（概率论与数理统计专业论文）the+perturbed+classical+risk+model+with+a+jump+income.pdf

ab s t r a c t 玩t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r t h e p e rt u r b e d c l a s s i c a l r i s k m o d e l w it h a j u m p i n c o m e . w e s t u d y t h e g e r b e r - s b i u e x p e c t e d d i s c o u n te d p e n a l ty f u n c ti o n a n d t h e j o i n t d i s t r i b u - t i o n o f t h r e e i m p o r t a n t a c t u a r i a l d ia g n o s ti c s : t h e t i m e o f r u i n , t h e s u r p l u s i m m e d i a t e l y b e f o r e r u i n a n d th e d e fi c i t a t r u i n , 勿 t h e t e c h n i q u e s u s e d in wu e t a 1 .( 2 0 0 5 ) , 2 b a n g a n d wu ( 2 0 0 6 ) . i b i s j o i n t d is t r i b u ti o n w a s fi r s t i n t r o d u c e d a n d s t u d i e d b y g e r b e r a n d s h i u ( 1 9 9 7 ) . mo ti v a t e d b y w u e t a l . ( 2 0 0 5 ) , w e fi r s t l y g e t t h e e x p li c i t e x p r e s s i o n f o r t h e g e r b e r - s h i n e x p e c t e d d i s c o u n t e d p e n a l ty f u n c t i o n , t h e n w e d e fi n e t h e d e n s i ty f u n c ti o n p ( t , u , x ) ( p ( t , u , x ) d x r e p r e s e n t s th e p r o b a b i l i ty th a t r u i n d o e s n o t o c c u r b e f o r e ti m e t a n d th a t t h e s u r p l u s b e l o n g s t o ( x , x + d x a t ti m e t ) . u s i n g t h i s d e n s i ty f u n c t i o n , s o m e p r o p e r t i e s o f b r o w n i a n m o ti o n , a n d f o ll o w i n g t h e i d e a s t o d e r i v e t h e f o r m u l a ( 3 .9 ) o f g e r b e r a n d s h i u ( 1 9 9 7 ) w e o b ta i n t h e e x p li c i t e x p r e s s i o n f o r t h e j o i n t d i s t r i b u ti o n . a t l a s t , w e g e t t h e l a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e d e n s i ty f u n c t i o n p ( t , u , x ) . k e y w o r d s d e fi c i t a t r u i n ; l a p l a c e t r a n s f o r m ; t i m e o f r ui n ; s u r p l u s i m m e d i a t e l y b e f o re r u i n ; t r a n s i t i o n d e n s i ty f u n c t i o n . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本; 学校有权保存学位论文的印 刷 本和电 子版，并 采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门 或者机构 送交论文的复印 件和电 子版; 在不以 赢利为目 的的 前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 各 桑 履 2 0 0 7 年 夕月 哪日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: ;协毛 学位论文作者签名: 桑 履 解密时间:夕年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 卜 痴 .一5 # 秘密*1 0年 密*2 0年 ( 最长5 年，可少于5 年) ( 最长 1 0 年，可少于1 0 年) ( 最长 2 0 年，可少于2 10 年) 机一 11. 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的 成果。除 文中已 经注明引 用的内 容外， 本学 位论文的 研究成果不包含 任何他人创作的、己公开发表 或者没有公开发表的作品的内 容。 对本论文所涉 及的研究工作做出 贡献的 其他个人和集体， 均己 在文中以 明确方式标明。 本学 位论文原创性声明的 法律责任由 本 人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 矛 ;471 z d o 年犷 月2 甲日 互 1 i n t r o d u c t i o n l e t ( 1 2 , 3 , p ) b e a c o m p l e t e p ro b a b i l i ty s p a c e c o n t a i n in g a l l o b j e c t s d e fi n e d i n t h e f o ll o w i n g . i n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r t h e r i s k m o d e l w i t h t h e i n s u r e r s i n c o m e p ro c e s s c ( t) = c t + o -w ( t) + 见x i, ， : 0 , ( l . 1 ) w h e r e c 0 i s t h e c o n s ta n t p re m i u m i n c o m e r a t e a n d 0 i s a c o n s t a n t . ( w ( t ) ) ,0 is a s ta n d a r d b ro w n ia n m o tio n . e 伫 尸 x i i s a c o m p o u n d p o is so n p ro c e s s w ith in te n s ity a , 0 a n d x i , i _ 1 h a v e t h e d i s tr i b u t i o n f , w i th d e n s i ty f u n c t i o n f , w i t h f , ( x ) = 0 f o r x0 a n d z, n z 1 h a v e t h e d is - t r i b u t i o n f 2 w i t h d e n s i ty f u n c t i o n f 2 w i t h f 2 ( x ) =0 f o r x_ 0 i s t h e i n s u r e r s i n it i a l c a p ita l . we a l s o a s s u m e t h a t e x , = p , o o , e z , = p 2 0 . l e t a - = 0 1 加m ( 1 . 3 ) w e o b t a i n t h e ri s k p r o c e s s nw)两 (r ) u ( t) = “ + c t t 艺x i 一 艺z n . ( 1 .4 ) i f c ( t ) =c t , w e o b t a in t h e c l a s s i c a l ri s k p ro c e s s 从 0 u ( t) 二 。 + 。 一 艺乙 ( 1 . 5 ) 互 1 i n u wu c d o n i f c ( t ) =c t + p w ( t ) , w e o b t a i n t h e p e r t u r b e d c l a s s i c al r i s k p r o c e s s u (t) = u + c t + v w (t) 一 e7 ,. ( 1 .6 ) z h a n g e t al . ( 2 0 0 7 ) , wu e t al .( 2 0 0 3 ) , z h a n g a n d wa n g ( 2 0 0 3 ) s t u d i e d t h e p r o c e s s ( 1 .4 ) , ( 1 .5 ) a n d ( 1 . 6 ) ， re s p e c t iv e l y . wu e t al .( 2 0 0 5 ) s t u d i e d t h e c l a s s i c al r i s k p r o c e s s ( 1 .5 ) w i t h c o n s t a n t i n t e r e s t f o r c e , l i a n d z h a n g ( 2 0 0 6 ) s t u d i e d t h e c l a s s i c al r i s k p r o c e s s ( 1 . 5 ) w i t h a j u m p re t u rn o n i n v e s t m e n t . t h e y al l d e r i v e d t h e e x p l i c i t e x p re s s i o n f o r t h e j o i n t d i s t r i b u t i o n o f t h r e e a c t u a r i al d i a g n o s t i c s : t h e t i m e o f r u i n , t h e s u r p l u s i m m e d i - a t e l y b e f o r e r u i n a n d t h e d e fi c i t a t r u i n . l v e t al . ( 2 0 0 6 ) d e r i v e d t h e d i s t r i b u t io n s o f s o m e e x tr e m a f o r p r o c e s s ( 1 . 6 ) . g e r b e r a n d l a n d ry ( 1 9 9 8 ) c o n s i d e r e d t h e g e r b e r - s h i u e x - p e c t e d d i s c o u n t e d f u n c t i o n w i th m二。 ( x 2 ) f o r r i s k p r o c e s s ( 1 . 6 ) , wa n g a n d wu ( 2 0 0 7 ) s t u d i e d t h e g e r b e r - s h in e x p e c t e d d i s c o u n t e d p e n al ty f u n c t io n f o r t h e p e r t u r b e d r i s k p r o c e s s ( 1 .6 ) w i t h c o n s t a n t i n t e re s t , t h e y d e c o m p o s e d t h e g e r b e r - s h i u f u n c t i o n i n t o t w o p a r t s a n d d e r i v e d t h e i n t e g r a l e q u a t i o n s a n d th e i n t e g r - d i ff e r e n t i al e q u a ti o n s f o r 山e 口 . i n t h i s p a p e r , w e w i ll s t u d y t h e g e r b e r - s h i u d i s c o u n te d p e n al ty f u n c t i o n a n d t h e j o i n t d is t r i b u t i o n o f t h r e e i m p o r t a n t a c t u a r i al d i a g n o s t i c s : t h e ti m e o f r u i n , t h e s u r p l u s i m m e d i a t e l y b e f o r e r u i n a n d t h e d e fi c i t a t r u i n o f r i s k p r o c e s s ( 1 . 3 ) . t h i s j o i n t d i s t r i - b u t i o n w a s fi r s t i n tr o d u c e d a n d s t u d i e d b y g e r b e r a n d s h i u ( 1 9 9 7 ) . mo ti v a t e d b y wu e t al . ( 2 0 0 5 ) , w e fi r s t l y g e t t h e e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r t h e g e r b e r - s h i u e x p e c t e d d i s c o u n t e d p e n al ty f u n c ti o n , t h e n w e d e fi n e t h e d e n s i ty f u n c ti o n p ( t , u , x ) ( p ( t , u , x ) d x re p r e s e n t s t h e p ro b a b i l ity t h a t r u i n d o e s n o t o c c u r b e f o re ti m e t a n d t h a t th e s u r p l u s b e l o n g s t o ( x , x 十 d x a t ti m e t ) . u s i n g t h i s d e n s i ty f u n c ti o n , s o m e p r o p e rt ie s o f b r o w n i a n m o t i o n , a n d f o ll o w i n g t h e i d e a s t o d e r i v e t h e f o r m u l a ( 3 . 9 ) o f g e r b e r a n d s h i u ( 1 9 9 7 ) w e o b t a i n t h e e x p li c i t e x p re s s i o n f o r t h e j o i n t d i s t r ib u ti o n . a t l a s t , w e g e t t h e l a p l a c e t r a n s f o r m o f t h e d e n s ity f u n c t i o n p ( t , u , x ) . de fin e th e t i me o f r u i n: 、 ， 2 o iu ( t) 0 ) , 0 o , i f t h e a b o v e s e t i s e m p t y , 了.，、.t - t t h e fi n i t e t i m e r u in p r o b a b i li ty: ik u , 0 = p (t w (o ) = u ) ( 1 .7 ) 互 1 i n t r o d u c t i o n a n d t h e r u i n p r o b a b i li ty: r/i (u ) = p ( t c o lu ( 0 ) = u ) = lim 1k (u , t) . ( 1 . 8 ) n o t e t h a t r u i n m a y b e c a u s e d b y a c l a i m o r b y o s c i l la t i o n . l e t t , a n d几 d e n o t e t h e t i m e s o f r u i n c a u s e d b y a c l a i m a n d b y o s c i l l a t i o n , r e s p e c t i v e l y . i f t=o o , t h e n t d = t , =o o . i f t。， t h e n t , =i n f ( t 2 0:u ( t ) 0 a n d t d =i n f ( t z 0:u ( t ) =0 ( . h e n c e , t , =0 a . s . f o r u 0 a s . f o r u 0 0 . f o ll o w i n g t h e i d e a s i n d u f r e s n e a n d g e r b e r ( 1 9 9 1 ) , s e e a ls o t h a t in wa n g ( 2 0 0 1 ) , w e m a y d e c o m p o s e 以u , t ) a s f o l l o w s : 0 ,( u , t ) 二mu , t ) + o d ( u , t ) - h e r e o d ( u , t ) i s t h e fi n it e t i m e r u i n p r o b a b i l i ty t h a t i s c a u s e d b y o s c i ll a t i o n a n d 0 , ( u , t ) t h e fi n i t e t i m e r u i n p r o b a b i li ty t h a t i s c a u s e d b y a c l a i m w e h a v e qk , (u , t) = p ( t t, u ( t ) o iu (0 ) = u ) , o d ( u , t) = p ( t t, u ( t ) 二 q u (0 ) = u ) l e t c o =w ( x , , x 2 ) b e a n o n n e g a ti v e m e a s u r a b l e f u n c t i o n o n 0 , o o ) x 0 , o o ) . t h e g e r b e r - s h i u d i s c o u n t e d p a n a l ty f u n c t i o n u n d e r r i s k p r o c e s s ( 1 3 ) i s o (u ) = e e - . ( u (t - ) , iu ( t )i) i ( t ) iu ( 0 ) = u 1 ( 1 .9 ) w h e r e a z 0 i s a c o n s t a n t a n d i ( a ) i s t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n o f e v e n t a . g e r b e r a n d l a n d ry ( 1 9 9 8 ) d e c o n p o s e d t h e g e r b e r - s h i u f u n c ti o n i n t o t w o p a r ts : t h e d i s c o u n t e d p e n a l ty f u n c t i o n a t r u i n t h a t i s c a u s e d b y a c l a i m a n d t h e d i s c o u n t e d p e n a lty f u n c t i o n a t r u i n t h a t i s c a u s e d b y o s c i ll a t i o n . f o ll o w i n g g e r b e r a n d l a n d ry( 1 9 9 8 ) , w e d e c o m p o s e t h e g e r b e r - s h i u f u n c t i o n o ( u ) c o r re s p o n d i n g l y i n t o t w o p a r t s . d e n o t e t h e s e t w o p a r t s b y 0 , a n d o d , re s p e c t i v e l y . t h u s , w e h a v e o a u ) = e f e - t ,. ( u ( t ,- ) , i u (t , ) i) i (t . t d )i u (0 ) 一 u ( 1 . 1 0 ) a n d o d (u ) = e ,- td . ( u ( t a ) , i u ( t d )i) i ( t d _ 0 ) fo r a ll 二 。 r i l e t 0 , u (s l ) 。 d x l , u (s i ) “ d y l, ., m (s n - 1 , s . ) 0 , u ( s - ) “ d x n , u (s n) “ dy )iu (0 ) = u j e 0 e - i ( m (0 , s 1 ) 0 , u ( s -j ) _e d x 1, u ( s 1 ) “ d y l , ., m (s n - 1 , s n ) 0 , u (s - ) “ d x n , u ( s ) 。 d y n ) l = b . ( a . u , x i , y l , . . , x . , y n ) d x l d y l二 d x n d y n ,( 3 . 1 0 ) 写 3 t h e g e r b e r - s h i u d is c o u n t e d p e n a l ty f u n c t io n wh e r e 8 . 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( 3 . 1 3 ) s i mi l a r l y , we c a n r e wr i t e i t a s e e - i ( m (0 , s 1) 0 , u (s 丁 ) d x l, u (s 1) e “ 一u ( s ) “ d x ) 1,-,s 。一 ，u (s i), ., u (s _1), m (0 , s 1),., m (s 。一 ，s - 1), z l , .，二 】) 了.，、.、5 eul司、 ( 3 . 1 4 ) s in c e u (s .- ) = u (s - t ) + v w (s . ) 一 w (s - 小 c ( $ 。 一 s . - i ) + 2 n i(s , ) (= n ,(s ,r i) + 1 x , a n d s 。 一 s _ 1 h a s t h e s a m e d i s t r i b u ti o n a s s 1 , 勿i n d e p e n d e n c e w e t h e n o b t a i n t h a t 1 1 =e e - - -i (m (0 , s ,) 。 ， u (s 1 ) e d x 1, u ( s 1) 。 d y , ” 二 u ( s _ t) 。 饥 一 1)1 x e y- l e - i ( m (0 , s , ) 0 ,、 一 ， + c s , + o w (s ,) + 艺x , 。 氏) ( 3 . 1 5 ) we c a n v e r i f y t h a t n ( s ) e - 1 le - a s i ( m (0 , s 1 ) 0 , 、 一 ， + c s , + v w ( s 1 ) + 艺x ; 。 d x ) 挂 3 t h e g e r b e r - s h i u d i s c o u n t ed p e n a l ty f u n c t io n n, ( t ) e u tp y- , ( m (o ， t ) 0 , y - 1 + c t + (r w (t) + 艺x ; 。 d x ) p (s , 。 d t) a 2e - (a + ,lx)rp y ,( m (0 ， t) 。 ， 、 一 ， + c t 十 ， w ( t) + 艺x , e d x 冲 怡 】 ff = 息a2e-(a+l2n py-, (m (0 t)o 0, yn-1 “ o w (t) + 见 x ; e d x , n 1 ( t) 1 = 1 = m ) d t. 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