( + 1 ) 5 k ( 札+ c e ) j = e d 。，b i ( t l 。) i 义，= 一了j = z ) d b kt ，( r f ) = 入e 一( a + r ) t d tz “+ y e n + r e k ( “) 由泰勒展式知： p 一 a + ) v 7 ( “+ “) 一z ) c ( f xp ) 、r ，( f ) ) a ( j ) 以。! + z a e - ( a + n ) t d tz “+ “v b ( u + c c - - 2 ) c ( j | y ( z ) ，i h ( ) ) ，x ( ：r ) d z 将( 3 2 ) 代入( 3 1 ) 得： k ( u + “) = ( u ) + “w ( “) + ( ) ( ( ) ( 3 2 ) ( 让) = ( 1 一( a + ，y ) e ) k ( 珏) f u + c e ( 3 3 ) + “( 1 一( a + ，y ) c ) w ( u ) + 7( “+ “一z ) c ( 氏( z ) ，砌( ) ) f x ( z ) d x 0 第- 三章拆现分红溺数l i f t rj 整理得； ( 入+ 7 ) ( k ( u ) = c e ( 1 一( a + 7 ) e ) w ( u ) ，u + c o( 3 4 ) + 7( 狂+ f f ，) c ( f x ( ? ) 氏，( 啪a ( z ) d 丁 ( 3 4 ) 两端同时除以r 并令r 一0 得： ，u c v ：( 札) = ( a + ，y ) ( u ) 一a k ( u x ) c ( i s c ( z ) ，o ) f x ( ) d z( 3 5 ) j o 同理，当“= b 时 v j ( 6 ) = 代p a + e 一( a + 1 ( 6 ) + z a e 一( 支+ 一r ) d tz 6 k ( 6 一z ) r ( 声、( z ) f j ，( r ) ) ，x ( j ) 以j + 。( r ) 。i g ( 3 6 ) 两端同时除以f 并令f 一0 得： c = ( 久+ ? ) 圪一久z 6 ( 6 一。“h 沁一( ) ) a ( 一) f 2 。 7 ) 在( 3 5 ) 式中令utb 得： r v j 一( ，、十7 ) k ( 6 ) 一a z “k ( 6 一r ) f ”? “r ) ，( ) ) ，“一出 ( 。一) ( 3 8 ) 与( 3 7 ) 比较得： 同样地，当u = 0 时， w ( u ) f 。：6 = 1 v o ( o + ) = e d i ( r , ( 。 】+ e d ，f l ， 。) j = c - ( a + ? 圪( ( ( ) + ( ) ( ( ) ( 3 9 ) 两端同时除以f 并令e _ 0 得： 咪0 + ) = 半哪+ ) 当u b 时，由f 采用的足常数分红边界策略，所以有： 故定理3 1 得证 v b ( u ) = u b + ( 6 ) 1 6 h 9 ) l u ) f 3 ，l 】1 ( 3 1 2 ) 曲钮师范大学硕i ：学位论文 3 2v b ( u ) 的几个例子 例3 1 当随机变量 x k ，奄1 与 i 钙，j 1 ) 相互独立时，由预备知识引理知c ( s t ) - s ，从而r ( s ，t ) = i ，因此( 3 7 ) 式变为： c w ( u ) = ( 入+ 7 ) ( “) 一a 妩( u x ) j x ( z ) d z( ：；1 3 ) 。j 0 注：k a mc y u e n ，c ta 1 ( 2 0 0 8 ) 1 4 研究了带有扰动项的经典泊松模型的t h r e s h o l d 分红策 略问题，得到了累积折现分红函数所满足的积分一微分方程，当其中的于拢项系数仃= 0 时f l1 1 中模型变成为不带f 扰项的经典模型，其中累移! 折现分红蛹数所满足的杉 分一微分 方程仍然成曼。经比较町知，此时累积折现分红函数所满足的积分一微分方程与( 3 j ) 式相一致 例3 2 若c ( s ，t ) = 鲽( s ，) = - 吉l n 1 ：+ 虻等挚】，则 所以， 0f 。”两焉筹备 丽0 2 啪一筹等等若黔矧 此时；( 3 8 ) 式变为 丽0 2c 靴m 咿一南p 耐一z ， c w ( u ) = ( 入十7 ) 帅) “啡一z ) 南e - a f x ( x ) f x ( x ) d z c w ( u ) = ( 入十一y ) ( u ) + 入k ( 让一z ) f = 羔 ( 0、c ti ， = ( 入刊一( 卅苦吲一r ) c “一l i ( 触 例3 3 若c ( s ，t ) = c f g “7 ( s ，t ) = s t + s t ( 1 一s ) ( 1 一) ：一1 0 1 ，则 丽0 2 c ( s ，t ) ：1 + 曰( 1 - 2 s ) ( 1 2 ) 第二三章 所以， 折现分红函数钮) 纛m m 卟( 1 - 2 r “r ) ) 从而( 3 ，8 ) 式变为 c w ( 札) ：( a + 7 ) c ( 札) 一a 厂“v b ( “一z ) ：l + l ； ( 1 2 r x ( z ) ) ) 厂y ( 丁) ( f z 0 例3 4 若 则 声，( 丁，f ) = - 1 - - e - r i m - - e t m - 4 - p 一( q t + ， 。，) ：z ：。f ；：。 氏( z ) = 1 一e 叫，只i ，( ) 一1 一r 1 。 由c o p u l a 函数的生成方法知，此时对应的c o p u l a 函数为 所以， 即， g ( 5 t ) = s + f 一1 + ( i s ) ( 1 一f ) p 。o h q l5 j i 5 卜7 ) 罴0 ) = t + o - o l n ( h 。 c ( s ，0 ) = 1 + 一0i n ( 1 一c ，) 所以( 3 8 ) 式变为 c w ( u ) = ( a + ，) k ( u ) 一a v b ( u t ) ( 1 + ) 厂、，( j ) 以，。 广t ，0 6 i 入石“l 乞( u t ) l i ，( 1 一f ，( ，) j ，y ( j 。) d 丁 = ( a 刊m 卜吲l 删z ”吲豇一旷弘d ：r 蛳 、f ：v b ( u 却e 叫_ l z 对于片k ( 让。) e h 。d x 令可= u z 得： ev b ( 一k q l 妇= ， c 。“| v b b p d a , i o 所以， 从而， 曲q 师范大学硕l ：学位论文 旦d u “妩( u z ) c - i * ( i x = - - 1 1i ：”i 乞( “一) r ，。r ，+ i ，i ( ，) ( 旦d u + 叩, o “( u 一咖唧如= u ( “) 对于片k ( 7 ，一x ) x e 一耵d x 类似与( 3 1 4 ) 可得 所以， ( 丢毫+ ，”z “v | ( “一zx e - d ：r = z ”、7 i ( “一，) r 1 矗j ， ( 是彬门“刊, v c - ，7 x d x = t 伽) 对( 3 1 3 ) 两端运用算子( 瓦d + ，) 2 得 c 眩3 ( “) + ( 2 c ，7 一入一一y ) 嘭2 ( “) + q ( c 7 1 2 a 一2 j + 入+ a w 1 ( “j 一? 7 ( ，7 + 秽a ) u ( “) = 0 ( ：j 1 7 ) 解( 3 1 7 ) 得 k ( u ) = c l e 哪+ c 2 c 心“十r ：3 p ”1 “ 其中，r l ，r 2 r 3 为下述方程的根 口3 + ( 2 叼一a 一1 ) z 2 + 7 1 ( c q 一2 a 一2 + a + p ) j 一，7 f j ，厂7 + 扫) 一0 第阿章 折现累积分红蜒j 9 。的矩母函数 一一一一一一一 第四章折现累积分红量d 。的矩母函数 在本章中，我们对折现累积分红量的矩母函数进行研究，根据本章内窬本尊分为历 4 1 折现累计分红量d 。，。的矩母函数所满足的积分微分方程 以下我们记舰( u ，秒) = e d t i “】( o “冬6 ) k 。( 让，6 ) = e d ， ，由于我们采取边界分 红策略，所以0 d u 西c fe - v d t = ；，h o ) ，从而 ，。( u ，秽) 对所有掣月都仔e 。 定理4 i 对于模型( 1 1 ) ，地( “，! ，) 满足以下方程： 当0 t z 6 时， f 兰似也可) = 删如川兰堋) ，“ 一a ( a 气( 札一z ，y ) c ( f 、，( z ) 。r l ，( t ) ) a ( z ) 出 ，o + c ( 氏( z ) r i ，( f ) ) r f j ，) 并且满足边界条件： 瓦0 舰( u ，龇：沪箩 厶( 6 、黟) 证明：当0 fl x l 仉7 1 】 = ( 1一，e ) 如( 饥+ r ( ( “) = ( 1 一a ( ) ( “+ “，p 一”y ) 由泰勒展式知： o p 1 g ) + o ，“十“一z d t 舰( u + “一z ，c - 3 ) c ( 氏( j t ) ， ，( ) ) a ( _ ) ( f ) j 0 班 c ( f k ( z ) ，声0 ( t ) ) a ( ? ) i l ，( ) + d ( r ) a l b ( u + c ( - z , e - r y ) = 堋札吧矽) 抓瓦0 似“川1c 为吲) 刊，) 将( 4 3 ) 带入( 4 2 ) 并整理得： 删小) ( ( 1 “) 圳c ，) 叫鲫“巧0 川f f ) c ，2 上 ( j l j 厶( u z ，e 一1 ) r 。( f ? ，( z ) f j l t ( ，) ) a ( z ) d f c ( f x ( z ) ，r 小) ) a ( x ) d x + d ( t ) 在( 4 4 ) 两端同时除以( 并令i0 得： “z 托厂，厂厶厂厶厂厂厶 z z + + 忆 z d 吐 a 一 一 e a 一 z z + + 第冈錾折现累积分红垃d “的匀! 母幽数 即， a 慨( 札川= c 熹舰( u 一7 1 南舰( “川 厂t l + 入